СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ Элементы комбинаторики

СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Элементы комбинаторики
Упорядоченным называется множество, в котором указан порядок следования
элементов. Так, например, множества (а, Ь, с) и (а, с, Ь) есть различные
упорядоченные множества.
Сформулируем основные правила комбинаторики.
1. Правило суммы. Пусть из множества А элемент а1 можно выбрать п1 способами,
элемент а2 — другими п2 способами и т.д., элемент аk — пk способами, отличными
от предыдущих. Тогда выбор одного из элементов а1, или а2, или и т.д., аk можно
произвести
n1+ n2 +... + nk способами.
Пример. Пусть в корзине имеется 7 апельсинов, 5 бананов и 10 яблок. Тогда выбор
одного из фруктов (или апельсина, или банана, или яблока) можно сделать 22
способами (22 = 7 + 5 +10).
2. Правило произведения. Пусть А — некоторое множество, из которого выбор
элемента a1 можно осуществить n1 способами, после этого выбор элемента a2
можно осуществить n2 способами и т.д., наконец, после выбора элемента ak-1
элемент аk можно выбрать nk способами. Тогда одновременный выбор элементов
а1, а2, ..., аk в указанном порядке можно осуществить
п = п 1 п 2 . . . п к способами.
Пример. Пусть в спортивном велосипеде имеются 3 ведущие звездочки и 4
ведомые. Сколько передач имеется в велосипеде?
Так как каждая передача определяется выбором одной ведущей и одной ведомой
звездочки, то число всех передач совпадает с числом выборов одного элемента из
трех и другого элемента из четырех. Поэтому число передач равно
3  4  12 .
Пусть некоторое множество А содержит п элементов. Каждое его
упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется
размещением из п элементов по k элементов.
k
Через An обозначают число всех размещений из n элементов по к (читается:
«А из n по k»).
Примеры: 1). Пусть в группе 27 студентов. Любые трое из них, расположенные в
порядке возрастания номеров их зачетных книжек, образуют размещение из 27
по 3.
2). Перечислим все размещения из трех элементов {а, Ь, с} по два: (а, _>), (Ь, а),
2
(а, с), (с, а), (Ь, с), (с, Ь). Их количество равно 6, т.е. A3
 6. Для
размещений справедлива формула: An  n( n  1)( n  2)...( n  ( k
(1.1)
Например, согласно этой формуле, число размещений из 27 по 3 равно
k
\
числа
 1)).
А\, =27-26-25 = 17 550.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается п! («n («эн»)
факториал»), т.е. п! = 1 • 2 • 3 • ... • п. При этом условно считается, что 0! = 1.
Применяя это обозначение, получим An  n! /( n  k )!
k
(1.2)
Размещение из п элементов по п называется перестановкой из п элементов.
Количество всех таких перестановок обозначается Рn. Из предыдущей формулы
получим: Pn  A n  n!
n
(1.3)
Примеры: 1). Пусть в группе 27 студентов, расположение их в порядке
возрастания номеров зачетных книжек является перестановкой из 27 элементов.
Количество всех перестановок из 27 элементов равно 27! = 1 • 2 • 3 • ... •27.
2). Перечислим все перестановки из трех элементов {a, b, с}: (а, Ь, с), (а, с, Ь),
(Ь,а, с), (Ь,с, а), (с, а, Ъ), (с, Ь, а). Их количество равно P3  3! 1  2  3  6 .
Пусть задано множество, состоящее из п элементов. Сочетанием из п
элементов по к элементов называется каждое неупорядоченное подмножество,
содержащее к элементов.
Пример. Любые трое студентов из группы в 27 человек образуют сочетание из 27
k
по 3. Число всех сочетаний из n элементов по k элементов обозначается C n («С
(«цэ») из п по k). Для числа сочетаний справедливы формулы
Cnk 
Ank
n!
n(n  1)( n  2)...( n  k  1)


.
k! (n  k )!k!
k!
(1.4)
Например, число сочетаний из 27 элементов по 3 равно C 273 
27  26  25
2925.
1 2  3
Таким будет количество троек элементов во множестве, состоящем из 27
элементов.
k
Число C n обладает свойством симметрии:
C nk  C nn  k .
(1.5)
События
Эксперимент, испытание, опыт, процесс — это возникновение или
преднамеренное создание определенного комплекса условий G, результатом
которого является тот или иной исход.
Событием называется исход испытания. Это понятие является первичным в
теории вероятностей. События обозначаются большими латинскими буквами
А, В, С,....
Среди событий отличают достоверное и невозможное события. Достоверное
событие — это такое событие, которое всегда происходит при выполнении
данного комплекса условий G. Оно обозначается  . Невозможное событие Ø
— это такое событие, которое не может произойти при выполнении комплекса
условий G.
Примеры событий: выпадение орла при бросании монеты, выигрыш по
облигации, увеличение курса доллара в следующем месяце, появление заявки на
телефонной станции и т.д.
Элементарными называются те из событий, которые нельзя разложить на
составляющие их события. Элементарные события будем обозначать буквой  .
Любое событие A из пространства  можно составить из элементарных
событий.
Пример. В опыте с бросанием игральной кости (кубика) элементарными
событиями являются выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. В этом же опыте событиями
являются выпадения четного или нечетного числа.
Понятие вероятности
Представление о случайности событий связано с невозможностью предсказать
заранее исход того или иного эксперимента. Однако, например, при
многократном бросании монеты выясняется, что примерно в половине случаев
выпадает герб. При исследовании большого количества одинаковых испытаний
обнаруживаются определенные закономерности, которые можно описать,
используя понятие вероятности.
Под вероятностью события понимается некоторая числовая характеристика
возможности наступления этого события. Существует несколько подходов к
определению вероятности.
1. Статистическое определение вероятности
Пусть при проведении п испытаний некоторое событие А появилось т раз.
Многочисленные эксперименты такого рода показывают, что при больших п
отношение т/п, называемое частостью события А, остается примерно
постоянным.
При статистическом определении вероятностью события А называется
постоянная величина, вокруг которой колеблются значения частостей при
неограниченном возрастании числа я.
Пример. Английский ученый Пирсон произвел 23 000 бросаний монеты. При этом
герб появился 11 512 раз. Значит, частость появления герба равна
11512
 0,5005. Этот пример показывает, что за вероятность появления герба
23000
можно взять число 0,5.
2.Классическое определение вероятности
Классической схемой, или схемой случаев, называется испытание, при
котором число элементарных исходов конечно и все из них равновозможны.
Элементарное событие (исход)  называется благоприятствующим событию А,
если его появление влечет наступление события А (т.е.  входит в число
элементов, составляющих А).
Классической вероятностью события А называется отношение числа т
элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех
элементарных событий из этой схемы: P ( A) 
m
.
n
(1.6)
Из определения вероятности следует, что Р(Ø) = 0, P(  ) =1 и 0<Р(A)<1.
Пусть пространство  состоит из п элементарных событий  1,  2,,..,  n. Тогда
для каждого  i- благоприятным исходом будет только само  i- и для него т = 1.
Поэтому
P ( i ) 
m 1
 . Таким образом, если в классической схеме пространство 
n n
состоит из n элементарных равновозможных событий, то вероятность каждого
из них равна 1 /п.
Примеры: 1). В опыте с бросанием игральной кости число всех исходов n равно 6
и все они равновозможны. Пусть событие А означает появление четного числа.
Тогда для этого события благоприятны ми исходами будут появления чисел 2,4,
6. Их количество т равно 3. Поэтому вероятность события А
равна P( A) 
m 3 1
  .
n 6 2
2). В лифт 9-этажного дома входят 4 человека. Какова вероятность того, что они
выйдут на разных этажах?
Согласно классическому определению вероятности, P 
m
n
где п — число всех возможных способов, т — число способов,
благоприятствующих событию. У первого пассажира лифта есть 8 возможностей
выйти (на этажах 2—9), тогда у второго остается 7 возможностей, у третьего —
6 и у четвертого — 5. Значит, т = A84 . Так как каждый пассажир лифта может
выйти на любом из этажей, то число всех возможностей по правилу произведения
равно 84 . Поэтому
A84 8  7  6  5
P 4 
 0,41 .
8
84
Действия над событиями
Событие А влечет за собой событие В, если из наступления события А следует
наступление события В. Этот факт обозначается А  В. В терминах
элементарных событий это означает, что каждое элементарное событие,
входящее в А, входит также и в В.
Пример. Пусть производится выбор одного из чисел от 1 до 100. Пусть
событие В означает выбор четного числа, событие А — выбор
числа, кратного 10. Тогда A  В, так как каждое число, кратное
10, является четным.
Равенство событий А = В означает, что A  В и В  А, т.е. они состоят из
одних и тех же элементарных событий.
Пример. Пусть производится выбор одного из чисел от 1 до 100. Если событие В
— выбор числа, кратного 3, а событие А — это выбор числа, сумма цифр
которого делится на 3, то А = В по признаку делимости на 3.
Суммой событий А и В называется такое событие С = А + В, которое означает
наступление или А, или В, т.е. хотя бы одного из них.
Пример. Пусть при выборе одного из чисел от 1 до 13 событие А означает выбор
четного числа (т.е. событие А состоит из элементарных событий — выборов
одного из чисел 2,4,6,8,10,12), событие В — выбор числа, кратного 3, т.е.
событие В состоит из элементарных событий — выборов одного из чисел 3, 6, 9,
12. Тогда событие (А + В) означает выбор числа, кратного или 2, или 3 (при этом
не исключается, что число кратно и 2 и 3), т.е. событие (А + В) состоит из
элементарных событий — выборов одного из чисел 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12.
Произведением событий А и B называется событие, состоящее в совместном
наступлении события А и события В, и обозначается С = АВ.
Несовместными называются события А и В, если их произведение является
невозможным событием, т.е. А • В = Ø.
Дополнением к событию А называется событие Л, которое можно определить
равенствами: А • A = Ø и А + A =  .
Разностью событий A и В называется событие, состоящее в наступлении А и
не наступлении В. Разность A и В обозначается А - В и характеризуется условием
А-В=А• B.
Примеры: 1). Пусть при выборе одного из чисел от 1 до 13 событие А означает
выбор четного числа, событие В — выбор числа, кратного 3. Тогда событие А • В
означает выбор числа, кратного и 2 и 3 одновременно, т.е. событие А • В состоит
из элементарных событий — выборов одного из чисел 6,12.
2). Пусть пространством событий является множество чисел  = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7,8,9,10}. Пусть А = {3,4,8,9,10}, В = {1,2,5,6}. Тогда события A и В несовместны,
т.е. А • В — Ø (невозможное событие). При этом (А+ В) = {1,2,3,4, 5,6,8,9,10}.
Дополнением к событию А является событие A = {1,2,5,6,7}. Разностью событий А
и В будет событие A- В = {3,4,8,9,10}.
Операции над событиями можно представить как операции над множествами.
При этом события представляются подмножествами некоторого множества  .
Сумме событий (А + В) соответствует объединение A  B этих подмножеств, а
их произведению А • В — пересечение А  В.
Достоверное событие представляется объемлющим множеством
невозможное событие — пустым подмножеством Ø в нем.
,
а
Несовместность событий А и В означает, что соответствующие подмножества А
и В не пересекаются: А  В= Ø. Событие A , противоположное событию А,
является дополнением к событию А во множестве  . Эти операции в графическом виде иллюстрируются диаграммами Эйлера-Венна (рис.1.1).