Математическая логика и теория вероятности

Математическая логика и теория вероятностей.
1.
Из
ОБЯЗАТЕЛЬНОГО
МИНИМУМА
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
СОДЕРЖАНИЯ
ОСНОВНЫХ
а) элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей.
Основная школа.
-Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств.
Диаграммы Эйлера.
-Понятие об аксиомах и теоремах. Обратная теорема. Следствие. Необходимые условия,
достаточные условия. Доказательство от противного. Контрпример.
-Перестановки и сочетания. Решение комбинаторных задач. Перебор вариантов. Правило
умножения. Формула бинома Ньютона.
-Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Среднее результатов
измерения.
-Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность, приближение
частоты к вероятности. Геометрическая вероятность.
-Исторические замечания.
б) элементы статистики и теории вероятностей.
Полная средняя школа.
-Табличное и графическое представление информации; гистограммы выборок.
-Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества.
Решение комбинаторных задач.
-Классический способ нахождения вероятности случайных событий. Геометрические
вероятности. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность
противоположного события. Вероятность и статистическая частота наступления события.
в) элементы логики.
Профильный уровень. Логические операции с высказываниями. Следствие и
равносильность. Прямая и обратная теоремы. Необходимые условия, достаточные условия.
Противоречие.
Доказательство
от
противного.
Метод
математической
индукции.
Аксиоматический подход к построению отдельных разделов математики.
г) элементы статистики и теория вероятностей.
Профильный уровень.
-Табличное и графическое представление результатов измерений: выборка, варианта,
(вариационный) ряд данных, многоугольники распределения. Гистограммы выборок. Нормальное
распределение и гауссова кривая.
-Числовые характеристики рядов данных: среднее, квадратичное отклонение, дисперсия.
Понятие о функциональных и корреляционных зависимостях.
-Формулы для числа перестановок, размещений, сочетаний. Биномиальные коэффициенты,
треугольник Паскаля и его свойства.
-Геометрические вероятности. Сумма и произведение случайных событий. Независимость
случайных событий. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Схема и формула
Бернулли. Использование таблицы значений гауссовой функции. Вероятность и статистическая
частота наступления события, представление о законе больших чисел.
- Исторические замечания.
2.ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ:
а) Основная школа.
элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Уметь:
-решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с
использованием правила умножения;
-проводить доказательства утверждений или опровергать их с помощью контрпримеров;
-извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, на графиках;
составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
-вычислять средние значения результатов измерений;
-находить частоту события;
-находить вероятности случайных событий, в том числе с использованием комбинаторики;
применять полученные знания:
-осуществляя систематический перебор вариантов при решении учебных и практических
задач;
в анализе реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
-при сравнении шансов наступления случайных событий;
- для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления
модели с реальной ситуацией.
б) Полная средняя школа.
элементы статистики и теории вероятностей
Уметь:
-решать комбинаторные задачи методом перебора, с использованием правила умножения;
-вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
-использовать статистические инструменты для анализа данных;
Применять полученные знания:
-при анализе информации статистического характера;
в) Профильный уровень.
элементы логики
Уметь:
-проводить логические операции с несложными высказываниями;
-сравнивать множества истинности высказываний, устанавливая равносильность
высказываний или логическое следование одного высказывания из другого;
-формулировать высказывания, обратные и противоположные данным;
-различать необходимость и достаточность того или иного условия;
-применять метод математической индукции для доказательства математических
утверждений;
Применять полученные знания:
-при установлении логических связей между различными повседневными явлениями;
-для отличия аргументированных от неаргументированных суждений,
-для выводов и заключений, обоснования, опровержения, иллюстрации утверждений
примером,
-поиска контрпримеров при ведении дискуссии, при создании и анализе устных и
письменных текстов;
г) Профильный уровень.
элементы статистики и теории вероятностей
Уметь:
-решать комбинаторные задачи изученных типов;
-вычислять вероятности события, пользуясь комбинаторными приемами, простейшими
свойствами вероятности, схемой повторных испытаний;
-использовать статистические инструменты для анализа данных;
-находить числовые характеристики рядов данных измерений;
Применять полученные знания:
-при анализе информации статистического характера.
3. Из письма Министерства образования Российской Федерации от 23.09.2003 г. № 03-93
ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание
математического образования основной школы» (журнал Вестник образования № 21 – 2003):
В письме говорится о том, что введение этих элементов в содержание математического
образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания математического
образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается. «Изучение элементов
комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе станет
обязательным после утверждения федерального компонента государственного стандарта общего
образования. Но в связи с тем, что внедрение в практику работы этого нового материала требует
нескольких лет и нуждается в накоплении методического опыта, Министерство образования
Российской Федерации рекомендует образовательным учреждениям начинать его преподавание в
основной школе с 2003/2004 учебного года. При этом предлагается ориентироваться на следующее
содержание:
Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью
правила умножения.
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние
результатов измерений. Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность.
Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической
вероятности.
Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный
учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных
вероятностно-статистических представлений. В старшем звене эта линия получит дальнейшее
развитие».
Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей предлагается
начать с 5-6 классов, или с 7 класса, а время на изучение этих тем предлагается найти,
отказавшись от тем, не входящих в обязательный минимум содержания основной школы (корень
степени п, степень с дробным показателем, метод интервалов, тригонометрический материал в
курсе алгебры).