ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Ч

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Ч.1
1.Основные этапы решения вычислительной задачи с применением ЭВМ.
2.Источники и классификация погрешностей численного решения.
3. Правила записи приближенных чисел. Абсолютная и относительная погрешности.
Значащие и верные значащие цифры. Связь количества верных значащих цифр с
погрешностями.
4.Машинное представление вещественных чисел. Машинные нуль и бесконечность,
машинная точность. Особенности машинной арифметики. Примеры.
5.Постановка вычислительной задачи. Корректность вычислительной задачи. Примеры
некорректных задач. Что делать, если задача оказалась некорректной?
6.Обусловленность вычислительной задачи. Примеры плохо обусловленных задач.
7.Вычислительные алгоритмы. Корректность вычислительного алгоритма. Примеры
некорректных алгоритмов.
8.Обусловленность вычислительных алгоритмов. Вычислительная устойчивость. Примеры
плохо обусловленных алгоритмов.
9.Подходы к анализу погрешностей численного решения. Прямой анализ. Обратный анализ.
Экспериментальная оценка.
10.Нормы вектора и матрицы. Абсолютная и относительная погрешности вектора и
матрицы.
11.Постановка задачи решения СЛАУ. Корректность задачи.
12.Обусловленность задачи решения СЛАУ. Число обусловленности матрицы.
13.Метод Гаусса. Модификации метода: схема единственного деления, схема частичного
выбора ведущего элемента, схема полного выбора. Сравнительный анализ. Способы
организации алгоритмов. Оценка погрешностей.
14.QR разложение и решение СЛАУ. Метод вращения. Метод отражения. Сравнительный
анализ. Оценка погрешности.
15.Постановка задачи отыскания корней системы нелинейных уравнений (СНУ). Этапы
решения. Итерационные методы. Сходимость. Порядок сходимости.
16.Обусловленность задачи вычисления корней СНУ. Интервал неопределенности. Число
обусловленности. Правило Гарвика.
17.Разложение вектор-функции в ряд Тейлора. Матрица Якоби.
18.Метод простых итераций решения СНУ. Приведение СНУ к виду, удобному для
применения метода простых итераций. Условие сходимости. Влияние вычислительной
погрешности. Критерий окончания.
19.Метод Ньютона решения СНУ. Теорема сходимости. Анализ условий сходимости,
требования к выбору начальных приближений. Критерий окончания.
Влияние вычислительной погрешности.
20.Модификация метода Ньютона с целью облегчения требований к выбору начальных
приближений. Теорема сходимости. Анализ требований теоремы.
21.Модификации метода Ньютона, использующие аппроксимацию матрицы Якоби:
упрощенный метод, метод ложного положения, метод секущих, метод Стефенсона.
Особенности использования. Порядок сходимости.
22.Решение проблемы собственных значений. Постановка задачи. Пути решения.
Алгебраическая и геометрическая кратности. Собственные числа треугольных и блочнотреугольных матриц. Матрицы простой структуры. Их свойства.
23.Преобразование подобия. Простейшая форма матрицы, подобной матрице простой
структуры.
24Обусловленность задачи вычисления собственных чисел.
25.QR алгоритм. Сходимость. Матрицы Хессенберга. Способы преобразования к форме
Хессенберга. Ускорение сходимости. Сдвиги. Критерии окончания.
26.Понятие сеточной функции. Конечные разности. Связь конечных разностей с сеточной
функцией.
27.Разделенные разности. Связь разделенных разностей с сеточной функцией и с конечными
разностями. Связь разделенных и конечных разностей с производными исходной функции.
28.Аппроксимация функций. Постановка задачи. Обобщенный полином. Выбор базовых
функций. Варианты критериев близости и способы аппроксимации.
29.Алгебраическая интерполяция. Постановка задачи. Теорема существования и
единственности интерполяционного полинома.
30.Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Способы построения.
Доказательство существования.
31.Погрешность интерполяции. Полиномы Чебышева. Минимизация погрешности.
32.Алгебраическая интерполяция. Сходимость при увеличении числа узлов. Условия
сходимости в зависимости от стратегии выбора узлов.
33.Обусловленность задачи интерполяции. Зависимость погрешности интерполяции от
погрешностей задания значений функции и от погрешностей расчета коэффициентов
интерполяционного полинома. Числа обусловленности. Их зависимость от стратегии
выбора узлов и базовых функций. Константа Лебега.
34.Аппроксимация сплайнами. Определение сплайна. Дефект сплайна. Интерполяционный
сплайн
35.Методы построения интерполяционного кубического сплайна.
36.Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Постановка
задачи. Корректность задачи. Теорема Коши существования и единственности решения.
Оценка постоянной Липшица.
37.Устойчивость и обусловленность решения задачи Коши для ОДУ. Виды устойчивости.
Способы анализа. Модельное уравнение. Корневой критерий
устойчивости. Число обусловленности. Примеры плохо обусловленных задач.
38.Общая характеристика численных методов решения задачи Коши для ОДУ. Переход к
разностному уравнению. Общая форма численного метода. Классификация численных
методов: методы явные и неявные, одношаговые и многошаговые, линейные и
нелинейные.
39.Вывод формул для простейших численных методов: явный и неявный методы Эйлера,
метод трапеций.
40.Сходимость численных методов решения задачи Коши для ОДУ. Порядок сходимости.
Общий подход к анализу сходимости.
41.Погрешность аппроксимации. Подходы к анализу. Влияние на результирующую
погрешность погрешности определения начальных условий в многошаговых методах.
Порядок погрешности по шагу. Анализ погрешности аппроксимации явного метода
Эйлера.
42.Устойчивость метода на заданном решении.
43.Теорема: устойчивость + аппроксимация  сходимость.
44.Методы Рунге-Кутты. Способы построения методов с заданным порядком сходимости.
Общая характеристика.
45.Методы Адамса-Бошфорта, Адамса-Моултона, прогноза и коррекции. Способы
построения методов с заданным порядком сходимости. Сравнительная характеристика
методов Адамса и Рунге-Кутты.
46.Методы с оценкой погрешности на шаге. Правило Рунге. Автоматический выбор
величины шага.
47.Учет вычислительной погрешности. Характер зависимости общей погрешности от
величины шага.
48.Особенности численного решения задачи Коши на неограниченном промежутке.
Требования к численным методам. Абсолютная устойчивость метода. Анализ области
абсолютной устойчивости для явного и неявного методов Эйлера. Ограничения величины
шага по условиям устойчивости. А-устойчивые методы. А(α)-устойчивые методы.
49.Жесткие системы ОДУ. Как проанализировать, относится ли система к жестким.
Коэффициент жесткости. Подходы к численному решению жестких систем.
50.Численное интегрирование. Постановка задачи. Квадратурные формулы. Влияние
погрешности вычисления значений подинтегральной функции.
51.Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Принципы
построения. Оценка погрешности.
52.Примеры простейших квадратурных формул Ньютона-Котеса: формулы левых, правых и
центральных прямоугольников, формулы трапеций и Симпсона. Оценка методической
погрешности (пример анализа).
53.Составные квадратурные формулы. Сходимость по шагу (пример анализа).
54.Квадратурные формулы Гаусса. Принцип построения. Оценка методической
погрешности.
55.Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге. Подходы к построению адаптивных
процедур выбора величины шага.