О ЧАСТОТНОЙ ДИСПЕРСИИ ВОЛН ОБЪЕМНОЙ ПЛОТНОСТИ

УДК 537.8
О ЧАСТОТНОЙ ДИСПЕРСИИ ВОЛН ОБЪЕМНОЙ ПЛОТНОСТИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА В ПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ
В.В. Сидоренков
МГТУ им. Н.Э. Баумана
[email protected]
Обсуждается волновое уравнение для волн с аномальным законом
частотной дисперсии, где длина и частота этих волн прямо пропорциональны друг другу. Предложен возможный физический процесс, на базе которого в рамках классической электродинамики Максвелла получены уравнения, описывающие волны объемной плотности электрического заряда в
проводящей среде, в частности, для указанных специфических волн.
При изучении частотных спектров магнитоакустических колебаний в цилиндрических ферритах (диаметром 8 мм и длиной 80 160 мм) на частотах 102 – 107 Гц был экспериментально обнаружен
ряд необычных спектральных линий, с точностью ~ 0,05% подчиняющихся закону  n   r / n (n – натуральные числа,  r – одна из
резонансных частот обычных магнитоакустических колебаний
стержня). Интенсивности таких линий (далее субгармоник)  n по
отношению к линиям обычного резонанса  r составляли –30…–40
дБ, а относительно друг к другу они с ростом n убывали всего лишь
на 20…30%. Существенно, что эффект наблюдался в условиях возбуждения стержней генератором качающейся частоты. Число линий
 n было чрезвычайно велико (удалось измерить субгармоники с
n  100 ), причем ограничение на величину n определялось чувствительностью метода регистрации колебаний. Данный факт на первый
взгляд удивителен, поскольку реализуемые граничными условиями
на концах стержня резонансы наблюдались в эксперименте на частотах  n   r / n , а потому напрашивается весьма странный, но формально вполне логичный в такой ситуации вывод, что длина волны
 и ее частота  прямо пропорциональны друг другу:   .
Несмотря на вышесказанное, это якобы «необычное явление»
имеет альтернативное, физически простое объяснение, поскольку
колебания, создаваемые генератором качающейся частоты, представляют собой последовательности одинаковых толчков непрерывно примыкающих друг к другу. При понижении частоты, то есть с
ростом n толчки следуют один за другим все реже и реже, но они попрежнему усиливают друг друга (аналогично раскачиванию качелей), что и является условием резонанса. В итоге на частотах субгармоник [1, с.565]:  r / 2 ,  r / 3 , …  r / n появляются резонансные
линии отсоса энергии от источника колебаний, хотя и существенно
менее интенсивные, чем максимум линии частоты  r основного резонанса. Важно отметить, что на всех частотах субгармоник в
стержне всегда возбуждаются колебания основной частоты  r . Так
что наш курьёз оказался тривиальным, однако его результаты являются стимулом к серьезным новаторским размышлениям.
В этой связи попытаемся исследовать и объяснить подобные
экспериментальные результаты эвристически и физически более содержательно, с возможной перспективой их дальнейшего научного
развития. Действительно, было бы весьма заманчивым отыскать в
Природе реальный физический процесс, в котором, вместо обычной
дисперсионной зависимости  1/  , реализуется удивительный
закон аномальной частотной дисперсии   .
Прежде всего, покажем чисто математически формальную
возможность существования волнового уравнения, удовлетворяющего столь необычному закону частотной дисперсии резонансных колебаний распределенной системы, когда  n 1 / n . Итак, будем считать, что указанным частотам соответствуют резонансы некоторых
однородных плоских монохроматических волн, распространяющихся вдоль оси (ось ox) стержня:
U ( x,t ) = U mcos(ωt - kx) .
(1)
Причем, вместо стандартного волнового уравнения в виде
суммы первых (либо вторых) частных производных от функции (1),
описывающего одномерное (ось ox) распространение этих волн:
U 1 U

0,
x
v t
(2)
исследуем другое дифференциальное уравнение, которое получается
при сравнении функции (1) с ее смешанной производной:
U 2
 U  0 .
xt
(3)
Здесь v = ω / k - фазовая скорость распространения волны в среде,
 = ω k , а k = 2 /  - волновое число. Видно, что волновое уравнение (3) принципиально является одномерным, в отличие от обычного волнового уравнения (2) в общем случае трехмерного.
Из дисперсионного соотношения обычного волнового уравнения (2)
(4)
ω(k ) = v k
следует, что при v (ω) = const (отсутствие частотной дисперсии
фазовой скорости) длина волны  и ее частота  связаны стандартной обратно пропорциональной зависимостью   v /  ,
что является определением длины волны   v  Ò – расстояния, проходимого волной за период полного колебания Ò .
Однако волновое уравнение (3) характеризуется дисперсионным соотношением весьма необычного вида:
ω(k ) =  / k ,
(5)
так как при  (ω) = const , длина волны  и ее частота  прямо
пропорциональны друг другу:   (4 2 /  ) . Кстати, в этом случае
фазовая скорость таких волн v(ω)  2 . Как видим, результат действительно весьма необычен.
Рассмотрим возбуждение волн (1) в одномерной однородной
распределенной системе длины L , для чего запишем условия резонанса такой системы:
n( / 2)  L ,
(6)
где n – натуральные числа.
Тогда из дисперсионного соотношения (5) для уравнения (3) с
учетом (6) получаем частотный спектр резонансных субгармоник
распределенной колебательной системы:
ωn = ω0 / n .
(7)
Здесь ω0   L /  - наибольшая частота резонансных субгармоник,
согласно (7), изменяющихся при  (ω) = const по гиперболическому закону  n 1 / n , качественно абсолютно точно описывающего
результаты представленного выше эксперимента.
К сожалению, количественно сопоставить нашу теорию с экспериментом нельзя, ввиду формальности проведенных рассуждений,
при которых численная оценка величины  принципиально невозможна. Таким образом, на данном этапе исследований уравнение (3)
и его следствия с физической точки зрения не могут представлять
интереса, так как здесь не был использован конкретный физический
процесс, в котором реализуются такие специфические волны.
Для поиска физической природы волн, у которых   , используем, оставаясь в рамках классической электродинамики, одно
из уравнений системы уравнений Максвелла для вектора электрической индукции (теорему Гаусса), описывающего в дифференциальной форме результат электрической поляризации:
div D   ,
(8)
 - объемная плотность электрического заряда. Очевидно, что для
намеченного анализа среда идеального диэлектрика не годится, поскольку в ней отсутствует частотная дисперсия фазовой скорости
v (ω) = const , а потому рассмотрим проводящую среду, где частотная дисперсия фазовой скорости принципиально существует. Однако, как известно [1], для электромагнитных волн фазовая скорость в
металлах v (ω)
ω , то есть это весьма далеко от необходимой
v(ω)  2 , а потому рассмотрим возможность построения уравнения для волн объемной плотности электрического заряда в проводящей среде.
В проводнике при электропроводности вектор электрической
индукции D =  0 E , согласно закону Ома j  σE , можно записать
как D = ( 0 /  ) j =  j . Здесь  =  0 /  - представляет, как известно [1], время релаксации (рассасывания) заряда в проводнике.
Тогда (8) представится в виде:
div ( j ) = j grad   div j =  .
(9)
Для однородной по материальным параметрам  (r )  const и
 (r )  const проводящей среды grad  = 0 , и первое слагаемое в
(9) обнуляется, а наличие второго, согласно закону сохранения заряда: div j +  / t  0 , справедливо только для электрического
тока, изменяющегося во времени, поскольку при стационарном (постоянном) токе  / t  0 , соответственно div j  0 .
По определению модуль вектора плотности электрического
тока равен | j | 
 2q
, где заряд q   V  V   Sl ( l - неS t
V
которая характерная длина вдоль направления тока). Следовательно,
вектор объемной плотности электрического тока в среде
j
l 

l
t t
(10)
обусловлен как переносом носителей электрического заряда в проводнике (первое слагаемое), так и изменением объемной плотности
заряда во времени (второе слагаемое).
Подставляя полученное выражение для тока в (9), получаем:
  
 div (  v) +  div  l  =
 t 

  
=  v grad    div v +  l grad 
div l =  .
 +
t
 t 
(11)
Тогда с учетом div v = 0 и div l =1 (линейный проводник)
формула (11) будет иметь вид:
v

l


t
 l
2
t l


.

(12)
Следовательно, при сравнении с уравнениями (2) и (3) выражение (12) распадается на два соотношения, представляющих собой
одномерные (вдоль направления тока) волновые уравнения для объемной плотности электрического заряда в проводящей среде:
а)
 1 

0
l v t
и
b)
2 1

  0.
t l  l
(13)
Чисто формально видно, что первое слагаемое (13a) является
обычным волновым уравнением вида (2), а второе (13b) по структуре
соответствует уравнению (3), которое при 1/ l   (ω) = const , как
показано выше, может иметь решения, описывающие волны с аномальным законом частотной дисперсии (5). Однако с точки зрения
их воплощения данные результаты столь необычны, что здесь
вполне оправданы сомнения в их физической реальности, а попутно
возникает и ряд вопросов о логике вывода уравнений (13).
Здесь удивительно то, что уравнение (13а) описывает незатухающие волны объемной плотности электрического заряда, которые
распространяются со скоростью v дрейфа носителей заряда в проводящей среде. Следовательно, скорость таких волн должна быть
чрезвычайно низкой: 10-3…10-2 м/с, причем вполне логично, что эта
скорость определяется плотностью электрического тока в проводнике. Очевидно, что реализация указанных волн и их наблюдение будет весьма затруднительно, поскольку при столь малой скорости v с
ростом частоты  длина волны   v /  быстро стремится к нулю.
И все же для проводящей среды полученное уравнение (13а) можно
считать физически нетривиальным. Но главный судья - эксперимент,
а потому без кропотливых опытов по исследованию рассматриваемой ситуации обойтись невозможно.
Соответственно, второе уравнение (13b), которое должно описывать волны с необычным законом частотной дисперсии (5), может
быть реализовано только при 1/  l = const = f ( ) , где  =  0 /  время релаксации заряда в проводнике, а l из физических соображений следует считать параметром, характеризующим дипольную
поляризацию проводника при электропроводности [2]. При этом
лишь структурно уравнение (13b) тождественно уравнению (3), но
коэффициент 1/  l только формально (по размерности) может соответствовать коэффициенту  = ω k . Но это не тупик, посколь-
ку, как показано выше, все упирается в поиск (либо создание)
такой материальной среды (необязательно проводящей), где
фазовая скорость волн в ней зависит от частоты, как v(ω)  2 .
Как видим, работа только намечена и весьма далека от завершения,
здесь ее непочатый край, и прежде всего, экспериментальной.
Итак, если говорить по существу, то полученные здесь результаты наших ожиданий не оправдали: все это пока лишь не подтвержденная экспериментом гипотетика. Однако сама физическая идея и
постановка на ее основе задачи исследования волн объемной плотности электрического заряда в проводящей среде, в частности, обсуждаемых специфических волн, у которых   , по нашему мнению, вполне достойны внимания.
Литература
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. М.: Наука,
1977.
2. Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2005. № 2. С. 35-46; // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 11. С. 75-82; // Необратимые процессы в природе и технике: Сборник научных трудов. Выпуск II.
М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. С. 208-223.
ABOUT THE FREQUENCY DISPERSION OF WAVES OF VOLUMETRIC
DENSITY OF THE ELECTRIC CHARGE IN CONDUCTING MEDIUM
V.V. Sidorenkov
Bauman Moscow State Technical University
The theme of discussion is the equation for waves with abnormal law of
the frequency dispersion, which wavelength is directly proportion to its frequency. Possible physics process is suggested, based on which the equations which
define charge volume density waves in conducting medium, particularly mentioned specific waves, can be got.