6 Задача Лагранжа для функций многих переменных

Вариационное исчисление и методы оптимизации
Специальность – Математика
Курс – 3, семестр - 5
Часть 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Лекция № 6. Задача Лагранжа для функций многих переменных
Рассматривается задача минимизации интегрального функционала, зависящего от функции двух
переменных. Показывается, что необходимым условием минимума уравнение в частных
производных Остроградского. В качестве примера интеграл Дирихле и интеграл энергии
колебания струны.
6.1. Постановка задачи
Пусть задана область  на плоскости с границей S. Рассматривается функционал

v( x, y ) v( x, y ) 
I  I (v)   F  x, y, v( x, y ),
,
d ,

x

y



где F – известная функция своих аргументов, а неизвестная функция v  v ( x, y )
удовлетворяет граничному условию
v( x, y )   ( x, y ), ( x, y)  S
(6.1)
а  – заданная функция на S. Ставится следующая задача.
Задача 6. Найти функцию v  v ( x, y ) минимизирующую функционал I при выполнении
граничных условия (6.1).
6.2. Уравнение Остроградского
Для анализа поставленной задачи вновь воспользуемся описанным ранее методом.
Пусть u есть решение задачи. Определим функцию одной переменной
f  f ( )  I (u   h),
где  – число, а h – достаточно гладкая функция, определенная в области  и
удовлетворяющая однородным граничным условиям
h( x, y )  0, ( x, y )  S .
(6.2)
Тогда величина вариация u   h удовлетворяет граничному условию (6.1).
Функционал I достигает своего минимума в точке u тогда и только тогда, когда число 0
является точкой минимума функции f. Найти производную этой функции в данной точке
(если таковая, конечно, существует) и приравняем ее нулю. Для достижения
дифференцируемости функции f предположим, что функция F является достаточно
гладкой. Обозначим через Fu , Fux ,..., Fu y частные производные от функции F по третьему,
четвертому и пятому аргументам. Тогда справедливо следующее утверждение:
Лемма 6.1. При достаточной гладкости функции F существует производная функции
f в нуле, равная
 


u u  
u u  
u u  
F
x
,
y
,
u
,
,

F
x
,
y
,
u
,
,

F
x
,
y
,
u
,
,  d .
u 
u 


  u 
x y  x x 
x y  y y 
x y  
Доказательство. Определим величину

(u   h) (u   h) 
f ( )  I (u   h)   F  x, y, u   h,
,
d .

x

y



Пользуясь разложением в ряд Тейлора, находим значение



 (u   h)  (u   h) 
u u 
u u 
F  x, y, u   h,
,
  F  x, y, u, ,   Fu  x, y, u, ,   h 
x
y
x y 
x y 






u u  h
u u  h
 Fux  x, y, u, ,  
 Fu y  x, y, u, ,  
  ( ),
x y  x
x y  y


где  ( ) /   0 при   0. Отсюда следует равенство

u u 
f ( )  f (0)    Fu  x, y, u, ,  hd  
x y 


 

u u  h
u u  h  ( ) 
   Fux  x, y, u , ,   Fu y  x, y, u , ,  
d .

x

y

x

x

y

y







После деления на  и перехода к пределу при   0, получаем

u u 
f (0)   Fu  x, y, u , ,  hd  
x y 


 

u u  h
u u  h 
   Fux  x, y, u , ,   Fu y  x, y, u , ,   d .
x y  x
x y  y 



Справедливы равенства
Fux

h
Fux h 
h  Fux
,
x
x
x
Fu y

h
Fu y h 
h  Fu y
.
y
y
y
В результате предшествующее соотношение может быть записано в следующем виде





u u 
f (0)   Fu  x, y, u , ,  hd  
x y 


 Fux Fu y



 
Fux h 
Fu y h  d    


x

y

x
y









 hd .

(6.3)
Согласно формуле Грина для любых достаточно гладких функций P  P( x, y ) и
Q  Q( x, y) справедливо равенство
 P
Q 
  x  y  d     Pdy  Qdx .

S
Полагая здесь
P  Fux h, Q  Fuy h,
будем иметь



  x  F h   y  F h  d    h  F
ux
uy

ux

dx  Fu y dy .
S
Выражение в левой части этого равенства равно нулю в силу условия (6.2). В результате
соотношение (6.3) принимает следующий вид

Fux Fu y
f (0)    Fu 


x
y

т.е. условия леммы действительно имеют место. 

 hd ,

Правая часть последнего равенства (5.4) по-прежнему называется вариацией
функционала I в точке u по направлению h и обозначается через  I (u , h). Итак, в том
случае, когда u является решением задачи Лагранжа и существует вариация функционала
I по любому направлению h, справедливо соотношение

Fux Fu y
 I (u , h)    Fu 



x
y


 hd   0

(6.4)
для любых функций h, удовлетворяющих граничным условиям (6.2).
Справедливо следующее утверждение, являющееся многомерным аналогом
рассмотренной ранее основной леммы вариационного исчисления:
Лемма 6.2. Если для некоторой непрерывной функции g  g ( x, y ) справедливо
равенство
 ghd   0

для любой непрерывной функции h  h( x, y ), то функция g тождественно равна нулю.
Пользуясь леммой 6.2, из соотношения (6.4) выводим следующее утверждение:
Теорема 6.1. Если достаточно гладкая функция u является решением задачи 6, то она
удовлетворяет уравнению Остроградского



u u  
u u  
u u 
Fu  x, y, u, ,   Fux  x, y, u, ,   Fu y  x, y, u, ,   0, (x, y) . (6.5)
x y  x
x y  y
x y 



Уравнение Остроградского представляет собой уравнение в частных производных
второго порядка. Оно рассматривается совместно с граничными условиями
u ( x, y )   ( x, y ), ( x, y )  S .
(6.6)
6.3. Интеграл Дирихле.
Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется минимизировать функционал
 v 2  v 2 
I (v)        d ,

 x   y  
называемый интегралом Дирихле, на множестве всех функций v  v( x, y ),
удовлетворяющих граничному условию (6.1). В данном случае функция F характеризуется
равенством
F ( x, y, v, p, q)  p 2  q 2 .
Тогда входящие в уравнения (6.5) ее частные производные определяются по формулам.



u u 
u u 
u
u u 
u
Fu  x, y, u, ,   0, Fux  x, y, u, ,   2 , Fu y  x, y, u, ,   2 .
x y 
x y 
x
x y 
y



В результате уравнение Остроградского (6.5) принимает следующий вид
 2u  2u
(6.7)

=0,
x 2 y 2
т.е. является уравнением Лапласа, которое рассматривается совместно с граничным
условием (6.6). Итак, функция минимизирующая интеграл Дирихле удовлетворяет
уравнению Лапласа с указанным граничным условиям, т.е. соответствующей задаче
Дирихле.
6.4. Многомерный интеграл Дирихле.
Пусть  есть открытая ограниченная n-мерная область с границей S. Рассматривается
задача минимизации функционала
 2  v 2

dx
I (v )     

2
vg


x


 i 1  i 
среди всех функций v  v ( x ), удовлетворяющих граничному условию
v( x)   ( x), x  S ,
где x  ( x1 ,..., xn ) , а функции g и  известны. Функционал I также называют интегралом
Дирихле.
Пусть u есть решение задачи. Определим функцию
f  f ( )  I (u   h),
где  – число, а h – достаточно гладкая функция, определенная в области  и
удовлетворяющая однородным граничным условиям
h( x)  0, x  S .
Найдем производную
 2 u h

f (0)  2 
 ug dx.
xi xi

  i 1
Пользуясь формулой Грина, получаем
2
u h
u
dx    uhdx   hdx    uhdx.
n
i xi

S

  x
 i 1
В результате приходим к равенству
  u  g  hdx  0.

Отсюда в силу произвольности функции h следует соотношение
u  g ,
называемое уравнением Пуассона. Таким образом, решение задачи минимизации
интеграла Дирихле удовлетворяет задаче Дирихле для уравнения Пуассона.
6.5. Колебание струны
Рассмотрим процесс колебания струны. Он описывается функцией u  u ( x, t ),
выражающей отклонение струны о положения равновесия в точке х в момент времени t.
Анализ системы будем вновь проводить с помощью принципа наименьшего действия,
согласно которого события развиваются таким образом, чтобы затраты энергии в
процессе движения были минимальными.
Определим энергию колебания струны. Как обычно, она складывается из
кинетической и потенциальной энергии. Кинетическая энергия струны зависит от
скорости ее движения и равна
K=
m(ut )2
,
2
где m – масса струны, а ut есть производная функции u по переменной t, т.е. скорость.
Струна изготовлена из некоторого материала, характеризуемого плотностью . Мы
представляем струну как пространственно одномерный объект, пренебрегая изменением
характеристик струны по ее сечению. В этом случае плотность представляет собой
количество вещества (т.е. массу), приходящееся на единицу длины струны. Тогда масса
струны, имеющей длину X, равна X. Тем самым кинетическая энергия такой струны
будет определяться по формуле
 (ut )2
K=
2
Х.
Полученная формула предполагает неизменность характеристик струны по ее длине. В
нашем случае скорость струны (а, возможно, и плотность, если струны изготовлена из
неоднородного материала) меняется по ее длине. Таким образом, указанная формула
будет верна, если ее отнести к сколь угодно малому участку длины dx. В результате
приводим к соотношению
 (ut )2
dK =
2
dx.
Тогда кинетическая энергия струны длиной X равна интегралу
Х
 (ut ) 2
K
2
0
dx.
Определим потенциальную энергию струны, которая характеризуется работой,
затраченной в процессе движения струны. Работа есть произведение силы на пройденный
путь. Если струна двигалась со скоростью ut , то за время Т она пройдет путь ut T. Если этот
путь пройден под действием силы F, то при этом выполнена работа F ut T.
Определим значение силы F. Будем полагать, что единственная действующая на
струну сила обусловлена ее натяжением. Предположим, что струна является достаточно
гибкой, т.е. не сопротивляется изгибу. Тогда сила ее натяжения (или просто, натяжение) k
направлена по касательной к профилю струны (см. рис. 6.1). В случае малых колебаний
натяжение k постоянно и может считаться параметром процесса. Мы учитываем лишь
поперечные колебания струны, т.е. колебания в направлении, перпендикулярном оси х,
направленной по длине струны. В этом случае в выражение для искомой силы должно
входить не само натяжение, а его проекция на ось u. В результате получаем равенство:
F = k sin ,
где  – угол наклона касательной к профилю струны в данной точке (см. рис. 6.1).
u
k
F

u(х,t)
х
х
Рис. 6.1. Натяжение k направлено по касательной к профилю струны.
Мы ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний струны. Известно, что синус
малого угла достаточно близок к его тангенсу. Однако, тангенс угла наклона касательной
к кривой, характеризующей зависимость функции u от аргумента х, равен производной
ux  u / x. В результате с достаточно большой точностью выполняется равенство
F = k tg = k ux .
Оценим действие сил натяжения струны, начинающейся в точке x  0 и
заканчивающейся в точке x  Х . Тогда искомая сила F равна разности сил F1 и F2 на
концах рассматриваемого участка (см. рис. 6.2). Таким образом, находим значение силы
F = kux
x X
 kux
x 0
.
k
F1
xL
k
F2
x0
Рис. 6.2. Действие сил натяжения струны длиной Х.
Учитывая представление силы F, находим значение потенциальной энергии
U  k  ux
x X
u x
x 0
u T  k
ux
x X
t
u x
x 0
Х
ut ХT .
В эту формулу входит значение скорости ut , которое не привязано к какой-то
конкретной точке струны и к какому-то моменту времени. Тем самым при выводе данной
формулы предполагается, что скорость остается неизменной во всех точках струны и в
любой момент времени. Кроме того, входящие в данную формулу производные ux на
концах струны не связаны с каким-то конкретным моментом времени, а значит,
считаются усредненными. Поскольку в действительности функция u, а значит, и ее
производные, зависят от времени и пространственной переменной, то указанная формула
будет иметь смысл в том случае, когда она относится к сколь угодно малым интервалам
dx и dt. В результате мы приходим к следующему соотношению
dU = k uxx ut dx dt.
Тогда при перемещении струны длиной X за время нуля до некоторого момента t
выполняется работа
t Х
U    ku xx ut dxdt.
0 0
Справедливо равенство
X
u
X
u dx  u x ut
xx t
xL
 u x ut
x 0
0
  u x utx dx.
0
Предположим для простоты, что концы струны жестко закреплены, а значит, скорость их
движения равна нулю. Тем самым выполнены условия
ut(0,t) = 0, ut(X,t) = 0.
В результате находим следующее представление для работы:
t Х
U     ku x u xt dxdt.
0 0
Подынтегральное выражение можно преобразовать с помощью равенства

2
 ux   2u xu xt .
t
Тогда работа, затраченная на вывод системы из положения равновесия в начальный
момент времени в некоторое текущее состояние, равна
t Х
Х
k

k
2
U      u x  dxdt   u x ( x, 0) 2  u x ( x, t ) 2 dx.
2 0 0 t
20
Учитывая, что при t = 0 струна находилась в положении равновесия, установим, что
ux ( x, 0)  0. В результате получаем формулу
Х
U 
k
u x ( x, t ) 2 dx.
2 0
В результате находим энергию колебания струны
Х
1
E     (ut ) 2  k (u x ) 2 dx.
20
Тогда затраты энергии на интервале времени от 0 до Т равны
T Х
I
1
  (ut ) 2  k (u x ) 2 dxdt.


200
Согласно принципу наименьшего действия струна движется таким образом, чтобы
затраты энергии в процессе движения были минимальными. Таким образом, мы получаем
задачу минимизации функционала I. Тогда закон движения получается как уравнение
Остроградского для рассматриваемой вариационной задачи. В данном случае оно
принимает вид
  
  k
2
2
(ut )  
(ux )   0.
t ut  2
 x ux  2

В результате получаем соотношение

 2u
 2u

k
0
t 2
x 2
или
2
 2u
2  u
a
,
t 2
x 2
где a 2  k /  . Полученное выражение называется уравнением колебания струны.
Литература
1. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. – М., ГИТТЛ, 1956. – С. 112-122.
2. Будылин А.М. Вариационное исчисление. – Санкт-Петербург, СПбГУ, 2001. –
http://www.newlibrary.ru/book/budylin_a_m_/variacionnoe_ischislenie.html . – Раздел 5.5.
3. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М., Физматгиз, 1961. – С. 28-31, 151167.
4. Гурса Э. Курс математического анализа. Том 3. Часть 2. Интегральные уравнения.
Вариационное исчисление. – М.-Л., Гостехиздат, 1934. – С. 229-230.
5. Краснов М.Л., Макаренко Г.И, Киселев А.И. Вариационное исчисление. – М., Наука, 1973. – С.
67-73.
6. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Основы вариационного исчисления. Том 2. – М., ОНТИ,
1935. – С. 143-148.
7. Михлин С.Г. Курс математической физики. – М., Наука. – 1968. – С. 72-75.
8. Смирнов В.И., Крылов В.И., Канторович Л.В. Вариационное исчисление. – Л., 1933. – С. 20-24,
80-82.
9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М., Наука, 1969. –
С. 312-317, 321-322.