Пособие для заочников

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Контрольные задания и методические указания
для студентов заочного отделения
инженерно-технических специальностей
(часть 4)
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2010
1
Рецензент
д. физ.-мат.наук, доцент кафедры прикладной математики
В.А. Едемский
Высшая математика: Контрольные задания и метод. указания для
студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей (часть4)
/ Сост. С.О. Карданов, Е.Ю. Карданова; НовГУ им. Ярослава Мудрого. –
Великий Новгород, 2010. – 46с.
Пособие является руководством по выполнению контрольных работ по курсу высшей
математики для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. Оно
содержит вопросы и теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольных
работ по данной теме, примеры решения задач, контрольные задания и список литературы.
2
Введение
При изучении курса высшей математики студент-заочник должен
выполнить ряд контрольных работ. Решения задач и пояснения к ним должны
быть достаточно подробными. Все решения надо приводить полностью,
чертежи и графики должны быть выполнены четко, с указанием масштаба и
названий координатных осей. Обозначения к задачам должны соответствовать
указаниям на чертежах и графиках. К выполнению контрольного задания
следует приступать после изучения теоретического материала по учебникам и
решения достаточного количества
задач по материалу, соответствующему
этому заданию. Данное пособие предназначено для студентов-заочников 2-го
курса весеннего семестра.
Глава
I.
Уравнения
математической
физики.
Операционное
исчисление. Теория функций комплексной переменной
Теоретические вопросы
1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка.
2. Задача Коши для уравнения колебания струны.
3. Метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебания
струны.
4. Определение преобразования Лапласа и его свойства.
5. Малая таблица преобразований Лапласа.
6. Преобразование Лапласа производной от функций.
7. Обратное преобразование Лапласа и его свойства.
8. Малая таблица обратных преобразований Лапласа.
9. Обратное преобразование Лапласа дробно-рациональных функций.
10. Операционный метод решения обыкновенных дифференциальных
уравнений и систем.
11. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
3
12. Дифференцирование функции комплексной переменной.
13. Интегрирование функции комплексной переменной.
Литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
2.
Пчелин
Б.К.
Специальные
разделы
высшей
математики.
М.:
Высш.шк.,1973.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. М.: Высш. шк.,1998. Ч.1,2.
1. Уравнения математической физики
Многие задачи механики, физики, химии приводят к исследованию
дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка,
называемых уравнениями математической физики. Например,
колебание
струны описывается уравнением:
2
 2u
2  u
.
a
t 2
x 2
(1)
Но для определения движения струны, кроме уравнения (1), необходимо задать
начальные условия, описывающие поведение струны
в начальный момент
времени t=0:
u  x,0     x  ,
(2)
u  x,0 
  x  ,
t
(3)
где   x  ,  x  - заданные функции.
Задача
отыскания
  x  , 0  t   ,
решения
u(x,t)
удовлетворяющего
уравнения
начальным
(1)
в
условиям
области
(2)-(3),
называется задачей Коши для уравнения колебания струны.
4
Решение задачи Коши для уравнения (1) задается формулой Даламбера:
u  x, t  
  x  at     x  at 
2
x  at
1

   d  .
2a x at
(4)
Задание. Найти решение u(x,t) задачи Коши:
2
  2u
2  u
 t 2  a x 2 ,    x  , 0  t  ,

u  x,0   cos x,


u  x,0 

 e x .

t
Решение. По формуле Даламбера (4) имеем:
cos  x  t   cos  x  t  1 x t 
1
u  x, t  
  e d  cos x  cos t   e  |xxtt   cos x  cos t 
2
2 x t
2
1  x t
 x t
 e    e     cos x  cos t  e  x  sht.
2
2. Операционное исчисление
1)
Преобразование Лапласа
Оператором Лапласа называется такой оператор L, который каждой
функции f(t) из рассматриваемого класса функций ставит в соответствие
функцию

L  f  t     e  pt  f  t   dt ,
(1)
0
где p-параметр (может быть комплексным).
Если несобственный интеграл в правой части равенства (1) сходится при
соответствующих значениях параметра p, то полагают

f  p    e  pt  f  t   dt ,
0
5
при этом f(t) называется оригиналом, а функция
f  p  - его лапласовым
изображением.
Говорят, что функция f(t) удовлетворяет условиям Хевисайда, если:
1) f(t)=0 для любого t < 0;
2) существуют
вещественные
числа
t   0,   выполняется условие:
Теорема
(о
достаточном
A>0
и
k≥0
такие,
что
при
f  t   Aekt .
условии
существования
лапласового
изображения). Для того чтобы существовало лапласово изображение функции
f(t), достаточно, чтобы функция f(t) удовлетворяла условиям Хевисайда и
выполнялось неравенство
Re p > k .
Заметим, что оператор Лапласа L обладает свойством линейности:
1) L  f  t   g  t   L  f t   L  g t 
2) L c  f  t   cL  f  t 
Малая таблица лапласовых изображений
1) L  t n  e at  
n!
 p  a
2) L  eat  sin t  
3) L  eat  cos t  
n 1

2
 p  a  2
pa
2
 p  a  2
Теорема (о лапласовом изображении производной от функции). Пусть
функции f  t  , f   t  , ..., f 
n
t 
удовлетворяют условиям Хевисайда. Тогда
справедлива формула:
L  f 
n
t   pn L  f t    f  0 p n1  f   0 p n2  ...  f n1  0 ,
(здесь Re p  k ).
6
2) Обратное преобразование Лапласа
Обратным оператором Лапласа называется такой оператор L-1, который
каждой функции f  p  из
класса лапласовых изображений непрерывных
функций f(t), удовлетворяющих условиям Хевисайда, ставит в соответствие
функцию f(t), т.е. если f  p   L  f  t  , то L1  f  p    f  t  .
Переход
от
изображения
к
оригиналу
называется
обратным
преобразованием Лапласа.
Заметим, что обратный оператор Лапласа L-1 обладает свойством
линейности:
1) L1  f  t   g  t   L1  f t   L1  g t 
2) L1 c  f  t   cL1  f  t 
Малая таблица обратных преобразований Лапласа


1
1

t n1  e at
1) L1 
n 
  p  a    n  1!



 1 at
1
2) L 
  e  sin t ,   0
  p  a 2   2  


1

 at
pa
3) L1 
  e  cos t
  p  a 2   2 


Обратное преобразование Лапласа дробно-рациональных
функций
Нахождение обратного преобразования Лапласа любой правильной
дробно-рациональной функции в силу линейности обратного преобразования
Лапласа
сводится
к
нахождению
обратного
преобразования
Лапласа
простейших дробно-рациональных функций.
Справедливы следующие формулы обратных преобразований Лапласа
простейших дробно-рациональных функций:
7

A 
A

t n1  e at
1) L1 

n
  p  a    n  1!


M

 t
 t
Mp  N 

2
1 
2
2
2
e sin  
t
2) L  2
  Me cos   4  t 
2
p


p


4




4


Mp  N
3) L1  2
l
 ( p  p   )
2
N
 (1) l 1   l 1 1  Mp  N  
 l 1 L  2
 
  |  
(
l

1
)!


p


p






Здесь n=1,2,…; l=2,3,…; A, a, M, N, α, β - вещественные числа,
2
4
  0.
3) Применение преобразования Лапласа
На практике операционные методы получили широкое применение для
отыскания решений линейных дифференциальных уравнений и линейных
систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n- го
порядка с постоянными коэффициентами
 y  n   a1 y  n1  ...  an1 y  an y  f  t  ,

 n 1
 0   yn1,
 y  0   y0 , y  0   y1 ,..., y
(здесь y0, y1, …, yn-1 - заданные постоянные) может быть получено
операционным методом по следующей формуле:
 L  f  t  
 R  p 


1 Rn  p 
y  t   L1  
 y0 L1  1

...

y
L



,
n 1
 R p 
R
p
R
p










(2)
где
R  p   p n  a1 p n1  ...  an1 p  an ,
R1  p  
R  p   an
R  p   an1
R  p   a1
, R2  p   1
,..., Rn  p   n1
.
p
p
p
Решение задачи Коши для линейной системы дифференциальных
уравнений n- го порядка с постоянными коэффициентами
8
 y1  a11 y1  a12 y2  ..  a1n yn  f1  t  ,

 y2  a21 y1  a22 y2  ...  a2 n yn  f 2  t  ,

...........................................................
 y  a y  a y  ...  a y  f  t  ,
n1 1
n2 2
nn n
n
 n
1
2
 y1  0   y , y2  0   y ,..., yn  0   y n ,
(здесь y1, y2,…,yn - заданные постоянные) может быть получено операционным
методом по следующей формуле:
y  t   Y  t   y1 z1  t   ....  y n zn  t  ,
(3)
где
 n 1 
 ( p)  
  L  L f i (t )  i1

( p )  
 i 1 
 y1 (t ) 
 n






(
p
)

1
  L  L f (t )  i 2
 
 y 2 (t ) 
i


y (t )  
, Y (t )  i 1 
( p)   ,
....... 




 ................................. 
 y (t ) 
 n 
 n
 in ( p )  
1 
  L  L f i (t ) 
 
 i 1

(
p
)



 1  11 ( p)  
 1   n1 ( p )  
L 

L 


  ( p)  
  ( p)  




 L1  12 ( p)  
 L1   n 2 ( p )  
z1 (t )    ( p )   , ... , z n (t )    ( p)   ,




 .................. 
 .................. 
   ( p)  
   ( p)  
 L1  1n

 L1  nn

 




(
p
)

(
p
)


 
 
a11  p
( p) 
a21
...
an1
a12
...
a1n
a22  p ...
a2 n
,
...
...
...
an 2
... ann  p
 ij ( p) - алгебраические дополнения элементов определителя ( p) .
9
Задание 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
2-го порядка:
 y  y  sin t ,

 y  0   y  0   0.
Решение. В данном случае f  t   sin t . Следовательно, по второй формуле
малой таблицы лапласовых изображений имеем: L  sin t  
1
. Тогда в силу
p 1
2
(2) решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения может
быть записано в виде:

 L  f  t    1 
1
.
y t   L 
L  2
 R  p  
  p  p    p 2  1 




1
Для
нахождения
правильной
обратного
дробно-рациональной
преобразования
Лапласа
полученной
функции, найдем ее разложение на
простейшие:
1
1
A
B
Cp  D




,
 p 2  p    p 2  1 p  p  1  p 2  1 p p  1 p 2  1
где коэффициенты A, B,C,D находятся как решение системы алгебраических
уравнений:
A 1

 A BC 0


AC  D 0
 A  B  D  0.
Решая
систему,
получаем:
1
1
1
A  1, B   , C   , D   .
2
2
2
Следовательно,


1
1 1
1
p
1
1 
1  1

y  t   L1  2

L








2
2
  p  p    p 2  1 
p
2
p

1
2
p

1
2
p

1




 1  1  1  1 1  p  1 1  1 
1
1
1
 L1    L1 
 L  2
 L  2
 1  e t  cos t  sin t.



2
2
2
 p  2  p 1 2  p 1 2  p 1
10
(Здесь мы воспользовались свойством линейности обратного преобразования
Лапласа и малой таблицей обратных преобразований Лапласа.)
Задание 2. Найти решение задачи Коши для системы дифференциальных
уравнений:
 x  x  y  et ,

t
 y  x  y  e ,
 x 0  y 0  1.
 
  
Решение. В данном случае f1  t   f 2  t   et . Следовательно, по первой
формуле малой таблицы лапласовых изображений имеем: L  et  
1
. Тогда в
p 1
силу (3) решение задачи Коши для данной системы дифференциальных
уравнений может быть представлено в виде:
 1  1 ( p )  
 L 
 

(
p
)
x
(
t
)

  


  
,
 y (t )   1   2 ( p )  
 L   ( p )  

 
где
( p) 
1 p
1
1
1 p
 p 2  2 p,
1
1 1
p( p  2)
p 1
1 ( p) 

,
1
p

1
1 1 p
p 1
1 p
 2 ( p) 
1
1
1
p( p  2)
p 1

1
p 1
1
p 1
Следовательно,
  ( p)  1  1  t
x(t )  L1  1
L 
e ,
 ( p) 
 p 1
11
  ( p)  1  1  t
y (t )  L1  2
L 
e .
 ( p) 
 p 1
3. Теория функций комплексной переменной
1) Предел и непрерывность функции комплексной переменной
Пусть задана функция комплексной переменной w=f(z)=u+iv, где z =x+iy,
u(x,y)=Re w, v(x,y)=Im w.
Число А называется пределом функции f(z) при z  z0 ( lim f  z   A ), если
z  z0
  0       0 такое, что для всех z ≠ z0, удовлетворяющих неравенству
z  z0   , выполняется неравенство f  z   A   .
Функция f(z) называется непрерывной в точке z 0 , если она определена в
этой точке и выполняется равенство lim f  z   f  z0  .
z  z0
2) Дифференцирование функций комплексной переменной
Пусть функция w=f(z) задана в некоторой области D комплексной
переменной z. Функция f(z) называется дифференцируемой в точке z, если
существует конечный
предел
отношения
приращения функции ∆f(z) к
приращению аргумента ∆z при условии, что ∆z→0. Этот предел называется
производной функции w=f(z) в точке z и обозначается f   z  .Таким образом,
f  z 
.
z 0
z
f   z   lim
Теорема
переменной).
(критерий
Для
того
дифференцируемости
чтобы
функция
функций
комплексной
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
была
дифференцируемой в точке z=x+iy, необходимо и достаточно, чтобы функции
u(x,y) и v(x,y)
были дифференцируемы в точке (x,y) как функции двух
действительных переменных x, y и выполнялись условия Коши-Римана:
12
 u  x, y  v  x, y 


x
y


 u  x, y    v  x, y  .
 y
x
(1)
При выполнении условий (1) производная f   z  может быть записана в виде:
f  z  
Заметим,
переменной
что
правила
аналогичны
u v
.
i
x
x
(2)
дифференцирования
правилам
функции
дифференцирования
комплексной
функции
действительной переменной.
Задание. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции f(z) и
в случае их выполнения найти f   z0  :
f  z    3x 2 y  y 3   i  3xy 2  x 3  , z0  1  i .
Решение. В данном случае
u  x, y   3 x 2 y  y 3 ,
v  x, y   3xy 2  x 3 ,
и поэтому
u
u
 6 xy,
 3x 2  3 y 2 ,
x
y
v
v
 3 y 2  3x 2 ,
 6 xy.
x
y
Следовательно, условия Коши-Римана выполняются во всей плоскости, и по
формуле (2) имеем:
f  z  
u v
 i  6 xy  i  3 y 2  3x 2   6 xy  3i  y 2  x 2  .
x
x
Тогда
f   z0   [6 xy  3i  y 2  x 2 ]| 1,1  6 .
13
3) Интегрирование функции комплексной переменной
Пусть функция w=f(z) определена на дуге MN
кривой L комплексной
плоскости z. Разобьем дугу MN произвольным образом на n частей точками
M=z0, z1,…, zn =N. Полученные дуги zi-1zi, i=1,…,n назовем элементарными
дугами. В каждой из элементарных дуг произвольным образом выберем по
точке i  zi 1 zi , i=1,…,n, которые назовем точками пунктуации. Введем
обозначения:
  max zi
zi  zi  zi 1 ,
1i  n
и составим сумму
n
 f    z ,
i
i 1
(3)
i
которая называется интегральной суммой Римана для функции f(z) по дуге
MN. Заметим, что выражение (3) зависит от способа разбиения дуги MN на
элементарные дуги и от способа выбора точек пунктуации.
Если существует предел интегральной суммы Римана (3) при   0 , и если
этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги MN на элементарные дуги,
ни от выбора точек пунктуации, то он называется интегралом от функции
комплексной переменной f(z) по дуге MN. При этом используется обозначение:
 f  z dz .
LMN
Таким образом, по определению
n
 f    z .
 f  z dz = lim

0
LMN
i 1
i
i
(4)
Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y), то интеграл представляется в виде суммы двух
криволинейных интегралов 2-го рода:
 f  z dz   u  x, y  dx  v  x, y  dy  i   v  x , y dx  u  x , y dy
LMN
LMN
Задание. Вычислить интеграл
(5)
LMN
 z  z dz, где
L - верхняя полуокружность
L
z  1 от точки M 1,0  до точки N  1,0  .
14
Решение. По формуле (5) имеем:
 z  z dz  
L
x 2  y 2  x dx  y dy      x 2  y 2   y dx  x dy  .
L
L
Переходя к параметрическому уравнению кривой L : x  cos t , y  sin t ,0  t   ,
получаем


 z  z dz     cos t  sin t  sin t  cos t  dt  i    sin
L
0
2
t  cos 2 t  dt   i .
0
Глава II. Теория вероятностей. Элементы математической статистики
Теоретические вопросы
1. Основные понятия теории вероятностей.
2. Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности
события.
3. Элементы комбинаторики.
4. Основные теоремы теории вероятностей.
5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
6. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Асимптотические формулы.
7. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики ДСВ.
8. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность
распределения, числовые характеристики НСВ.
9. Нормальное распределение.
10. Элементы математической статистики.
Литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
М.: Высшая школа, 1988.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М.: Высшая школа, 1979.
15
1. Случайные события
1) Основные понятия теории вероятностей
Испытанием в теории вероятностей называется опыт, при проведении
которого задается совокупность условий, не полностью предопределяющих
исход этого опыта.
Случайным событием (событием) по отношению к данному испытанию
называется явление, которое может произойти или не произойти в зависимости
от исхода испытания.
Событие называется достоверным по отношению к данному испытанию,
если оно осуществляется при любом исходе данного испытания.
Событие называется невозможным по отношению к данному испытанию,
если оно не осуществляется ни при каком исходе данного испытания.
Обозначения событий: A, B, C, … - случайные события; U – достоверное
событие , V- невозможное событие.
Два события A и B называются эквивалентными по отношению к данному
испытанию, если из осуществления одного из них следует осуществление
другого. Обозначение: A=B.
Действия над событиями
Суммой двух событий A и B по отношению к данному испытанию
называется событие С, заключающееся в осуществлении хотя бы одного из
складываемых событий. Обозначение: С= A+B.
Произведением событий A и B по отношению к данному испытанию
называется событие С, заключающееся в одновременном осуществлении обоих
перемножаемых событий. Обозначение: С= AB.
Для любых событий A, B и С справедливы следующие свойства действий
над событиями:
1) A+B = B+ A
2) A+(B+С)= (A+ B)+С
3) A+ A = A
16
4) AB= BA
5) A(BС)=(AB)С
6) A A = A
7) AU=A
8) AV=V
9) (A+B)C=AC+BC
2)
Понятие
вероятности
события.
Классическое
определение
вероятности
События A и B называются несовместными по отношению к данному
испытанию, если их произведение есть событие невозможное по отношению к
данному испытанию.
Вероятностью события
A по отношению к данному испытанию
называется число P(A), удовлетворяющее следующим условиям:
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(U)=1, P(V)=0
3) Если A и B – несовместные события, то P(A+B)=P(A)+P(B).
Классическое определение вероятности события
Назовем
событие
A
благоприятствующим
событию
B,
если
из
осуществления события A следует осуществление события B. В противном
случае событие A называется не благоприятствующим событию B.
Предположим, что система событий Е1, Е2, …, Еn образует полную систему
элементарных событий по отношению к данному испытанию. Это означает,
что указанная система событий по отношению к данному испытанию является:
1) полной (т.е. сумма всех этих событий есть событие достоверное);
2) несовместной (т.е. любые два события несовместны);
3) равновозможной (т.е. возможность осуществления любого из этих
событий не имеет преимуществ перед возможностью осуществления любого
другого).
Пусть событие A таково, что любое из элементарных событий Е1, Е2, …, Еn
либо благоприятствует событию A, либо не благоприятствует. Вероятностью
17
события A при рассматриваемом испытании называется число, равное
отношению числа m элементарных событий, благоприятствующих событию A,
к общему числу n элементарных событий:
P( A) 
m
n
(1)
Нетрудно убедиться, что классическое определение вероятности события
удовлетворяет всем условиям определения вероятности, данного выше.
Задание 1. Имеется 40 карточек, на которых написаны числа от 1 до 40.
Карточки перемешаны и наугад выбирается одна карточка. Какова вероятность
того, что число, написанное на карточке, делится на 4?
Решение. Испытанием в данной задаче является выбор карточки. Общее
число
элементарных
событий
n=40
(число
карточек).
Событию
А
благоприятствуют m=10 элементарных событий (число карточек с числами,
делящимися на 4). Тогда согласно классическому определению вероятности
события имеем: P( A) 
m 10

 0,25 .
n 40
Для вычисления вероятности события необходимо найти числа m и n. В
некоторых случаях для этого используют формулы комбинаторики.
3) Элементы комбинаторики
Конечное множество называется упорядоченным, если его элементы какимлибо образом пронумерованы, т.е. указан порядок следования элементов.
Пусть дано конечное множество M, состоящее из m элементов.
Размещением из m элементов по n элементов называется любое упорядоченное
подмножество, содержащее n элементов, из множества M, содержащего
m
элементов. Таким образом, различные размещения отличаются друг от друга
либо составом входящих в них элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из m элементов по n элементов обозначается Amn и
вычисляется по формуле:
Amn  m(m  1)(m  2)...(m  n  1)
(2)
18
Перестановками из n элементов называются различные упорядочения
конечного множества, состоящего из n элементов. Таким образом, различные
перестановки отличаются друг от друга лишь порядком элементов. Число
перестановок обозначается Pn и вычисляется по формуле:
Pn  n!
(3)
Сочетанием из m элементов по n элементов называется любое
подмножество, содержащее n элементов, из множества M, содержащего m
элементов. Таким образом, различные сочетания отличаются друг от друга
только составом входящих в них элементов.
Число сочетаний из m элементов по n элементов обозначается Cmn и
вычисляется по формуле:
Amn
m!
C 

Pn n!(m  n)!
n
m
(4)
Задание 2. Восемь книг расставлены на полке случайным образом. Найти
вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
Решение.
Воспользуемся
классическим
определением
вероятности
события. Общее число элементарных событий в данном случае равно n=P8=8! число способов расставить 8 книг на полке (число перестановок из 8
элементов). Событию А благоприятствуют m  7  2! 6! элементарных событий
(число способов расставить 8 книг так, чтобы 2 определенные книги оказались
поставленными
рядом).
Тогда,
вероятности события, имеем: P( A) 
согласно
классическому
определению
m 7  2! 6! 1

 .
n
8!
4
Задание 3. На карточках разрезной азбуки напечатаны буквы з, а, д, а, ч, а.
Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на 4-х вынутых
по одной и расположенных в ряд карточках, можно будет прочесть слово
«дача».
Решение. Общее число элементарных событий в данном случае равно
n  A64  6  5  4  3  360 - число способов вынуть 4 карточки из имеющихся 6
(число
размещений
из
6
элементов
по
4
элемента).
Событию
А
19
благоприятствуют m  A32  3 элементарных событий (число способов получить
слово «дача»). Тогда согласно классическому определению вероятности
события имеем: P( A) 
m
3
1
.


n 360 120
Задание 4. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6
человек для участия в соревнованиях. Найти вероятность того, что среди них
будет 2 женщины.
Решение. Общее число элементарных событий в данном случае равно
n  C116 
11!
 462 - число способов выбрать 6 человек из имеющихся 11
6! 5!
(число
сочетаний
из
11
элементов
благоприятствуют m  C42  C74 
по
6
элементов).
Событию
А
4!
7!

 6  35  210 элементарных событий
2! 2! 4! 3!
(число способов выбрать 6 человек так, чтобы среди них было 2 женщины, а 4 мужчины). Тогда согласно классическому определению вероятности события
имеем: P( A) 
m 210 105
.


n 462 231
4) Основные теоремы теории вероятностей
Свойства несовместных событий
Пусть дана система несовместных событий А1, А2, …, Аn (т.е. любые два
события несовместны). Справедливы следующие утверждения:
Теорема 1. Если система событий А1, А2, …, Аn является несовместной, то
вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:
n
n
P( Ak )   P( Ak )
k 1
(5)
k 1
Теорема 2. Если система событий А1, А2, …, Аn является полной (т.е. сумма
всех этих событий есть событие достоверное) и несовместной, то сумма
вероятностей этих событий равна 1:
n
 P( A )  1
k 1
k
(6)
Противоположные события
20
Два события называются противоположными по отношению к данному
испытанию, если они образуют полную и несовместную систему. Обозначение:
А и A - противоположные события.
Согласно определению: A  A  U и A  A  V . Тогда из теоремы 2 следует,
что
P( A)  P( A)  1.
(7)
Вероятность суммы событий
Если события несовместны по отношению к данному испытанию, то
вероятность их суммы вычисляется по формуле (5): P(A+B)=P(A)+P(B).
В общем случае, для любых двух событий А и В справедливо равенство:
P(A+B)=P(A)+P(B) - P(AB)
(8)
Условная вероятность
Условной вероятностью события А при гипотезе В называется вероятность
события А при таком условном испытании, по отношению к которому событие
В является достоверным. Обозначение: P(A/B).
По отношению к классическому определению вероятности для любых
событий А и В справедлива формула:
P( A / B) 
P( AB)
P( B)
(9)
Вероятность произведения событий
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого при гипотезе первого:
P( AB)  P( A)  P( B / A)  P( B)  P( A / B)
(10)
Событие А называется независимым от события В, если P( A / B)  P( A) . В
противном случае событие А называется зависимым от события В. Нетрудно
показать, что если событие А не зависит от события В, то и событие В не
зависит от события А. Такие события называются независимыми. Аналогично,
если событие А зависит от события В, то и событие В зависит от события А. В
этом случае события называются зависимыми.
21
Вероятность
произведения
двух
независимых
событий
равна
произведению их вероятностей:
P( AB)  P( A)  P( B)
(11)
Задание 5. Для сигнализации о пожаре установлены два независимо
работающих датчика. Вероятности того, что при пожаре датчик сработает, для
1-го и 2-го датчиков соответственно равны 0,8 и 0,9.
а) Найти вероятности следующих событий:
1) А - сработают оба датчика;
2) В - сработает только первый датчик;
3) С - сработает только один датчик;
4) D - сработает хотя бы один датчик.
б) Известно, что сработал только один датчик. Найти вероятность того,
что это был первый.
Решение. а) Введем события: А1 – 1-ый датчик сработает; А2 – 2-ой датчик
сработает. Тогда A1 и A2 - противоположные события (датчики не сработают).
По условию P(А1)=0,8; P(А2)=0,9. Вероятности противоположных событий
найдем по формуле (7): P( A1 )  0,2 ; P( A2 )  0,1.
1) Событие А заключается в том, что сработали оба датчика, т.е. A  A1  A2 .
События А1 и А2 по условию задачи независимы, поэтому по формуле (11)
имеем: P( A)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  0,8  0,9  0,72 .
2) Событие В заключается в том, что сработает только первый датчик, т.е.
B  A1  A2 . Тогда P( B)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  0,8  0,1  0,08 .
3) Событие С заключается в том, что сработает только один датчик – либо
только 1-ый, либо только 2-ой. В этом случае событие С представляет собой
сумму двух несовместных событий: C  A1  A2  A1  A2 . С учетом формул (5) и
(11) имеем: P(C )  P( A1  A2 )  P( A1  A2 )  0,8  0,1  0,2  0,9  0,26 .
22
4) Событие D заключается в том, что сработает хотя бы один датчик, т.е.
D  A1  A2 . События А1 и А2 совместны, поэтому для вычисления вероятности
события D необходимо воспользоваться формулой (8):
P( D)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 A2 )  0,8  0,9  0,8  0,9  0,98 .
Отметим, что вероятность события D можно найти и другим способом.
Рассмотрим противоположное событие D - ни один датчик не сработал.
Очевидно, что D  A1  A2
и P( D)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  0,2  0,1  0,02 .
Тогда по формуле (7) имеем: P( D)  1  P( D)  1  0,02  0,98 .
б) Для решения данной задачи необходимо найти вероятность P ( A1 / C ) . По
формуле (9) имеем: P( A1 / C ) 
P( A1  C )
. Произведение A1  C означает, что
P(C )
одновременно произошли два события - А1 (1-ый датчик сработал) и С
(сработал
P( A1 / C ) 
только
один
датчик).
Следовательно,
A1  C  A1  A2 ,
и
0,8  0,1
 0,31 .
0,26
5) Формула полной вероятности. Формула Байеса
Система событий H1, H2, …, Hn называется полной системой гипотез по
отношению к данному испытанию, если эта система является полной и
несовместной по отношению к данному испытанию. В силу теоремы 2
(формула (6))
n
 P( H
k 1
k
) 1.
Пусть система событий H1, H2, …, Hn является полной системой гипотез по
отношению к данному испытанию. Тогда для любого события А по отношению
к данному испытанию справедливы формулы:
n
P( A)   P( H k )  P( A / H k )
(12)
P ( H k )  P( A / H k )
(13)
k 1
P( H k / A) 
n
 P( H
k 1
k
)  P( A / H k )
23
Формула (12) называется формулой полной вероятности, формула (13) –
формулой Байеса.
Задание 6.
При разрыве бронебойного снаряда крупные осколки
составляют 20% от общего числа осколков, средние – 30%, мелкие 50%.
Вероятность того, что крупный осколок пробьет броню танка, равна 0,8. Для
мелких и средних осколков эти вероятности соответственно равны 0,5 и 0,2.
1) Найти вероятность того, что осколок пробьет броню.
2) Броня танка оказалась пробитой. Найти вероятность того, что пробоина
произошла от мелкого осколка.
Решение. 1) Введем события: А – броня танка пробита; H1 – осколок
крупный; H2 – осколок средний; H3 – осколок мелкий.
События H1, H2, H3 образуют полную систему гипотез. Найдем их
вероятности. По условию задачи 20% от общего числа осколков крупные, 30%
– средние и 50% - мелкие. Следовательно, вероятности событий H1, H2, H3
таковы:
P(H1)=0,2;
P(H2)=0,3;
P(H3)=0,5.
Сделаем
проверку:
P(H1)+P(H2)+P(H3)=0,2+0,3+0,5=1.
Найдем условные вероятности события А при выбранных гипотезах.
Имеем: P(А /H1)=0,8; P(А /H2)=0,5; P(А /H3)=0,2.
Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:
3
P( A)   P( H k )  P( A / H k )  0,2  0,8  0,3  0,5  0,5  0,2  0,41 .
k 1
2) Для решения второй части задачи воспользуемся формулой Байеса.
Надо найти вероятность того, что пробоина в броне произошла от мелкого
осколка, т.е. вероятность P(H3/А). По формуле (13) имеем:
P( H 3 / A) 
P( H 3 )  P( A / H 3 )
3
 P( H
k 1
k
)  P( A / H k )

0,5  0,2 0,1

 0,24 .
0,41
0,41
6) Повторение испытаний. Формула Бернулли. Асимптотические
формулы
24
Пусть по отношению к событию А проводится n испытаний. Введем
события: Аk – событие А осуществилось при k-том испытании, k=1,2,…, n. Тогда
Ak - противоположное событие (событие А не осуществилось при k-том
испытании, k=1,2,…, n).
Испытания называются однотипными по отношению к событию А, если
вероятности событий А1, А2, …, Аn совпадают: Р(А1)=Р(А2)= …=Р(Аn) (т.е.
вероятность появления события А в одном испытании постоянна во всех
испытаниях). Очевидно, что в этом случае вероятности противоположных
событий также совпадают: P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An ) .
Испытания называются независимыми по отношению к событию А, если
события А1, А2, …, Аn независимы. В этом случае
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )
При этом равенство сохраняется при замене любого события Аk на Ak .
Пусть по отношению к событию А проводится серия из n однотипных
независимых испытаний. Ведем обозначения: р – вероятность осуществления
события А в одном испытании; q – вероятность противоположного события.
Таким образом, Р(Ак)=р, P( Ak )  q для любого k и p+q=1.
Вероятность того, что в серии из n однотипных независимых испытаний
событие А осуществится ровно k раз (0≤k≤n), вычисляется по формуле:
Pn (k )  Cnk p k q nk
(14)
Равенство (14) называется формулой Бернулли.
Вероятность того, что в серии из n однотипных независимых испытаний
событие А осуществится не менее k1 раз и не более k2 раз, вычисляется по
формуле:
k2
Pn (k1  k  k2 )   Cnk p k q nk
(15)
k  k1
Применение формулы Бернулли при больших значениях n приводит к
громоздким вычислениям, поэтому в этих случаях лучше использовать другие
формулы – асимптотические.
25
Формула Пуассона
Если число испытаний n велико, а вероятность осуществления события в
одном испытании р мала, то вместо формулы Бернулли используют
приближенную формулу Пуассона:
ak a
Pn (k )   e
k!
(16)
Здесь a  n  p - среднее число появлений события в n испытаниях. Формула
Пуассона дает хорошее приближение для формулы Бернулли при a  10 .
Аналог формулы (15) имеет:
ak
Pn (k1  k  k2 )  e  
k  k1 k !
a
k2
(17)
Формулы Муавра-Лапласа
Если число испытаний n велико, а вероятность осуществления события в
одном испытании р не слишком мала (так что a  n  p  10 ), то формула
Пуассона дает значительную погрешность. В этом случае используют другую
приближенную формулу – локальную формулу Муавра-Лапласа:
Pn (k ) 
где  ( x) 
2
1
 e x / 2 и
2
специальных
таблицах,
x
1
  ( x) ,
npq
(18)
k  np
. Значения функции  ( x) можно найти в
npq
которые
приведены
в
литературе
по
теории
вероятностей. Отметим, что функция  ( x) является четной, поэтому таблицы
ее значений приведены только для x  0 .
Аналог формулы (15) в данном случае имеет вид:
Pn (k1  k  k2 )   ( x2 )   ( x1 ) ,
где
k  np
k  np
x1  1
; x2  2
npq
npq
и
1
 ( x) 
2
(19)
x
t / 2
 e dt
2
- функция Лапласа.

Формула (19) носит название интегральной формулы Муавра-Лапласа.
Значения функции Лапласа также приведены в специальных таблицах.
26
x
1
t 2 / 2
e
dt и
Отметим, что часто таблицы составлены для функции  0 ( x) 
2 0
необходимо учитывать формулу связи:  ( x)  0,5   0 ( x) . Функция  0 ( x)
является нечетной, поэтому таблицы ее значений приведены только для x  0 .
Для функции  ( x) справедливо равенство: ( x)  ( x)  1 .
Задание 7. Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0,4.
Найти вероятность того, что из 6 сотрудников фирмы заболеют
1) ровно 4 сотрудника;
2) не более 4-х сотрудников.
Решение. 1) Очевидно, что для решения данной задачи применима
формула Бернулли, где n=6; k=4; р=0,4; q=1-р=0,6. Применяя формулу (14),
получим: P6 (4)  C64  0,44  0,62  0,138 .
2) Для решения данной задачи применима формула (15), где k1=0 и k2=4.
Имеем:
4
P6 (0  k  4)   C6k p k q 6k  C60  0,40  0,66  C61  0,41  0,65  C62  0,42  0,64 
k 0
C63  0,43  0,63  C64  0,44  0,62  0,959.
Следует
заметить,
что
эту
задачу
проще
решать,
используя
противоположное событие – заболело более 4-х сотрудников. Тогда с учетом
формулы (7) о вероятностях противоположных событий получим:
P6 (0  k  4)  1  P6 (5  k  6)  1  C65  0,45  0,6  C66  0,46  0,60  0,959.
Задание 8. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет
повреждено
1) ровно три изделия;
2) менее трех изделий.
Решение. 1) Поскольку вероятность р=0,002 повреждения изделия мала, а
число изделий n=500 велико, и a  n  p  1  10 , можно воспользоваться
27
формулой
P500 (3) 
Пуассона.
Применяя
формулу
(16)
при
k=3,
получим:
1 1
e  0,0613 .
3!
2) Для решения второй задачи применима формула (17), где k1=0 и k2=2.
2
1
 0,92 .
k 0 k !
Имеем: P500 (0  k  2)  e  
1
Задание 9. К магистральному водопроводу подключены 160 предприятий,
каждое из которых с вероятностью 0,7 в данный момент осуществляет забор
воды. Найти вероятность того, что в данный момент забор воды осуществляют
1) ровно 100 предприятий;
2) не менее 80 и не более 120 предприятий.
Решение. 1) В данном случае вероятность р=0,7 осуществления забора
воды одним предприятием не мала, а число предприятий n=160 велико, и
a  n  p  112  10 . Поэтому для решения задачи надо воспользоваться
локальной формулой Муавра-Лапласа (18). Имеем: n=160; k=100; р=0,7; q= 0,3.
Вычисляем значение x: x 
k  np 100  160  0,7

 2,07 и находим значение
npq
160  0,7  0,3
 ( x) по таблице:  (2,07)   (2,07)  0,05 . Тогда по формуле (18) получим:
Pn (k ) 
1
1
  ( x) 
 0,05  0,0086 .
npq
160  0,7  0,3
2) Для решения второй задачи применима интегральная формула МуавраЛапласа (19), где k1=80 и k2=100. Вычисляем значения x1 и x2:
x1 
k1  np 80  160  0,7
k  np 120  160  0,7

 5,52 ; x2  2

 1,38 .
npq
160  0,7  0,3
npq
160  0,7  0,3
С учетом свойств функции Лапласа, перечисленных ранее, и таблиц значений
функции Лапласа находим:
( x1 )  (5,52)  0,5   0 (5,52)  0,5   0 (5,52)  0,5  0,5  0
( x2 )  (1,38)  0,5   0 (1,38)  0,5  0,416  0,916 .
Тогда по формуле (19) получим: Pn (80  k  120)  ( x2 )   ( x1 )  0,916 .
28
2. Случайные величины
Переменная Х называется случайной величиной по отношению к данному
испытанию, если в результате испытания она принимает одно из своих
возможных числовых значений, но какое именно, до испытания неизвестно.
Случайные величины принято обозначать большими буквами латинского
алфавита, например, X, Y, Z, а их возможные значения - соответствующими
малыми буквами – x, y, z.
Функция F(x) действительной переменной x, -∞<x<∞, определяемая
формулой
F(x) = P(X<x) ,
называется функцией распределения случайной величины Х.
Свойства функции распределения:
1) 0≤ F(x) ≤1, -∞<x<∞;
2) F(-∞) =0, F(+∞) =1;
3) F(x) - неубывающая функция на всей оси;
4) F(x) непрерывна слева, т.е. lim F ( x)  F ( x0 ) .
x  x0
Различают случайные величины дискретного типа (ДСВ) и случайные
величины непрерывного типа (НСВ).
Случайная величина Х называется дискретной случайной величиной, если
множество ее возможных значений есть числовая последовательность
(конечная или бесконечная).
Распределением дискретной случайной величиной называется функция,
областью
определения
рассматриваемой
которой
величины,
а
являются
все
возможные
областью
значений
-
значения
вероятности
соответствующих значений. Распределение ДСВ удобно представлять в виде
таблицы:
Возможные
значения
Вероятности
x1
x2
x3
….
xn
p1
p2
p3
….
pn
29
n
Здесь pi = P(X=xi),
p
i
i 1
 1 (условие нормировки).
Случайная величина Х называется непрерывной случайной величиной, если
ее возможные значения заполняют некоторый промежуток (конечный или
бесконечный) числовой оси.
Плотностью распределения НСВ Х называется функция f(x), которая
определена при всех x, -∞<x<∞, и удовлетворяет условиям:
1) f(x) ≥0 во всей области определения;
2) P  X   a, b   
b
 f  x  dx .
a
Свойства плотности распределения НСВ:
1) Если f(x) - плотность распределения НСВ Х и F(x) – функция
распределения этой случайной величины, то
x
F ( x) 
 f  t  dt

2) Если плотность распределения f(x) есть функция непрерывная при
x   ,   , то
F ( x)  f  x 

3)
 f  x  dx  1 (условие нормировки).

Числовые характеристики случайных величин
Математическим
ожиданием
случайной
величины
X
называется
действительное число M(X), определяемое в зависимости от типа случайной
величины Х формулой:
n

  xi pi , если Х  ДСВ,
 i 1
M (Х )   
 x  f  x  dx, если Х  НСВ.

 
30
Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых
x и y имеет место равенство P(X<x, Y<y)= P(X<x) ·P(Y<y).
Свойства математического ожидания:
1) M(C)=C, где C-const;
2) M(CX)=CM(X);
3) M(X±Y)=M(X) ±M(Y), где Х и Y – любые случайные величины;
4) M(X·Y)=M(X) ·M(Y), если Х и Y –независимые случайные величины.
Дисперсией случайной величины Х называется неотрицательное число D(X),
определяемое в зависимости от типа случайной величины Х формулой:
2
 n
x

M
X
pi , если Х  ДСВ,




  i
 i 1
D( Х )   
  x  M  X  2 f  x  dx, если Х  НСВ.

 
Свойства дисперсии:
1) D(C) =0, где C - const;
2) D(CX)=C2 D(X);
3) D(X±Y)=D(X)+D(Y), если Х и Y –независимые случайные величины.
Теорема. Дисперсия любой случайной величины Х равна математическому
ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического
ожидания:
D(X) = M(X2) - M2 (X)
Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение с
параметрами m, σ (σ >0), если ее плотность определяется формулой:

1
f ( x) 
e
 2
 x  m 2
2 2
, x   ,   .
Задание 1. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
xi
-1
0
1
2
3
pi
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
31
Найти M(X), M(3X+4), D(X), D(4X- 5).
Решение.
1) По определению математического ожидания:
5
M ( Х )   xi pi   1  0,1  0  0,2  1  0,4  2  0,2  3  0,1  1 .
i 1
2) По свойствам математического ожидания:
M (3 Х  4)  3M  X   4  3 1  4  7 .
3) По теореме о вычислении дисперсии:
D( Х )  M  X 2   M 2  X    1  0,1  02  0,2  12  0,4  22  0,2 
2
3  0,1  1  1,2
2
2
.
4) По свойствам дисперсии:
D(4 Х  5)  42  D  X   16  D  X   16  1,2  19,2 .
Задание 2. Для НСВ Х задана функция распределения:
 0, x  0

F ( x)   Ax 2 , 0  x  6
 1, x  6

Найти A, f(x), M(X), M(3X-2), D(X), D(2X+4), P(X<5), P(X>1), P(-1<X <3).
Решение.
1) По свойству плотности распределения:
 0, x  0

f  x   F   x   2 Ax,0  x  6
 0, x  6


Воспользуемся
теперь
условием
нормировки:
 f  x  dx  1 .
Имеем:


6
1
 f  x  dx  2 A xdx A  x  |  36 A  1 , следовательно, A  36 .
2

6
0
0
32
2) Тогда плотность распределения случайной величины Х:
 0, x  0
x

f  x    ,0  x  6
18
 0, x  6
3) По определению математического ожидания:

6
1 2
1  x3  6
M ( Х )   x  f  x  dx   x dx    |0  4 .
18 0
18  3 

4) По свойствам математического ожидания:
M (3 Х  2)  3M  X   2  3  4  2  10 .
5) По теореме о вычислении дисперсии:

6
1
D( Х )  M  X   M  X    x f  x   dx  4   x3dx  16 
18 0

2
2
2
2
1  x4  6
   |0 16  2
18  4 
.
6) По свойствам дисперсии:
D(2 Х  4)  22  D  X   4  D  X   4  2  8 .
7) По определению плотности распределения:
P  X  5   P    X  5  
5


5
1
1  x 2  5 25
f  x   dx   x  dx    |0 
.
18 0
18  2 
36
8) Аналогично:

6
1
1  x 2  6 35
P  X  1  P 1  X      f  x   dx   x  dx    |1  .
18 1
18  2 
36
1
9) И, наконец,
3
1
1  x2  3 1
P  1  X  3   f  x   dx   x  dx    |0  .
18 0
18  2 
4
1
3
33
3. Элементы математической статистики
Пусть имеется случайная величина Х с функцией распределения F(x).
Набор значений x1, x2, …, xn, случайной величины Х, полученных в результате
n опытов, называется выборкой объема n.
Предполагается, что
опыты
произведены в одинаковых условиях и независимо.
Выборка, расположенная в порядке возрастания, называется вариационным
рядом.
Если выборка объема n содержит r различных элементов x1, x2, …, xr ,
причем элемент xi встречается
mi раз, то число mi называется частотой
элемента xi.
Статистическим рядом
Обычно статистический
называется последовательность пар (xi , mi).
ряд записывается в виде таблицы, первая строка
которой содержит элементы xi, а вторая - их частоты mi .
Полигоном частот выборки называется ломаная с вершинами в точках (xi ,
mi).
Пусть теперь Х – непрерывная случайная величина с неизвестной
плотностью вероятности f(x). Для оценки f(x) по выборке x1, x2, …, xn разобьем
область значений Х на интервалы hi (i=1,2,…,s). Обозначим через xi* середины
интервалов, а через νi - число элементов выборки, попавших в интервал hi .
Тогда f ( xi *) 
i
nhi
(i  1,2,..., s) - оценка плотности вероятности в точке xi*. В
прямоугольной системе координат построим прямоугольники с основаниями hi
и высотами
i
. Полученная таким образом фигура называется гистограммой
nhi
выборки.
Пусть x1, x2, …, xn - наблюдавшиеся значения случайной величины Х.
Точечной оценкой для M(X) служит выборочное среднее:
1 n
X   xi .
n i 1
Оценкой для D(X) является выборочная дисперсия:
34

1 n
s   xi  X
n i 1
2

2
2
1 n 2
  xi  X .
n i 1
Задание. Для заданной выборки: а) построить полигон частот и
гистограмму;
б) найти выборочную среднюю и дисперсию.
xi
mi
1
10
2
5
3
10
4
8
5
12
6
5
Решение.
1) Построим полигон частот заданной выборки. Для этого определим
вершины (xi , mi) ломаной: (1,10); (2,5); (3,10); (4,8); (5,12); (6,5).
Следовательно, имеем:
2) Для построения гистограммы выборки составим следующую таблицу:
Номер
интервала
Границы
интервала
Длина
интервала
i
xi - xi+1
hi
1
2
3
4
5
6
0,5-1,5
1,5-2,5
2,5-3,5
3,5-4,5
4,5-5,5
5,5-6,5
1
1
1
1
1
1
Число
элементов
выборки,
попавших в
интервал
νi
10
5
10
8
12
5
Высоты
прямоугольников
i
nhi
0,2
0,1
0,2
0,16
0,24
0,1
35
Следовательно, имеем:
3) Вычислим теперь выборочное среднее:
1 50
1
X   xi  1  10  2  5  3  10  4  8  5  12  6  5   3,44 .
50 i 1
50
4) Вычислим выборочную дисперсию:
2
1 50 2
1
s   xi  X  12  10  22  5  33  10  42  8  52  12  62  5  
50 i 1
50
2
  3,44   2,7264
2
36
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольная работа № 9
Уравнения математической физики. Операционное исчисление. Теория
функций комплексной переменной
Задание 1.Методом Даламбера найти решения задач Коши:
2
  2u
2  u
 t 2  a x 2

 u  x,0     x 
 u x,0
     x
 t
2
1.   x   x ,  x   cos x
x
2.   x   sin x,  x   e
x
3.   x   e ,  x   sin x
x
4.   x   e ,  x   cos x
5.   x   x,  x   sin x
3
x
6.   x   x ,  x   e
7.   x   sin x,  x   cos x
8.   x   cos x,  x   sin x
2x
9.   x   x 1  x  ,  x   e
10.   x   sin x,  x   e
2 x
Задание 2. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши
для дифференциального уравнения.
1. x  9 x  e2t ; x  0   0, x  0   0
2. x  2 x  x  cos t; x  0  0, x  0  0
3. x  4 x  sin 2t ; x  0  0, x  0  0
4. x  4 x  4 x  3e2t ; x  0   0, x  0  0
5. x  9 x  cos3t ; x  0  1, x  0  0
6. x  2 x  x  cos t; x  0  0, x  0  0
7. x  x  tet ; x  0   0, x  0   0
8. x  2 x  x  4; x  0  1, x 0  2, x 0  2
37
9. x  6 x  9 x  e3t ; x  0   1, x  0  0
10. x  4 x  6t 2  1; x  0   2, x  0   3
Задание 3. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши
для системы дифференциальных уравнений.
 x  x  y
1. 
 y  x  y ,
x  0   1, y  0   0
 x  4 x  y
x  0   2, y  0   3
2. 
 y  2 x  y,
 x  3x  y
 y  8 x  y ,
x  0   1, y  0   0
4. 
 x  3x  y
 y  x  3 y ,
x  0   3, y  0   1
6. 
 x  x  4 y
 y  x  y ,
x  0   1, y  0   1
8. 
3. 
5. 
7. 
 x   y
x  0   1, y  0   1
9. 

y

2
x

2
y
,

 x   x  5 y
 y  x  3 y ,
x  0   0, y  0   1
 x  x  3 y
 y  3 x  y ,
x  0   1, y  0   1
 x  7 x  y
 y  2 x  5 y,
 x  3x  y
10. 
 y  x  y ,
x  0   1, y  0   1
x  0   1, y  0   1
Задание 4. Проверить, будет ли аналитической заданная функция w=f(z). Если
да, то найти значение ее производной в заданной точке z0.
1. w   iz  , z0  1  i
2. w  e2 z , z0   i
3. w  e z , z0  i
4. w  e1iz , z0 
5. w  e1iz , z0    i
6. w  z 2  z, z0  1  i
7. w  z 3  3z  i, z0  1  i
8. w  e13 z , z0 
9. w  ze2 z , z0  1   i
10. w  i 1  z 2   2 z , z0  i
3
2

2
i

3
i
38
Задание 5. Вычислить следующие интегралы:
1.
 1  i  2 z dz , где L - отрезок прямой, соединяющий точки z1=0
и z2=1+i.
L
2.   z 2  z  z  dz , где L - верхняя полуокружность z  1 от точки M 1,0  до
L
точки N  1,0  .
3.
 1  i  2 z dz , где L - дуга параболы y=x2,
соединяющая точки z1=0 и z2=1+i.
L
4.  e Re zdz , где L - отрезок прямой, соединяющий точки z1=0 и z2=1+i.
z
2
L
5.  z Re z dz , где L - окружность z  1 . Обход против часовой стрелки.
L
6.  z  z dz , где L - окружность z  1 . Обход против часовой стрелки.
L
 1  i  2 z dz ,
7.
где L - ломанная z1 z2 z3 , соединяющая точки z1=0, z2=1+i и
L
z3=1.
8.
  3z
2
 2 z dz , где L - отрезок прямой, соединяющий точки z1=1-i и z2=2+i.
L
9.  Re zdz , где L – ломанная z0z1z2, соединяющая точки z0=0, z1=2 и z2=2+i.
L
10.
  3z
4
 2 z 3 dz , где L - отрезок прямой, соединяющий точки z1=1 и z2=i.
L
39
Контрольная работа № 10
Теория вероятностей. Элементы математической статистики
Задание 1.
1. В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают одновременно два
шара. Какое событие более вероятно:
А - шары одного цвета;
В – шары разных цветов?
2. В одном ящике 5 белых и 10 черных шаров, а в другом ящике 10 белых и
5 черных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет
вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
3. Студент знает 50 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный
билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что:
а) студент знает все 3 вопроса;
б) студент знает только 2 вопроса;
в) студент знает только 1 вопрос экзаменационного билета.
4. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 3 белых и 5
черных шаров. Из второй урны в первую переложили наудачу один шар, а
затем из первой урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что
вынутый шар окажется белым.
5. В урне 6 белых и 5 черных шаров. Из урны потеряли два шара. Найти
вероятность того, что шар, вынутый после этого из урны, окажется белым.
6. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в
среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно
взятых в этом месяце 8 дней:
а) 3 дня окажутся дождливыми;
б) не менее 3 дней окажутся дождливыми.
7. В первой урне 3 белых и 2 черных шаров, а во второй урне 4 белых и 4
черных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу два шара, а
40
затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что
вынутый шар окажется белым.
8. Найти вероятность того, что при 4 бросках игральной кости тройка
выпадет:
а) три раза;
б) не более двух раз;
в) хотя бы раз.
9. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая
каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого
стрелка 0,8, для второго 0,7. После стрельбы в мишени обнаружена одна
пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
10. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый
из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со
второго. Найти вероятности следующих событий:
А – все пассажиры выйдут на пятом этаже;
В - все пассажиры выйдут одновременно (на одно и том же этаже);
С - все пассажиры выйдут на разных этажах.
Задание 2.
1. Считая, что вероятность рождения в любой день одна и та же, найти
вероятность того, что из 500 студентов у двух день рождения придется на
Новый год.
2. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,25. Какова вероятность того, что в 300 испытаниях событие появится
ровно 75 раз?
3. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,5. Какова вероятность того, что в 200 испытаниях событие появится не
менее 70 и не более 80 раз?
4. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных
монет число монет, расположенных « гербом» вверх, будет от 45 до 55?
41
5. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти
вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно
5000.
6. В первые классы школы должны быть принято 200 детей. Определить
вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность
рождения мальчика равна 0,515.
7. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того,
что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и
830.
8. В страховой компании застраховано 1000 автомобилей. Вероятность
поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,05. Каждый владелец
застрахованного автомобиля платит 2000 рублей и в случае поломки
автомобиля в результате аварии получает 50000 рублей. Найти вероятность
того, что страховая компания терпит убыток.
9. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,6. Какова вероятность того, что в 1200 испытаниях событие появится не
менее 1150?
10. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в
течение часа, равна 0,001. Телефонная станция обсуживает 800 абонентов.
Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов.
Задание 3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х.
Найти M(X), M(2X+5), D(X), D(3X-4).
1.
xi
pi
1
0,1
2
0,2
3
0,4
4
0,2
5
0,1
xi
pi
-0.2
0,04
0
0,06
0.2
0,2
0.4
0,5
0.6
0,2
2.
3.
xi
pi
-2
0.1
-1
0.15
0
0.25
1
0.25
2
0.15
3
0.1
42
4.
xi
pi
1
0.1
2
0.15
3
0.25
4
0.25
5
0.15
6
0.1
xi
pi
1
0.1
3
0.15
5
0.25
7
0.25
9
0.15
11
0.1
5.
6.
xi
pi
4
0,1
6
0,2
8
0,4
10
0,2
12
0,1
7.
xi
pi
1
0.1
2
0.1
3
0.1
4
0.1
5
0.1
6
0.1
7
0.1
8
0.1
9
0.1
10
0.1
8.
xi
pi
1
1/8
2
1/8
3
1/8
4
1/8
5
1/8
6
1/8
7
1/8
8
1/8
9.
xi
pi
2
0,02
3
0,09
4
0,26
5
0,33
6
0,3
xi
pi
1
0,06
2
0,056
3
0,053
4
0,05
5
0,781
10.
Задание 4. Для НСВ Х задана функция распределения F(x). Найти A, f(x), M(X),
M(3X-2), D(X), D(2X+4), P(X<5), P(X>1), P(-1<X <3).
0, x  1


1. F ( x)   A  x 2  x  ,1  x  2

1, x  2

0, x  1


2. F ( x)   A  x 2  1 ,1  x  3

1, x  3

 0, x  0

3. F ( x)   Ax 2 , 0  x  2
 1, x  2

0, x  2


4. F ( x)   A  x  2  , 2  x  4

1, x  4

0, x  2


2
5. F ( x)   A  x  2  , 2  x  6

1, x  6

 0, x  0

6. F ( x)   Ax 2 , 0  x  9
 1, x  9

43


0, x  0

x
1
 
8. F ( x)   A  x 2   , 0  x 
6
3
 

1
1, x 

3

0, x  0


3
7. F ( x)   A  x  3  1, 0  x  3

1, x  3

 0, x  0

9. F ( x)   Ax 2 , 0  x  1
 1, x  1

 0, x  0

10. F ( x)   Ax 2 , 0  x  3
 1, x  3

Задание 5. Для заданной выборки: а) построить полигон частот и гистограмму;
б) найти выборочную среднюю и дисперсию.
1.
xi
mi
0
10
1
5
2
10
3
10
4
10
5
5
xi
mi
2
3
3
1
4
2
5
3
6
4
7
2
2.
3.
xi
mi
156
10
160
14
164
26
168
28
172
12
176
8
180
2
xi
mi
45
4
50
6
55
10
60
40
65
20
70
12
75
8
xi
mi
37
1
38
3
39
5
40
8
41
10
42
9
43
4
xi
mi
12,5
5
13
15
13,5
40
14
25
14,5
8
15
4
15.5
3
4.
5.
6.
44
7.
xi
mi
26
5
32
15
38
40
44
25
50
8
56
4
62
3
xi
mi
1
2
2
4
3
8
4
12
5
16
6
10
7
3
xi
mi
120
5
130
10
140
30
150
25
160
15
170
10
180
5
xi
mi
35
1
36
3
37
9
38
8
39
10
40
5
41
4
8.
9.
10.
45
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ………………………………………………………………………..3
Глава I. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ…….3
1. Уравнения математической физики…….……………………………..…4
2. Операционное исчисление………………………………………….……..5
3. Теория функций комплексной переменной…………………………….12
Глава II. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ……………………………………………………………………..15
1. Случайные события……………………………………………………...16
2. Случайные величины…………………………………………………….29
3. Элементы математической статистики………………...………………34
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ………………………………………..37
Контрольная работа №9 …………………………………………………….37
Контрольная работа №10.………………………………………………….40
46