Урок по теме «Формула суммы первых n членов

Урок по теме:
Формула суммы первых n членов
арифметической прогрессии
9 класс
Учебник: «Алгебра 9 класс», под ред. С. А. Теляковского. 2011 г.
Средства обучения: доска, учебник, дидактический материал, презентация.
Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
 Деятельностная цель: формирование способности учащихся к новому
способу действия.
 Образовательная цель: расширение понятийной базы за счет включения
в нее новых элементов.
Задачи:
 предметные: повторить определение арифметической прогрессии,
формулы n-го члена, свойство членов прогрессии; вывести формулу
суммы первых n членов арифметической прогрессии, сформировать у
учащихся умения применять данную формулу при решении задач;
 развивающие: развитие способностей к обобщению, сравнению;
эмоционального восприятия математических объектов;
 воспитательные: формирование представлений о математике как
способе познания, сохранения и гармоничного развития мира, как
части общечеловеческой культуры.
Этапы урока:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Организационный момент.
Актуализация знаний.
Постановка проблемы.
Постановка учебной задачи.
«Открытие» нового знания.
Первичное закрепление.
Домашнее задание.
Рефлексия деятельности (итог урока).
Ход урока
Учитель
Ученик
1. Организационный момент
Ученики приветствуют учителя.
Учитель приветствует учащихся,
Садятся.
высказывает добрые пожелания.
Эпиграф к уроку «С малой удачи
начинается большой успех»
2. Актуализация знаний
Ученики отвечают на вопросы.
Вопросы:
 дайте определение
арифметической прогрессии;
 напишите формулу n-го члена
арифметической прогрессии;
 назовите свойство членов
арифметической прогрессии.
Ответы:
Задания для устной работы:
1. у1 = 5 • 1 + 1 = 6;
1. Последовательность уn задана
у4 = 5 • 4 + 1 = 21;
формулой n-го члена:
у20 = 5 • 20 + 1 = 101;
уn = 5n + 1.
у100 = 5 • 100 + 1 = 501.
Найдите у1, у4, у20, у100.
2. 0 = 15 - 3n;
-3 = 15 - 3n;
2. Последовательность задана
3n = 15;
3n = 18;
формулой аn = 15 - 3n.
n = 5.
n= 6.
Найдите номер члена
последовательности, равного
0; -3.
3. d = -2 -3 = -5;
3. Зная, первые два члена
а3 = -2 + (-5) = -7;
арифметической прогрессии 3; а4 = -7 + (-5) = -12;
2; …, найдите следующие за
а5 = -12 + (-5) = -17;
ними четыре ее члена.
а6 = -17 + (-5) = -22.
4.
4. (уn): 3; 7; … - арифметическая
1). d = 7 – 3 = 4;
прогрессия. Найдите: 1). d. 2).
2). а17 = 3 + 4(17 – 1) = 68;
а17. 3). Составьте формулу n-го
3). аn = 3 + 4(n – 1);
члена арифметической
аn = 4n – 1.
прогрессии.
Регулятивные, коммуникативные
УУД
3. Постановка проблемы
Классу предлагается решить несколько Предлагают различные варианты
занимательных задач.
решения.
1) Можно ли циферблат часов
Верный ход решения.
разделить на 6 частей так, чтобы в
а). Сумма всех чисел, обозначенная
каждой части находилось по два
на циферблате равна 78, т.е. 1 + 2 +
числа, причем суммы этих двух чисел 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +11 +
в каждой из шести частей были бы
12 = 78.
равны между собой?
б). А так как нам нужно циферблат
разделить на 6 частей, то получаем
78 : 6 = 13.
Ответ. Циферблат можно разделить
на 6 равных частей.
2) Не прибегая к
последовательному сложению,
сосчитать, сколько очков на всех
десяти косточках домино.
А теперь рассмотрим арифметическую
прогрессию, представляющую собой
ряд натуральных чисел, и найдем
сумму ста первых ее членов.
Совет мудреца
Задача очень не проста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Давным-давно один мудрец
Сказал, что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.
Пять первых связок изучи,
Найдешь к решению ключи!
Замечание. Сначала открывается
а). Приходим к необходимости
вычислить сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +
6 + 7 + 8 + 9 + 10.
б). Образуем пары чисел, которые
нужно сложить: 1 и 10, 2 и 9, 3 и 8, 4
и 7, 5 и 6.
в). Сумма очков в каждой паре
равна 11, а таких пар пять, находим
11• 5 = 55.
Ответ. 55.
Регулятивные, познавательные
УУД
первое четверостишье. Если учащиеся
ответ не дадут, то учитель
открывает подсказку – остальную
часть стихотворения.
Сколько таких пар?
Как вычислить сумму?
Рассказать учащимся о маленьком
Карле Гауссе, который решил эту
задачу, будучи 10-летним учеником.
Учащиеся предлагают сложить пары
чисел 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т.д.,
замечают, что сумма одинаковая.
Ответ. 50.
Ответ. Сумма равна 101 • 50 = 5050.
Когда учитель предложил ученикам
третьего класса сложить все числа от 1
до 100 включительно, рассчитывая при
этом надолго занять их работой,
маленький Карл моментально подошел
с готовым ответом. Возможно, он
заметил, что каждая из сумм 1 + 100, 2
+ 99, 3 + 98, … равна 101, а таких сумм
50.
Учащиеся рассказывают
исторические сведения о том, что
многочисленные исследования К.
Гаусса в области алгебры, теории
чисел и математического анализа
оказали значительное влияние на
развитие теоретической и
прикладной математики,
астрономии, физики.
Личностные, познавательные
УУД
4. Постановка учебной задачи
Обсуждение затруднений («Почему
Ответ учащихся: не знаем формулу,
возникли затруднения?», «Чего мы
как найти сумму первых n членов
еще не знаем?»); проговаривание цели любой арифметической прогрессии.
урока в виде вопроса, на который
предстоит ответить, или в виде темы
урока.
5. «Открытие» нового знания
С помощью рассуждений,
Путем рассуждений учащиеся
аналогичных тем, которые мы провели выводят формулу, учитывая то, что
при вычислении суммы первых ста
сумма членов арифметической
натуральных чисел, можно найти
прогрессии, равностоящих от ее
сумму первых n членов любой
концов, есть величина постоянная.
арифметической прогрессии.
Что получится, если в формулу
вместо аn подставить формулу n-го
члена арифметической прогрессии?
Замечание. При вычислении суммы
первых n членов арифметической
прогрессии учащиеся могут
использовать ту из двух формул,
применение которой в каждом
конкретном случае более
целесообразно.
Ответ. Еще одна формула для
вычисления суммы первых n членов
любой арифметической прогрессии.
Регулятивные, познавательные
УУД
6. Первичное закрепление
В процессе первичного закрепления
Учащиеся записывают решение в
примеры решаются с
тетрадях.
комментированием. В ходе работы
учитель оказывает помощь учащимся
класса.
Решение.
№ 610. Найдите сумму членов
а15 = 10 + 14•3 = 52,
арифметической прогрессии с
а30 = 10 + 29•3 = 97.
пятнадцатого по тридцатый
Найдем номер последнего члена
включительно, если первый член 10 и этой прогрессии:
разность равна 3.
97 = 52 + (n-1) • 3, n = 16
S16 = (52 + 97) • 16 : 2 = 1192.
Ответ. 1192.
№ 616. Шары расположены в форме
треугольника так, что в первом ряду 1
шар, во втором – 2, в третьем – 3 и т.д.
Во сколько рядов размещены шары,
если их число равно 120?
Решение.
Так как количество шаров в ряду
равно номеру ряда, составим
последовательность: 1; 2; 3; …; n.
Тогда количество всех шаров,
размещенных в n рядах – это сумма
первых n членов арифметической
прогрессии.
Sn = (1 + n) • n: 2, Sn = 120.
Решая уравнение n2 + n – 240 = 0,
получим n = 15.
Ответ. 15.
Регулятивные УУД
7. Домашнее задание
Учитель разъясняет выполнение
Учащиеся выполняют работу в
домашнего задания.
тетрадях.
Заполните таблицу, где (аn) арифметическая прогрессия. а1 –
первый член арифметической
прогрессии, аn – n-ый член
арифметической прогрессии, n – число
ее членов, Sn – сумма первых n членов
арифметической прогрессии, d –
разность прогрессии.
Ответ.
а1
8
14
4
5
84
d
5
3
-7
-4
n
33
аn
Sn
1848
26150
33
-1656
а1
8
14
4
5
84
d
3
5
3
-7
-4
n
33
100
33
23
25
аn
104
509
100
-149
-12
Sn
1848
26150
1716
-1656
900
8. Рефлексия деятельности (итог урока)
Учитель подводит итог урока,
Оцени себя сам
оценивает работу учащихся,
На уроке было
выставляет отметки, комментируя их,
комфортно
просит каждого ученика нарисовать
и все понятно
смайлик соответствующий его
эмоциональному состоянию.
На уроке немного
затруднялся, не все
понятно.
Вопросы:
 какую задачу ставили?
 Удалось решить поставленную
задачу?
На уроке было трудно,
ничего не понял.
 Каким способом?
 Какие получили результаты?
 Где можно применить новые
знания?
СПАСИБО ЗА УРОК !