1 Министерство общего и профессионального образования

Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Ростовский ордена Трудового Красного Знамени
государственный университет
Л.Н. Землянухина, И.Ю.Виноградова
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для студентов
механико-математического факультета
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
г.Ростов-на-Дону
1996
2
Методические указания рекомендованы к печати
заседанием кафедры исследования операций механикоматематического факультета РГУ,
ПРОТОКОЛ
№ 2
СОДЕРЖАНИЕ
от 3 октября 1996 г.
3
1. Выпуклые множества и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. Основные понятия и определения теории оптимизации . . . . . . . . .
8
3. Задача безусловной минимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4. Задача минимизации в общей постановке . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5. Задача минимизации с ограничениями-равенствами . . . . . . . . . . .
13
6. Задача минимизации с ограничениями-неравенствами. . . . . . . . . .
18
7. Задания для индивидуальной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4
При изучении любого типа задач оптимизации важное место занимает вопрос об
условиях оптимальности. Различают необходимые и достаточные условия
оптимальности. В простых случаях эти условия позволяют явно решить задачу. Кроме
того эти условия используются при построении и обосновании численных методов
решения задач оптимизации. В методических указаниях рассматриваются две темы из
курса "Методы оптимизации": выпуклый анализ, условия оптимальности. Понятия и
факты выпуклого анализа играют важную роль в теории и численных методах
оптимизации.
1. Выпуклые множества и функции
Определение 1. Выпуклой комбинацией p точек n-мерного евклидова пространс-
x 1, x 2,..., x p называется следующая линейная комбинация
 1x 1   2 x 2  ...   px p , где  i  0, i  1, p;  1   2  ...   p  1.
тва R
n
В случае
p = 2 при фиксированных  i
выпуклая комбинация геометрически есть
1
2
некоторая точка отрезка , соединяющего x , x .
Определение 2. Полная совокупность всех выпуклых комбинаций
p
точек
называется выпуклую оболочку, натянутой на эти точки .
Геометрически при p = 2 выпуклая оболочка - это отрезок, соединяющий
x1, x 2.
Можно дать и другие определения выпуклой комбинации двух точек (все они
эквивалентны).
Определение 3. Выпуклой комбинацией двух точек
комбинация
x  (1  ) x
1
2
x1, x 2
называется линейная
, где 0    1.
Определение 4. Выпуклой комбинацией двух точек
x1, x 2
называется точка
, где 0    1.
Определение 5. Множество V называется выпуклым, если оно содержит любую
выпуклую комбинацию любых двух своих точек , т.е.
x 1  ( x 2  x 1)
((x , x  V ) &(1, 2 1, 2  0, 1  2  1)  (1x   2 x  V ))
Геометрически выпуклость означает, что вместе с любыми двумя своими точками
выпуклое множество содержит отрезок, их соединяющий.
Рис.1. Пример выпуклого (слева) и невыпуклого (справа) множеств
5
Лемма 1. Пусть P — гиперплоскость n-мерного пространства:
n
P  {x  R n  ai x i  },
i 1
n
 — полупространство n-мерного пространства:   {x  R n  ai x i  }.
i 1
Тогда P и  — выпуклые множества.
Лемма 2. Пусть I - конечное или бесконечное множество индексов, X i (i I ) выпуклые множества. Тогда их пересечение X  I X i выпукло.
iI
Определение 6. Линейной комбинацией множеств X 1 ,..., X p называется множество
p
p
  i X i  {x R | x    i x i , x i X i , i  1, p}
i 1
n
i 1
где 1,...,  p - любые числа.
Лемма 3. Линейная комбинация выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Определение 7. Точка x называется внутренней точкой множества X , если
существует такое   0 , что x  B , где B - единичный шар радиуса  с центром в
начале координат. Множество внутренних точек множества X называется
внутренностью множества и обозначается int X .
Лемма 4. Замыкание и внутренность выпуклого множества выпуклы.
Теорема 1 (критерий выпуклости множества). Множество V выпукло тогда и
только тогда, когда оно содержит любую выпуклую комбинацию любого конечного
числа своих точек.
Определение 8. Пусть V непустое множество. Крайней точкой этого множества
называется такая точка x , которую нельзя представить в виде выпуклой комбинации
двух различных и отличных от нее точек этого множества.
Теорема 2 (о представлении выпуклого множества). Любую точку выпуклого,
замкнутого, ограниченного множества можно представить в виде выпуклой комбинации конечного числа крайних точек этого множества.
Определение 9. Пусть дана функция
f ( x ), определенная на выпуклом
множестве V : x V  R . Функция f ( x ) называется выпуклой, если для любых
точек x  и x  этого множества и для любых 1 и 2 ( 1, 2  0, 1  2  1) выполняется неравенство:
f (1 x   2 x )  1 f ( x )  2 f ( x ) .
n
Неравенство, определяющее выпуклую функцию, можно распространить на
любое конечное число точек.
6
Теорема 3. Пусть f ( x ) выпуклая функция на множестве V . Тогда для любого
1
2
конечного числа точек x , x , . . . , x
m
m
и 1,  2 , . . . ,  m  i  0,   i  1
i 1
имеет
место неравенство (неравенство Йенсена)
m
m
f (  i x )   i f ( x i ) .
i 1
i
i 1
Некоторые свойства выпуклых функций.
1. Пусть f ( x ) — выпуклая функция и  — некоторая скалярная величина, тогда
множество V  {x f ( x )   } является выпуклым множеством.
2. Пусть fi ( x ), i 1, m — выпуклые функции, определенные на выпуклом множестве
V , тогда линейная неотрицательная комбинация этих функций есть выпуклая
функция.
3. Если f ( x ) — выпуклая функция, определенная на выпуклом множестве V , то
g( x )  max(0, f ( x )) есть выпуклая функция.
4. Линейная функция является выпуклой функцией.
Определение 10. Пусть f ( x ) определена на выпуклом множестве V и пусть
x  V , x  V , ( x   x ) . Обозначим s  x   x  . Одномерным сечением f ( x ) в
точке x  в направлении s называется функция ()  f ( x   s) ,  [0, 1] .
Пример 1. Найти одномерное сечение функции f ( x )  2x1  x 2 , ( x1, x 2 ) R в
точке (1, 1) в направлении s  (1,-1).
2
Решение. Построим вектор x   s 
2
1I F1 I F
1  I
F



G
J G
JG
J.
H
1K H
1K H
1  K
Найдем теперь функцию
()  f ( x   s)  2(1  )2  (1  ) 
 22  5  1.
Эта функция является решением поставленной задачи.
Теорема 4. Функция f ( x ), x V выпукла тогда и только тогда, когда выпуклым является любое её одномерное сечение.
2
2
Пример 2. Доказать выпуклость функции f ( x )  2x1  x 2 на R .
Решение. Рассмотрим одномерное сечение этой функции в произвольной точке
( x1 , x 2 ) в производьном направлении. Имеем
( )  2  ( x1  s1)2  ( x 2  s2 )  2s12  2  (4 x1 s1  s2 )    (2x12  x 2 ).
Эта функция представляет собой линейную комбинацию линейной функции
(4 x1 s1  s2 )    (2x12  x 2 ) и функции 2 с коэффициентом 2s12  0. Так как функция
2 выпукла (это нетрудно проверить самостоятельно), то функция () — выпукла и,
2
следовательно, f ( x )  2x1  x 2 — выпукла.
7
Если функция f ( x ) дифференцируема, то через f ( x )  (
f
 x1
,
f
 x2
, ...,
f
 xn
)
F  f I (i, j 1, n) матрицу вторых
обозначим ее градиент, а через f ( x )  H  G
H x  x J
K
2
i
j
производных или гессиан.
Теорема 5 (критерий выпуклости для дифференцируемых функций). Пусть
функция f ( x ) определена на выпуклом множестве V и дважды непрерывно дифференцируема. Для того, чтобы функция была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы
гессиан этой функции, вычисленный в любой точке x V , являлся неотрицательно
определенной матрицей (или необходимо и достаточно, чтобы вторая производная
любого одномерного сечения была неотрицательной).
Для распознавания определенности матрицы применяется критерий Сильвестра .
Теорема 6 (критерий Сильвестра). Симметрическая матрица A является
положительно (неотрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все ее
угловые (главные) миноры положителны (неотрицательны).
Пример 3. Проверить на выпуклость функцию
f ( x )  x12  2x 22  x1 x 3  2x 2 x 3 .
Решение. Найдем частные производные второго порядка этой функции:
2
2
2
f
f
 f
 f
 f
f
x1
2
 f
2
 2x1  x 3 ,
 4,
2
 f
x 2
 4 x 2  2x 3 ,
 2,
2
 f
2
x 3
 x1  2x 2 ,
2
x1
 2,
x1x 2
 0,
 1,
x1x 3
 0.
x 2
x 2x 3
x 3
Найдем теперь гессиан данной функции и вычислим все угловые миноры гессиана:
F2 0
H G
0 4
G
1 2
H
I
2J;
J
0K
1
11  2, 12  4 , 13  0,
12 
2 0
2 1
4 2
 8, 22 
 1, 23 
 4,
0 4
1 0
2 0
 3  12.
Так как среди угловых миноров есть отрицательные, то функция не яаляется выпуклой.
Пример 4. Найти область выпуклости функции: f ( x )  13 x1  4 x1 x 2  x 2 .
3
Решение. Найдем гессиан данной функции. Имеем:
2
f
f
2 f
2 f
2
2  f
 x1  4 x 2 ;
 4 x1  3x 2 ; 2  2x1; 2  6x 2;
 4;
x1
x 2
x1
x 2
x1 x 2
3
8
2x
F
G
H4
H
1
IJ
K
4
;
6x 2
1  2x1 ; 2  6x 2 ;   12x1 x 2  16.
Для выпуклости функции необходимо потребовать неотрицательность угловых миноров. Итак область выпуклости функции
определяется неравенствами: x1  0, x 2  0, 3x1 x 2  4.
Упражнения:
1. Применяя неравенство Йенсена к соответствующим функциям, вывести следующие
неравенства:
а)
1
m
m
m
i 1
i 1
 x i  m  x i , где x i  0, i  1, m ;
F  IJ 1 , x  0,   0,    1 ;
F
  x IG
H KHx K
в)   x  ln F
H  e IK, x R ,   0,    1.
m
б)
m
i
i 1
i
i 1
m
i 1
i
i
m
i
i
i
m
i 1
i
xi
i
i 1
m
1
i
i
i
i 1
i
2. Проверить выпуклость функций:
2
а) f ( x )  1  x1  x 2 на R ;
2
б)
2
F
H IKна R .
n
f ( x )  ln  e
xi
n
i 1
x12
2
3. Показать, что функция f ( x ) 
выпукла на множестве X  {x R x 2  0}.
x2
4. Построить область выпуклости функции
3
3
а) f ( x )  x1  4 x 2  x1 x 2  4 x 2 ;
б) f ( x )  sin( x1  x 2 ).
5. Определить, при каких значениях a, b, c функция f ( x )  ax 1  2bx 1 x 2  cx 2
2
2
2
выпукла на R .
2. Основные понятия и определения теории оптимизации
В этом разделе приводится ряд фактов, относящихся к задаче минимизации в
общей постановке.
Запишем задачу на минимум в виде
f ( x)  min , x  X
(1)
При этом f ( x ) будем называть целевой функцией, X— допустимым множеством,
любой элемент x  X — допустимым решением (допустимой точкой) задачи (1).

Определение 11. Точка x  X называется точкой глобального минимума (глобальным решением) функции f ( x ) на множестве X , если
f ( x )  f ( x)
при всех
x X .
9
x  X называется точкой локального минимума (лоf ( x ) на множестве X , если существует число   0
Определение 12. Точка
кальным решением) функции
такое, что
f ( x )  f ( x)
где U  ( x

при всех
x  X I U  ( x ) ,
) — шар радиуса  с центром в точке x .
Если указанные неравенства выполняются как строгие при
что
x  x, то говорят,
x - точка строгого минимума в глобальном или локальном смысле.
Под оптимальным решением понимают точку глобального минимума.
Теорема 7 (об экстремумах выпуклой функции). Если f ( x ), x V  R —
выпуклая функция, то любой ее локальный минимум является также и глобальным и
множество точек минимума выпукло.
n
Определение 13. Задача (1) называется задачей безусловной оптимизации, если
X  R n , т.е. если она имеет вид:
f ( x )  min , x R n
(2)
При исследовании оптимизационных задач часто будет использована следующая
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на непустом ограниченном
замкнутом множестве конечномерного пространства достигает своих глобальых минимума и максимума.
Сформулируем и следствие из этой теоремы, которое будем использовать.
Следствие. Если функция непрерывна на R
n
и
lim f ( x )   , то f ( x )
x 
n
достигает своего глобального минимума на любом замкнутом множестве из R .
3. Задача безусловной минимизации
Рассмотрим задачу безусловной минимизации (2).
 f
 f
Пусть f ( x )  (  x1 ( x ),  x 2 ( x ), . . . ,
 f
 xn
( x )) — вектор первых частных произ-
n
водных (градиент) функции f в точке x R ;
F I
H Ki , j 1, n
f  ( x )   x fx
i
j
2
— матрица вторых частных производных (гес-
n
сиан) функции f в точке x R .
Следующие теоремы дают необходимые условия локального минимума.

n
Теорема 8. Пусть функция f дифференцируема в точке x R . Если
локальное решение задачи (2), то

f ( x )  0 .
x
—
10

x
n
Теорема 9. Пусть функция f дважды дифференцируема в точке x R . Если
— локальное решение задачи (2), то матрица
определена, т.е.
f ( x )
(гессиан) неотрицательно
df ( x )h, hi  0 при всех h R .

n
Достаточное условие локальной оптимальности содержит усиление требований

на матрицу f  ( x ) .

n
Теорема 10. Пусть функция f дважды дифференцируема в точке x R . Если
f ( x )  0 и матрица f ( x ) (гессиан) положительно определена, т.е.
f  ( x ) h , h  0 при всех h R n , h  0 ,
d
то
i
x — строгое локальное решение задачи (2).
Схема решения задачи (2):
1) выписать необходимое условие
f ( x )  0 ;

2) найти стационарные точки, т.е. решения уравнений f  ( x )  0 ;
3) отыскать оптимальные решения среди стационарных точек или доказать, что решения
нет.
Пример 5. Рассмотрим задачу
f ( x1 , x2 )  x14  x24  ( x1  x2)2  min
Очевидно, что lim f ( x )   , а из следствия
x 
теоремы Вейерштрасса вы-
текает, что глобальный минимум в задаче достигается. Используем необходимые
условия:
R
2x  (x  x )  0
S
T2 x  ( x  x )  0
3
1
3
2
1
2
1
2
Решая эту систему, находим стационарные точки (0,0), (1,1), (-1,-1). Теперь выпишем
гессианы в этих точках. Так как
F12 x  2 2 I,
G
H 2 12 x  2J
K
10 2I
F2 2IJ, f (1, 1)  f (1,  1)  F
то f  ( 0, 0)  G
G
H2 2K
H2 10J
K.
f  ( x ) 
2
1
2
2
С помощью критерия Сильвестра устанавливаем, что матрица
f (0, 0)
непо-
ложительно определенная, т.е. не выполняется необходимое условие минимума, значит
f (1, 1) и
точка (0,0) не является точкой локального минимума. Матрицы
f ( 1,  1) положительно определенные, т.е. выполняется достаточное условие; точ-
11
ки
(1,1)
и
(-1,-1)
f (1, 1)  f ( 1,
являются точками локального минимума. А поскольку
 1)  2 , то они доставляют и глобальный минимум, т.е. являются
оптимальными решениями.
Упражнения
Найти все решения следующих задач безусловной оптимизации:
4
4
2
2
2
1. f ( x )  2 x1  x2  x1  2 x2  min , x  R
2
2. f ( x )  x1  x2  4 sin x1  sin x2  min , x  R .
2 3
2
3. f ( x )  x1 x2 x3 ( 7  x1  2 x2  3x3 )  max , x  R .
x
x
2
4. f ( x )  x1e 1  (1  e 1 ) cos x2  ext, x  R .
4. Задача минимизации в общей постановке
Рассмотрим задачу минимизации в общей постановке (1)
f ( x)  min , x  X
Условия оптимальности для задачи (1) даны в следующей теореме.
Теорема 11. Пусть в задаче (1) множество X выпукло, функция
f ( x ) дифферен-
цируема в точке x  X . Тогда для того, чтобы x  являлось локальным решением задачи (1) необходимо, а в случае выпуклости f ( x ) на X и достаточно, чтобы выполнялось условие
bf ( x) , x  xg 0 при всех x  X
(3)
Полезно конкретизировать условие (3): если
то (3) эквивалентно условию
x  внутренняя точка множества X,
f  ( x )  0
(4)
А это известный результат для задачи безусловной оптимизации.
o
t
n
Пусть теперь множество X имеет вид X  x R aj  x j  bj , j  1, n , где
  a j  bj   , j  1, n . Тогда (3) эквивалентно условию
R
 0, если a < x  < b
 f ( x ) |
S 0, если x   a  
x |
T 0, если x   b  .
j
j
Рассмотрим
o
случай,
t
j
j
j
j
j
когда
j,
(5)
,
множество
X
имеет
вид
X  x R n x j  0, j  1, n . Тогда (3) эквивалентно системе условий:
 f ( x )
 f ( x )
 0 , x j 
 0, j  1, n
xj
xj
В простейших случаях полученные результаты позволяют явно решить задачу.
(6)
12
Схема решения задачи (1):
b
g
1) выписать необходимое условие f  ( x ) , x  x  0 ;
2) найти все решения, удовлетворяющие этому условию;
3) отыскать среди них оптимальные решения или доказать, что решения нет.
Пример 6. Пусть требуется найти все (локальные и глобальные) решения задачи:
f ( x1, x 2 )  2 x12  x1  x 2  x 22  min
 1  x1  1, x 2  2.
Согласно теореме 11 и условиям (5) любое локальное решение ( x1,
x 2 ) задачи должно
удовлетворять следующим условиям:
R
|S 0, если  1  x  1,
|T 0, если x  1;
 0, если x  2,
 f (x ) R
S
 0, если x  2.
x T
1
 f (x )
 0, если x1  1,
 x1
(7)
1
2
2
(8)
2
Теперь необходимо составить шесть систем путем попарного комбинирования соотношений (7) и (8), затем найти решения каждой из систем, исследовать их на оптимальность. Однако проведем сперва анализ задачи. Функция f ( x ) является квадратичной с положительно определенной матрицей вторых производных (используется
критерий Сильвестра); следовательно, она строго выпуклая на R2 . Поэтому локальные
и глобальные решения совпадают и задача имеет единственное решение ,
удовлетворяющее условиям (7) и (8).
Рассмотрим первую систему
4 x  x  0,
R
|| 1  x  1,
S
||x  2 x  0,
T x 2
4 x  x  0,
второй R
|| 1  x  1,
S
||x  2 x  0,
T x 2
1
2
Она несовместна.
1
1
2
2
Перейдем
системы
к
рассмотрению
1
2
1
1
2
2
Просмотр оставшихся четырех систем излишен.
Ее решением является
(-1/2, 2). Это и есть
оптимальное решение
задачи.
13
Пример 7. Пусть требуется найти все оптимальные решения задачи:
f ( x )  x 3  ( 15 x 2  1)  extr , x  0
Воспользуемся необходимым условием оптимальности (6):
df ( x )
 x 4  3x 2  0, x  0, x  ( x 4  3x 2 )  0 .
dx
(2)
(1)
 3.
Имеем 2 точки: x  0 и x
Рис. 2. Графическое решение примера 7
y
x
Из графика функции (рис.2) видно, что
x (1) — точка локального максимума, точки
глобального максимума не существует,
x (2)
— точка глобального минимума, т.е.
оптимальное решение задачи на минимум.
Упражнения
1. При всех значениях вектора с решить задачи:
а)
б)
2
x  (c, x )  min , x  0 ,
x  (c, x )  min , x  0.
1
2
2. При каких значениях числа а точка (0, 0) является решением задачи
exp(a2 x1)  exp(a2 x 2 )  2ax1  x 2  min , 0  x1  1,  1  x 2  0 ?
3. Решить задачи:
2
2
а) 4 x1  x1 x 2  2x 2  min , 4  x1  8,  1  x 2  2;
б)
ax12  x1 x 2  x 22  min , 2  x1  3, 3  x 2  4, a  0.
5. Задача минимизации с ограничениями-равенствами
Рассмотрим классическую задачу на условный экстремум
f ( x )  min
(9)
gi ( x )  0, i  1, m
При исследовании задачи (9) важную роль играет функция Лагранжа
b
L ( x ,  0, )   0  f ( x )   , g( x )
n
m
где x R ,  0 R ,  R .
1
g
(10)
14
Определение 14. Стационарной точкой функции Лагранжа называется точка

( x ,  0,  ) , удовлетворяющая условиям
Lx ( x ,  0 , )  0
(11)
L ( x ,  0 ,  )  0
(12)
Lx ( x ,  0 , ) 
где
L  ( x ,  0 ,  ) 
F
L L
L I
,
,...,
G
J,
x K
H x  x
1
2
n
F
L L
L I
,
,...,
G
J,
 K
H 
1
2
m
m
L x ( x ,  0 , )   0 f ( x )    i gi( x ) , L ( x ,  0 , )  g( x ) .
при этом
i 1
f ( x ), g1( x ), . . . , gm ( x )


n
непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки x R . Если x —
Теорема
локальное
d
12
(Лагранжа).
решение
задачи
   1,  2 , . . . ,  m
(9),
Пусть
функции
то
существует
число
 0
и
вектор
i, не равные нулю одновременно и такие, что выполняется
условие (11). Если при этом градиенты
(условие регулярности), то
 0 0.
g1( x ), . . . , gm ( x ) линейно независимы
Как и в случае безусловной задачи оптимизации, стационарные точки задачи не
обязаны быть решениями. Здесь также существуют достаточные условия с привлечением вторых производных. Обозначим через
m
L xx ( x ,  0 , )   0 f ( x )    i gi( x )
i 1
матрицу вторых производных функции Лагранжа по координатам вектора x.
Теорема 13. Пусть функции f ( x ), g1( x ), . . . , gm ( x ) дважды дифференци
n
руемы в точке x R , удовлетворяющей (12), т.е.
gi ( x )  0, i  1, m . Предполо-
 0 и   выполняется условие (11) и, кроме того,
L xx
 ( x ,  0 ,  ) h, h  0
жим, что при некоторых
d
i
(13)
n
при всех ненулевых h R таких, что
dg( x ), hi  0, i  1, m .
i
Тогда
x

строгое локальное решение задачи (9).
(14)
15
Схема решения задачи (9):
1) составить функцию Лагранжа L ( x ,
2) выписать необходимые условия:
b
 0, )   0  f ( x )   , g( x )
g;
L x ( x ,  0 ,  )  0,
L ( x ,  0 ,  )  0.
3) найти стационарные точки, т.е. допустимые решения системы уравнений п. 2, в
которых не все множители Лагранжа
 0 ,  1 , . . . ,  m
равны нулю. При этом

следует рассмотреть случаи
Во втором случае можно положить  0
равным единице.
4) отыскать оптимальные решения среди стационарных точек или доказать, что
решения нет.
 0  0,
 0  0 .
Пример 8. Пусть требуется найти все оптимальные решения задачи:
3
2
x 12  x 22  min
x 13  x 23  1.
Так как в задаче одно ограничение, то условие регулярности выполняется.
Поэтому рассмотрим сразу регулярную функцию Лагранжа  0 1:
L ( x ,  )  23 x 12  x 22    ( x 13  x 23  1).
2
2
Поскольку L x ( x ,  )  3x 1  3 x 1 , 2 x 2  3 x 2
c
h
, стационарные точки удов-
летворяют следующей системе:
R
|S23xx  33xx  00,,
|Tx  x  1.
2
1
2
2
1
2
3
1
3
2
Эта система имеет три решения:
x1  0, x 2  1,    23 ,
2) x1  1, x 2  0,   1 ,
3
3
2
35
3) x 1 
.
,
x

,



2
3
3
3
35
35
1)
Теперь проверим достаточное условие минимума для каждой точки. Имеем:
L xx ( x ,  ) 
3  6 x
F
G
H0
1
0
2  6 x 2
IJ
K
Для указанных решений эта матрица принимает вид
A1 
3 0I
3 0I
3 0 I
F
F
F
A

A

,
,
G
H0 2J
K G
H0 2J
K G
H0 2J
K.
2
3
16
3x12 h1  3x 22 h2  0.
Для первого решения получаем 3 h2 =0 , т.е. h2 = 0. Проверим условие (13):
3h1 h1
Lxx

 3h12  0 для всех h1  0 . т.е. условие
 ( x ,  ) h, h  A1h, h 
0
0
Условие (14) имеет вид:
IJF
IJ
gb g F
G
G
H KHK
b
(13) выполнено и, следовательно, точка (0, 1) — строгое локальное решение задачи.
Для второго решения получаем 3 h1 = 0, т.е. h1 =0 и условие (13)
cL  (1, 0, 
xx
2
) h,
3
h
h  2 h22  0 для всех h2  0 , отсюда делаем вывод, что точка (1,0)
— строгое локальное решение задачи.
Теперь рассмотрим третье решение:
27 h1  12 h2  0  h2   94 h1,
FL  (
G
H
I F
IJF
IJ
G
G
J
K H KH K
3
3h1
h1
3
2
35
,
,

)
h
,
h


 3h12  818 h12  0 , для всех h1  0 ,
xx 3
9
9
3
 4 h1
3
35 35
2 h1
3
2
поэтому точка (
) не является решением задачи.
,
3
35 3 35
Пример 9. Найти размеры ящика наибольшего объема, у которого сумма длины
и поперечных размеров равна a ( a  0) .
Решение. Обозначим через x1, x 2, x 3 - длину, ширину и глубину ящика
соответственно. Тогда задача нахождение размеров сводится к решению следующей
оптимизационной задачи:
f ( x )  x1 x2 x3  max ,
x1  x2  x3  a ,
x  0.
Множество
допустимых
значений
ограничено,
так
как
0  x1  a, 0  x2  a, 0  x3  a, и замкнуто, поэтому решение существует. Отбросим
условия неотрицательности и найдем локальные максимумы задачи Лагранжа. Так как
в задаче одно ограничение, то условие регулярности выполняется. Поэтом рассмотрим
сразу регулярную функцию Лагранжа (  0  1):
L ( x ,  )  x1 x2 x3   1 ( x1  x2  x3  a ) .
L x ( x ,  )  ( x2 x3   1 , x1 x3   1 , x1 x2   1 )
Поскольку
точки удовлетворяют следующей системе:
R
|Sxx xx  
|Tx x  
2
3
1
1 3
1
1 2
1
 0,
 0,
 0.
стационарные
17
Эта система имеет четыре решения:
1) x1  a, x 2  0, x 3  0,  1  0 ;
2) x1  0, x 2  a, x 3  0,  1  0;
3) x1  0, x 2  0, x 3  a,  1  0 ;
a
a
a
a2
4) x1  , x 2  , x 3  ,  1   .
3
3
3
9
В силу того, что для первых трех решений значение функции равно 0, а для четвертого
a3
- , проверим достаточное условие минимума для четвертой точки. Имеем:
27
L  xx
F0
( x,  ) G
x
G
Hx
3
2
x3
0
x1
I
x J|
J
0K
x2
1
Для четвертого решения эта матрица принимает вид
A4
F0
G
Ga
G
3
G
a
G
H3
a
3
0
a
3
I
3J
aJ
JJ|
3
0J
K
a
Условие (14) имеет вид: h1  h2  h3  0 , т.е. h1   h2  h3 . Проверим условие
(13):
a a a
a2
2
( L  xx ( , , ,  ) h , h )  a ( (  h2  h3 ) h2  (  h2  h3 ) h3  h2 h3 ) 
3 3 3
9
3
2
1
3
  ( ( h2  h3 ) 2  h32 )  0
3
2
4
a a a
, ,
) - строгое локальное
3 3 3
решение задачи Лагранжа. Но найденная точка удовлетворяет условию неотрицательности, поэтому она является оптимальным решением задачи.
для всех
( h2 , h3 )  0 и, следовательно, точка (
Пример 10. Найти все оптимальные решения задачи:
f ( x )  x1 x2  x2 x3  max ,
x1  x2
 2,
x 2  x 3  2.
18
Введем функции ограничений :
g1 ( x)  ( x1  x2  2 ), g2 ( x)  ( x2  x3  2 ).
Так как векторы-градиенты
g1( x)  (1,1, 0 ), g2 ( x)  ( 0 ,1,1) линейно-независимы, то условие регулярности выполняется. Поэтом рассмотрим сразу регулярную
функцию Лагранжа (  0  1):
L( x, )  x1x2  x2 x3  1 ( x1  x2  2 )  2 ( x2  x3  2 ).
Поскольку Lx ( x ,  )  ( x2   1 , x1  x3   1   2 , x2   2 ) , стационарные точки
удовлетворяют следующей системе:
R
|Sx x
|T x
2
1
2
 1
 0,
 x 3   1   2  0,
  2  0.
Эта система имеет единственное решение: x  (1,1,1),   ( 1, 1) . Теперь проверим
достаточное условие минимума для этой точки. Имеем:
F0 1
L  ( x ,  )  G
1 0
G
H0 1
xx
I
1J
J
0K
0
.
Условие (14) имеет вид:
( g1 ( x ), h)  h1  h2
 0,
( g2 ( x ), h) 
h 2  h3  0,
получаем h1   h2 , h3   h2 . Проверим условие (13):
( Lxx ( x ,  ) h , h )  2h1h2  h2h3   4h22  0 , для всех h2  0 , т.е. условие (13) выполнено
и, следовательно, точка x  (1, 1, 1) — строгое локальное решение задачи. Покажем, что
эта точка является и глобальным решением, применив следствие из теоремы Вейерштрасса. Для этого преобразуем целевую функцию, исключив переменные x1 x1 , x3 с
помощью ограничений:
f ( x )  x1 x2 x2 x3  (2  x2 ) x2  x2 (2  x2 )  2 (2  x2 ) x2   2( ( x2  1) 2  1
Имеем
lim f ( x )   
x2 
2
, т.е. решение существует. Итак, точка x  (1, 1, 1) — оптималь-
ное решение задачи.
Упражнения
Найти все решения следующих задач условной оптимизации с ограничениямиравенствами
1.
f ( x)  x1x2 x3  min ,
x12  x22  x32  1,
x1  x2  x3  1;
2. f ( x)  x1x2  x2 x3  max,
x12  x22  2
x2  x3  2;
19
3.
4. f ( x )  x1 x2 x3  max ,
n
f ( x )   xi2  max ,
x12 x22 x32


 1.
a12 a22 a32
i 1
n
i  x
i
 1;
i 1
5.
f ( x )  3x12  2 x22  3x1  1  max ,
x12  x22  4;
6. f ( x )  2x12  x1  x 2  x 22  min ,
x12  2x 22  1.
6. Задача минимизации с ограничениями-неравенствами
Рассмотрим задачу вида
f ( x )  min ,
(15)
gi ( x )  0, i  1, m
x P  R n
и функцию Лагранжа (11), где x P, 0  0,   0. Под X будем понимать множество
допустимых решений задачи (15). Следующая теорема является центральной в теории
дифференциальных условий оптимальности.
Теорема 14. Пусть в задаче (15) множество P выпукло, функции
f ( x ), g 1( x ), . . . , g m( x ) дифференцируемы в точке x  P . Если x  — локаль-
ное решение задачи (15), то существуют число
нулю одновременно, и такие, что
cL  ( x , 

x

0
 0  0
и вектор
   0 , не равные
h
,   ), x  x   0 при x  P
(16)
 i  g i ( x  )  0, i  1, m .
n
Рассмотрим некоторые частные случаи для множества P. Если P  R , то задача
(15) принимает вид
f ( x )  min
g i ( x )  0, i  1, m .
(17)
Тогда (16) равносильно условиям
L x ( x ,  0 ,  )  0
 i  g i ( x  )  0, i  1, m .
(18)
Если P  {x R x j  0, j  1, s}, где 0  s  n, то задача (15) имеет вид
n
f ( x )  min
g i ( x )  0, i  1, m
x 0
тогда (16) равносильно совокупности условий:
(19)
20
 L ( x  ,  0 ,  )
 L ( x  ,  0 ,  )
 0, x j 
 0, j  1, s,
x j
x j
(20)
 L ( x  ,  0 ,  )
 0, j  s  1, n,
x j
 i  g i ( x  )  0, i  1, m .
 0 ,  1 , . . . ,  m определены условиями (16) с точ

ностью до положительной константы, т.е. если (  0 ,  ) удовлетворяет условиям (16),



то тем же свойством обладает ( a 0 , a ) при любом a>0. Если  0 >0, то можно
1


взять a   . Поэтому в теореме 14 можно рассматривать два случая:  0 =0 и  0 =1.
0

Любое дополнительное предположение о задаче (15), обеспечивающее случай  0 =1,
Множители Лагранжа
называют условием регулярности. Для такой задачи достаточно рассматривать лишь
функцию Лагранжа вида:
(21)
L (x ,  )  f (x )  , g(x )
b
g
Функцию (21) будем называть регулярной функцией Лагранжа.
В качестве условия регулярности будем рассматривать одно из следующих условий:
1)
(условие Слейтера) существует точка x   P такая, что g i( x )  0, i  1, m ;
2)
(модифицированное условие Слейтера) пусть g ( x ) ( i  1, k ; k  m) —
i
нелинейные
g i( x )  0,
функции;
i  1, k .
существует
точка
x  X
такая,
Теорема 15. Пусть в задаче (15) множество P выпукло,
f ( x ), g 1 ( x ), . . . , g m ( x ) дифференцируемы в точке x X ,
что
функции
функции
g 1 ( x ), . . . , g m ( x ) выпуклы на множестве P и выполняется условие регулярности.


Если x — локальное решение задачи (15), то существует вектор   0 , такой, что
для регулярной функции Лагранжа
cL  ( x ,  ), x  x h 0

x


при
x P
 i  g i ( x  )  0, i  1, m .
Приведем примеры, показывающие существенность условий теоремы 15.
(22)
21
Пример 11. Дана задача
 x 1  min
 x 12  x 2
0
x 12  x 22  1  0
x 0
2
2
2
Здесь g 1( x )   x 1  x 2 , g 2 ( x )  x 1  x 2  1.
Рис. 3. Графическое решение примера 11
x
2
x*
x1
Исходя из геометрических соображений (рис. 3), можно утверждать, что оптимальным

решением (точкой глобального минимума) является точка x =(1,0), а также, что
условие регулярности выполнено, но нарушено условие выпуклости для функции
g 1( x ) . Построим регулярную функцию Лагранжа.
L ( x ,  )   x1   1(  x 12  x 2 )   2( x 12  x 22  1) .
Проверим условия (20) для регулярной функции Лагранжа.
 L ( x , )
 1  2 1  x 1  2  2  x 1 ,
 x1
 L ( x , )
 1  2  2  x 2 .
 x2
Тогда, так как
 L ( x  , )
 L ( x , )
 0,
 0.
x  1  0, а x  0, то
 x1
 x2


Кроме того, т.к. g1( x )  1  0 и g2 ( x )  0, то 1  0,  2  0. .

1

2
Окончательно имеем следующую систему относительно множителей Лагранжа
:
1 и  2
22
1  2   0
R
||   0
S
||   0
 0
T
Система противоречива, т.е. условия (20) не выполнены.
1
1
1
2
Пример 12. Дана задача
x 1  min
x 12  0
x 1  R1 .
2
при этом g1( x )  x1 . Единственной допустимой точкой, а значит и решением задачи

является точка x 1  0. Условие регулярности не выполнено Построим регулярную
2
функцию Лагранжа L ( x , )  x1  1  x1 . Проверим условия (20) для регулярной
 L ( x , )
 L ( x , )
 1  21  x 1 . Тогда, т.к. x1 R 1, то
функции Лагранжа.
 0.
 x1
 x1

Кроме того, т.к. g1 ( x )  0 , то 1  0 .
Окончательно имеем следующую систему относительно множителя Лагранжа  1:
1 0
R
S
 0
T
Система противоречива, т.е. условия (20) не выполнены.
1
Сформулируем важнейший результат теории выпуклого программирования, ограничевшись рассмотрением задачи (19).
Определение 15. Задача нелинейного программирования
f ( x )  min
gi ( x )  0, i  1, m
x 0
называется задачей выпуклого программирования, если целевая функция f ( x ) выпукла на множестве x  0 и выпукло множество допустимых решений задачи X.
Выпуклость множества X
обеспечивается выпуклостью функций gi ( x ) ,
i  1, m на множестве x  0.
Теорема 16 (Куна-Таккера). Пусть задача (19) есть задача выпуклого програм
мирования и выполнятся условие регулярности. Тогда точка x является решением
задачи (19) в том и только том случае, если существует вектор
гулярной функции Лагранжа выполняются условия (20).
  0 такой, что для ре-
23
Изложенная теория позволяет найти в явном виде решение задачи математического программирования.
Схема решения задачи (19):
1)
2)
3)
4)
5)
проверить, является ли задача (19) задачей выпуклого программирования,
удовлетворяющей условию регулярности; если нет , то решение прекращается;
составить регулярную функцию Лагранжа;
составить систему условий (20);
найти решения составленной системы;
согласно теореме 16 сделать вывод, что все найденные решения системы
являются решениями задачи (19).
Пример 13. Решить следующую задачу:
( x 1  1) 2  4( x 2  5) 2  min
( x 1  1) 2  x 22  4
x 0
Покажем, что задача является задачей выпуклого программирования. Целевая
2
2
функция f ( x )  ( x1  1)  4( x 2  5) — выпуклая, т.к. ее гессиан
f ( x ) 
2 0
0 8
есть положительно определенная матрица. Кроме того, выполняется условие регулярности, что легко проверяется (точка x'=(1,1) ). Строим регулярную функцию Лагранжа
L ( x , )  ( x1  1)2  4( x 2  5)2  1(( x1  1)2  x 22  4) . Запишем условия (20).
Т.к.
 L ( x , )
 2( x 1  1)  2 1  ( x 1  1),
 x1
 L ( x , )
 8( x 2  5)  2 1  x 2 ,
 x2
то имеем
24
R|
S|
T
2( x1  1)  21  ( x1  1)  0
x1  (2( x1 1)  21  ( x1 1))  0
8( x 2  5)  22  x 2  0
x 2  (8( x 2  5)  22  x 2 )  0
( x1  1)2  x 22  4  0
1  (( x1  1)2  x 22  4)  0
x  0, 1  0
Данная система имеет единственное решение:
— точка
x1  1, x 2  2, 1  6. Поэтому вывод
x   (1,2) является оптимальным решением задачи.
Пример 14. Проверить, является ли точка
x   (1,0) оптимальным решением
задачи:
x 12  x 22  2 x 1  4 x 2  min
x 12  x 22  13,
3x 1  x 2  3,
x  0.
Покажем, что задача является задачей выпуклого программирования. Целевая
2
2
функция f ( x )  x1  x 2  2 x1  4 x 2 — выпуклая, т.к. ее гессиан
f ( x ) 
2 0
0 2
есть положительно определенная матрица. Кроме того, выполняется условие регулярности, что легко проверяется (точка x'=(1,1)). Строим регулярную функцию Лагранжа
L ( x , )  x12  x 22  2 x1  4 x 2  1  ( x12  x 22  13)  2  (3x1  x 2  3).
Запишем условия (20). Т.к.
 L ( x , )
 2 x 1  2  2 1  x 1  3 2 ,
 x1
 L ( x , )
 2 x 2  4  2 1  x 2   2 ,
 x2


то, учитывая, что x1  1  0, x 2  0, имеем
2  0
R
|| 4  0
S
||   0
T  0
1
1
2
Т.к. система имеет решения , т.е. непротиворечива, то делаем вывод, что точка x*=(1,0)
является оптимальным решением задачи.
25
Пример 15. Даны две прямые, угол между которыми равен 45o . Найти на первой
прямой точку, сумма расстояний от которой до двух заданных точек A и B, лежащих
на второй прямой, минимальна.
Формализуем эту задачу. Направим ось Ox по первой прямой, а ось Oy через точку
A (рис. 4).
Рис. 4. Графическая иллюстрация примера 15
A
B
j
C
j
Пусть координаты точек таковы: A  (0, a) , B  ( b, a  b) (с учетом угла в 45o ),
координаты точки C ( x , 0) . Получаем следующую задачу:
f ( x) 
x2  a2 
(b  x) 2  (a  b) 2  min , x  R2 .
Вычислим первую производную и приравняем ее нулю:
df ( x )

dx
т.е.
x
x2  a2

b x
(b  x ) 2  ( a  b) 2
 0.
x 2 (( b  x ) 2  ( a  b) 2 )  ( b  x ) 2 ( x 2  a2 )  x 2 ( b  x ) 2  x 2 ( a  b) 2 
( b  x ) 2 x 2  ( b  x ) 2 a2  x 2 ( a  b) 2  ( b  x ) 2 a2 
 x 2 ( b2  2ab)  2a2 bx  b2 a2  0
Уравнение имеет два корня (это подтверждается проверкой):
x1 
ab
,
2a  b
x2  a.
Сравним значения функции в этих точках. Так как функция принимает
неотрицательные значения: то можно сравнить квадраты значений (ограничимся
случаем a  0, b  a):
f ( x 1 )  4 a2  4 ab  2b2 ;
26
f (x2 ) 
R
2 (2a  b), если a  b,
S
T2b, если a  b.
Тогда имеем для a  b
f 2 ( x 1 )  f 2 ( x 2 )  4 a2  4 ab  2b2  2(4 a2  4 ab  b2 ) 
 4 a2  4 ab 4 a( b  a)  0.
Для a  b
f 2 ( x 1 )  f 2 ( x 2 )  4 a2  4 ab  2b2  2b2  4 a( a  b)  0.
Так как значение функции в точке x1 меньше, то проверяем достаточное условие лишь
для x1 .
f  ( x1 ) 
a2
2
( x1  a 2 )
3

2
( a  b) 2
(b  x1 ) 2  ( a  b ) 2
0 .
Пользуясь следствием из теоремы Вейерштрасса, можно утверждать, что
оптимальное решение задачи.
Пример 16. Определить, при каких значениях параметров
(0,2) является оптимальным решением задачи:
k1
и
k2
x1
точка x* =
( x 1  1) 2  x 22  min
x 12  k1  x 1  x 2  k 2  0,
x  0.
Покажем, что задача является задачей выпуклого программирования. Целевая
2
2
функция f ( x )  ( x1  1)  x 2 — выпуклая, т.к. ее гессиан
f ( x ) 
2 0
0 2
есть положительно определенная матрица. Кроме того, выполняется условие регулярности, что легко проверяется графически. Строим регулярную функцию Лагранжа
L ( x , )  ( x1  1)2  x 22  1  ( x12  k1  x1  x 2  k2 ). Запишем условия (20). Т.к.
 L ( x , )
 2( x 1  1)  2 1  x 1  1  k1 ,
 x1
 L ( x , )
 2 x 2  1 ,
 x2


то, учитывая, что x1  0, x 2  2  0, имеем
27
2    k  0
R
||4    0
|S2  k  0
||  ( 2  k )  0
|T  0
1
1
1
2
1
2
1
Т.к. система имеет решение
1  4, k2  2, k1  21 ,
то вывод следующий: точка
x*=(0,2) будет оставаться оптимальным решением при значениях параметров
k2  2.
k1  21
и
Схема решения задачи (15):
1)
составить функцию Лагранжа;
2)
составить систему условий (16);
3)
найти решения составленной системы;
4)
исследовать найденные решения системы и отобрать среди них локальные
решения задачи (15).
На последнем этапе предложенной схемы можно провести исследования в
найденной точке или использовать условия оптимальности второго порядка.
m
Пусть
L ( x ,  0 , )   0  f ( x )    i  gi( x )
— матрица вторых частных
i 1
производных функции Лагранжа по координатам вектора x. Для точки
множества
x  P введем
V ( x  )  {h R n h    ( x  x  ),   0, x P },
H ( x  )  {h R n ( f ( x  ), h)  0, ( gi( x  ), h)  0, i I ( x  )},
где I ( x

)  {1  i  m gi ( x  )  0}.
Сформулируем теперь теорему о достаточных условиях оптимальности в задаче
(15).
Теорема 17. Пусть в задаче (15) множество P выпукло, функции f(x),

g1( x ) , . .
gm ( x ) дважды дифференцируемы в точке x  X . Предположим, что существуют


число  0  0 и вектор   0 , не равные нулю одновременно, такие, что выполняются
.
условия (16) и, кроме того,
(Lxx ( x , 0,  ) h, h)  0


ненулевых h V ( x ) I H ( x ) . Тогда
при всех
задачи (15).
Пример 17. Решить следующую задачу:
(21)
x* — строгое локальное решение
28
f ( x )  sin x 1  x 2  min
g1 ( x )   x 2  2  0.
Легко видеть, что множество допустимых решений задачи X удовлетворяет
условию регулярности. Поэтому ограничимся регулярной функцией Лагранжа:
L ( x , )  sin x1  x 2  1  (  x 2  2).
Вычислим первые производные:
 L ( x , )
 L ( x , )
 cos x 1 ,
 1  1 .
 x1
 x2
Условия (16) принимают вид с учетом, что
cos x  0
R
||1    0
|S x  2  0
||  (  x  2)  0
|T  0.
Эта система имеет следующие решения:
x R 2 :
1
1
2
1
2
1
1  1; x1 

2
 k  , k  0,  1,  2, . . . ; x 2  2 .
Проверим достаточные условия в каждой точке. Имеем:
 sin x 1 0



2
, ( L ( x ,  ) h, h)   sin x1  h 1 .
0
0





Поэтому, ( L ( x ,  ) h, h)  0 , если x 1  2  2 k  и ( L ( x ,  ) h, h)  0 , если
x1   2  2 k  , где k  0,  1,  2, . . .
I ( x  )  {1},V ( x  ) I H ( x  ) ={h R 2 cos x1  h1  h2  0;  h2  0}={( h1, 0) h1  0}
L ( x ,  ) 
Итак, условие (21) выполняется лишь для точек
x1  2  2 k  , k  0,  1,  2, . . . , x 2  2,
которые и являются локальными решениями задачи. Из геометрических соображений
(рис. 5) делаем вывод, что эти точки являются оптимальными решениями.
Рис. 5. Графическое решение примера 17
- Îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ
29
Упражнения.
1. Найти все решения следующих задач условной оптимизации с ограниченияминеравенствами :
a)
f ( x)  2 x1  x2  max,
x x
2
1
в)
2
2
 1,
x1
 x 3  0,
x1
 x 3  1 ;
б) f ( x)  ln x1  x2  max,
x1  x2  2 ,
x1  x22  4 ,
x  0;
f ( x )  x1  x2  min ,
x1  x2  1,
x12  x22  1,
x  0;
г) f ( x )  ( x1  1) 2  4( x2  5) 2  min ,
( x1  1) 2  x22  4,
x  0;
2. При каких значениях параметра k точка x  ( 2 , 1) является оптимальным решением
задачи:
f ( x )  x12  6 x1  x22  min ,
x12  x22  k ,
x1  x2  1,
x  0;
3. При каких значениях параметра k точка x  ( 0, 1) является оптимальным решением
задачи:
1
k
( x1  2) 2  x22  min ,
2
2
x12  x2  0,
 x1  x2  1,
f ( x) 
x  0.
7. Задания для индивидуальной работы
1. Построить области выпуклости функций:
ax13
bx 23 x 22
2
a) f ( x ) 
 x1 
  cx1 x 2  x1 ;
6
2
2
2
a  bx1
;
b) f ( x ) 
cx 22
4
4
c) f ( x )  ax 1  bx 1 x 2  cx 2  4 x1.
(значения коэффициентов взять из таблицы 1).
2. Решить задачу Лагранжа:
f ( x )  ax 1 x 2  bx 2 x 3  extr ,
cx1  x 2
 d,
x 2  ex 3  g,
(значения коэффициентов взять из таблицы 1).
30
3. Найти, при каких значениях параметров k1, k2
a) точка x  (0, d) является оптимальным решением следующей задачи:
f ( x )  x 12  k1 ( x 2  c)  2 x 1  min ,
k 2 x 1  x 2  d,
x 12  x 22  ax1  8 x 2  b,
x  0,
b) точка x  (2, 3) является оптимальным решением следующей задачи:
f ( x )  a( x1  1)2  ( x 2  4)  ck1 x1 x 2  min ,
d
( x1  ) x 2  b,
4
 x1  x 2  1,
x1  2x 2  8,
x  0,
(значения коэффициентов взять из таблицы 2).
№
1
2
3
4
5
6
7
8
a
3
3
3
3
4
4
4
7
b
1
2
3
1
1
2
3
1
c
2
2
3
3
2
2
3
2
d
12
14
21
24
16
18
21
12
№
1
2
3
4
5
6
7
8
e
1
1
1
1
1
1
2
2
a
2
1
1
2
1
3
1
3
№
9
10
11
12
13
14
15
16
g
9
12
9
10
9
11
8
8
b
16
16
9
16
9
16
4
9
c
1
0
2
0
3
1
4
2
d
1
1
2
2
3
3
4
4
a
5
5
5
5
6
6
6
7
b
1
2
3
1
1
2
1
1
c
2
2
3
3
2
2
3
3
№
9
10
11
12
13
14
15
16
a
3
4
1
2
2
4
2
4
Таблица 1.
d
e
g
12 2
10
14 2
8
21 1
9
24 1
10
16 2
10
18 2
10
27 1
11
21 1
10
Таблица 2.
b
c
d
25 0.5 1
16 -1 1
16 1
2
25 -1 2
9
2
3
16 0
3
9
3
4
16 1
4
Литература
1. Алексеев В.Н., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации.
Теория. Примеры. Задачи. -М.:Наука, 1984, -276с.
2. Землянухина Л.Н., Зинченко А.Б. и др. Нелинейное программирование. Часть I:
Методические указания. - Ростов-на-Дону: РГУ, 1986,-36с.
3. Сухарев А.Г. и др. Курс методов оптимизации.-М.:Наука, 1986.- 328с.