ЕН.Ф.1.2 Теория вероятностей и математическая статистика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ Г.УССУРЙСКА
«УТВЕРЖДАЮ»
Заведующий кафедрой
математики, физики и методики преподавания
______________ Горностаев О.М.
20 сентября 2011 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
Специальность - 050201.65 Математика с дополнительной специальностью 050202.65 Информатика
Форма подготовки очная
Кафедра математики, физики и методики преподавания
курс 3 семестр 6
лекции 30 час.
практические занятия 20 час.
лабораторные работы 0 час.
всего часов аудиторной нагрузки 50 час.
самостоятельная работа 50 час.
реферативные работы 0
контрольные работы 1
зачет – семестр
экзамен 6 семестр
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями Государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования (номер государственной регистрации
№692 пед/ сп (новый) от 31 января 2005 г.)
Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры математики, физики и
методики преподавания 20. 09. 2011 г., протокол № 1.
Заведующий кафедрой:
Горностаев О.М., 20. 09. 2011 г.
Составитель:
доцент Милованов В.Ф.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Аннотация
2. Выписка из ГОС ВПО
3. Рабочая учебная программа дисциплины
4. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
АННОТАЦИЯ
Содержание дисциплины:
Предмет
является
обязательным
(вузовский
компонент)
в
разделе
общематематических и естественнонаучных дисциплин. Включает в себя теоретический и
практический материал по темам: случайные события, их классификация. Классическое
определение вероятности. Геометрические вероятности. Статистическое определение
вероятности. Аксиоматическое определение. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей. Теорема сложения. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема
Бернулли. Случайные величины, их числовые характеристики. Основные законы
распределения. Закон больших чисел. Основные понятия математической статистики.
Студенты должны знать теоретические основы дисциплины в объеме необходимом
для решения типовых задач; уметь решать типовые задачи изучаемой дисциплины.
Связь с другими дисциплинами: Все дисциплины математического цикла.
Специальность: ОП-01.01 Математика с дополнительной специальностью
Информатика.
Выписка из ГОС ВПО
ЕН.Ф.01 Математика.
Теория вероятностей и математическая
статистика
Статистические
закономерности.
Статистическая
устойчивость и статистическое определение вероятности.
Пространство элементарных событий, события. Аксиомы
теории вероятностей. Свойства вероятности. Условная
вероятность и ее свойства. Формула полной вероятности.
Формулы Байеса. Независимость двух и n событий.
Определение случайной величины, ее свойства. Дискретные
случайные величины, закон распределения. Основные
дискретные распределения: биномиальные, распределение
Пуассона.
Непрерывные
случайные
величины.
Геометрические вероятности. Понятие о методе Монте-Карло.
Независимость
испытаний.
Независимые
испытания
Бернулли. Предельные теоремы Пуассона и Лапласа.
Практическое
использование
приближенных
формул.
Математическое ожидание случайной величины и его
свойства. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах.
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема
Бернулли. Понятие о центральной предельной теореме. Задачи
математической
статистики.
Оценка
параметров
распределения. Доверительные интервалы. Задача об оценке
независимой вероятности событий по частоте. Понятие о
критериях согласия. Понятие о простейших случайных
процессах.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ Г.УССУРЙСКА
«УТВЕРЖДАЮ»
Заведующий кафедрой
математики, физики и методики преподавания
______________ Горностаев О.М.
20 сентября 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Математика (Теория вероятностей и математическая статистика)
Специальность - 050201.65 Математика с дополнительной специальностью 050202.65 Информатика
Форма подготовки очная
Кафедра математики, физики и методики преподавания
курс 3 семестр 6
лекции 30 час.
практические занятия 20 час.
лабораторные работы 0 час.
всего часов аудиторной нагрузки 50 час.
самостоятельная работа 50 час.
реферативные работы 0
контрольные работы 1
зачет – семестр
экзамен 6 семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования (номер государственной регистрации №692 пед/ сп
(новый) от 31 января 2005 г.)
Рабочая программа дисциплины обсуждена на заседании кафедры математики, физики и методики
преподавания 20. 09. 2011 г., протокол № 1.
Заведующий кафедрой:
Горностаев О.М., 20. 09. 2011 г.
Составитель:
доцент Милованов В.Ф.
Содержание
1. Пояснительная записка
2. Тематический план дисциплины
3. Содержание учебного материала по дисциплине «Теория вероятностей и
математическая статистика»
4. Требования к знаниям и умениям (компетенциям) студентов
5. Формы рубежного (текущего) и итогового контроля
6. Список литературы
1. Пояснительная записка
Целью преподавания дисциплины является обучение студентов основным
вероятностным методам, развитие их интеллекта и способностей к логическому и
алгоритмическому мышлению. Современный специалист должен хорошо владеть
основными понятиями теории вероятностей и элементами математической статистики,
идеями и методами исследования задач, принятия решений на основе вероятностных и
статистических методов.
Целью курса является:
- познакомить студентов с основными понятиями теории вероятностей и
элементами математической статистики;
- выработать практические навыки по решению задач из теории вероятностей;
- развить умения по применению теории вероятностей и статистических
методов исследования;
- привить умение самостоятельно изучать учебную литературу.
- По
курсу
теории
вероятностей
и
математической
статистики
предусматриваются лекции в размере – 30 часов, практические занятия – 20 часов и
самостоятельная работа – 50 часов.
Курс освещает основные понятия теории вероятностей и первоначальные понятия
математической статистики.
Наряду с классическим и статистическим определениями вероятности,
обращается внимание на геометрические вероятности и аксиоматическое определение
вероятности, уделяется внимание задачам, решаемым с применением комбинаторики.
Курс включает в себя рассмотрение основных законов распределения дискретных и
непрерывных случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона,
геометрическое распределение, равномерное и нормальное распределения.
Значительное внимание придаются закону больших чисел и предельным теоремам.
На законе больших чисел основан выборочный метод, широко применяемый в
математической статистике, элементы которой входят в данную программу. Здесь
обращается особое внимание на геометрическое изображение статистического
распределения выборки ( полигон, гистограмма ). Рассматриваются точечные оценки для
генеральной средней и генеральной дисперсии, а также интервальные оценки для
параметров нормального распределения. Корреляционный и регрессионный анализ.
При реализации программы курса основные понятия и теоремы иллюстрируются
примерами.
2. Тематический план дисциплины
3
4
5.
6
7.
8.
9.
10
11
12
13
14
15
2
1
3
6
2
1
3
6
2
2
4
8
2
1
3
6
2
1
3
6
2
2
4
8
2
1
3
6
2
1
3
6
2
2
4
8
2
1
3
6
2
1
3
6
2
2
4
8
2
2
4
8
2
1
3
6
2
1
3
6
30
20
50
100
Лабораторные
занятия
Трудоемкость
(всего часов)
2.
Самостоятельная
работа студентов
1
6 семестр
Зарождение теории вероятностей и
классическое определение
3
вероятностей
Элементы комбинаторики и их
применение к решению вероятностных
3
задач
Различные определения вероятности:
статистическое определение
4
статистические закономерности,
геометрическая вероятность
Аксиоматическое определение
3
вероятности алгебра событий
Виды событий: зависимые,
независимые, совместные,
3
несовместные и другие.
Теоремы сложения и умножения
4
вероятностей
Формула полной вероятности, терема
3
Байеса
Повторные испытания. Схема
3
Бернулли
Асимптотические формулы ( теоремы
4
Муавра-Лапласа, Пуассона.)
Случайные величины и их законы
3
распределения
Числовые характеристики случайных
величин. Закон больших чисел.
3
Центральная предельная теорема
Элементы математической статистики
4
Статистические методы исследования
зависимостей между случайными
4
величинами: корреляционный и
регрессионный анализ
Понятие о простейших случайных
3
процессах
Проверка статистических гипотез.
Потоки событий. Заключительный
3
обзор современного состояния теории
вероятностей.
Итого по дисциплине:
50
Практические,
семинарские
занятия
Наименование модулей, разделов, тем
(с указанием семестра)
Всего
№
Лекции
Аудиторные занятия
3.Содержание учебного материала по видам аудиторной работы
Лекции
Лекция 1. Зарождение теории вероятностей и классическое определение вероятностей .
Лекция 2.Элементы комбинаторики и их применение к решению вероятностных задач
Лекция 3. Различные определения вероятности: статистическое определение
статистические закономерности, геометрическая вероятность
Лекция 4. Аксиоматическое определение вероятности алгебра событий
Лекция5. Виды событий: зависимые, независимые, совместные, несовместные и другие.
Лекция 6. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Лекция 7. Формула полной вероятности, терема Байеса
Лекция 8. Повторные испытания. Схема Бернулли
Лекция 9. Асимптотические формулы ( теоремы Муавра-Лапласа, Пуассона.).
Лекция 10. Случайные величины и их законы распределения.
Лекция 11. Числовые характеристики случайных величин. Закон больших чисел.
Центральная предельная теорема.
Лекция 12. Элементы математической статистики.
Лекция 13. Статистические методы исследования зависимостей между случайными
величинами: корреляционный и регрессионный анализ.
Лекция 14. Понятие о простейших случайных процессах.
Лекция 15. Проверка статистических гипотез. Потоки событий. Заключительный обзор
современного состояния теории вероятностей.
Практические занятия
Занятие1. Зарождение теории вероятностей и классическое определение вероятностей .
.Элементы комбинаторики и их применение к решению вероятностных задач
Занятие2. Различные определения вероятности: статистическое определение
статистические закономерности, геометрическая вероятность
Занятие 3. Аксиоматическое определение вероятности алгебра событий
Виды событий: зависимые, независимые, совместные, несовместные и другие.
Занятие 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Занятие 5. Формула полной вероятности, терема Байеса
Повторные испытания. Схема Бернулли
Занятие 6. Асимптотические формулы (теоремы Муавра-Лапласа, Пуассона.).
Занятие 7. Случайные величины и их законы распределения.
Числовые характеристики случайных величин. Закон больших чисел. Центральная
предельная теорема.
Занятие 8. Элементы математической статистики.
Занятие 9. Статистические методы исследования зависимостей между случайными
величинами: корреляционный и регрессионный анализ.
Занятие 10. Понятие о простейших случайных процессах.
Проверка статистических гипотез. Потоки событий. Заключительный обзор современного
состояния теории вероятностей.
Требования к знаниям и умениям (компетенциям) студентов
Студент должен знать теоретические основы дисциплины в объеме, необходимом
для решения типовых задач; уметь решать типовые задачи изучаемой дисциплины.
Студент должен иметь представление:
 О вероятностных методах исследования
 о потоках событий и их видах;
 о об основных законах распределения,
 о моделях случайных процессов
 о математических основах теории вероятностей,
Студент должен знать и уметь:
 методы решения простейших вероятностных задач;
 основные формулы теории вероятностей;
 находить вероятности суммы и произведения событий;
 вычислять числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин
Студент должен иметь навыки:
 вычисления вероятностей по классическому определению вероятностей
 отбора данных, нужных для решения задачи; выбора метода решения;
 решения несложных задач прикладного характера, связанных с будущей
специальностью студента;
 применения справочников и таблиц.
5. Формы контроля
Текущий контроль
Контрольная работа (вариант)
1) Задачи на случайные события, умножение и сложение вероятностей:
а) На выпускном вечере 20 выпускников школы обменялись фотокарточками. Сколько
при этом было роздано фотокарточек?
б) Сколько разных стартовых шестерок можно образовать из числа 10 волейболистов.
в) Четырем игрокам раздается поровну колода из 32 карт. Определите вероятность того,
что вынутые карты одной масти.
г) Устройство содержит два независимых элемента. Вероятность отказа элементов равны
0.05 и 0.08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы
отказал хотя бы один элемент.
2) Независимые испытания по схеме Бернулли:
а) При каждом выстреле из орудия вероятность поражения цели 0,8. Найти вероятность
того, что при 5 выстрелах, цель будет поражена 3 раза.
б) Вероятность появления события А в каждом отдельном испытании равно 0,75.
Вычислить вероятность того, что при 48 независимых испытаниях события А наступит 3
раз.
в) Вероятность появления события в каждом из 200 независимых испытаний равна 0,7.
Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 100 раз и не более 150 б) ровно
140 раз.
г) Вероятность появления события в каждом из 9500 независимых испытаний равна 0,8.
Найти вероятность того, что относительная частота появления событий отклоняется от его
вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.
3) Числовые характеристики случайных величин
Дана таблица распределения случайной величины Х:
Х
1
3
5
7
р
0,2
0,4
0,1
0,3
Найти: математической ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение,
построить многоугольник распределения и график функции распределения.
4) Числовые характеристики случайной непрерывной величины:
а) Дана функция распределения
x0
0

F ( x )  2 x  1 0  x  1
1
x 1

Найти: математической ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение,
построить график функции распределения и плотность распределения.
б) Дана плотность распределения
x0
0

f ( x )  2 x 0  x  1
0
x 1

Найти: математической ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение,
построить график функции распределения и плотность распределения.
Итоговый контроль
Вопросы к экзамену по теории вероятностей
1. Случайные события и их классификация.
2. Алгебра события.
3. Действия над событиями.
4. Различные определения вероятностей: классическое определение.
5. Элементы комбинаторики.
6. Геометрическое определение вероятности.
7. Статическое определение вероятности.
8. Аксиоматическое определение вероятности.
9. Условные вероятности.
10. Вероятность произведения событий. Независимые события.
11. Вероятность суммы событий.
12. Формула полной вероятности.
13. Формула Байеса.
14. Независимые события. Схема Бернулли.
15. Формула Бернулли.
16. Теорема Пуассона.
17. Локальная теорема Лапласа.
18. Интегральная теорема Лапласа.
19. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины.
20. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной
величины. Многоугольник распределения.
21. Функция распределения непрерывной случайной величины и ее свойства.
22. Плотность распределения и ее свойства.
23. Числовые характеристики дискретной величины: математическое ожидание,
дисперсия.
24. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
25. Производная функция.
26. Биномиальный закон распределения.
27. Распределение Пуассона.
28. Геометрическое распределение.
29. Равномерный закон распределения.
30. Показательный закон распределения.
31. Нормальный закон распределения.
32. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
33. Центральная предельная теорема.
34. Элементы математической статистики: статистический ряд. Полигон частот.
35. Точечные ряды и интервальные. Гистограмма.
36. Элементы корреляции.
37. Регрессионный анализ.
6. Список литературы
Основная литература
1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник для пед. вузов / И.И. Баврин.— 6-е
изд., испр. — М.: Академия, 2007. — 616 c.
2. Демидович, Б.П. Дифференциальные уравнения: учебное пособие / Б.П.
Демидович, В.П. Моденов.— Изд. 3-е, стер.— СПб: Лань, 2008.— 288 c.
Дополнительная литература
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т.1. М.:
Просвещение, 1965. – 436с.
2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. — 8-е изд., стер. —
М.: Высшая школа, 2003 .— 414с.
3. Задачи и упражнения по математическому анализу. Кн.1, Дифференциальное и
интегральное исчесление функций одной переменной : учеб. пособие для ун-тов и пед.
вузов: в 2-х кн. / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий .— 2-е изд., перераб.
— М. : Высш. шк., 2002 .— 725 с.
4. Задачи и упражнения по математическому анализу. Кн.2, Ряды, несобственные
интегралы, кратные и поверхностные интегралы : учеб. пособие для ун-тов и пед. вузов: в
2-х кн. / И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий .— 2-е изд., перераб. — М. :
Высш. шк., 2002 .— 712 с.
5. Лекции по математическому анализу : учеб. для ун-тов и пед. вузов / Г.И.
Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков .— 2-е изд., перераб. — М.: Высшая школа,
2000 .— 695с.
6. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов
вузов / В.Е. Гмурман.— 8-е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2002 .— 478с.
7. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Ч. 2 / Г.М. Фихтенгольц .—
4-е изд., стер. — М.: Лань, 2003.— 463с.
8. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1 / Г.М. Фихтенгольц .—
4-е изд., стер. — М.: Лань, 2003.— 440с.
Электронные информационные образовательные ресурсы
1. Дискретная математика: Учебное пособие / С.А. Канцедал. - М.: ИД ФОРУМ:
НИЦ Инфра-М, 2013. - 224 с. // ЭБС znanium.com НИЦ «ИНФРА-М»  Режим доступа:
http://znanium.com/bookread.php?book=376152
2. Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М,
2013. - 544 с. // ЭБС znanium.com НИЦ «ИНФРА-М»  Режим доступа:
http://znanium.com/bookread.php?book=397662