Квадратные уравнения Учитель математики МБОУ СОШ №18 г

1
Урок коррекции и обобщения знаний
Алгебра 8 класс.
Тема:
Квадратные уравнения
Учительница математики МБОУ СОШ № 18
Везирова Саният Кафлановна
2
Цели:
1) проверить навыки учащихся по умению решать квадратные
уравнения различными способами, выработать алгоритм решения
таких уравнений с помощью совместной работы, используя методику
групповой работы с применением взаимного контроля;
2) усовершенствовать навыки общения в учебной деятельности;
3) прививать учащимся любовь к порядку, повышать уровень их
самоорганизации.
Оборудование и материалы к уроку:
1) компьютер, видеопроектор;
3
I этап.
Организационный момент.
Учащиеся сидят в группах по 4
человека, объединив по
2 стола. Каждый ученик имеет сигнальные
карточки красного, зеленого и желтого цветов. Цвета означают:
зеленый цвет - "умею".
красный цвет - "допускаю ошибки".
желтый цвет - "не умею".
II этап.
Повторение пройденного материала.
Проводится фронтальный опрос в
форме викторины.
Учитель: "Выдающийся французский
ученый XVII века Блез Паскаль писал: "Предмет математика столь
серьезен что не следует упускать ни одной возможности сделать его
более занимательным".
Сейчас мы проведем математический
конкурс-викторину "Звездный час".
Учитель подходит к группе, и они
вытягивают билет из мешочка. Билет состоит из двух частей. Первая
часть - теоретический вопрос. Вторая часть - практическое задание.
Правильно ответившие ученики получают звездочки, на которых
написаны
слова:
благодарность,
культура
порядочность,
поведения,
учтивость,
такт,
вежливость,
обходительность.
Эти
4
звездочки ученики магнитами прикрепляют к доске. В конце опроса на
доске появляется звездное небо со словами культуры поведения.
Билет №1
Вопрос:1)
"Записать
общий
вид
квадратного уравнения".
Ответ:
"Общий
вид квадратного
уравненияах2 + 𝑏х + 𝑐=0,
(а≠0), где а- старший коэффициент , bвторой коэффициент ,
с- свободный член,
х- переменная
которую надо найти."
2)Какое из данных уравнений не
является квадратным?
а) 2х − х2 − 8 = 0 б) х2 + 3 = 0
в)
2х2 − 3х3 + 1 = 0
Билет №2
1)
"
Что
называется
корнем
квадратного уравнения?"
Ответ:
уравненияесть число,
"
Корнем
квадратного
5
которое обращает
уравнение в
верное числовое равенство."
2)Является ли корнем квадратного
уравнения число
а) -7х2 = −49 число √7?
б)
х − х3 + 120 = 0 число 5?
Билет №3
1) "
которому определяют количество корней
Как
называется
число,
по
квадратного уравнения? Как
найти это число?"
Ответ:
"
Это
число
называется
дискриминантом квадратного уравнения. Его обозначают буквой Д.
Д=
𝑏 2 − 4𝑎𝑐.
Если Д>0 , то квадратное уравнение
имеет два различных корня.
Если Д=0, то уравнение имеет два
равных корня.
Если Д<0, то уравнение не имеет
корней.
2)
квадратного уравнения 7х2 − 5х − 3 = 0
Вычислить
дискриминант
6
Билет №4
1)
"Записать
формулу
корней
квадратного уравнения".
Ответ: ученик: 𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃±√Д
𝟐𝒂
;
2) Решить квадратное уравнение х2 +
2х − 8 = 0 по формуле корней.
Билет №5
1) "Какие виды неполных квадратных
уравнений вы знаете?"
Ответ:
"При b=0 имеемах2 + 𝑐 = 0,
(а≠0),
при с=0 имеемах2 + 𝑏х = 0, (а≠0),
при b=0 и c=0 имеемах2 =0, (а≠0)."
2) Решить уравнение а) х2 = 9
б)
3х2 = 0 в) 64+у2 = 0 г) х2 − х = 0
Билет №6
1) "Сформулировать теорему Виета."
Ответ:
"Если
х1 и х2
корни
уравненияах2 + 𝑏х + 𝑐 =0 (а≠0),
то выполняется равенство х1 + х2 =
𝑏
с
𝑎
𝑎
− х1 ∗ х2 = .
Если a,b,c, х1 и х2 таковы, что х1 +
𝑏
с
𝑎
𝑎
х2 = − , х1 ∗ х2 = ,
7
уравнения ах2 +
то х1 и х2 корни
𝑏х + 𝑐 =0 (а≠0)".
2) Найти сумму и произведение
корней уравнения
а) х2 − 3х + 4 = 0
б)
15х2 − 5 = 0
(После
каждого
ответа
учащиеся
поднимают сигнальные карточки, которые показывают уровень усвоения
данного учебного материала.)
Учитель:
"
Благодаря
вашим
правильным ответам волшебные звезды
высвечивают
важные
понятия, которые должны стать важными
верными
спутниками
в
жизни".
III этап."Минута славы"
Учитель: " Есть еще нестандартные
приемы решения квадратных уравнений. О некоторых таких приемах мы
сейчас свами познакомимся.А познакомят нас с этими приемами наши
одноклассники, которые хотели знать больше, самостоятельно изучив их,
используя дополнительную литературу и услугиИнтернет-ресурсов".
"
переменной"
Метод
введения
новой
8
Ученик:"
При
решении
более
сложных квадратных уравнений нередко приходится использовать метод
введения новой переменной".
Пример.
Решите
уравнение
(5х + 3)2 =
3(5х + 3) − 2
Решение.
Пусть (5х + 3) = 𝑡.
Произведем замену переменной:
𝑡 2 = 3𝑡 − 2, 𝑡 2 − 3𝑡 + 2 = 0
Убеждаемся, что D>0. По теореме,
обратной теореме Виета, подбираем
корни: 𝑡1 = 1; 𝑡2 = 2.
Произведем
обратную
замену
и
вернемся к переменной х.
Если t=1, то 5x+3=1,
x= -0,4.
Если t=2, то 5х+3=2
х= -0,2.
Для тех, кто хочет знать больше.
Решите уравнения
1) (х2 + 6х)2 − 5(х2 + 6х) = 24.
2)
(у + 2)2 − (у + 2) = 12.
3)
18 = 0.
х4 − 9х2 +
9
"Специальные
методы
решения
квадратных уравнений"
Ученик:"Рассмотрим
решение
квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определенными
свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов уравнения и
его корнями.
1. х2 + 4х − 5 = 0,
2.
х2 + 6х + 5 = 0,
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0,
х1 = 1,
𝑎 + 𝑐 = 𝑏,
х2 = −5
х1 = −1,
х2 = −5.
При решении уравнения ах2 + 𝑏х + 𝑐
=0
1.
(а≠0)
если
2. если 𝑎 + 𝑐 = 𝑏
можно
пользоваться
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0,
следующими
то
правилами:
х1 = 1, х2 =
с
а
с
, то х1 = −1, х2 = − .
а
Замечание: При решении полного
квадратного уравнения полезно сначала проверить, является ли число 1
(число -1) его корнем. И, если является, воспользоваться правилом 1
(правилом 2)
Для тех, кто хочет знать больше.
Решите уравнения
1) х2 + 10х − 11 = 0
3) х2 −
2) 3х2 − 5х + 2 = 0
4) 5х2 +
5х + 4 = 0
14х + 9 = 0.
10
Метод
"переброски"
Ученик:"
Умножим
старшего
коэффициента.
обе
части
уравнения ах2 + 𝑏х + 𝑐 =0 (а≠0) на а≠0
ах2 + 𝑏х + 𝑐 =0 *а
а2 х2 + 𝑏ах + 𝑐а =0
Пусть ах=у, то получим уравнение
у2 + 𝑏у + 𝑐а =0
Корни
у1 и у2 найдем по теореме,
обратной теореме Виета.
Так как у1 = ах1 , то х1 =
у2 = ах2 , то
х2 =
у1
а
,
у2
а
.
11
Для тех, кто хочет знать больше.
Решите уравнения
1) 5х2 + 3х − 2 = 0,
2) 3х2 −
3х − 7 = 0,
3) 2х2 − 3х − 5 = 0.
"Графический
метод
решения
квадратного уравнения"
Ученик:"
Графический
способ
решения квадратного уравнения состоит в построении на одной
координатной плоскости графиков двух функций и нахождении абсцисс их
пересечения(если такие точки есть). В случае квадратного уравнения
строятся парабола и прямая.
12
Возможны следующие случаи:
1)
(имеют
парабола
и
прямая
единственную
касаются
общую
точку), абсцисса точек касания - корень уравнения (рис 1)
2)Прямая парабола пересекаются в 2х точках, абсциссы этих точек
являются корнями уравнения (рис 2)
3) прямая и парабола неимеют общих
точек, тогдауравнение не имеет
корней (рис 3)
рис 1
рис 2 рис 3
Замечание.Решать
уравнение
по
формуле проще, чем выполнять построение. Графический способ не
позволяет точные решения в случае произвольных коэффициентов
уравнения.
13
Для тех, кто хочет знать больше.
Решить графическим способом уравнения
1)
х2 + 2х − 8 = 0,
2) х2 + 3 = 0,
3) х2 − х − 1 = 0.
IVэтап
" Математическое кафе"
Учитель:"Сейчас вы пойдете в математическое кафе, в котором вам
предложат различные задания. В кафе вы отправляетесь группой, поэтому
задания вы можете выполнять коллективно. Каждая группа получит вот
такой талон, в котором нужно будет вычеркивать найденные вами номера.
Мы проверим, со всеми ли заданиями вы справились. Время пребывания в
кафе 10 минут".
"Меню"
Самостоятельная работа
1. Найти сумму и произведение корней уравнения.
а) 7х2 + 6х − 1 = 0
б) х(х-0,3)=0
2. Какие из чисел 0; 1; -3 является корнем уравнения х2 + 2х − 3 = 0?
3. Найти дискриминант квадратного уравнения 2х2 + 5х − 3 = 0
4. Решить уравнение х2 − 36 = 0
5. Чему равен старший коэффициент в уравнении −х2 + 9 + 2х2 = 0
6. Вычислить 411 *4−9 =?
7. Вычислить √8 ∗ √18 =?
8. Вычислить √49 ∗ √81 =?
14
9. Вычислить
36
34
=?
10. При каких значениях переменной Х значение дроби
х2 −16
х+5
равно нулю?
Ключ ответов
Контрольный талон группы:
1
2
3
4
1
6
−
−
7
7
-3
1
0
4
9
6
0
2
4
-
1
6
12
-
9
,3
6
6
3
4
Каждая
группа
сдает
контрольный талон другой группе для проверки.
КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
"5"- 10 ОТВЕТОВ
"4"- 8-9 ОТВЕТОВ
"3"- 5-7 ОТВЕТОВ
свой
15
Домашнее задание. Тесты
ТЕСТ «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант № 1
1) Какое из данных уравнений является квадратным?
А
Б
В
2
2
2
7х - 3=0
( х + 1 ) = х – 4х
5х = 4х2
2) Найдите коэффициенты a, b и c квадратного уравнения .3 – х2 – 6х = 0.
А
Б
В
3; 0; - 6
3; - 1; - 6
- 1;- 6; 3
3) Решите уравнение 4х2+ 3х. = 0
А
Б
В
0,75
1; - 0,75
0; - 0,75
4) Дискриминант какого из уравнений равен 25?
А
Б
В
Х2 + 3х + 4 = 0
4х2 + 3х – 1 = 0
16х2 – 3х = 0
5) Решите уравнение: х2 - 3х – 18 = 0.
А
Б
В
- 3; 6
3; - 6
- 3; - 6
6) Найдите сумму корней уравнения: 4х2 + 17х + 4 = 0.
А
Б
В
17
- 4,25
4,25
7) Найдите произведение корней уравнения: 2х2 + х +3 = 0.
А
Б
В
3
-3
Другой ответ
Г
1/х =4х2
Г
- 6; -1; 3
Г
Корней нет
Г
2х2 – 3х + 2 = 0
Г
3; 6
Г
Другой ответ
Г
1,5
Фамилия____________________________
№
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
Вариант
ответа
ТЕСТ «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант № 2
1) Какое из данных уравнений является квадратным?
А
Б
В
( х – 3)2 = 2х2 + 3
0*х2 = 5
6х = 1
2) Найдите коэффициенты a, b и c квадратного уравнения 5х + х2 - 4 = 0.
А
Б
В
1; 5; - 4
5;1; - 4
- 4;5;1
3) Решите уравнение 5х2 = 9х.
А
Б
В
Корней нет
0; 1,8
0; - 1,8
4) Дискриминант какого из уравнений равен 81?
А
Б
В
х2 - 9х - 1 = 0
2х2 - 7х + 4 = 0
4х2 – 7х + 2 = 0
5) Решите уравнение: х2 + 2х – 24 = 0.
Г
( х – 2)2 = х2
Г
1; - 4;5
Г
1,8
Г
- 4х2 + 7х + 2 = 0
16
А
Б
В
- 4; 6
- 4; - 6
4; 6
6) Найдите сумму корней уравнения: 2х2 + 11х - 6 = 0.
А
Б
В
- 11
Другой ответ
11
7) Найдите произведение корней уравнения: 2х2 + 3х + 6 = 0.
А
Б
В
6
-6
3
Г
4; - 6
Г
- 5,5
Г
Другой ответ
Фамилия____________________________
№
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
Вариант
ответа
ТЕСТ «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант № 3
1) Какое из данных уравнений является квадратным?
А
Б
В
2
2
х( х – 1) = х – 2х
7х + 9 = 0
2/х = 3/х + 4
2) Найдите коэффициенты a, b и c квадратного уравнения - х + 9.+ 2х2 = 0.
А
Б
В
2; 0; 9
2; - 1; 9
- 1; 2; 9
3) Решите уравнение : 17х = 10х2.
А
Б
В
0; 1,7
1,7
Корней нет
4) Дискриминант какого из уравнений равен 25?
А
Б
В
4 х2 - 3х + 1 = 0
2х2 - 3х + 2 = 0
2х2 + 3х -2 = 0
5) Решите уравнение: х2 - 2х – 15 = 0.
А
Б
В
- 5; 3
3; 5
- 3; 5
6) Найдите сумму корней уравнения: 2х2 - х + 7 = 0.
А
Б
В
1
-1
0,5
7) Найдите произведение корней уравнения: 2х2 - 13х -7 = 0.
А
Б
В
Другой ответ
-7
3,5
( х - 6)2 - 5
( х -3 )2 - 5
( х – 3 )2 - 14
Г
2х – 3х = х + 5
2
Г
- 1; 9; 2
Г
0; - 1,7
Г
х2 + 3х + 25 = 0
Г
- 5; - 3
Г
Другой ответ
Г
- 3,5
( х – 3 )2 + 4
Фамилия____________________________
№
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
Вариант
ответа
ТЕСТ «Квадратные уравнения» 8 класс
Вариант № 4
1) Какое из данных уравнений является квадратным?
А
Б
В
4/х + х2 + 1 = 0
х2 + 3х = 4х - 2
х2 =(х – 2)(х + 1)
2) Найдите коэффициенты a, b и c квадратного уравнения .7 - 3х2 + х = 0.
Г
5х + 4 = 0
17
А
Б
В
1;- 3; 5
- 3; 7; 1
7; - 3; 1
3) Решите уравнение 2х2 - 7х. = 0
А
Б
В
0; 3,5
корней нет
3,5
4) Дискриминант какого из уравнений равен 49?
А
Б
В
5х2 + 3х + 2 = 0
2х2 - 3х – 5 = 0
3х2 – 3х – 7 = 0
5) Решите уравнение: х2 + х - 20 = 0
А
Б
В
4; 5
4; - 5
- 4;5
6) Найдите сумму корней уравнения: 5х2 - 9 х - 2 = 0.
А
Б
В
-9
другой ответ
1,8
7) Найдите произведение корней уравнения: 5х2 - 3 х +2 = 0.
А
Б
В
-2
2
0,4
( х + 2)2 – 1
( х + 2)2 + 7
( х + 4)2 + 3
Фамилия____________________________
№
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
Вариант
ответа
Ключ ответов
Вариант №1
№
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
Вариант
ответа
В
В
В
Б
А
Б
Г
Вариант №2
№
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
Вариант
ответа
А
А
Б
Г
Г
А
В
Вариант №3
№
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
Вариант
ответа
Г
Б
А
В
В
В
Г
Вариант №4
№
вопроса
1
2
3
4
5
6
7
Вариант
ответа
Б
Г
А
Б
Б
В
В
Г
- 3; 1; 7
Г
1; 3,5
Г
2х2 – 3х + 5 = 0
Г
- 4; - 5
Г
- 1,8
Г
другой ответ
( х +3 )2 + 4х
18
Критерии оценки
№ вопроса
Кол.баллов
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
"5"- 7 бал.
"4"- 6 бал.
"3"-
5
бал.