Математическая статистика и теория вероятностей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»
Социологический факультет
УТВЕРЖДЕНО
Проректор по учебно-методической
работе
профессор ____________ Е.Г. Елина
«___»_____________________2012 г.
Рабочая программа дисциплины (модуля)
«Математическая статистика и теория вероятностей»
Направление подготовки
«Организация работы с молодежью»
040700
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов, 2012
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются:
а)
знакомство с основными разделами теория вероятностей и
математической статистики, которые входят в программу направления «Социология»;
б)
выработка навыков использования полученных знаний в
исследовательской и прикладной деятельности;
в)
подготовка студентов к освоению дисциплин, изучаемых на
старших
курсах;
г)выработка способности приобретать новые и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные
технологии.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Базовая часть, математический и естественнонаучный цикл.
При освоении дисциплины дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» требуются глубокие и прочные знания по таким разделам высшей математики, как:
а)аналитическая геометрия;
б)линейная алгебра;
в)последовательности и ряды;
г)дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и многих
переменных;
д)дифференциальные уравнения;
е)гармонический анализ;
ж)численные методы;
з)элементы функционального анализа;
Полученные при изучении дисциплины дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» знания необходимы при изучении других дисциплин, использующих понятия, методы и результаты теории
вероятностей и математической статистики, а также в практической деятельности.
З.Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей»:
понимание сущности и значения информации в развитии современного
общества (ОК-13);
способность к восприятию информации, готовность к использованию
основных методов, способов и средств получения, хранения, переработки
информации (ОК-14);
способность ясно и аргументировано сформулировать свою мысль в
устной и письменной формах, в том числе на иностранном языке, (ОК-15);
ПК 1 - общенаучные компетенции (способность осуществлять сбор и
систематизацию научной информации по молодёжной проблематике; навыки
в составлении обзоров, аннотаций, рефератов и библиографии по
молодёжной тематике; способность выступать с докладами и сообщениями и
участвовать в обсуждении проблем на семинарах, научно-практических
конференциях; способность участвовать в подготовке эмпирических
исследований по молодёжной проблематике);
ПК 5 — инструментальные компетенции (умение осуществлять сбор и
классификацию
информации;
владение
навыками
составления
информационных обзоров по исследуемой проблеме; способность применять
статистические и социологические методы сбора социальной информации;
владение навыками участия в социальных проектах по реализации
молодёжных программ; владение педагогическими приёмами и техниками,
необходимыми для работы с различными категориями молодёжи).
В результате освоения дисциплины «Математическая статистика и
теория вероятностей» обучающийся должен:
Знать: основополагающие понятия теории вероятностей и
математической статистики.
Уметь: находить вероятности событий; пользоваться формулами
Байеса и полной вероятности; владеть схемой Бернулли, формулами
Муавра-Лапласа и Пуассона; уметь использовать модели основных законов
распределения вероятностей, наиболее употребляемых в социальноэкономических приложениях; на основе цепей Маркова уметь
моделировать социально-экономические процессы; владеть элементами
математической статистики; уметь строить вариационный ряд и
эмпирические функции распределения;
проводить статистическое
оценивание и проверку гипотез; владеть статистическими методами
обработки экспериментальных данных.
Владеть: навыками решения практических задач.
4. Структура и содержание дисциплины «Математическая
статистика и теория вероятностей»:
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц
216 часа.
№
п/
п
1
2
3
4
5
6
7
Раздел
дисциплины
Основные
понятия
вероятностей
Вероятностное
пространство
Случайные
величины и способы их
описания
Модели законов
распределения
вероятностей,
наиболее
употребляемых в
социальноэкономических
Законы
распределения
вероятностей для
функций от известных
случайных
величин
Центральная
предельная
теорема.
Цепи Маркова и
их использование в
моделировании
социальноэкономических
процессов
Семес
тр
Неделя
семестра
Виды учебной работы,
включая
самостоятельную работу
студентов и
трудоемкость (в часах)
лекци
и
практ
ическ
ие
самос
тояте
льны
е
итог
о
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям
семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
Интерактивный
семинар
опрос
Контрольная
работа
опрос
Контрольная
работа
опрос
6
1
2
4
12
18
6
2
2
4
13
19
6
3
2
4
12
18
6
4
2
4
12
18
Контрольная
работа
опрос
6
5
2
4
13
19
Контрольная
работа
опрос
6
6
2
4
12
18
6
7
2
3
12
17
Интерактивный
семинар
опрос
Контрольная
работа
опрос
8
Выборки и их
характеристики
6
8
2
3
12
17
Контрольная
работа
9
Статистическое
оценивание и
проверка
гипотез
Статистические
методы обработки
экспериментальн
ых данных
6
9
1
3
13
17
Интерактивный
семинар
опрос
6
10
1
3
13
17
Контрольная
работа
опрос
10
КСР
2
Итого:
18
36
126
36
экзамен
216
зачет
Содержание дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей»
Раздел 1. Основные понятия теории вероятностей
Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные
понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности.
Теорема сложения и умножения вероятностей. Формулы Байеса и полной
вероятности. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли.
Приближенные формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.
Раздел 2. Вероятностное пространство Аксиомы теории вероятностей
Раздел 3. Случайные величины и способы их описания
Закон распределения. Функция распределения. Дискретные и
непрерывные
случайные величины. Плотность распределения. Математическое
ожидание и
дисперсия.
Раздел 4. Модели законов распределения вероятностей, наиболее
употребляемых в социально-экономических приложениях Нормальный закон
распределения. Распределение Пуассона.
Раздел 5. Законы распределения вероятностей для функций от
известных случайных величин
Раздел 6. Центральная предельная теорема
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие. Особая
роль
нормального распределения. Центральная предельная теорема.
Раздел 7. Цепи Маркова и их использование в моделировании
социально-экономических процессов
Понятие случайной функции. Классификация случайных процессов.
Основные характеристики случайного процесса. Стационарный случайный
процесс. Понятие Марковского случайного процесса. Дискретный
Марковский процесс. Цепь Маркова.
Раздел 8. Выборки и их характеристики
Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная
совокупности. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая
функция распределения.
Раздел 9. Статистическое оценивание и проверка гипотез Оценка
неизвестных параметров. Методы нахождения точечных оценок. Понятие
интервального оценивания параметров. Доверительные интервалы для
параметров нормального распределения. Проверка статистических гипотез.
Проверка гипотез о законе распределения.
Раздел 10. Статистические методы обработки экспериментальных
данных
5. Образовательные технологии:
Лекции, практические занятия, интерактивные формы, контрольные
работы, самостоятельные работы, консультации.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы сту
дентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, про
межуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Самостоятельная работа студентов проводится с использованием конспектов лекций, материалов практических занятий, а также литературы, указанной в разделе 7.(Примеры задач для самостоятельной работы Приложение 1)
Контрольные вопросы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации:
1.
Первоначальные понятия и определения теории вероятностей.
2.
События. Равновозможность. Совместимые и несовместимые собы
тия.
3.
Достоверные и невозможные события. Противоположные события.
4.
Полная система событий.
5.
Сумма и произведение событий.
6.
Определение вероятности события. Классическое определение веро
ятности события.
7.
Свойства вероятности.
8.
Теорема сложения вероятностей. Следствия о сумме вероятностей
событий, образующих полную систему событий, и о вероятности
противоположного события.
9. Теорема о вероятностях событий, одно из которых влечет другое.
10. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей.
11. Теорема о соотношении вероятности и условной вероятности события.
12. Зависимые и независимые события. Теорема о симметричности
понятий зависимости и независимости событий.
13. Попарно независимые события. Независимые в совокупности события.
Пример Бернштейна.
14. Теорема о вероятности произведения двух независимых событий.
15.Теорема о вероятности произведения конечного числа событий.
16. Следствие о вероятности произведения конечного числа
независимых событий.
17. Элементы комбинаторики. Правило суммы. Правило произведения.
18. Факториал. Размещение. Теорема о числе размещений.
19. Перестановки. Сочетания. Биномиальные коэффициенты. Треугольник
Паскаля.
20. Формула полной вероятности и формулы Байеса.
21. Основания теории вероятностей.
22. Геометрическое определение вероятности.
23. Статистическое определение вероятности.
24. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Аксиомы
вероятности.
25. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.
26. Локальная теорема Myавра-Лапласа и формула Пуассона.
27. Локальная теорема My авра-Лапласа.
28. Свойства функции Гаусса.
29. Теорема о формуле Пуассона.
30. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
31. Свойства функции Лапласа.
32. Случайная величина.
33. Дискретная случайная величина. Закон распределения.
34. Биномиальный закон распределения.
35. Закон распределения редких событий (закон Пуассона).
36. Многоугольник распределения вероятностей.
37. Независимые случайные величины.
38. Независимые в совокупности случайные величины.
39. Зависимые случайные величины.
40. Произведение случайной величины на константу. Квадрат
случайнойвеличины.
41. Сумма, разность и произведение случайных величин.
42. Определение математического ожидания.
43. Теоремы о математическом ожидании постоянной случайной
величины, произведения случайной величины на постоянный
множитель,суммы конечного числа случайных величин, разности
случайных величин, произведения конечного числа случайных
величин.
44. Теорема о математическом ожидании случайной величины, все
значения которой уменьшены (увеличены) на одно и то же
значение.Следствие о математическом ожидании отклонения
случайной величины от ее математического ожидания.
45. Определение дисперсии, среднего квадратического отклонения.
46. Теорема о дисперсии постоянной случайной величины,
произведения случайной величины на постоянный множитель.
47. Теорема о формуле для вычисления дисперсии.
48. Теоремы о дисперсии суммы конечного числа случайных
величин,разности случайных величин.
49. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы
одинаковораспределенных случайных величин.
50. Теорема о математическом ожидании и дисперсии случайной
величины, распределенной по биномиальному закону.
51. Ковариация (корреляционный момент) двух случайных величин.
52. Два свойства ковариации.
53. Коэффициент корреляции двух случайных величин.
54. Некоррелированные случайные величины.
55. Дисперсия суммы и разности
коррелированных и
некоррелированных случайных величин.
56. Дисперсия суммы попарно некоррелированных случайных величин.
57. Свойства коэффициента корреляции.
58. Вариационный ряд. Дискретные и непрерывные вариационные
ряды.Интервальные разности.
59. Эмпирическая функция распределения. Определение, формы
представления (гистограмма, полигон).
60. Определение
средней
арифметической.
Теоремы,
характеризующиесвойства средней арифметической.
61. Групповые средние. Общая средняя. Теорема о связи общей среднейс
групповыми средними.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины
«Математическая статистика и теория вероятностей»
а) основная литература:
1.
Курс высшей математики. Теория вероятностей / Под общ. Ред. И.М.
Петрушке - 2-е изд., стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. - 346с.
2.
Высшая математика для экономических специальностей / Под ред.
Н.Ш. Кремера. - М.: Юрайт; Высш. Образование, 2010. - 909 с.
3.
Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие /
В. Е. Гмурман. - М.: Юрайт: ИД Юрайт, 2010. - 478 с.
4.
4. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по экон. специальностям
/ Н. Ш. Кремер. - М: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.
б) дополнительная литература:
1.
Прикладная математическая статистика.: для инженеров и науч.
работников / А. И. Кобзарь. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 813 с.
2.
Сборник задач по теории случайных процессов с методическими
указаниями: учеб.-метод. пособие для студентов мех.-мат. фак. / Е.Л.
Александров, В. Н. Михайлов. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та,2003.-85 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. Пакет Maxima
2. Пакет Exel
3. http://teorver-online.narod.ru/ - Интернет-учебник: А.Д. Манита. Теория
вероятностей и математическая статистика.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей»
Учебная аудитория с обязательным наличием специализированной
доски, мела (маркера), проектора и пр., с возможностью размещения всех
обучающихся.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению по направлению подготовки 040700 «Организация работы с молодежью».
Автор доцент кафедры дифференциальных уравнений
и прикладной математики Рыхлов _________________
Программа одобрена на заседании кафедры социологии молодежи
протокол № 1 от 30 августа 2012 года.
Заведующий
Кафедрой социологии молодежи
Ивченков С.Г.
Декан
Социологического факультета
Дыльнов Г.В.
Приложение 1
задача № 1
Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по
потребительским признакам. Вероятность ого, что изделию первого вида будет
присвоен знак качества, равна 0,7; для изделия второго вида эта вероятность
равна 0,9; а для изделия третьего вида 0,8. Найти вероятность того, что знак
качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя
бы одному изделию
задача № 2
Оптовая база снабжает товаром 9 магазинов. Вероятность того, что в течение
дня поступит заявка на товар, равна 0,5 для каждого магазина. Найти
вероятность того, что в течение дня а) поступит 6 заявок, б) не менее 5 и не
более 7 заявок, в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число
поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему
вероятность.
задача № 3
Заданы математическое ожидание а=15 и среднее квадратичное отклонение 6=2
нормально распределенной величины X. Требуется найти: а) вероятность того,
что X примет значение, принадлежащие интервалу (9; 19). б) вероятность того,
что абсолютная величина отклонения «Х-а» окажется меньше 5=3
задача № 4
Даны выборочные варианты Х\ и соответствующие им частоты rij
количественного признака X. а) найти выборочные среднюю дисперсию и
среднеквадратическое отклонение, б) Считая, что количественный признак X
распределен по нормальному закону и что выборочная дисперсия равна
генеральной дисперсии, найти доверительный интервал для оценки
математического ожидания с надежностью у=0,99