2 курс Туризм Основная литература

2 курс Туризм
Основная литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика: учебное пособие.– 12-е
изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 2010. – 336 с.
Дополнительная литература
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М: Наука, 2001. – 872 с.
2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1 – М.: Наука, 1998. 616
с.
3. Ильин В.А. Линейная алгебра: М.: Наука, 2002, 356 с.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. 2-е издание. –
М.: Айрис-пресс, 2004. – 608 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.1. – М.: МГУ, 2002. – 403 с.
Тема 1. Теория вероятности
1. Игральная кость бросается два раза. Если
– вероятность того, что сумма
выпавших очков равна пяти, то значение
равно …
Решение
Для вычисления вероятности события (сумма выпавших очков будет равна пяти)
воспользуемся формулой
где n – общее число возможных элементарных
исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих
появлению события A. В нашем случае возможны
элементарных исхода
испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида
и
то есть
Следовательно,
Тогда
2. В урне лежат 12 белых и 8 черных шаров. Наудачу по одному извлекают три шара
без возвращения. Тогда вероятность того, что все три шара будут белыми, равна …
Решение
Введем обозначения событий:
– i-ый вынутый шар будет белым,
шара будут белыми. Тогда
события
и
– все три
Так как по условию задачи
зависимы,
то
Применив классическое
определение вероятности, вычислим вероятность
и условные
вероятности
Тогда
3. В первой урне 14 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 5 белых и 15 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Если
– вероятность того, что
этот шар окажется белым, то значение
равно …
Решение
ля вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим
формулу полной вероятности
, где
– вероятность того, что шар извлечен из первой урны;
шар извлечен из второй урны;
– вероятность того, что
– условная вероятность того, что вынутый шар
белый, если он извлечен из первой урны;
– условная вероятность того, что
вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда
Следовательно,
4. Для дискретной случайной величины
:
функция распределения вероятностей имеет вид
Тогда значения параметра
могут быть равны …
5. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины может
иметь вид …
Решение
Функция распределения вероятностей
обладает следующими свойствами:
1)
2)
– неубывающая функция;
3) если все возможные значения случайной величины
интервалу
то
при
и
Этим условиям удовлетворяют, например, функции
принадлежат
при
и
6. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее математическое ожидание равно …
Решение
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по
формуле
Тогда
7. В партии из 10 деталей имеется 4 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда
вероятность того, что среди отобранных деталей – одна бракованная, равна …
Решение
Для вычисления события A (среди отобранных деталей – одна бракованная)
воспользуемся формулой
где n – общее число возможных элементарных
исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих
появлению события A. В нашем случае общее число возможных элементарных
исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 10 имеющих,
то есть
А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов,
которыми можно извлечь две небракованные детали из шести и одну бракованную из
четырех, то есть
Следовательно,
8. В урне лежат 12 шаров, среди которых 10 шаров белые. Наудачу по одному
извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что все три шара будут
белыми, равна …
Решение
Введем обозначения событий:
– -ый вынутый шар будет белым, A – все три
вынутых шара будут белыми. Тогда
события
,
и
. Так как, по условию задачи,
зависимы (шары извлекаются без возвращения),
то
.
Применив классическое определение вероятности, вычислим
вероятность
и условные вероятности
. Тогда
,
.
9. Имеется пять урн, содержащих по 2 белых и 8 синих шаров, три урны, содержащие
по 3 белых и 7 синих шара, и две урны, содержащие по 4 белых и 6 синих шаров. Из
наудачу взятой урны извлекается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар
синий, равна …
Решение
Вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – синий) по формуле полной
вероятности
где
вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн;
что шар извлечен из второй серии урн;
из третьей серии урн;
вероятность того,
вероятность того, что шар извлечен
условная вероятность того, что вынутый шар синий,
если он извлечен из первой серии урн;
условная вероятность того, что
вынутый шар синий, если он извлечен из второй серии урн;
условная
вероятность того, что вынутый шар синий, если он извлечен из третьей серии урн. Так
как
то
10. Дискретная случайная величина
задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …
Решение
По определению
Тогда
а) при
.
,
,
б) при
,
в) при
,
г) при
,
,
,
.
Следовательно,
11. Непрерывная случайная величина
вероятностей:
задана функцией распределения
Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид …
Решение
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
вычисляется по формуле:
. Тогда
и
12. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно …
Решение
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Xопределяется
как
где дисперсию
дискретной случайной величины можно
вычислить по формуле
Тогда
а
Тема 2. Элементы математической статистики
1. Из
генеральной
совокупности
Тогда относительная частота варианты
Решение
извлечена
выборка
объема
:
равна …
Относительная частота
вычисляется по формуле
варианты
– объем выборки. Вычислим предварительно частоту
варианты
, а
как
, где
Тогда
2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
частот
которой
имеет
Тогда значение параметра a равно …
– частота
, гистограмма
вид
Решение
Так
как
объем
выборки
вычисляется
как
где
то
3. Медиана вариационного ряда 15; 16; 16; 17; 17; 17; 18; 19; 21; 22; 23; 25; 25; 27
равна …
Решение
Медианой вариационного ряда называется значение признака генеральной
совокупности, приходящееся на середину вариационного ряда. Так как в середине
данного ряда располагаются две варианты: 18 и 19, то медиана равна их средней
арифметической
4.
Из
генеральной
совокупности
извлечена
выборка
Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …
Решение
Несмещенная
оценка
математического
ожидания
формуле
5.
Из
объема
вычисляется
по
то есть
генеральной
совокупности
извлечена
выборка
объема
:
Тогда выборочная дисперсия равна …
Решение
Выборочную дисперсию можно вычислить по формуле
Тогда
6. Дан доверительный интервал
для оценки математического ожидания
нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка
математического ожидания равна …
Решение
Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного
количественного признака представляет собой интервал, симметричный относительно
точечной оценки. Тогда точечная оценка будет равна
7. Точечная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного
количественного признака равна 14,4. Тогда его интервальная оценка может иметь
вид …
Решение
Интервальной оценкой среднего квадратического отклонения
нормально
распределенного
количественного
признака
служит
доверительный
интервал
где q находят
по
при
,
соответствующей
или
таблице
Этому определению удовлетворяют, например, интервалы
при
,
приложений.
и
Вопросы к зачету по статистике туризма
1. Основные формулы комбинаторики. Примеры вычисления размещений,
перестановок, сочетаний.
2. Испытания и события. Виды случайных событий.
3. Классическое определение вероятности. Примеры вычисления вероятности.
4. Теоремы сложения вероятностей несовместимых событий. Примеры применения
теоремы.
5. Принцип практической невозможности маловероятных событий. Примеры
маловероятных и практически вероятных событий.
6. Произведение событий. Условная вероятность. Примеры.
7. Теорема умножения вероятностей. Примеры применения теоремы.
8. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Примеры.
9. Вероятность появления хоты бы одного события. Примеры.
10. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Примеры.
11. Формула полной вероятности. Примеры.
12. Вероятность гипотез. Формула Бейеса.
13. Дискретная и непрерывная случайные величины. Определения. Примеры.
14. Закон распределения вероятностей дискретной величины. Примеры.
15. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Примеры.
16. Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства математического
ожидания. Примеры.
17. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Примеры.
18. Дисперсия дискретной случайной величины. Примеры вычисления дисперсии.
19. Среднеквадратичное отклонение. Примеры.
20. Медиана. Мода. Примеры их вычислений.
21. Функция распределения случайной величины. Определение. Примеры задания
функции распределения.
22. Плотность распределения вероятности и ее свойства. Примеры.
23. Математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение непрерывной
случайной величины. Примеры.
24. Нормальное распределение. Математическое отклонение и среднеквадратичное
отклонение нормального распределения.
25. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
Пример.
26. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины.
Пример. Правило трех сигм.
Литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. Изд. 10-е, стер. –
М.: Высшая школа, 2010. – 479 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и
математической статистике. Изд. 5-е, стер. – М.: Высшая школа, 1999. – 400 с.
Контрольная работа по статистике туризма
Образцы решения задач
Пример 1. Испытание состоит в том, что бросают игральную кость один раз. Одним
из пространств элементарных событий этого испытания является A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6  ,
где Ak означает, что выпало k очков. Это испытание описывает и другое пространство
элементарных событий Aч , Aн  , где Aч - выпадение четного числа очков, Aн - выпадение
нечетного числа очков. В первом из этих пространств событие, означающее появление
четного числа очков, содержит три элементарных события: выпадение двух, четырех и
шести очков. Во втором пространстве событие, означающее появление четного числа
очков, само является элементарным.
Пример 2. Из 35 экзаменационных билетов, занумерованных с помощью чисел от 1
до 35, наудачу извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета
есть число кратное трем?
Решение. Так как билет вытягивается наудачу, то все исходы испытания
равновероятны и, кроме того, они несовместны. Число возможных исходов испытания
равно 35. Событие A означает, что номер вытянутого билета кратен трем. Этому событию
благоприятствуют 11 исходов испытания 3,6,9,...,33 . Вероятность события вычисляется
по формуле
m
p A  ,
n
где n - число исходов, m - число исходов испытания, благоприятствующих событию A .
Следовательно, в рассматриваемой задаче искомая вероятность равна
11
p  A 
.
35
Пример 3. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников,
причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти
вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие
A ).
Решение. Первый способ. Требование – хотя бы один из трех учебников в
переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из трех несовместимых событий:
B – один учебник в переплете, C – два учебника в переплете, D – три учебника в
переплете.
Интересующее нас событие представляется в виде суммы событий: A  B  C  D .
По теореме сложения
p A  p B  pC   p D .
Найдем вероятности событий B ,C и D :
1
p B   C51  C102 / C153 , p B   C52  C10
/ C153 , p B   C53 / C153 ,
n!
где C nm 
- число сочетаний из n сгруппированные по m элементов. Таким
m! n  m !
образом
p A  p B  pC   p D  45 / 91  20 / 91  2 / 91  67 / 91.
Второй способ. Обозначим A событие, означающее, что ни один из взятых
учебников не имеет переплета. События A и A противоположные, поэтому
p A  p A   1 . Отсюда p A  1  p A  . Вероятность появления события A :
p A   C103 / C153  24 / 91 . Поэтому искомая вероятность p A  1  24 / 91  67 / 91.
Пример 3. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из
которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность
того, что оба учебника окажутся в переплете.
Решение. Введем обозначения событий: A - первый взятый учебник имеет
переплет, B - второй взятый учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый
учебник имеет переплет p A  1  3 / 6  1 / 2 .
Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый
взятый учебник был в переплете, т.е. условная вероятность события B равна p A  B  2 / 5 .
Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме
умножения вероятностей событий равна
p A  B  p A  p A  B  1 / 2  2 / 5  1 / 5  0,2 .
Пример 4. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого
набора стандартная, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу
деталь – стандартная.
Решение. Обозначим через A событие «извлеченная деталь стандартная». Деталь
может быть извлечена ибо из первого набора (событие B1 ), либо из второго набора
(событие B2 ).
Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, p B1   1 / 2 . Вероятность
того, что деталь вынута из второго набора, p B2   1 / 2 .
Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная
деталь, p B  A  0 ,8 . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена
1
стандартная деталь, pB  A  0 ,9 .
Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь стандартная, по
формуле полной вероятности равна
p A  p B1   pB  A  p B2   pB  A  0,5  0,8  0,5  0,9  0,85 .
Пример 5. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на
стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к
первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь
будет признана стандартным первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная
деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь
проверил первый контролер.
Решение. Обозначим через A событие, что годная деталь признана стандартной.
Можно сделать два предположения:
1) деталь проверил контролер (гипотеза B1 );
2) деталь проверил контролер (гипотеза B2 ).
Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по
формуле Бейеса:
p B1  pB  A
p A  B1  
.
p B1  pB  A  p B2  pB  A
По условию задачи имеем:
вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру p B1   0,6 ;
вероятность того, что деталь попадает к0 второму контролеру p B2   0,4 ;
вероятность того, что годная деталь признана стандартной первым контролером
p B  A =0,94;
вероятность того, что годная деталь признана стандартной вторым контролером
pB  A =0,98;
2
1
2
1
1
2
1
2
Искомая вероятность pA  B1   0,6  0,9 / 0,6  0,94  0,4  0,98  0,59 .
Как видно, до испытания вероятность гипотезы B1 равнялась 0,6, а после того, как
стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее условная
вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы
Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.
Пример 6. Случайная величина X задана следующей таблицей распределения
вероятностей:
2
5
8
9
xi
0,1
pi
0,4
0,3
0,2
Найти математическое ожидание M  X  , дисперсию D X  , среднеквадратичное
отклонение  X  случайной величины.
Решение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X
называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие
вероятности
n
M  X    xi pi .
i 1
Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
2
D X   M  X  M  X  .
Дисперсию можно вычислить по формуле D X   M  X 2    M  X  .
Среднеквадратичным отклонением дискретной случайной величины называют
корень квадратный из дисперсии  X   D X  .
В рассматриваемой задаче математическое ожидание
2
n
M  X    xi pi  2  0,1  5  0,4  8  0,3  9  0,2  6,4 . Для вычисления дисперсии случайной
i 1
величины сначала найдем M  X 2 .
M  X 2   4  0,1  25  0,4  64  0,3  81  0,2  45,8 .
Тогда дисперсия D X   M  X 2    M  X   45,8  6,42  4,84 .
2
Среднеквадратичное отклонение  X   D X   4,84  2,2 .
Вариант 1
1. Укажите пространства элементарных событий следующих испытаний:
а) производится выстрел по мишени, представляющий собой 10 концентрических
кругов, занумерованных числами от 1 до 10;
б) проводится турнирный футбольный матч между двумя командами;
в) наудачу извлекается одна кость из полной игры в домино.
Можно ли составить несколько пространств элементарных событий для какого-нибудь
из этих испытаний? Если выделить пространство испытаний можно, опишите его.
2. Укажите, какие из следующих событий являются: 1) случайными, 2)
достоверными, 3) невозможными:
а) выигрыш по одному билету лотереи;
б) извлечение из урны цветного шара, если в ней находится 3 синих и 5 красных
шаров.
3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что заданным числом окажется
случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
4. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что
эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные
цифры.
5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном
выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того,
что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков. (Сумма
вероятностей).
6. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2
наудачу выбранные билеты окажутся выигрышными. (Произведение вероятностей).
7. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа
элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства,
если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. (Формула полной
вероятности).
8. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность
того, третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым,
вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4. (Формула Бейеса).
9. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение
случайной величины X , заданной таблицей распределения вероятностей:
2
3
6
7
8
10
xi
0,1
0,2
0,2
0,15
0,1
pi
Вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение x  6 .
10. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10.
Варианта
-2
1
2
3
4
5
xi
2
1
2
2
2
1
частота ni
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормального распределения
признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи
доверительного интервала.
Вариант 2
1. Сколько элементарных событий содержит каждое из следующих случайных
событий:
а) сумма двух наудачу выбранных однозначных чисел равна двенадцати;
б) наудачу вырванный листок из нового календаря соответствует тридцатому числу.
2. Укажите, какие из следующих событий являются: 1) случайными, 2) достоверными,
3) невозможными:
а) получение абитуриентом 25 баллов на вступительных экзаменах в институте при
сдаче четырех экзаменов, если применяется пятибалльная система оценок;
б) выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика.
3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
равна: 1) одиннадцати, 2) двенадцати.
4. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что
эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные
цифры.
5. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38.
Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если
известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. (Сумма вероятностей).
6. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу
отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся
мужчинами. (Произведение вероятностей).
7. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984.
Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле. (Формула полной
вероятности).
8. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства
отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если
вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2,
0,4 и 0,3 (Формула Бейеса).
9. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение
случайной величины X , заданной таблицей распределения вероятностей:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
1/15
1/15
1/15
4/15
1/5
1/10
1/15
1/30
pi
Вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение x  3 .
10. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется
ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с
эмпирическим распределением выборки объема n=200
5
7
9
11
13
15
17
19
21
xi
15
26
25
30
26
21
24
20
13
ni
Вариант 3.
1. Укажите пространства элементарных событий следующих испытаний:
а) производится выстрел по мишени, представляющий собой 10 концентрических
кругов, занумерованных числами от 1 до 10;
б) проводится турнирный футбольный матч между двумя командами;
в) наудачу извлекается одна кость из полной игры в домино.
Можно ли составить несколько пространств элементарных событий для какого-нибудь
из этих испытаний? Если выделить пространство испытаний можно, опишите его.
2. Укажите, какие из следующих событий являются: 1) случайными, 2)
достоверными, 3) невозможными:
а) выигрыш по одному билету лотереи;
б) извлечение из урны цветного шара, если в ней находится 13 синих и 5 красных
шаров.
3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что заданным числом окажется
случайно названное двузначное число, цифры которого одинаковы.
4. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что
эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные
цифры.
5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном
выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,9. Найти вероятность того,
что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков. (Сумма
вероятностей).
6. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2
наудачу выбранные билеты окажутся выигрышными. (Произведение вероятностей).
7. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа
элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства,
если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. (Формула полной
вероятности).
8. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность
того, третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым,
вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4. (Формула Бейеса).
9. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10.
Варианта
0
1
2
3
4
5
xi
1
1
2
2
1
3
частота ni
Оценить с надежностью 0,99 математическое ожидание a нормального распределения
признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи
доверительного интервала.
10. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=31:
10,1
10,3
10,6
11,2
11,5
11,8
12,0
xi
1
3
7
10
6
3
1
ni
Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H0: 2  0,18 ,
приняв в качестве конкурирующей гипотезы H1: 2  0,18 .