Абсолютные и относительные величины

-3.
ТЕМА 1. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
Абсолютными называются величины, выражающие размеры
общественных явлений в виде объема совокупности или суммы значений варьирующего признака. Они могут быть выражены в натуральных,
трудовых и стоимостных единицах, или условными натуральными единицами, или комбинированными, или несколькими единицами измерения.
Обобщающие абсолютные величины могут быть определены
следующими способами:
 Прямым подсчетом единиц изучаемой совокупности;
 Суммированием значений характеризующих их количественных признаков;
 В результате расчетов.
Относительными в статистике называются величины, характеризующие количественные соотношения, присущие общественным явлениям.
Всякая относительная величина есть результат сопоставления
между собой двух других величин (абсолютных, средних или относительных). Величина, с которой производится сопоставление, называется
базисной, или базой сравнения. Сопоставляемая величина называется
текущей или относительной.
По характеру выражаемых сопоставлений относительные величины подразделяются на следующие основные виды: структуры, динамики, выполнения плана, интенсивности и сравнения.
Относительные величины структуры представляют собой соотношение частей и целого, и характеризуют доли отдельных частей в
целом т.е. они определяются как отношение части к целому и умножаются на 100, а в долях единицы – часть делится на целое.
Особой разновидностью относительных величин структуры
являются относительные величины координации. Они определяются как
отношение отдельных частей целого с одной из них, принятой за базу
сравнения.
Относительные величины динамики характеризуют изменение
общественных явлений во времени. Основной их разновидностью является коэффициент (темп) роста, исчисляемый как отношение текущего
уровня какого –либо показателя к его базисному уровню:
-4-
iр 
.
фактически й текущий уровень
(1.1.)
базисный уровень
Относительные величины выполнения плана определяются по
схеме:
iв.пл. 
фактически й уровень
(1.2.)
плановый уровень
iпл.з. 
плановый
базисный
уровень
(1.3)
уровень
где: iр – коэффициент роста
iв.пл. – коэффициент выполнения планового задания.
iпл.з. – коэффициент планового задания.
Между относительными величинами динамики, планового задания и выполнения плана, выраженными в коэффициентах, существует
связь.
iр=iпл.з.iв.пл. (1.4.)
iв.пл.=iр/iпл.з. (1.5.)
Относительные величины интенсивности образуются в результате сопоставления двух разноименных, связанных между собой величины и характеризуют степень развития данного явления. Они имеют
размерность тех величин, из соотношения которых они определяются.
Относительные величины сравнения характеризуют сравнительные размеры одноименных величин, относящихся к одному и тому
же периоду или моменту времени, но к разным объектам или территориям.
Задача 1. На основании данных таблицы 1 вычислите относительные величины уровня экономического развития и относительные
величины сравнения.
-5-
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Общий
.
Таблица 1.
Производство важнейших видов продукции в СССР и в США в
1985г.
Вид продукции
СССР
США
Электроэнергия, млрд. кВт.ч.
Нефть, млн. т.
Уголь, млн. т.
Сталь, млн. т.
Тракторы, тыс. шт.
Обувь, млн. пар.
Животное масло, тыс. т.
Мясо, млн. т.
Молоко, млн. т.
Сахар – песок, млн. т.
Численность населения, млн. чел.
1545
595
648
155
112
787
1596
17,1
98,2
7,6
278,7
2650
438
800
81
123
300
540
28
65
4,7
238,8
Задача 2. По годовому плану объем перевозок (отправления)
грузов должен увеличиваться на 1,7%, а фактически он возрос на 2,1%.
Определите коэффициент выполнения плана по отправлению грузов.
Задача 3. Проанализируйте ход выполнения пятилетнего плана
капитальных вложений одной из дорог сети по данным таблицы 2.
Таблица 2.
Выполнение плана капитальных вложений железной дорогой.
Год План
Фактическое выполнение
на
год, нарастающим итогом с за год, нарастающим итомлн. руб. начала пятилетки
млн. руб. гом с начала пятилетки млн. руб.
млн. руб. % к пятилетнему
плану
1
73,0
73,0
18,8
74,0
74,0
2
75,2
148,2
38,2
76,4
150,4
3
77,4
225,6
58,2
79,6
230,0
4
79,8
305,4
78,8
79,0
309,0
5
82,0
387,4
100,0
…
…
387,4
Х
Х
Х
Х
-6.
Задача 4. На основании данных таблицы 3. определите относительные величины динамики с постоянной (базисной) и переменной
(цепной) базой сравнения;
относительные величины структуры доходов и расходов за
рассматриваемый период.
-7-
.
Таблица 3.
Государственные финансы в 1993г. млрд. руб.
Вариант для расчета о.в. структуры
Вариант
Показатели
для расчета о.в.
динамики
1
Доходы государственного консолидированного бюджета
2
Налог:
на прибыль
3
на добавленную стоимость
4
подоходный с физических лиц
5
Поступления от внешнеэкономической
деятельности
Акции
Доходы от приватизации
6
Государственные расхода
7
в том числе: на народное хозяйство
8
Оборону
9
содержание правоохранительных органов
10
социально – культурные мероприятия
Месяц
ян- фев- март ап- май июнь июль ав- сен- окварь раль
рель
густ тябрь тябрь
1300 1450 2247 2299 2241 3194 4487 4926 5169 4900
303 501 1812 1315 853 1130 1425 1579 1537 1900
489 485 533 685 641 787 914 960 1192 1400
107 114 135 166 190 271 332 389 448 500
118 145 159 184 177 158 190 190 846 300
26
5
1114
197
246
92
20
7
1334
353
185
120
22
6
3246
930
518
217
22
5
2367
690
217
175
20
8
2476
757
374
207
20
6
3270
925
365
217
25
7
3775
1236
456
316
20
5
5576
1561
672
327
26
2
6536
1952
1037
542
20
2
5900
1800
1002
512
291 385 575 1634 732 1145 1094 1100 1566 1304
-8-
.
Задача 5. Оцените выполнение задания пятилетнего плана отрасли по внедрению новой техники нарастающим итогом с начала пятилетки по данным таблицы 4.
Таблица 4.
Пятилетний план внедрения новой техники.
Виды новой 1-й год
2-й год
3-й год
4-й год
5-й год
продукции, пятилетки пятилетки пятилетки пятилетки пятилетки
внедренной план факт. план факт. план факт. план факт. план факт.
и освоенной
тыс. шт.
А
1000 1200 1200 900 1000 1100 1000 1000 2000 2200
Б
400 500 500 400 600 500 600 600 500 600
В
8000 10000 7000 8000 6000 5000 4000 4000 4000 4000
Задача 6. Проанализировать изменение структуры отрасли,
если темпы отрасли в % к 1970г. составили: в 1975г. – 173; 1980г. – 256;
1985г. – 302
Отрасль включает четыре подотрасли, темпы роста продукции
по годам.
Номер подотрасли
1
2
3
4
1975г.
234
134
157
112
1980г.
450
164
191
131
Таблица 5.
1985г.
572
177
203
116
Задача 7. Определите относительные величины динамики
сравнения и изменения в структуре отправления грузов на основании
данных таблицы 6.
Таблица 6.
Отправление грузов транспортом общего пользования СССР,
млн. т.
Вид транспорта
1980г. 1985 г. 1986г. 1987г. 1988г.
Все виды транспорта
11933 12260 12798 13060 13229
-9В том числе:
железнодорожный
морской
внутренний водный
автомобильный
авиационный
трубопроводный
3728
3951
.
Продолжение таблицы 6.
4076
4067
4116
228
568
6456
3,0
950
240
633
6320
3,2
1113
249
649
6653
3,2
1168
252
673
6853
3,2
1212
257
691
6921
3,3
1241
ТЕМА 2. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ.
В статистике средними величинами называются обобщающие
показатели, выражающие типичные, т.е. характерные для определенных
условий места и времени, размеры и количественные соотношения явлений общественной жизни.
При выборе вида средней для характеристики среднего уровня
анализируемых явлений следует исходить из существа изучаемых явлений и наличия исходных данных.
Если известна сумма значений осредняемого показателя (приn
знака)
W
i 1
i
и общая численность единиц совокупности (носителей
n
осредняемого показателя или признака
f
i 1
i
) средняя определяется по
средней агрегатной:
n
x
W
i 1
n
f
i 1
i
(2.1.)
i
Если заданы варианты xi и их частоты fi, то для расчета их
среднего значения пользуются среднеарифметической взвешенной.
-10-
.
n
x
х
i 1
 fi
i
(2.3.)
n
f
i 1
i
а если частоты f всех вариантов x1 равны, то пользуются среднеарифметической простой.
n
х
x
i 1
i
(2.4.)
n
Если известны варианты и их суммарные значения по группам
W, но неизвестны частоты f вариантов, пользуются средней из обратных
величин, называемой средней гармонической.
n
x
W
i
i 1
(2.5.)
n
W X
i 1
i
i
При расчете средней из относительных величин и коэффициентов применяют среднюю геометрическую.
X  n1 X 2 / X 1  X 3 / X 2  X 4 / X 3  ...  X n / X n1  n1 k1k 2 k3k n
(2..6.)
Средние вариационных рядов рассчитываются по формуле
средней арифметической взвешенной.
При расчете средних по данным интервальных вариационных
рядов за варианты xi условно принимаются середины интервалов (полусумма нижней и верхней границ интервала),а величина открытых интервалов обычно приравнивается величине примыкающим к ним соседних.
При определении средних по данным интервальных вариационных рядов с равными интервалами можно сократить объем счетной
-11.
работы, если середину одного из средних интервалов xi принять за постоянную с. В этом случае среднюю из значений разности xi-c, поделенных на величину равных интервалов I обозначим как первый момент
(m1)
n
m1 

i 1
xi  c
fi
i
n
f
i 1

x c
(2.7.)
i
i
Отсюда следует
x  m1 i  c (2.8.)
Для обобщенной количественной характеристики общественных явлений наряду со средними используется мода и медиана (описательные или структурные средние).
Мода – это величина признака, чаще всего встречающаяся в
определенной совокупности единиц (М0).
Модой для дискретного ряда распределения является вариант,
обладающий наибольшей численностью (частотой) или наибольшим
удельным весом (частостью).
Для интервальных вариационных рядов мода определяется по
формуле:
М 0  х0   i
f m  f m 1
(2.9.)
 f m  f m1    f m  f m1 
где: х0 – нижняя граница модального интервала, т.е. интервал с
наибольшей численностью единиц.
I – величина модального интервала.
fm-1, fm, fm+1 – частоты интервала соответственно предшествующего модальному, модального, следующего за модальным.
Медианой (Ме) называется величина признака единицы, находящейся в середине ранжированного ряда распределения.
Для определения медианы интервального ряда сначала находят
медианный интервал, т.е. интервал в котором расположена медиана. Для
этого подсчитывают нарастающие частоты (частости) до тех пор, пока
-12.
не будет получена величина, равная или большая полусуммы объема
ряда. Этой величине и соответствует медианный интервал.
Конкретное значение медианы (Ме) определяется как
1 n
 f i  Sm1
2 i 1
(2.10.)
Ме  х0   i
fm
где: х0 – нижняя граница медианного интервала;
I – величина медианного интервала;
1 n
 f i - полусумма объема вариационного ряда;
2 i 1
S m 1 - сумма частот (частостей) интервалов, предшествующих
медианному;
fm – частота (частость) медианного интервала.
Задача 1. Фонд заработной платы локомотивного депо, численность работников которого составила 415 человек, равен 88976 рублей. Определить среднюю заработную плату одного работника.
Задача 2. Заработная плата в месяц каждого из 20 рабочих цеха
составила соответственно 1188, 1202, 1218, 1203, 1189, 1217, 1206, 1228,
1223, 1208, 1198, 1210, 1202, 1215, 1192, 1207, 1196, 1238, 1219 и 1202
рублей. Определить вид средней и рассчитать среднемесячную заработную плату работников цеха.
Задача 3. Согласно заданному варианту определите среднюю
величину рассматриваемого показателя, моду и медиану.
Вариант 1.
Определить среднюю длительность операции
Длительность операции, с 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100
Число операций
5
15
25
40
20
10
-13.
Вариант 2.
Определить среднюю заработную плату
Заработная пла- 20- 50 50-80 80-110 110-140 140-170 170-200
та, тыс. руб.
Число рабочих 30
40
60
80
100
20
Вариант 3.
Определить среднюю скорость поезда.
скорость поезда, км/ч. 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70
длина участка, км
150
250
350
400
600
700
Вариант 4.
Определить средний % выполнения плана по отрасли
№ предприятия
1
2
3
4
5
% выполнения плана
90-100 100-110 110-120 120-130 130-140
Объем выпуска продук1000
500
700
400
200
ции по плану, млн. руб.
Вариант 5.
Определить среднюю заработную плату.
Зарплата рабочего в группе, тыс. руб.
20
30
50
40
Фонд зарплаты по группе, млн.. руб.
800 900 100 160
25
100
Задача 4. Даны следующие данные распределения рабочих –
сдельщиков механического цеха завода по дневной выработки детали
№10. Определите среднее количество выработанных деталей одним
рабочим, найдите моду представленного рядя.
Таблица 7.
Распределение рабочих –сдельщиков механического цеха по
выполнению норм выработки.
Количество выработанных деталей 1 рабоЧисленность рабочих
чим в смену, шт.
25
2
26
4
27
15
28
20
29
10
30
6
Итого
57
-14-
.
Задача 5. Дано следующее распределение работников по заработной плате за октябрь месяц 200..г.
Заработная плата, руб.
численность работников, чел.
до
1190
2
1190- 2000- 21002000 2100 2200
3
7
5
22002300
2
2300 и
более
1
итого
20
Рассчитайте среднемесячную заработную плату работников,
найдите моду и медиану представленного ряда распределения.
Задача 6. Дана среднемесячная заработная плата и фонд оплаты труда за выполненный заказ рабочих двух бригад:
бригада№1 – фонд оплаты труда составил 4696 рублей, при
среднемесячной зарплате 1212 рублей;
Бригада №2 – фонд оплаты труда составил 5276 рублей при
среднемесячной зарплате 1228 рублей.
Определите среднемесячную заработную плату рабочих двух
бригад.
Задача №7. На предприятии рабочие сдельщики выполняют
установленные нормы выработки следующим образом:
более 130% - 2 человека; от 120% до 130% - 8 человек; от
110% до 120% - 22 человека; от 100% до 110% - 25 человек; от 90% до
100% 18 человек и меньше 90% - 5человек.
Определите среднюю выполняемую норму выработки, моду и
медиану.
ТЕМА 3. ВАРИАЦИЯ И ЕЁ ПОКАЗАТЕЛИ.
Варьирующие признаки обладают не только типичными размерами, выраженными в виде средних величин, но и различной колеблемостью (вариацией).
Для характеристики размеров вариации используются следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Размах вариации max определяется как разность между максимальным Хmax и минимальным Хmin значениями вариантов.
-15.
Средним линейным отклонением l называется средняя арифметическая из абсолютных отклонений значений признака X i от их
Х.
средней арифметической
n
l 
x
i 1
 x fi
i
(3.1.)
n

fi
i 1
Если веса вариантов fi равны между собой, то
n
l
x
i 1
x
i
(3.2)
n
где n – число вариантов.
Дисперсией  называется средняя из квадратов отклонений
значений признака от средней арифметической.
2
n
2 
 x
i 1
 x  fi
2
i
(3.3.)
n
f
i 1
i
или если f1=f2=fn
2
n
 
2
 x
i 1
i
 x
n
(3.4.)
Среднее квадратическое отклонение  это корень квадратный
из дисперсии.
-16-
.
  2
(3.5.)
Коэффициент вариации V – это отклонение среднего квадратического отклонения  к средней арифметической х .

V 
(3.6.)
X
Для определения дисперсии можно использовать другие формулы, например
1) Для дискретных вариационных рядов
 2  ( x 2 )  x 2
где:
(3.7.)
( x 2 ) - средний квадрат вариантов, равный
n
x
i 1
n
2
i
f
i 1
fi
1
x 2 - квадрат средний для интервальных вариационных рядов.
2) Для интервальных вариационных рядов
 2  2i m2  m12 
(3.8.)
где:i2 – квадрат величины интервала;
m12 – квадрат величины первого момента;
m2 – второй момент, равный
-17-
.
2
 xi  c 
 f i
i 1   i

n
 
m2 
n
f
i 1
(3.9.)
i
3) Для альтернативных признаков
2=рq (3.10.)
где р,q – доля единиц совокупности, соответственно обладающих и необладающих рассматриваемым признаком.
Различают общую и групповую, межгрупповую дисперсии.
Между ними существует определенная связь.
Межгрупповая дисперсия:
n
2 
 x
i 1
 xi  mi
2
i
m
i
i 1
где
(3.11.)
n
xi - групповая средняя;
xi – общая средняя;
mi – численность единиц групп (частных совокупностей) в
общей совокупности.
Средняя групповых дисперсией
 
2
i
формуле:
n
i 
2

i 1
n
2
i
mi
m
i 1
(3.12)
i
рассчитывается по
-18-
.
Правило сложений дисперсией гласит – общая дисперсия 
равна сумме средней из групповых дисперсией и межгрупповой дисперсии
2
2=2i +2 (3.13)
Задача 1. За рассматриваемый период имеется следующее
распределение поездок по дальности: 60-65км –7 поездок; 65-70 км. –
10поездок; 70-75 км. –25 поездок; 75-80 км. – 40 поездок; 80-85км. – 15
поездок; 85-90 км. – 5 поездок. Определить среднюю дальность поездки
за рассматриваемый период и показатели вариации.
Задача 2. Дано распределение рабочих – сдельщиков предприятия по дневной выработке продукции:
8 деталей производит 29 человек; 9 деталей производит 33 человека; 10 деталей -79 человек; 11 деталей – 47 человек; 12 деталей – 12
человек. Определите среднюю выработку деталей, размах вариации и
все остальные показатели вариации.
Задача 3. На основании данных таблицы 8. определите среднюю величину заработной платы и ее дисперсию, используя различные
формулы ее расчета.
Таблица 8.
Распределение рабочих отделения железной дороги по заработной плате за декабрь 1999г.
Месячная
зар- до
1000- 1500- 2000- 2500- более итого
плата, руб.
1000 1500 2000 2500 3000 3000
Численность
127
153
374
336
134
126
1250
рабочих, человек
Задача 4. По исходным данным таблицы 9. определить показатели средней и дисперсии: для общей совокупности, каждой из частичных совокупностей и межгрупповую дисперсию, подтвердив правильность расчетов, используя правило сложения дисперсией.
-19Таблицы 9.
Распределение рабочих локомотиво – ремонтного завода по
выработке деталей А
Дневная вы- Всего рабоВ том числе со стажем работы, лет
работка дечих
до 5 лет
от5-10лет
10 и более
талей, шт.
лет
8
29
29
9
33
30
2
1
10
79
33
26
20
11
47
8
22
17
12
12
12
итого
200
100
50
50
Задача 5. Общая численность работников предприятия составила в 1999 году 810 человек, при чем продолжительность отпуска
27,2% работников составила 15 рабочих дней; для 28,4% - 18 дней; для
24,7% - 21, а для остальных - 24 рабочих дня.
Определите среднюю продолжительность отпуска работников
данного предприятия и показатели вариации.
Задача 6. На предприятии, насчитывающим 1500 человек,
высшее, образование имеют 250 человек. Определите дисперсию рассматриваемого признака.
ТЕМА 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ПОКАЗАТЕЛИ
ДИНАМИКИ.
Для характеристики развития явлений во времени в статистике применяются показатели: уровень ряда динамики (yi), абсолютный
прирост (yi), темпы (коэффициенты) роста и прироста, абсолютное
значение 1 процента прироста и другие.
Первичные значения показателя, образующие ряд динамики,
называют уровнями ряда; а первый член ряда – начальным уровнем y1;
последний член ряда – конечным – yn .
Среднюю интервального ряда динамики, состоящего из суммарных абсолютных величин рассчитывают как
.
-20-
.
n
y
y
i 1
i
(4.1.)
n
где: n – число членов ряда.
Средняя моментных рядов динамики может определяться по
следующим формулам:
n
y
yt
i 1
n
i i
t
i 1
(4.2.)
i
где: ti – время, в течении которого сохранялось неизменным
данное значение yi.
либо:
y
(0,5y1  y 2  ...  y n 1  0,5 y n
(4.3.)
n 1
Абсолютный прирост у – показатель абсолютной скорости
развития явления во времени, равный разности между данным уровнем
ряда динамики и уровнем, принятым за базу сравнения.
В статистике применяется две системы. При базисной системе
из всех значений уровня ряда уi, начиная со второго, вычитается
начальный уровень у1, принятый за базу сравнения:
 уб.с.=yi-y1 (4.4.)
При цепной системе из каждого уровня yi вычитается предшествующий ему уровень yi-1:
уц.с.=уi-yi-1 (4.5.)
тогда средний абсолютный прирост равен:
-21n
y цс 
 y
i 1
.
 yi 1 
n
цс
i
n 1
или у
ц.с.


 y
i 1
ц.с.
i
n -1
(4.6.)
у n  y1
(4.7.)
n 1
Коэффициент (темп) роста – это отношение данного уровня
ряда динамики к уровню, принятому за базу сравнения. Тогда для базисной и ценной системы коэффициенты роста ip и темпы роста Тр равны соответственно:
iрб.с. 
уi
(4.8.)
y1
iрц.с.. 
уi
(4.9.)
y i 1
уi
 100% (4.10)
y1
Т б.с.

р
Т ц.с.

р
уi
 100% (4.11.)
yi 1
Коэффициенты (темпы) прироста (mу)– это отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения
m б.с.

y
уi  у1
(4.12)
y1
m ц.с.

y
у i  у i 1
(4.13)
y i 1
-22-
Т б.с.
пр 
Т ц.с.
пр 
.
уi  y1
 100% (4.14)
y1
уi  yi 1
 100% (4.15)
yi 1
где:mуб.с., mуц.с., Тпрб.с., Тпрц.с. – соответственно коэффициенты
прироста при базисной и цепной системе, темпы прироста при базисной
и цепной системе
Коэффициенты роста и прироста связаны между собой соотношением:
mу=iу-1 (4.16)
Между цепными и базисными коэффициентами тоже существуют связи, так:
у ц.с. y ц.с. y б.с
у2ц.с. у3ц.с.

 ...  n 1  n  n (4.17.)
у1
у2
уn2 yn1
у1
и
 у4 
 
 у1 
б .с.
у 
:  3 
 у1 
б .с.
у 
  4 
 у3 
ц.с.
(4.18)
Если показатель представляет собой сумму нескольких слагаемых, y=x+z, то его коэффициент (темп) роста и прироста может быть
определены по формулам:
iy 
my 
i x x0  i z z 0 i x dx0  i z dz 0

(4.19)
x0  z 0
dx0  dz 0
m x x0  m z z0 m x dx0  m z dz0

(4.20)
x0  z 0
dx0  dz0
-23-
.
где: ix, iz, mx, mz – соответственно коэффициенты роста и прироста слагаемых величин.
X0, z0 – значения слагаемых величин в базисном периоде;
dx0, dz0 – удельные веса слагаемых величин в базисном периоде.
Алгебраическим преобразованием приведенных формул можно получить формулы, связывающие показатели динамики разности,
произведения и деления показателей.
y=x-z
Y=x/z
iy=ix /iz
Y=xz
iy=ixiz
i x  i z dz0
dy 0
m  m z dz 0
my  x
dy 0
iy 
my=mx+mz+mxmz
Средний коэффициент роста
mу 
mx  mz
1  mz
i y , можно определить по следу-
ющим формулам:
i y  n 1
yn
(4.21)
y1
i y  n 1 i1  i2  ...  in 1 (4.22.)
где: n – количество цепных коэффициентов роста.
Абсолютное значение 1% прироста А – это отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, выраженному в
процентах:
А
ц.с.
у
m ц.с.
у
ц.с.

уi  yi 1 
100 
100  0,01 y
m ц.с.
у
Средний темп прироста (коэффициент) определяется
i 1
-24-
.
m y  iр 100
Задача 1. По исходным данным таблицы 10 рассчитать показатели динамики по всем группам показателей отдельно для народного
хозяйства в целом, отдельно для представленных отраслей.
Основные показатели развития
народного хозяйства
Национальный доход, млрд. р.
В том числе
Промышленность, млрд. р.
Темпы роста, %
Транспорт и связь
Темпы роста, %
Производственные основные фонды, млрд. р.
Темпы роста, %
Из них
Промышленность
Темпы роста, %
Транспорт и связь
Темпы роста, %
Промышленно – производственный персонал, чел
Темпы роста, производительности
труда, %
Таблица 10.
1970 г. 1980 г. 1985 г. 1986 г.
289,9
148,3
462,2
238,1
578,5
263,1
587,4
258,0
16,3
27,0
35,0
36,5
531
1150
1569
1651
255
554
765
807
117
237
323
340
31593
368901
38103
38225
100
156
182
190
Задача 2. Дано производство важнейших видов промышленной продукции в разные годы (см. табл. 11)
Показатель
Электроэнергия, млрд. кВт-ч.
Нефть, млн. т.
Газ природный, млрд. м.
1960
292
1148
45,3
Таблица 11.
1985
1545
595
643
Определить средние абсолютные приросты, темпы роста и
прироста по каждому виду продукции за 25 лет.
-25-
.
Задача 3. Определить среднее значение наличия локомотивов
в январе, если 1 января в депо их числилось 66 штук, 7 января – убыло
2, 17 января – прибыло 4 и 25 января прибыло еще 3.
Задача 4. Требуется исчислить средний остаток материалов на
складе локомотивного депо за I квартал года по следующим данным:
Дата
Остаток материалов тыс. р.
1.01.
10,4
1.02.
9,6
1.03.
9,0
1.04.
10,0
Задача 5. Даны значения грузооборота железных дорог за период с 1985г. по 1988 г.:
1985г. – 3718 млрд. ткм.
1986 г. – 3835 млрд. ткм.
1987 г. – 3825 млрд. ткм.
1988 г. – 3928 млрд. ткм.
Определить все показатели динамики при использовании базисной и цепной системы.
Задача 6. За истекший период национальный доход возрос на
4,1%, а производительность общественного труда на 3,8;%. Определить
темп прироста числа занятых работников в сфере материального производства.
Задача 7. Погрузка на дороге в 1998г. по сравнению с 1997г.
возросла на 8%, а в 1999г. по сравнению с 1998г.- на 10%. Определить
средний процент роста и прироста погрузки на дороге за рассматриваемый период.
ТЕМА 5. ИНДЕКСЫ.
Приступая к анализу изменения явлений с помощью индексов,
прежде всего необходимо уяснить изменение каждого показателя надо
охарактеризовать. Этот показатель называют индексируемым. Так,
например, если поставлена задача охарактеризовать изменение цен, то
рассчитывается индекс цен Iр, индексируемой величиной является цена
-26.
Р. При этом следует иметь в виду, если надо охарактеризовать изменение однородных явлений, то применяют индивидуальные индексы:
индекс себестоимости
iZ 
Z1
(5.1.)
Z0
индекс физического объема продукции
iq=q1 / q0 , (5.2.)
а для характеристики сложных, непосредственно не суммируемых явлений – сводные индексы:
1) цен
Ip 
pq
p q
1 1
(5.3.)
0 1
2) физического объема
Ip 
q p
q p
1
0
0
0
(5.4.)
3) товарооборота
I qp 
q p
q p
1
1
0
0
(5.5.)
Определив индекс, который необходимо рассчитать, следует
посмотреть, какими исходными данными вы располагаете, и соответственно выбрать форму индекса.
Агрегатной формой индекса пользуются, если известны значения индексируемой величины и их веса как в отчетном, так и базовом
периодах, т.е.
агрегатный индекс себестоимости имеет вид:
-27-
Iz 
.
z q
z q
(5.6.)
t q
t q
(5.7.)
z q
z q
(5.8.)
1 1
0 1
производительности труда:
I 1/t 
0 1
1 1
затрат:
I zq 
1 1
0 01
трудоемкости:
It 
t q
t q
1 1
(5.9.)
0 1
массы отработанного времени:
I tq 
z q
z q
1 1
(5.10.)
0 0
удельного расхода топлива:
Im 
m q
m q
1 1
(5.11.)
0 1
Средние индексы применяют, если не известны значения отдельных индексируемых явлений и их весов в отчетном или базовом
периодах, но известны их изменения iq, ix, а также величина явления в
-28-
.
отчетном или базовом периодах x1q1, z0q0. Пи этом , если анализируется изменение объема, то пользуются обычно среднеарифметическим
взвешенным индексом , например среднеарифметическим индексом
физического объема.
i q z
z q
Iq 
1 0 0
(5.12.)
0 0
Если анализируется изменение производных величин средних
относительных, то обычно используется среднегармонический индекс
себестоимости.
Iz 
z q
 z q /i
1 1
1 1
(5.13.)
x
Если при анализе изменения явления не известны значения
индексируемого показателя и их веса, но задано изменение факторных
показателей, от которых зависит индексируемый анализируемый показатель, расчет индекса ведут исходя из взаимосвязи индексов.
Предварительно необходимо доказать эту взаимосвязь.
Например, индекс себестоимости определяет индекс затрат и индекс
физического объема. Это выражается следующим образом:
Izq=Iz  Iq (5.14).
Это можно доказать
Iq 
z q
z q
0 1
;
Iz 
0 0
z q
z q
(5.15.)
z q
z q
(5.16).
1 1
0 1
z q  z q
z q z q
0 1
1 1
0 0
0 1

1 1
0 0
Взаимосвязь индексов дает основание воспользоваться выше
приведенной зависимостью и по двум заданным индексам рассчитывать
-29.
третий. При анализе изменения средних уровней пользуются индексами постоянного состава, переменного состава и структурных сдвигов.
Например, индекс постоянного состава себестоимости имеет вид:
Iz ( z ) 
I q : z q
q q
1 1
0 1
1
1

z q
z q
1 1
(5.17.)
0 1
индекс структурных сдвигов себестоимости:
Iz ( q ) 
z q : z q
q q
0 1
0 0
1
0
(5.18.)
индекс переменного состава:
Iz ( zq) 
z q : z q
q q
1 1
0 0
1
0
(5.19.)
Задача 1. По нижеприведенным данным вычислите сводные
индексы себестоимости постоянного и переменного состава по дороге,
экономию от снижения себестоимости перевозок.
НОД Себестоимость
в периоде
базисном
1
90
2
70
3
50
перевозок, руб., Грузооборот
приведенный,
млн. т.км., в периоде
отчетном
Базисном
Отчетном
100
11000
8000
120
7000
9000
80
15000
14000
Задача 2. По нижеприведенным данным вычислите индексы:
товарооборота, цен, физического объема продукции.
Тип
Товарооборот, тыс. руб.
товара
Январь
Февраль
А
50
60
Б
40
45
В
30
25
Изменение цен в феврале по сравнению с январем, %
-10
-4
+2
-30.
Задача 3. По приведенным ниже данным вычислите сводный
индекс производительности труда, индекс физического объема и экономию затрат труда в связи с изменением производительности труда.
Номер пред- Выработано продукции, тыс. Затрата чел.-ч. на 1т. в
приятия
т. в периоде
периоде
базисном
отчетном
базисном
Отчетном
1
16
18
30
25
2
26
32
35
22
3
31
48
20
15
Задача 4. По приведенным ниже данным определите: 1) индекс физического объема продукции; 2) индекс производительности
труда; 3) экономию (перерасход) затрат труда в зависимости от изменения производительности труда.
Вид продукции
А, т
Б, тыс. м.
Производство продукции
январь февраль
123
148
348
374
Затрата времени на всю продукцию, чел. –день.
январь
Февраль
17400
17350
11200
10450
Задача 5. По основании приведенных данных определите: 1)
сводный индекс стоимости продукции; 2) сводный индекс цен и физического объема продукции. Покажите взаимосвязь между индексами.
Вид продукПроизводство продукции, Отпускная цена за 1, руб.
ции
тыс. т.
Базисный
Отчетный
Базисный
Отчетный
период
период
период
период
А
22
33
130
135
Б
20
28
80
78
В
40
48
120
118
Задача 6. По нижеследующим данным определите индекс физического объема продукции.
Вид про- Выпуск продук- Изменение физического объема выпуска
дукции ции в мае, тыс. р. продукции в июне по сравнению с маем, %
А
34
+15
Б
16
+10
В
23
19
-31-
.
Задача 7. Установите как изменится количество рабочих
стройки, если известно, что средняя выработка на одного рабочего увеличится на 20%, а объем продукции увеличится на 58%
Задача 8. Сумма товарооборота за отчетный месяц в фактических ценах возросла на 16%, а цены снизились на 10%. Определите на
сколько % возрос физический объем товарооборота.
Задача 9. Себестоимость произведенной продукции предприятия за отчетный месяц снизилась на 15%, объем произведенной продукции возрос на 20%. Определите как изменились издержки производства
за месяц.
ТЕМА 6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ.
Выборочное наблюдение основано на принципе непреднамеренного (случайного) отбора единиц для обследования. При строгом
соблюдении этого принципа выборка позволяет при определенных
условиях с достаточной точностью рассчитать средние показатели, а
так- же удельные веса отдельных частей совокупности, из которой сделана выборка единиц для обследования.
Совокупность, из которой производится выборка, и характеризующие ее показатели называются генеральными. Отобранные совокупности и характеризующие ее показатели называются выборочными.
В теории выборки используются следующие показатели и их
обозначения.
обозначения
1) Численность единиц
2) Средняя величина
3) Дисперсия
4) Доля единиц:
- обладающих признаком
- не обладающих признаком
Генеральная совокупность
N
Выборочная совокупность
N
х
~
х
2
2в
Р
q
W
(1-w)
При выборочном наблюдении возможно расхождение обобщающих характеристик генеральной и выборочной совокупностей, т.е.
-32-
.
х  х  ~
х (6.1.)
W  w - р (6.2.)
гдех, w – ошибки выборки
Средняя ошибка выборки для средней (х) и выборочной доли
(w) определяется соответственно по формулам:
х 
W 
 х2
n
(6.3.)
pq
(6.4.)
n
Таким образом отклонение выборочной средней (доли) от генеральной зависит от численности выборки.
При заданной вероятности величина предельной ошибки выборки зависит от вида выборки и от способа отбора.
Вид выборки При повторном отборе
Собственно 2
случайная
  t в (6.5.)
Х  t
Типичная
выборка
х  t
Х
n
х  t
Где
 iв2
n
(6.6.)
При бесповторном отборе
 в2 
n
1   (6.7.)
n  N
 iв2 
n
1   (6.8.)
n 
N
 Х - предельная ошибка выборки при определении сред-
них размеров признака.
t – коэффициент доверия, зависящий от заданной вероятности
ошибки Ф(t)выборочного наблюдения,
t
Ф(t)
1
0,683
2
0,954
3
0,997
4
0,99994
5
0,999994
-33-
.
 iв2 - средняя из групповых выборочных дисперсией
Предельная ошибка доли (р) определяется по аналогичным
формулам, только в формулах (6.5., 6.7.) вместо 2в подставляется произведение w(1-w), а в формулах (6.6., 6.8.) вместо
изведений w(1-wi), т.е.
 iв2 - средняя из про-
wi (1  wi 
Предельные значения генеральной средней
доли Р определяют как
Х и генеральной
~
Х  Х   Х (6.9.)
р  w  w 6.10.)
Задача 1. В результате выбранного обследования установлено,
что средний процент выполнения сменной выработки составил 110,5;
среднее квадратичное отклонение – 5,1.
Требуется установить численность выборки с вероятностью
0,997 чтобы предельное отклонение не превышало 0,2%.
Задача 2. Произведено выборочное наблюдение для определения доли брака продукции. В выборку было взято 440 единиц изделий
из общего количества в 4000 единиц. В результате выборки обнаружен
брак в 65 изделиях.
Определите:
1) размеры колебаний брака во всей партии с вероятностью
0,930
2) сколько продукции должно быть выборочно обследовано
для определения доли брака с ошибкой, не превышающей
1%, исходя из приведенных выше показателей.
Задача 3. На ткацкой фабрике работает 800 ткачих. В порядке
случайной повторной выборки определена средняя дневная выработка
100 ткачих. В итоге этого обследования получены следующие данные:
-34Дневная выработка, м
Число ткачих
.
350-450
25
450-550
55
550-650
20
1. На основании приведенных в таблице данных определите
среднюю ошибку репрезентативности при определении
средней дневной выработки ткачих.
2. Какова была предельная ошибка репрезентативности при
р-0,91 при бесповторном отборе.
Задача 4. В условиях случайного отбора объем выборочной
совокупности составил 1000 единиц. Величина средней - 10,3 кг, среднее квадратичное отклонение – 0,4 кг. Определите вероятность того, что
генеральная средняя не превысит 10,4 кг. Генеральная совокупность
составляет 20000 единиц.
Задача 5. Произведено выборочное наблюдение для определения доли брака продукции. В выборку взято 900 единиц изделий из общего количества в 5 тыс. единиц. В результате выборки был обнаружен
брак в 70 изделиях.
Определите:
1) Численность бракованных единиц продукции во всей партии с вероятностью 0,937;
2) Сколько продукции должно быть обследовано в порядке
выборки для определения доли брака с ошибкой, не превышающей 1%, исходя из приведенных выше показателей с вероятностью 0,920.
Задача 6. Произведено выборочное обследование длительности производственного стажа рабочих. В выборку было взято 200 рабочих из общего количества в 1000 человек. Результаты выборки следующие:
Продолжительность стажа, лет
Число рабочих
2-4
50
4-6
80
6-8
65
8-10
35
Определите :
1) с вероятностью 0,917 возможные пределы колебаний средней продолжительности стажа всех рабочих;
-35.
2) какое число рабочих надо взять в выборку, чтобы ошибка
не превышала 0,5 г., на основе приведенных выше показателей.
Задача 7. В результате проведенных проверок установлено,
что дисперсия веса груженого вагона составляет 6500 кг. Вычислите
необходимый объем выработки для определения средней загрузки вагона. Предельная погрешность в определении веса при этом не должна
превышать 150 кг., вероятность исчесления-0,982. Общее число погруженных вагонов – 10 тыс.
Задача 8. В порядке случайной выборки проведено 90 тыс. измерений деталей. В итоге проверки установлено наличие 100 случаев
брака.
Определите:
1) ошибку репрезентативности при установлении процента
бракованных деталей с вероятностью 0,676 и 0,942.
2) пределы в которых находится процент бракованной продукции.
Задача 9. Выборочным обследованием было охвачено 10000
пассажиров пригородных поездов. На основании этого обследования
установлена средняя дальность поездки пассажира - 30 км и среднее
квадратичное отклонение – 5 км.
Определите возможные пределы средней дальности поездки
пассажиров при вероятности 0,663; 0,854; 0,947.
Задача 10. На электроламповом заводе в порядке механической выборки проверено 3200 лампочек, из них 64 лампочки оказались
бракованными. С вероятностью 0,947 определите ошибку репрезентативности при установлении процента бракованных лампочек, пределы,
в которых находится процент бракованных лампочек.
-36РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Виноградова Н.М. Общая теория статистики М.:
Статистика, 1965г.
Долгушевский Ф.Г., Козлов В.С. и др. Общая
теория статистики. М.: Статистика, 1975г.
Козлов Т.И. и др. Курс общей теории статистики.
М.: Статистика, 1965г.
Козлов Т.И., Поликарпов А.А., Леонова Е.П. и др.
Статистика железнодорожного транспорта. М.:
Транспорт, 1990г.
Ряузов Н.Н. Общая теория статистики. М.: Статистика, 1984г.
Гущенко И.Н. Методические указания по дисциплине «Статистика» М.: 1998. РАПС.
.
-37-
.
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. Абсолютные и относительные величины
Тема 2. Средние величины
Тема 3. Вариация и ее показатели
Тема 4. Динамические ряды. Показатели динамики
Тема 5. Индексы
Тема 6. Выборочное наблюдение
Рекомендуемая литература
стр.
3
9
14
19
25
31
36