Контрольные задания и методические указания по дисциплине «Элементы высшей математики»

Контрольные задания и методические указания
по дисциплине «Элементы высшей математики»
для студентов заочной формы обучения
для специальности:
230401 «Информационные системы (по отраслям)»
1. Матрицы и действия над ними
Таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов вида
 a11

a
A   21
...

a
 m1
a12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 
 aij m,n ,
... ... 

... amn 
называется матрицей порядка m n . Матрица порядка n  n называется квадратной
матрицей порядка п ( А = aij n ).
Две матрицы A  aij m,n и B  bij m,n называются равными (А=В), если равны их
соответствующие элементы, т.е. aij  bij (i=1,…,m; j=1,…,n).
Суммой двух матриц A  aij m,n и B  bij m,n одинакового порядка называется
матрица C  cij m,n (С = A+B), элементы которой определяются равенствами
сij  aij  bij (i=1,…,m; j=1,…,n).
Произведением матрицы A  aij m,n на число  называется матрица B  bij m,n (В
=  А или B = А  ), элементы которой определяются равенствами
bij    aij (i=1,…,m; j=1,…,n).
Произведением матрицы A   aij 
m, p
на матрицу B   bij 
p ,n
называется матрица
C  cij m,n (С = AB), элементы которой определяются равенствами
p
сij   aik bkj  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aipb pj
k 1
i  1,..., m; j  1,..., n .
Заметим, что умножение матрицы А на матрицу В определяется только при
условии, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Задание 1. Выполнить действия над матрицами А и В:(2A-B)(A+3B), где
1 3 1
 2 1 0




A   2 0 4 , B   1  1 2  .
 1 2 3
 3 2 1




Решение. Данное выражение содержит следующие операции над матрицами:
1) произведение матрицы на число.
2) сумма двух матриц;
3) произведение двух матриц.
Используя определения, данные выше, получим:
1 3 1
 2 1 0  2 6 2



 

2 A  B  2 А   1B  2   2 0 4    1   1  1 2    4 0 8  
 1 2 3
 3 2 1  2 4 6



 

  2 1 0   0 5 2

 

   1 1  2    3 1 6 ;
  3  2 1  1 2 5

 

 1 3 1  2 1 0  1 3 1  6 3 0  7 6 1 

 
 
 
 

A  3B   2 0 4   3 1  1 2    2 0 4    3  3 6    5  3 10  ;
 1 2 3   3 2 1   1 2 3   9 6 3  10 8 6 

 
 
 
 

 0 5 2  7 6 1 

 

(2 A  B)  ( A  3B)   3 1 6    5  3 10  
  1 2 5  10 8 6 

 

0  6  5  (3)  2  8
0  1  5  10  2  6   45 1 62 
 0  7  5  5  2  10

 

3  6  1  (3)  6  8
3  1  1  10  6  6    86 63 49 .
 3  7  1  5  6  10
 (1)  7  2  5  5  10 (1)  6  2  (3)  5  8 (1)  1  2  10  5  6   53 28 49 

 

2. Определители второго и третьего порядка. Обратная матрица
Определителем второго порядка, соответствующим матрице
a 
a
A   11 12 
 a21 a22 
называется число a11a22  a12a21 .
Этот определитель обозначают
a11 a12
или  .
a21 a22
Следовательно, согласно определению  
a11 a12
 a11a22  a12a21 .
a21 a22
 a11 a12

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице A   a21 a22
a
 31 a32
a11
a12
называется число, обозначаемое a21 a22
a31 a32
a13
a23 или  и определяемое равенством
a33
a13 

a23  ,
a33 
a11
a12
a13
a23  a11a22a33  a12a23a31  a21a32a13  a13a22a31  a12a21a33  a11a23a32 .
a33
a21 a22
a31 a32
Для запоминания этого определения существует простое правило, которое
называется «правилом треугольников». Каждое слагаемое, стоящее в правой части со
знаком плюс, представляет собой произведение трех элементов определителя, взятых, как
показано на схеме 1. Каждое слагаемое, стоящее со знаком минус, представляет собой
произведение трех элементов определителя, взятых, как показано на схеме 2.
Схема 1
a11
Схема 2
a12
a13
a11
a12
a13
a21 a22
a31 a32
a23
a33
a21 a22
a31 a32
a23
a33
Минором элемента a ij (i =1,2,3; j =1,2.3) определителя третьего порядка называется
определитель второго порядка, получающийся из данного определителя третьего порядка
вычеркиванием i-той строки j-того столбца, на пересечении которых стоит элемент a ij .
Минор элемента a ij обозначают M ij .
Алгебраическим дополнением элемента
a ij
определителя третьего порядка
называется произведение минора M ij этого элемента на число 1 , где i - номер
i j
строки, j - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент a ij . Алгебраическое
дополнение элемента a ij обозначают Aij .
Таким образом,
Aij   1
i j
 M ij
Справедлива следующая теорема.
Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или
столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
  a11  A11  a12  A12  a13  A13
  a21  A21  a22  A22  a23  A23

  a13  A13  a23  A23  a33  A33
Матрица A1 называется обратной матрицей по отношению к матрице A  aij 3 ,
1 0 0


если выполняется условие: A  A  A  A  E , где E   0 1 0  - единичная матрица.
0 0 1


1
1
Если определитель матрицы А отличен от нуля, то существует единственная
обратная матрица A1 , которая находится по формуле:
 A11
1 
A    A12
 
 A13
A21
1
A22
A23
A31 

A32  ,
A33 
где ∆ - определитель матрицы А,   0 , Aij - алгебраические дополнения элементов
матрицы А.
Задание 2. Найти матрицу, обратную к данной матрице А.
3 2 2


A  1 3 1 .
5 3 4


Решение.
1) Вычислим определитель матрицы А:
3 2 2
  1 3 1  3  3  4  5  2 1  2  3 1  5  3  2  1  2  4  3  3 1  5 .
5 3 4
  0 , следовательно, обратная матрица существует и единственна.
2) Находим алгебраические дополнения элементов определителя
матрицы А.
A11 
3 1
2 2
2 2
 9, A21  
 2, A31 
 4,
3 4
3 4
3 1
A12  
A13 
3)
1 1
3 2
3 2
 1, A22 
 2, A32  
 1,
5 4
5 4
1 1
1 3
3 2
3 2
 12, A23  
 1, A33 
 7.
5 3
5 3
1 3
Составим обратную матрицу:
 2  4
 9

1
A   1
2  1 .
5
7 
  12 1
1
4) Проверим правильность нахождения матрицы A1 , исходя из определения
обратной матрицы.
 9  2  4 3 2 2
 5 0 0 1 0 0





 

1
1
A1  A    1
2  1    1 3 1     0 5 0    0 1 0   E.
5 
5 
 

7   5 3 4 
  12 1
 0 0 5  0 0 1
Аналогично A1  A  E . Следовательно, обратная матрица найдена, верно.
3. Системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим
систему
трех
линейных
алгебраических
уравнений
с
тремя
неизвестными:
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
(1)
Здесь x1 , x2 , x3 - неизвестные, a11, a12 ,..., a33 , b1 , b2 , b3 - заданные числа. Определитель
a11
a12
  a21 a22
a31 a32
a13
a23 называют определителем системы (1).
a33
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Формулы Крамера
Если определитель системы (1) отличен от нуля, то система (1) совместна и имеет
единственное решение, которое находится по формулам:

x1  1 ,

a11 a12
3
x3 
, где   a21 a22

a31 a32

x2  2 ,

a13
a23  0 ,
a33
b1
1  b2
a12
a22
a13
a11 b1
a23 ,  2  a21 b2
a13
a11 a12 b1
a23 ,  3  a21 a22 b2 (формулы Крамера).
b3
a32
a33
a33
a31 b3
a31
a32
b3
3.2 Матричный способ решения системы линейных алгебраических уравнений
Систему (1) можно записать в матричном виде
 a11 a12

A  X  B , где A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23  ,
a33 
 x1 
 
X   x2  ,
x 
 3
 b1 
 
B   b2  .
b 
 3
Если определитель матрицы А отличен от нуля, то система (1) совместна и имеет
единственное решение, определяемое формулой X  A1  B , где A1 - матрица, обратная к
А.
Задание 3. Дана система:
 x1  x2  7 x3  6

2 x1  3x2  3x3  10
3x  2 x  5 x  17
2
3
 1
(2)
Решить ее двумя способами:
1) по формулам Крамера
2) матричным способом
Решение
1 1 7
1. Вычислим определитель системы (2):   2 3  3  5 .
3
2
5
  0 , следовательно, система (2) совместна и имеет единственное решение. Находим его,
используя формулы Крамера:
6
1  10
17
x1 
1
3
2
7
1
 3  10 ,
5
1 10

 2,

5
x2 
6
1 1
7
 2  2 10  3  15 ,
3 17 5
 2 15

 3,

5
x3 
3  2
3
3
2
6
10  5 ,
17
3 5
 1.
 5
2. Перепишем систему (2) в виде A  X  B , где
1 1 7 


A   2 3  3 ,
3 2
5 

 x1 
 
X   x2  ,
x 
 3
6
 
B  10  .
17 
 
Решение системы ищем в виде X  A1  B , где A1 - матрица, обратная к А. Найдем A1
(см. задание 2):
 21 19  18 

1 
A     19  16 17 .
5 
5 
 5 5
1
Следовательно,
 21 19  18   6   2 
    
1 
X     19  16 17   10    3  , т.е. x1  2 , x2  3 , x3  1 .
5 
5  17   1 
 5 5
4. Метод Гаусса решения произвольных систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
.

...................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
(3)
 a11

__
a
A   21
.

a
 m1
(4)
Матрица
... a1n b1 

... a2 n b2 
.
. . 

... amn bm 
a12
a22
.
am 2
называется расширенной матрицей системы (3).
Элементарными преобразованиями матрицы A  aij m,n называются следующие
действия:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой
строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
С помощью элементарных преобразований любая матрица может быть приведена к
трапециевидному виду.
Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы системы к
трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований, выполняемых над
строками матрицы. Таким образом, расширенная матрица (4) может быть приведена к
виду:
 a '11

 0
 .
~  0
A
 0
 .

 0
a '12 ...
a '22 ...
.
.
0
...
0
...
.
0
a '1r
a '2 r
.
a 'rr
0
. .
... 0
a '1n b'1 

a '2 n b'2 
. 
.
a 'rn b'r  ,

0 b'r 1 

.
. .

... 0 b'm 
...
...
.
...
...
где r  min m, n .
Матрица (5) является расширенной матрицей системы
(5)
a'11 x1  a'12 x2  ...  a'1r xr  ...  a'1n xn  b'1

a'22 x2  ...  a'2 r xr  ...  a'2 n xn  b'2


...................................................

a'rr xr  ...  a'rn xn  b'r .


0  b'r 1

...........


0  b' m

(6)
Система (6) эквивалентна исходной системе (3).
Если хотя бы одно из чисел b'r 1 ,..., b'm отлично от нуля, то система (6), а,
следовательно, и исходная система (3) не совместна, то есть не имеет решений.
Если же b'r 1  ...  b'm  0 , то система (6) совместна. Следовательно, совместна и
исходная система (3).
Задание 4. Найти решение системы методом Гаусса:
 x1  2 x2  4 x3  3x4  2

 3x1  5 x2  6 x3  4 x4  0 .
4 x  5 x  2 x  3x  10
2
3
4
 1
(7)
Решение.
Расширенная матрица системы (7) имеет вид:
1 2 4  3 2 


A  3 5 6  4 0 
 4 5  2 3  10 


__
Приведем эту матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных
__
преобразований. Для этого умножим элементы первой строки матрицы A на (-3) и
сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы
__
первой строки матрицы A на (-4) и сложим с соответствующими элементами третьей
строки. В результате получим:
1 2
4 3 2 


A1   0  1  6 5  6  .
 0  3  18 15  18 


Теперь
умножим
элементы
второй
строки
матрицы
соответствующими элементами третьей строки. Получим:
A1 на
(-3)
и
сложим
с
1 2 4  3 2 

~ 
A  0 1  6 5  6 .
0 0
0 0 0 

(8)
~
Матрица A является расширенной матрицей системы
 x1  2 x2  4 x3  3x4  2
.

  x2  6 x3  5 x4  6
(9)
Система (9) эквивалентна исходной системе (7). Система (9) содержит два уравнения с 4мя неизвестными, следовательно, две неизвестные могут быть выбраны произвольно.
Придавая неизвестным x3 и x4 произвольные значения x3   , x4   , получаем решение
системы (7) в виде
 x1  10  8  7  ,
 x  6  6  5 ,
 2

x3   ,


x4   ,
где α, β - любые числа.
Правила выполнения и оформления контрольной работы
1. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами
синего или черного цвета. Необходимо оставить поля шириной 4-5 см для замечаний
рецензента.
2. На обложке тетради должны быть четко написаны фамилия и инициалы студента, его
учебный шифр, название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта. В
конце работы следует поставить дату ее выполнения и личную подпись.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в контрольных заданиях,
строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи
задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
4. Задачи и их решения следует располагать в порядке возрастания номеров, указанных в
контрольных заданиях, сохраняя номера задач.
5. Перед решением каждой задачи необходимо полностью записать ее условие.
6. Решения задач должны быть изложены подробно с необходимыми пояснениями по
ходу решения.
7. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все ошибки,
недочеты и выполнить рекомендации рецензента.
8. В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент
может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся
работа должна быть выполнена заново.
При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных
выше правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются.
Задания для контрольной работы
Вариант 1
1. Найти матрицу
D  3 A  4B  C , если
 1  2 3
 ,
A  
 2 1 4
 2 1  3
 ,
B  
 1 2  4
2 
 1


C   1  2 .
 2 3 


1 1 7 1
4
1 2 1
2. Вычислите определитель D 
.
3 0 4 1
1
1
0
3
 2 4
 6 10 
  X  
 . Для
3. Решите матричное уравнение 
5 6
 7 21
необходимо сделать проверку.
7

4. Найдите обратную матрицу для матрицы A   3
5

найденного решения
0
2
0
3

1 .
5 .
Проверьте
правильность нахождения обратной матрицы.
3x 1  2x 2  x 3  5,

5. Показать, что система 2x 1  3x 2  x 3  1, имеет единственное решение и найти
2x  x  3x  11.
2
3
 1
его тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
 2 x1  7 x2  3x3  x4  6

6. Решить систему методом Гаусса 3x1  5 x2  2 x3  2 x4  4 .
 9x  4x  x  7x  2
2
3
4
 1
Вариант 2
1. Найти матрицу
D  C  3A  4B , если
 1  2 3
 ,
A  
 2 1 4
 2 1  3
 ,
B  
 1 2  4
2 
 1


C   1  2 .
 2 3 


1 1 3 2
3 5 3 4
2. Вычислите определитель D 
.
0 4 1 3
1 1 2 1
  1 3  6
  
3. Решите матричное уравнение X  
 2 1  7
необходимо сделать проверку.
1

4. Найдите обратную матрицу для матрицы A   6
3

10 
 . Для найденного решения
21
0 

3 0  . Проверьте правильность
5  3 .
8
нахождения обратной матрицы.
x 1  2x 2  3x 3  6,

5. Показать, что система 2x 1  3x 2  4x 3  20, имеет единственное решение и найти
3x  2x  5x  1.
2
3
 1
его тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
2 x1  4 x2  5 x3  3x4  0

6. Решить систему методом Гаусса 8 x1  6 x2  3x3  7 x4  0 .
 3x  5 x  x  2 x  0
2
3
4
 1
Вариант 3
1. Найти
матрицу
D  2 AB  3 AC  ,
если
1 0
 ,
A  
 2 3
1 1 0 0
 ,
B  
 0  2 1 0
 0 2  2 0
 .
C  
1 0 1 1
2 2 3 3
1 2 3 4
2. Вычислите определитель D 
.
6  13 15 18
3
6
9
21
 1 1  2
  1 1  1




3. Решите матричное уравнение
X   2  1  1   6   3  1 2  . Для
 1 3
2 2 1
2 



найденного решения необходимо сделать проверку.
3 0 2 


4. Найдите обратную матрицу для матрицы A   2 4  3  . Проверьте
  1 0 6 .


правильность нахождения обратной матрицы.
4x 1  3x 2  2x 3  9,

5. Показать, что система 2x 1  5x 2  3x 3  4, имеет единственное решение и найти
5x  6x  2x  18.
2
3
 1
его тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
 9 x1  3x2  5 x3  6 x4  4

6. Решить систему методом Гаусса  6 x1  2 x2  3x3  4 x4  5 .
3x  x  3x  14 x  8
3
4
 1 2
Вариант 4
1 1 0 0
 0 2  2 0
 , C  
 ,
1. Найти матрицу D  2BA  3CA , если B  
 0  2 1 0
1 0 1 1
2 
1


1 
0
.
A
1 0 


 1  2


1 0 6 9
2 2 3 4
2. Вычислите определитель D 
.
5 6 4 8
4 7
7
3
 1 2  3
 4 0  1




3. Решите матричное уравнение  0 1 2   X  11   2 1 1  . Для найденного
1 0 4 
1 3 0 




решения необходимо сделать проверку.
5 4 0 


4. Найдите обратную матрицу для матрицы A   3 1 0  . Проверьте правильность
 2 3  4


нахождения обратной матрицы.
x 1  x 2  2x 3  1,

5. Показать, что система 2x 1  x 2  2x 3  4, имеет единственное решение и найти
4x  x  4x  2.
2
3
 1
его тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
 x1  7 x2  6 x3  3x4  0

6. Решить систему методом Гаусса  2 x1  4 x2  x3  x4  0 .
3x  x  4 x  5 x  0
3
4
 1 2
Вариант 5
1. Найти
матрицу
D   AC  AB ,
если
1 0 
 ,
A  
 2  2
3 4 4
 ,
C  
1  3 5
  3 1 4
 .
A  
 2  3 4
2 2 1 0
1 1 1 0
2. Вычислите определитель D 
.
1 2 2 1
0 3 2 2
2
1 
 1
 1 1 1




3. Решите матричное уравнение X   4
3  2   16    1 2
3  . Для
  5  4 1
 0 1  2




найденного решения необходимо сделать проверку.
5  2 4 


4. Найдите обратную матрицу для матрицы A   0 1  3  . Проверьте
0 3
7 .

правильность нахождения обратной матрицы.
2x 1  x 2  x 3  4,

5. Показать, что система 3x 1  4x 2  2x 3  11, имеет единственное решение и найти
3x  2x  4x  11.
2
3
 1
его тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
 2 x1  4 x2  5 x3  3x4  0

6. Решить систему методом Гаусса  3x1  6 x2  4 x3  2 x4  0 .
4 x  8 x  17 x  11x  0
2
3
4
 1
Вариант 6
1. Найти
матрицу
D  CA  BA ,
если
 1 1


A    1 1 ,
  1 1


3 4 4
 ,
C  
1  3 5
  3 1 4
 .
B  
 2  3 4
1 1 1 2
2 3 3 4
2. Вычислите определитель D 
.
1 1
2
5
4
2
3
16
1 
1 1
1 1 0 




3. Решите матричное уравнение  2  3 1   X  42   2 2
2  . Для найденного
 4 1  5
 0  3  2




решения необходимо сделать проверку.
1 0
 0


4. Найдите обратную матрицу для матрицы A    4 4 0  . Проверьте
 2
1 2 .

правильность нахождения обратной матрицы.
3x1  4 x2  2 x3  8,

5. Показать, что система 2 x1  x2  3x3  4, имеет единственное решение и найти
 x  5 x  x  0.
2
3
 1
его тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
 2 x1  x2  x3  x4  1

6. Решить систему методом Гаусса  x1  2 x2  x3  4 x4  2 .
 x  7 x  4 x  11x  5
2
3
4
 1
Вариант 7
 1 2  3
 0 1 1 




1. Найти матрицу D  A  2 AC , если, A   2  1 1  , C   2
0  2 .
1  2 3 
 3 3
0 



2
2 3 1
3
2 7 2
2. Вычислите определитель D 
.
2 0 4 4
2 4 1
3
0
1 1 2 
 4



3. Решите матричное уравнение  0 2  4   X    2 2
1 0 1
 4 1



решения необходимо сделать проверку.
 6

4. Найдите обратную матрицу для матрицы A    2
 2

1 

 2  . Для найденного
0 
 2 2

5 0 .
0 7 .
Проверьте
правильность нахождения обратной матрицы.
 x1  x2  x3  1,

5. Показать, что система 8 x1  3x2  6 x3  2, имеет единственное решение и найти его
4 x  x  3x  3.
3
 1 2
тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
 x1  2 x2  x4  3

6. Решить систему методом Гаусса  3x1  x2  2 x3  1 .
2 x  x  2 x  x  4
3
4
 1 2
Вариант 8
 1 2  3
 0 1 1 




1. Найти матрицу D  A  2CA , если, A   2  1 1  , C   2
0  2 .
1  2 3 
 3 3
0 



1 1 1  2
3 1 2 1
2. Вычислите определитель D 
.
3
5 3 4
5
5 3 4
  1 0 3
3 1



3. Решите матричное уравнение  1 4 3   X  2   3 0
 3 7 1
0  3



решения необходимо сделать проверку.
2

4. Найдите обратную матрицу для матрицы A   3
3

 3

 1  . Для найденного
2 
3
1
8
1

2 .
 5 .
Проверьте
правильность нахождения обратной матрицы.
 x1  4 x2  2 x3  3,

5. Показать, что система 3x1  x2  x3  5,
имеет единственное решение и найти
2 x  5 x  6 x  9.
2
3
 1
его тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
2 x1  x2  x3  3x4  2

6. Решить систему методом Гаусса  4 x1  x3  7 x4  3 .
 2 x  3x  x  1
2
3
4

Вариант 9
1 2
 1 1
 , B  
 .
1. Найти матрицу C  AB  BA , если, A  
0
1
2
3




1 3 0 4
1 2 2
3
2. Вычислите определитель D 
.
2 5 1  6
3 7 2 4
5
 1 1 1  4

 
3. Решите матричное уравнение X   2 3 1     3  2
 2 2 3  6
9

 
решения необходимо сделать проверку.
 1

4. Найдите обратную матрицу для матрицы A    2
 2

3

7  . Для найденного
2 
2
1
2
2

2  . Проверьте
1 .
правильность нахождения обратной матрицы.
7 x1  5 x2  31,

5. Показать, что система 4 x1  11x3  43,
имеет единственное решение и найти
2 x  3x  4 x  20.
2
3
 1
его тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
 x1  2 x2  x4  3

6. Решить систему методом Гаусса  x1  3x2  2 x3  2 x4  7
 3x  x  2 x  1
1
2
3

Вариант 10
2 3
1
 1 0 2




1. Найти матрицу C  AB  BA , если, A    1  2 3  , B   2 1 4  .
 1  2 0
 3 2 5




1 2 2 3
1 3 0 1
2. Вычислите определитель D 
.
3 7 4 1
2 5 5 2
2
1  5  2
3

 
3. Решите матричное уравнение X   2
3
1    1  16
  1  3  1  2 3

 
решения необходимо сделать проверку.
 1

4. Найдите обратную матрицу для матрицы A   2
 3

0 

 4  . Для найденного
1 
2
3
2
 3

2 .
 7 
Проверьте
правильность нахождения обратной матрицы.
 x1  2 x2  4 x3  31,

5. Показать, что система 5 x1  x2  2 x3  20, имеет единственное решение и найти
2 x  x  x  9.
3
 1 2
его тремя способами: а) методом Крамера; б) матричным методом. Для найденного
решения необходимо сделать проверку.
 2 x1  x2  x3  3x4  2

6. Решить систему методом Гаусса  2 x2  3x3  x4  1
.
2 x  3 x  4 x  2 x  3
2
3
4
 1