2007/2008 г.

ТЕМА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (теория)
1.1. Комплексные числа в алгебраической форме. // определение, действительная,
мнимая части, мнимая единица, модуль, сложение и умножение комплексных чисел, свойства этих операций, вычитание и деление комплексных чисел. Операция комплексного
сопряжения. Геометрические изображения комплексного числа, геометрическая интерпретация модуля комплексного числа, операций сложения и комплексного сопряжения.
1.2. Комплексные числа в тригонометрической форме. // аргумент комплексного числа
и его вычисление, тригонометрическая форма, умножение комплексных чисел в тригонометрической форме, степень комплексного числа с натуральным показателем, формула
Муавра.
1.3. Корень степени n из комплексного числа. // определение корня степени n , теорема
существования, формула корней, геометрическая иллюстрация операции извлечения корня степени n .
1.4. Комплексные числа в показательной форме.// формула Эйлера, идея доказательства (разложения в степенные ряды), представление об основных элементарных функциях
комплексного аргумента (идея продолжения функций на комплексную плоскость), формулы для sin z , cos z и e z . Логарифм комплексного числа (многозначность, главное значение).
1.5. Многочлены с комплексной переменной. // определение корня многочлена и свойство комплексных корней, основная теорема алгебры (формулировка), следствия о разложении многочлена на множители и о числе корней многочлена, корни квадратного уравнения.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (задачи).
Вычисления в алгебраической форме, определение действительной, мнимой частей, модуля, аргумента, сопряженного числа, изображение чисел на комплексной плоскости, переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной формам и обратно,
вычисление степени, корня, логарифма комплексного числа, решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
ТЕМА 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (теория)
2.1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка. //
Понятия о дифференциальном уравнении, порядок дифференциального уравнения, решение дифференциального уравнения, количество решений, интегральная кривая, дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной, область регулярности,
начальное условие, задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши (идея доказательства, ломаные Эйлера), общее решение дифференциального
уравнения первого порядка.
2.2. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка. // дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными (вид и методы решения), линейное уравнение первого порядка (вид, методы решения), уравнение Бернулли
(вид и методы решения), однородное уравнение первого порядка (вид и метод решения).
2.3. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. // начальные условия для уравнения второго порядка, задача Коши, вид общего
решения уравнений второго порядка, типы уравнений, допускающие понижения порядка,
замены, приводящие к понижению порядка.
2.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. // вид уравнения, однородное и неоднородное уравнения, следствия из линейности для однородного уравнения, линейно независимые решения (фундаментальная система решений) однородного
уравнения, определитель Вронского и его свойство, задача Коши, теорема о структуре
общего решения однородного и неоднородного линейного уравнения второго порядка.
2.5. Решение однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. // Идея, характеристическое уравнение, случай положительного дискриминанта, случай отрицательного дискриминанта, случай нулевого дискриминанта.
2.6. Поиск частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными
коэффициентами // метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа, идея и
конечные формулы), метод подбора неопределенных коэффициентов для правой части
специального вида (специальная правая часть, контрольное число и корни характеристического уравнения), варианты получения системы уравнений для коэффициентов
2.7. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. // вид системы, однородные, неоднородные системы, начальные условия, задача Коши, метод последовательных исключений, матричное представление системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка (вектор-функция и ее производная), линейно независимые решения (векторы), теорема о структуре общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, реализация решения системы в
матричной форме (характеристическое матричное уравнение, собственные векторы матрицы и фундаментальная система решений).
2.8. Дифференциально-разностные уравнения. // аналог дифференцирования для последовательностей (первая и вторая производные и соответствующие разности), разностное
уравнение с постоянными коэффициентами, идея метода, характеристическое уравнение,
общее решение разностного уравнения второго порядка.
2.9. Применение степенных рядов для интегрирования дифференциальных уравнений. // интегрирования дифференциальных уравнений с помощью ряда Тейлора, с помощью дифференцирования формального степенного ряда.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (задачи).
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, линейные (метод Бернулли) и однородные уравнения первого порядка. Линейные уравнения
второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, однородные и неоднородные со
специальной правой частью.
ТЕМА 3. РЯДЫ ФУРЬЕ (теория)
3.1. Ряд Фурье для периодической функции. // периодические функции, скалярное
умножение, норма функции, ортогональные и ортонормированные системы тригонометрических функций (синусы, косинусы, синусы и косинусы), ряд Фурье по косинусам и синусам, формулы для коэффициентов ряда, теорема Дирихле, равенство Парсеваля, поведение ряда в точках непрерывности и в точках разрыва функции, скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
3.2. Ряды Фурье для функций, заданных на [0,  ] . // идея продолжения функции, разложение по косинусам и синусам, по косинусам (четное продолжение), по синусам (нечетное продолжение), формулы для коэффициентов рядя.
РЯДЫ ФУРЬЕ (задачи)
Разложить функцию f ( x)  0 при 0  x   / 2 и f ( x)  1 при  / 2  x   в ряд Фурье,
продолжив 1) нулем на f ( x)  0 при    x  0 , 2) четным образом, 3) нечетным образом.
Нарисовать графики рядов во всех трех случаях.
ТЕМА 4. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (теория)
4.1. Повторные интегралы первого и второго типа. // повторные интегралы первого и
второго типа, формула, внутренний, внешний интегралы, внутренние и внешние пределы
интегрирования (принципиальное различие).
4.2. Двойной интеграл. // определение двойного интеграла через предел интегральной
суммы Римана (разбиение области, измельчение разбиения), интегрируемые функции,
геометрическая (объем, площадь) и физическая интерпретация двойного интеграла, свойства двойного интеграла (линейность, аддитивность по области).
4.3. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. // правильные
области первого и второго типа, неравенства, определяющие эти области, сведение двойного интеграла к повторным, очень правильные области, разбиение произвольной области
на очень правильные, идея вывода формул для вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах (элемент площади в прямоугольных координатах), когда внутренние пределы интегрирования постоянные?
4.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. // полярные координаты, координатные линии, стандартная связь с прямоугольными координатами, правильная
область в полярных координатах, элемент площади в полярных координатах, формула для
вычисления двойного интеграла в полярных координатах, представление о криволинейных координатах и о якобиане перехода к криволинейным координатам (формулы перехода и формула для якобиана).
4.5. Интеграл Пуассона. // определение интеграла Пуассона, график подынтегральной
функции, "неинтегрируемость" в обычном смысле, переход к двойному интегралу и его
вычисление в полярных координатах.
4.6. Тройные интегралы. // определение тройного интеграла, свойства, геометрическая и
физическая интерпретации, вычисление в прямоугольных координатах (правильные тела
трех типов, формула для тела первого типа).
4.7. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
// цилиндрические координаты, связь с прямоугольными, якобиан перехода, правильные
тела, формула, сферические координаты, связь с прямоугольными, якобиан перехода, правильные тела, формула.
4.8. Криволинейные интегралы первого рода (по длине кривой). // определение криволинейного интеграла первого рода, свойства, геометрическая и физическая интерпретации, формула для вычисления (параметрическое задание кривой, элемент длины, особенность пределов интегрирования).
4.9. Поверхностные интегралы первого рода (по площади). // определение поверхностного интеграла первого рода, свойства, геометрическая и физическая интерпретации,
формула для вычисления (правильная поверхность, связь элемента площади поверхности
с площадью его проекции, представление поверхности как множества уровня функции,
нормаль к поверхности и градиент этой функции, формула для косинуса угла, сведение
поверхностного интеграла к двойному интегралу).
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (задачи)
Изменение порядка интегрирования в повторных интегралах, вычисление двойного интеграла в прямоугольных и полярных координатах, вычисление объема тела.