ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО
УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
Кафедра «Высшая математика»
Методические указания
для самостоятельного изучения
дисциплины «Математика»
с контрольными заданиями
Раздел III
«Теория вероятностей»
Уфа 2009
Составители: Измайлов Ш.З., Сафин Р.Р.
УДК 51
М 54
Методические указания для самостоятельного изучения дисциплины
«Математика» с контрольными заданиями. Раздел III «Теория вероятностей» /
Сост.: Ш.З. Измайлов, Р.Р. Сафин. – Уфа: Уфимская государственная академия
экономики и сервиса, 2009. – 32 с.
Изложены основные понятия тем: «Случайные события», «Дискретные
случайные величины», «Непрерывные случайные величины», «Системы случайных величин». Даны варианты заданий для контрольных работ. Методические указания предназначены для студентов специальностей «СКСиТ», «Связи
с общественностью».
Рецензенты:
Еникеев Т.И., канд. физ.-мат. наук Уфимского филиала
Оренбургского государственного университета
Бакусова С.М., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры
«Экономическая теория и мировая экономика»
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
© Измайлов Ш.З., Сафин Р.Р., 2009
© Уфимская государственная академия
экономики и сервиса, 2009
2
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1. Множество событий.
Классическое определение вероятности события
В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или
непоявление в них некоторого события. Такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта, называется случайным.
Во многих задачах рассматривается схема равновозможных событий.
Например, при бросании игральной кости имеется одна и та же возможность
появления любой из цифр от 1 до 6. Другим примером может служить выбор
номера объекта при контрольной выборочной проверке.
Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Элементарный исход может быть рассмотрен либо
как самостоятельное событие, либо как составляющая более сложного события.
На множестве всех элементарных исходов  можно выделить подмножество, которое обладает заданными свойствами и определяет новое событие.
Например, на множестве элементарных исходов при бросании игральной кости можно выделить подмножество таких исходов, которые соответствуют
четному числу очков.
Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление такого события. В частности, появлению
четного числа очков при бросании игральной кости соответствуют элементарные исходы с цифрами 2, 4, 6.
Количественной мерой возможности появления некоторого случайного
события служит вероятность.
При классическом определении за вероятность события А принимается
отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов
(m) к общему числу возможных исходов (n):
P(A) =
m
.
n
Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов широко используются
формулы комбинаторики.
Если составляются такие комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга только составом элементов, то они называются сочетаниями. Общее число сочетаний из n элементов по m определяется по формуле:
n!
C nm 
.
m!(n  m)!
Если комбинации отличаются не только составом элементов, но и порядком их следования, то они называются размещениями. Их число находится
по формуле:
3
n!
(n  m)!
Если комбинации берутся из всех n элементов и отличаются только порядком следования элементов, то они называются перестановками. Их число
равно: Pn= n!
1.1. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?
Решение. Общее число возможных комбинаций для контрольного
вскрытия равно числу сочетаний из 10 по 5, т.е. C105 .
Число исходов, благоприятствующих данному событию, будет равно
числу таких комбинаций, в которых две цифры будут 2 и 5, а остальные будут
составлять сочетания, число которых равно C83 . Тогда искомая вероятность
найдется по формуле:
Anm 
C83
8! 5! 5! 2
P 5 
 .
C10 3! 5! 10! 9
1.2. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами.
Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что
среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?
Решение. Общее число комбинаций выбора АО равно числу сочетаний
6
из 20 по 6, т.е. C20
. Число благоприятствующих исходов определяется как про2
4
изведение C 4 C16 , где первый сомножитель указывает число комбинаций выбора АО-банкротов из четырех. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться АО, не являющиеся банкротами. Число комбинаций таких АО будет
C164 . Поэтому искомая вероятность запишется в виде
4
C 42 C16
P
, т.е. P = 0,28.
6
C 20
1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте.
Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.
Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы
одного из рассматриваемых событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
 n
 n
P  Ai    P( Ai ) .
 i 1  i 1
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
4
Произведением событий называется событие, состоящее в появлении
всех из рассматриваемых событий.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А.
Эта вероятность обозначается Р(В/А).
Теорема умножения вероятностей двух событий. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на
условную вероятность второго относительно первого:
Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).
Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:
P(ABC···LM) = P(A)P(B/A)P(C/AB) ···P(M/AB ···L).
Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления
другого, то такие события называются независимыми.
Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий
Р(АВ) = Р(А)Р(В).
События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.
Теорема сложения вероятностей двух совместных событий. Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их совместного появления:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
1.3. На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них три книги по теории вероятностей, три – по математическому анализу и четыре – по линейной алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу. Какова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероятностей или по линейной алгебре?
Решение. Вероятности того, что студент взял книгу по теории вероятностей (А) и по линейной алгебре (В), соответственно таковы:
3
,
10
4
Р(В) = .
10
P(А) =
События А и В несовместны. Поэтому искомая вероятность находится
как сумма вероятностей
Р(А + В) = 0,3 + 0,4 = 0,7.
1.4. Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно,
что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9.
а) какова вероятность того, что из двух проверенных изделий оба будут
стандартными, если события появления стандартных изделий независимы?
б) какова, вероятность того, что из двух проверенных изделий только
одно стандартное?
Решение. а) учитывая то, что события А1 (первое изделие стандартное) и
А2 (второе изделие стандартное) независимы, используем формулу
5
P(A1A2) = Р(А1)В(А2), т.е. Р(А1А2) = 0,9 · 0,9 = 0,81.
б) пусть В1 – событие, состоящее в том, что только первое изделие стандартное; В2 – только второе изделие стандартное. Событие B1 можно рассматривать как произведение двух событий:
В1 = A1 A2 ,
т.е. появилось первое событие и не появилось второе. Аналогично:
В2 = A1 А2.
События B1 и В2 несовместные, поэтому
Р(В1 + В2) = Р(В1) + Р(В2) = Р(А1)Р( A2 ) + Р( A1 )Р(А2).
Если обозначить вероятность появления стандартного изделия через р, а
вероятность противоположного события через q = 1 – р, то получим:
Р(В1 + В2) = pq + qp = 2pq.
В данном случае:
Р(В1 + В2) = 2 – 0,9 · 0,1 = 0,18.
1.5. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката
сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?
Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что в первом выбранном
поселке находится пункт проката; В – событие, состоящее в том, что во втором
выбранном поселке находится пункт проката.
Вероятность события А:
5
 0,05 .
P(A) =
100
Рассмотрим событие В при условии, что событие А произошло. Найдем
условную вероятность:
4
P (B/A) =
.
99
Искомая вероятность найдется как вероятность произведения двух событий:
5 4
1

Р(АВ) =
.
100 99 495
1.3. Вероятность появления хотя бы одного события
В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как
вероятность противоположного другому событию.
Пусть события А1, А2,..., Аn независимы и известны вероятности этих событий:
Р(А1)=р1, Р(А2) = р2, ..., Р(Аn) = рn.
Обозначив вероятности противоположных событий
Р( A1 ) = q1, Р( A2 ) = q2, ..., Р( An ) = qn,
найдем вероятность того, что ни одно из событий А1, А2, ..., Аn в опыте не
6
наступит:
Р(В) = q1q2 ·· qn.
В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя бы
одного события, определяется как вероятность противоположного события:
Р( B ) = 1 – Р(В) = 1 – q1q2 ·· qn.
1.6. Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в
поставке продукции от первого из смежников равна 0,05, от второго – 0,08.
Найти вероятность сбоя в работе предприятия.
1.7. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо
работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.
1.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
Если некоторое событие В совершается с одним из n несовместных событий A1, А2, ..., Аn, образующих полную группу событий, то для определения
вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности:
n
P(B) =  P( Ai ) P( B / Ai ) ,
i 1
где P(Ai) – вероятность события Ai;
P(B/Ai) – условная вероятность события В.
Для определения вероятности события Аi при условии, что произошло
событие В, используется формула Байеса.
P( Ai ) P( B / Ai )
P( Ai / B) 
.
P( B)
1.8. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От
первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7.
Какова вероятность того, что:
а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в
течение гарантийного срока;
б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на
втором заводе?
Решение. Обозначим через А1, А2, А3 события установки на автомашину
двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором или третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:
P(A1) = 0,5; Р(А2) = 0,3; Р(A3) = 0,2.
а) вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:
Р(В) = P(A1)P(B/A1) + Р(А2)Р(В/А2) + Р(А3)Р(В/А3) =
7
= 0,5 · 0,9 + 0,3 · 0,8 + 0,2 · 0,7 = 0,83.
б) если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности того, что он изготовлен на первом, на втором заводах, найдем по формуле Байеса:
P( A1 ) P( B / A1 ) 0,5  0,9 0,45
P( A1 / B) 


 0,54.
P( B)
0,83
0,83
P( A2 ) P( B / A2 ) 0,3  0,8 0,24
P( A2 / B) 


 0,29.
P( B)
0,83
0,83
1.5. Формулы Бернулли и Пуассона
Если при проведении испытаний вероятность появления события А не
зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно m раз события А в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А равна р:
Рn(m) = Cnm p m q nm ,
где Cnm 
n!
, q = 1– p.
m!(n  m)!
В ряде случаев требуется определить вероятности появления события А
менее т раз (X < т), более т раз (X > т), не менее т раз (X  т), не более т
раз (X  т). В этих случаях могут быть использованы формулы:
Р(Х < т) = Рn(0) + Рn(1) + ...+ Рn(т – 1),
Р(Х > т) = Рn(т + 1) + Рn(т + 2) + ... + Рn(n),
Р(Х  т) = Рn(т) + Рn(т + 1) + ... + Рn(n),
Р(Х  т) = Рn(0) + Рn(1) + ... + Рn(т).
При больших n и малых р вычисления по формуле Бернулли затруднены.
В этих случаях обычно используется формула Пуассона
m  
Pn (m) 
e ,   np .
m!
1.9. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности появления в ней:
а) одного мальчика;
б) двух мальчиков.
Решение. Вероятность появления мальчика или девочки равна р = 1/2.
Вероятность появления мальчика в семье, имеющей четырех детей, находится
по формуле Бернулли:
P4 (1)  C 41 pq 3 
4!
(1 2)(1 2) 3  1 4 .
3!
Вероятность появления в семье двух мальчиков равна
8
P4 (2)  C 42 p 2 q 2 
4!
(1 2) 2 (1 2) 2  3 8 .
2! 2!
1.10. В новом микрорайоне поставлено 10 000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна а) 0,0002; б) 0,001. Найти вероятность того, что за месяц откажут два,
три и пять замков.
Решение. а) используем формулу Пуассона
m  
Pn (m) 
e ,   np .
m!
В нашем случае
  np = 10 000 · 0,0002 = 2,
тогда:
P10 000(2) = 22 e-2/2! = 0,27;
P1000(3) = 23 e-2/3! = 0,18;
P10 000(5) = 25 e-2/5! = 0,036.
Указание. Для пункта «б» принять е-10 = 0,000045.
2. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
2.1. Закон распределения вероятностей
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта
может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и
непрерывные случайные величины.
Дискретной случайной величиной называется такая, значения которой
есть конечное или счетное множество фиксированных величин. Для описания
поведения дискретной случайной величины X задают все значения х1, х2, ..., хn,
которые она может принять, и вероятности появления этих значений р1, р2, ..., рn.
Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений
случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем
n
 pi  1 :
(1)
i 1
X
р
x1
p1
x2
p2
…
…
хn
pn
Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения X, а на вертикальной – соответствующие им значения
вероятностей. Графическое представление ряда распределения называется
многоугольником распределения.
Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функции
распределения F(x), которая равна вероятности случайного события, состояще-
9
го в том, что дискретная случайная величина X примет одно из возможных
значений, меньших некоторого значения х, т.е. F(x) = Р(Х < х).
Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке
возрастания х1, х2, ..., хn, то F(x) можно задать в виде:
åñëè x  x1 ;
0,
p
åñëè x1  x  x2 ;
 1,
 p  p 2 ,
åñëè x2  x  x3 ;
F ( x)   1
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....
 p1  p 2 ...  p n1 ,
åñëè xn1  x  xn ;

1,
åñëè x  xn .
Функцию распределения можно представить графически в виде ступенчатой функции (рис. 2.1).
Рис. 2.1
2.1. Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с выигрышем.
Наудачу покупают 2 билета. Написать закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов среди купленных.
Решение. Пусть X – случайная величина числа выигрышных билетов
среди купленных 2 билетов. Очевидно, что она может принимать значения: x1
= 0, х2= 1, x3 = 2. Для определения вероятности появления каждого из этих значений воспользуемся следующей формулой:
m
nm
CM
CN
M
Р(Х = т) =
,
n
CN
где т = 0, 1, 2 – число выигрышных билетов среди наудачу купленных n
= 2 билетов;
N = 10 – всего имеющихся билетов;
М = 4 – число выигрышных среди всех 10 билетов.
Вычисляем соответствующие вероятности:
C 40 C62 1
 ;
p1 = P(X = 0) =
2
3
C10
10
C 41C61
8

;
p2 = P(X = 1) =
2
15
C10
C42C60
2

;
p2 = P(X = 2) =
2
15
C10
Для проверки вычислений сложим р1 + р2 + p3 = 1/3 + 8/15 + 2/l5 = 1.
Следовательно, искомый закон распределения имеет вид
X
р
0
1
5
8
/15
/15
2
2
/15
На рис. 2.2 представлен многоугольник распределения, полученного в
задаче 2.1.
Рис. 2.2
2.2. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания
при каждом броске равна 0,7. Построить ряд распределения числа попаданий
мяча в корзину.
Решение. Пусть X – случайная величина числа попаданий мяча в корзину. Баскетболист может не попасть ни разу, один раз, два раза и все три раза,
т.е. х1 = 0, х2 = 1. х3 = 2, х4 = 3. Вероятности вычисляем по формуле Бернулли,
при этом n = 3, р = 0,7, q = 0,3:
3
p1 = P3(0) = C30 p 0 q 3  0,3  0,027 ;
2
p2 = P3(1) = C31 p1q 2  3  0,7  0,3  0,189;
p3 = P3(2) = C32 p 2 q1  3  (0,7) 2  0,3  0,441;
3
p4 = P3(3) = C33 p 3q 0  1  0,7   0,343.
Проверяем выполнение соотношения (2.1):
4
 pi = 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1.
i 1
Тогда ряд распределения случайной величины числа попаданий мяча в
корзину при трех бросках примет вид:
11
X
р
0
0,027
2
3
0,441 0,34
3
2.3. У продавца имеются изделия, полученные в равных количествах с
трех фабрик. Вероятность того, что эти изделия отличного качества, для каждой фабрики соответственно составляет 0,8; 0,7 и 0,9. Отобрано 2 изделия. Составить закон распределения количества изделий отличного качества среди
отобранных.
Указание. Вначале вычисляется вероятность отбора изделия отличного
качества: р = (0,8 + 0,7 + 0,9)/3.
2.4. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке.
Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,8, а вероятность того, что второй – 0,6. Случайная величина X – число покупок, сделанных покупателями. Описать закон распределения случайной величины X.
Решение. Очевидно, что сделать покупки могут либо оба покупателя,
либо кто-то один, возможно также, что ни один покупатель ничего не купит.
Следовательно, х1 = 2, х2 = 1, х3 = 0.
Пусть событие А состоит в том, что первый покупатель сделал покупку,
а событие В – в том, что второй покупатель сделал покупку. Тогда вероятность
значения х1 может быть подсчитана как вероятность события АВ. Так как А и В
– независимые события, то:
р1 = Р(Х = 2) = Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,8 · 0,6 = 0,48.
Вероятность значения х2 может быть подсчитана как вероятность события А B или A В, т.е. р2 = Р(Х = 1) = P(A B + A В). Учитывая, что А B и A В –
события несовместные, р2 = Р(А B ) + Р( A В) = Р(А)Р( B ) + Р( A )Р(В) = 0,8 · 0,4
+ 0,2 · 0,6 = 0,44.
Вероятность значения х3 есть вероятность события A B : р3 = Р(Х = 0) =
Р( A B ) = Р( A )Р( B ) = 0,2 · 0,4 = 0,08. Соответственно, закон распределения
примет вид:
X
р
1
0,189
2
0,48
1
0,44
0
0,08
2.2. Математическое ожидание и дисперсия
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида:
n
М(Х) = x1р1 + x2p2 + ... + xnpn =  xi pi ,
i 1
где xi – возможные значения дискретной случайной величины;
pi – вероятность появления значения xi.
Свойства математического ожидания:
1. М(СХ) = СМ(Х); М(С) = С,
12
(2)
где С – произвольная постоянная величина.
2. М(Х1Х2···Хn) = М(Х1)М(Х2)···М(Хn),
если X1, Х2, ..., Хn – взаимно независимые случайные величины.
3. М(Х1 + Х2 + ... + Хn) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn).
4. М(Х) = nр,
где X – дискретная случайная величина;
n – число испытаний с биномиальным законом распределения;
р – вероятность появления события в одном испытании.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной
величины.
Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют
дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = М(Х – М(Х))2.
Дисперсию целесообразно вычислять по формуле
D(X) = М(Х2) – (М(Х))2.
(3)
Свойства дисперсии:
1. D(C) = 0; D(CX) = C2D(X),
где С – произвольная постоянная.
2. D(Х1 + Х2 + ... + Хn) = D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn),
где Xi – независимые случайные величины.
3. D(X) = npq,
где X – дискретная случайная величина с биномиальным законом распределения;
n – число испытаний;
р, q – вероятность появления и вероятность непоявления события в одном испытании соответственно.
4.  (Х) = D X  ,
где  (Х) – среднее квадратичное отклонение.
2.5. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
X
р
2
0,4
Y
Р
0
0,5
4
0,2
1
0,2
6
0,1
8
0,3
2
0,3
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Z = 2Х + 3Y.
Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а
также учитывая, что X и Y – независимые случайные величины, имеем:
M(Z) = М(2Х + 3Y) = М(2Х) + М(3Y) = 2М(Х) + 3М(Y);
D(Z) = D(2X + 3Y) = D(2X) + D(3Y) = 4D(X) + 9D(Y).
13
По формуле (2.2) вычислим М(X) и M(Y):
М(Х) = 2 · 0,4 + 4 · 0,2 + 6 · 0,1 + 8 · 0,3 = 4,6;
М(Y) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 2 · 0,3 = 0,8.
Тогда:
M(Z) = 2 · 4,6 + 3 · 0,8 = 11,6.
По формуле (2.3) вычислим D(X) и D(Y). Вначале найдем М(Х2) и M(Y2):
М(Х2) = 4 · 0,4 + 16 · 0,2 + 36 · 0,1 + 64 · 0,3 = 27,6;
М(Y2) = 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 4 · 0,3 = 1,4.
Затем определим D(X) и D(Y):
D(X) = M(X2) – (М(Х))2 = 27,6 – 4,62 = 6,44;
D(Y) = M(Y2) – (М(Y))2 = 1,4 – 0,82 = 0,76.
Окончательно получим
D(Z) = 4 · 6,44 + 9 · 0,76 = 32,6.
2.6. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2 : 3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет
90 %, а на втором – 80 %. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества.
Решение. Вначале составим закон распределения случайной величины X
– числа банок с продукцией высшего качества среди купленных трех банок.
Вероятность появления события А – куплена банка с продукцией высшего качества – найдем по формуле полной вероятности:
Р(А) = 0,9(2/5) + 0,8(3/5) = 0,84.
Закон распределения случайной величины X можно определить, используя формулу Бернулли:
Pn m  Cnm p m q nm .
Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Закон ее
распределения (с учетом того, что p = 0,84, q = 0,16) примет вид:
X
р
0
0,004
1
0,066
2
3
0,337 0,59
Тогда:
3
М(Х) = 0 · 0,004 + 1 · 0,066 + 2 · 0,337 + 3 · 0,593 = 2,519,
D(X) = 1 · 0,066 + 4 · 0,337 + 9 · 0,593 – 2,5192 = 0,406,
  X   0 ,406  0 ,64 .
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
3.1. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности
Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.
Вероятность события X < х (где X – значение непрерывной случайной
14
величины, а х – произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как
функция от х, называется функцией распределения вероятностей:
F(x) = Р(Х <х).
Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:
f(x) = F'(x).
Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:
x
F x    f x dx .

Вероятность попадания случайной величины в интервал (х1, х2) равна
приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:
P(x1<X<x2) = F(x2) – F(x1).
(4)
3.1. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:
åñëè õ  2 ,
0 ,

2
F  x   x  2  , åñëè 2  x  3 ,
1,
åñëè x  3.

Найти плотность вероятности f(x) и вероятность попадания случайной
величины X в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).
Решение. Плотность вероятности находим по формуле f(x) = F'(x):
åñëè õ  2 ,
0 ,

f x   2 x  4 , åñëè 2  x  3,
0 ,
åñëè x  3.

Вероятности попадания случайной величины X в интервалы вычисляем
по формуле (3.1):
Р(1 < X < 2,5) = F(2,5) – F(1) = 0,52 – 0 = 0,25;
Р(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) – F(2,5) = 1 – 0,25= 0,75.
3.2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X:
åñëè õ  1,
0 ,

f x    x  1 2 , åñëè 1  x  2 ,
0 ,
åñëè x  2.

Найти функцию распределения F(х) и построить ее график.
Решение.
x
F x    f x dx  0 , если x  1,

x
1
x


1


F x    f x dx   f x dx   f x dx  0  x 2 2  1 2 x  x 2  x 2 ,
если 1  x  2 ,
15
x
1
2
x


1
2


F x    f x dx   f x dx   f x dx   f x dx  x 2  x 2 , если х > 2.
1
2
График функции представлен на рис. 3.1.
Рис. 3.1
3.3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана
в виде f x  2C 1  x 2 .
Найти параметр С.
Решение. На основании равенства



 f x dx  1

имеем:


  
dx

2
C
arctg
x

2
C
    2C  1,

2
1

x
2 2

1
2C 
C
1
.
2
3.2. Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется значение интеграла

М(Х) = Мх =  xf x dx ,

где f(x) – плотность вероятности.
Дисперсией непрерывной случайной величины X называется значение
интеграла

D(X) = Dx=  x  M x 2 f x dx .

Для определения дисперсии может быть также использована формула

Dx=  x 2 f x dx  M x2 .

Модой М0(Х) непрерывной случайной величины X называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
16
Медианой Мe(Х) непрерывной случайной величины X называется такое
ее значение, при котором выполняется равенство
Р(Х < Me) = Р(Х > Me).
3.4. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = х/2 в
интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание
величины X.
Решение. На основании формулы

M x   xf x dx

имеем:
2
1
x3
4
M x   x  xdx 
 .
2
23 0 3
0
2
3.5. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = x/8 в
интервале (0; 4). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание.
3.6. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = e 2 x
при    x   . Найти математическое ожидание.
3.7. Случайная величина X задана плотностью вероятности f(x) = С(х2 +
2х) в интервале (0; 1). Вне этого интервала f(x) = 0. Найти параметр С.
Решение. Так как

 f x dx  1, то:


1

 x3

4
C  x  2 x dx  C   x 2   C  1.
3
0
 3
0
3
Откуда С = .
4
1
2
3.3. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке [а, b], если ее плотность вероятности имеет вид:
åñëè õ  a ,
0 ,
 1

f x   
, åñëè a  x  b ,
b

a

åñëè x  b .
0 ,
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной
случайной величины определяются выражениями
ab
Mx 
,
2
Dx
2

b  a

,
12
3.8. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1; 6].
Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и
17
среднее квадратичное отклонение величины.
Решение. Плотность вероятности для величины X имеет вид:
0 , åñëè õ  1,
1

f x    , åñëè 1  x  6 ,
5
0 , åñëè x  6.
Следовательно, функция распределения, вычисляемая по формуле:

F x    f x dx ,

запишется следующим образом:
åñëè õ  1,
0 ,
 x
x
1
x 1
1
F x     dx  x 
, åñëè 1  x  6
5
5
5
1
1

1,
åñëè x  6.

Математическое ожидание будет равно Мх = (1 + 6)/2 = 3,5. Находим
дисперсию и среднее квадратичное отклонение:
Dx = (6 – 1)2/12 = 25/12,
 x  5 3 6.
3.4. Нормальное распределение
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее
функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
f x  
1

e
 xM x 2
2 x2
,
 x 2
где Мх – математическое ожидание;
 x – среднее квадратичное отклонение.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) находится
по формуле
bMx 
aMx
 – Ф 
 x 
 x
Р(а < X < b) = Ф 
где Ф(z) =
t2

z
2
1
e
2 0

 = Ф(z2) – Ф(z1),

(5)
dt – функция Лапласа.
Значения функции Лапласа для различных значений z приведены в Приложении 2.
3.9. Математическое ожидание нормально распределенной случайной
величины X равно Мх = 5, дисперсия равна Dx = 9. Написать выражение для
плотности вероятности.
3.10. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение
18
нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и
2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).
Решение. Используем формулу (21.2), учитывая, что Мх = 12,  x = 2:
Р(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).
По таблице значений функции Лапласа находим Ф(1) = 0,3413, Ф(2) =
0,4772. После подстановки получаем значение искомой вероятности:
Р(14 <Х < 16) = 0,1359.
3.11. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному
закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р = 0,9972 попадет случайная величина.
Решение. Так как Р(х1 < Х < х2) = р = 2Ф((х2 – Мх)/  x ), то Ф(z) = р/2 =
0,4986. По таблице функции Лапласа находим значение z, соответствующее
полученному значению функции Ф(z) = 0,4986: z = 2,98. Учитывая то, что z =
(х2 – Мх)/  x , определяем  = х2 – Мх =  x z = 3 · 2,98 = 8,94. Искомый интервал
будет иметь вид (11,06; 28,94).
3.5. Показательное распределение
Распределение непрерывной случайной величины X называется показательным (экспоненциальным), если плотность вероятности этой величины
описывается функцией:
åñëè x  0 ,
0 ,
f  x     x
e , åñëè x  0.
где  – положительное число.
Соответственно, функция распределения вероятностей имеет вид:
åñëè x  0 ,
0 ,
F x   
 x
1  e , åñëè x  0.
3.12. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей
åñëè x  0 ,
0 ,
F x   
0 ,1x
, åñëè x  0.
1  e
Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.
Решение. Для решения задачи используем формулы математического
ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины:

M x   xf x dx ,

Dx   x 2 f x dx  M x2 .
0
0
Учтем, что f(x) = F'(x). Тогда получим:
åñëè x  0 ,
0 ,
f x   
0 ,1x
, åñëè x  0.
0 ,1e
Подставим в выражение для математического ожидания
19

M x  0 ,1 xe 0 ,1x dx .
0
Интегрируя по частям, получаем Мх = 1/  , или Мх = 1/0,1.
Для определения дисперсии проинтегрируем по частям первое слагаемое. В результате получим:

2
2
 x f x dx  2  .
0
Учтем найденное выражение для Мх. Откуда
Dx 
2

1

1
.
2 2 2
В данном случае Мх = 10, Dx = 100.
4. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
4.1. Законы распределения двумерной случайной величины
Двумерной называют случайную величину (X, У), каждое возможное появление которой представляет собой пару чисел (х, у).
Случайные величины X и Y, рассматриваемые совместно, образуют систему двух случайных величин.
Общей характеристикой двумерной случайной величины является функция распределения вероятностей, которая представляет собой вероятность события (X < х, Y <y):
F(x, y) = P(X < x,Y <y).
Для дискретной случайной величины распределение может быть задано в виде таблицы распределения, в которой каждой паре значений (xi, yj) (i =
1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m) ставится в соответствие вероятность появления этой
пары Р(Х = xi, Y = уj).
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины
выражается через двумерную плотность вероятности по формуле:
x
y
F x , y     f x , y dxdy .
 
Вероятность совместного появления пары дискретных случайных величин (xi, уj) можно записать в виде:
p(xi, уj) = p(xi)p(yj/xi) = p(yj)p(xi/yj),
где p(yj/xi), p(xi/yj) – условные вероятности.
Для непрерывных случайных величин плотность вероятности записывается в виде:
f(x, у) = f(x)f(y/x) = f(y)f(x/y).
4.1. Фирма выпускает мини-заводы по производству хлеба. На рекламу
может быть израсходовано определенное количество средств.
В табл. 1 приведены возможное количество проданных в течение месяца
20
заводов (X) и объем средств, израсходованных на рекламу (Y). Каждой паре (xi,
yj) случайных величин (X, Y) поставлена в соответствие вероятность p(xi, yj)
появления этой пары.
Таблица 1
X
0
1
2
0,12
0,08
0,05
0,15
0,10
0,10
0,10
0,12
0,18
Y
1
2
3
Требуется составить таблицы распределения вероятностей для каждой из
величин X и Y и выразить условный закон распределения вероятностей величины Y при X = 2.
Решение. Так как с каждым значением xi встречается ровно три значения
уj, т.е. имеет место полная группа событий, сумма вероятностей которых равна
единице, то:
3
3
j 1
j 1


3


 p  xi , y i    p  xi  p y j xi  p  x i   p y j xi  p  xi  .
j 1
Таким образом, вероятность события р(хi) равна сумме вероятностей p(xi,
yj) в каждой колонке.
В результате получаем таблицу распределения вероятностей величины X:
X
р
0
0,25
1
0,35
2
0,4
Аналогично получаем таблицу распределения для величины Y:
Y
p
1
0,37
2
0,3
3
0,33
Сумма вероятностей для каждой из величин должна быть равна единице.
Проведем проверку:
3
 pxi  = 0,25 + 0,35 + 0,4 = 1;
i 1
3
 py j  = 0,37 + 0,3 + 0,33 = 1.
j 1
Находим условные вероятности величины Y при X = 2:
P(Y = 1 / X = 2) = P(Y = 1, X = 2)/Р(Х = 2) = 0,10/0,4 = 0,25;
P(Y = 2 / X = 2) = P(Y = 2, X = 2)/Р(Х = 2) = 0,12/0,4 = 0,30;
P(Y = 3 / X = 2) = P(Y = 3, X = 2)/P(X = 2) = 0,18/0,4 =0,45.
21
4.2. Числовые характеристики системы двух случайных величин
Среди числовых характеристик двумерной случайной величины важнейшими являются условное математическое ожидание и ковариация.
Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = х называют сумму произведений возможных значений Y на их
условные вероятности
M(Y /X = x) =  y j p y j x  .
n
j 1
Для непрерывных случайных величин условное математическое ожидание определяется интегралом:

M(Y /X = x) =  yf  y x dy .

Условное математическое ожидание M(Y/ X = х) называется также регрессией величины Y на X.
Аналогично определяется регрессия X на Y:
-для дискретной случайной величины:
m
М(Х /Y = y) =  xi pxi y  ;
i 1
-для непрерывной случайной величины:

M(X/Y = y) =  xf x y dx .

Ковариацией или корреляционным моментом случайных величин X и Y
называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин
от их математических ожиданий:
 xy = М((Х – Mx)(Y – Му)).
Коэффициентом корреляции rxy случайных величин X и Y называется отношение ковариации к произведению средних квадратичных отклонений этих
величин:
rxy =  xy  x y  –1  rху  1.
Линейной средней квадратической регрессией Y на X называется функция вида:
y
x  m x  ,
y x  m y  rxy
x
где mx = М(Х), my = M(Y),
 x  Dx ,
 y  Dy ,


rxy   xy  x y .
4.2. Найти регрессию величины Y на X для двух значений x1 = 3 и х2 = 6
на основе заданной таблицы распределения двумерной случайной величины
22
X
3
6
10
14
18
0,25
0,15
0,32
0,10
0,05
0,13
Y
Решение. Условное математическое ожидание, или регрессия, величины
Y на X находится на основе соотношения
M(Y /Х = xi) =  y j p  y j xi .
n
j 1
Определяем Р(Х = 3) и Р(Х = 6):
Р(Х = 3) = 0,25 + 0,15 + 0,32 = 0,72;
Р(Х = 6) = 0,10 + 0,05 + 0,13 = 0,28.
Вычисляем условные вероятности:
Р(Y = 10 / Х = 3) = 0,25/0,72 = 0,35; P(Y = 10 / Х = 6) = 0,10/0,28 = 0,36;
P(Y = 14 / Х = 3) = 0,15/0,72 = 0,21; P(Y = 14 / X = 6) = 0,05/0,28 = 0,18;
Р(Y = 18 / Х= 3) = 0,32/0,72 = 0,44;
Р(Y = 18 / Х= 6) = 0,13/0,28 = 0,46.
Находим условные математические ожидания:
M(Y / X = 3) = 10 · 0,35 + 14 · 0,21 + 18 · 0,44 = 14,4;
M(Y / X = 6) = 10 · 0,36 + 14 · 0,18 + 18 · 0,46 = 14,3.
4.3. Задан закон распределения двумерной случайной величины (X, Y)
Y
X
1
3
4
2
3
5
0,10
0,05
0,12
0,20
0,14
0,08
0,15
0,11
0,05
Найти условное математическое ожидание величины X для всех возможных значений величины Y.
4.4. Для заданного в задаче 4.3 закона распределения найти коэффициент
корреляции между величинами X и Y.
Решение. Находим вероятности значений X = 1, X = 3, X = 4:
Р(Х = 1) = 0,10 + 0,20 + 0,15 = 0,45;
Р(Х = 3) = 0,05 + 0,14 + 0,11 = 0,30;
Р(Х = 4) = 0,12 + 0,08 + 0,05 = 0,25.
Определяем вероятности значений Y = 2, Y = 3, Y = 5:
P(Y = 2) = 0,10 + 0,05 + 0,12 = 0,27;
P(Y = 3) = 0,20 + 0,14 + 0,08 = 0,42;
P(Y = 5) = 0,15 + 0,11 + 0,05 = 0,31.
Находим M(Y):
M(Y) = 2 · 0,27 + 3 · 0,42 + 5 · 0,31 = 3,35.
Определяем М(Х):
М(Х) = 1 · 0,45 + 3 · 0,3 + 4 · 0,25 = 2,35.
23
Вычисляем М(Х2) и M(Y2):
М(Х2) = 1 · 0,45 + 9 · 0,3 + 16 · 0,25 = 7,15;
М(Y2) = 4 · 0,27 + 9 · 0,42 + 25 · 0,31 = 12,61.
Находим Dx, Dy:
Dx = 7,15 – 2,352 = 7,15 – 5,52 = 1,63;
Dy = 12,61 – 3,352 = 12,61 – 11,22 = 1,39.
Откуда  x = 1,28;  y = 1,18.
Ковариация величин X и Y может быть найдена по формуле
 xy  M  XY   mx m y .
Итак,
M(XY) =   xi y j PX  xi ,Y  y j  
3
3
i 1 j 1
= 1 · 2 · 0,1 + 1 · 3 · 0,2 + 1 · 5 · 0,15 + 3 · 2 · 0,05 + 3 · 3 · 0,14 + 3 · 5 ·
0,11 +
+ 4 · 2 · 0,12 + 4 · 3 · 0,08 +4 · 5 · 0,05 = 7,68,
 xy= 7,68 – 2,35 · 3,35 = – 0,19,
rxy =  xy  x y  = – 0,19/(1,28 · 1,18) = – 0,126.
ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задания
1. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект (табл. 2). Какова вероятность того, что из взятых наугад т изделий k изделий являются дефектными?
2. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых k изделий некачественные (табл. 3). Какова вероятность того, что взятые случайным
образом m изделий будут некачественными?
3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с
трех заводов в количестве: n1 с первого завода, n2 со второго, n3 с третьего
(табл. 4). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе
p1, на втором р2, на третьем р3. Какова вероятность того, что взятое случайным
образом изделие будет качественным?
4. Дано распределение дискретной случайной величины X (табл. 5).
Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.
5. В городе имеется N оптовых баз (табл. 6). Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна р. Составить
закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.
6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение.
Ее математическое ожидание равно Мх, среднее квадратичное отклонение равно  x (табл. 7). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная
величина примет значение в интервале (а, b).
24
7. Найти линейную среднюю квадратическую регрессию случайной величины Y на случайную величину X на основе заданного закона распределения
двумерной случайной величины (табл. 8).
Таблица 2
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
N
20
30
20
25
15
20
30
16
18
12
30
26
24
22
20
n
4
5
5
6
4
6
4
4
6
5
10
8
8
6
5
m
5
5
4
5
3
4
3
3
5
4
5
6
5
4
3
Вариант
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
k
2
3
2
3
2
1
2
2
3
2
3
4
3
2
2
N
20
16
18
14
10
16
20
26
32
34
30
25
24
28
24
n
5
6
5
4
4
5
6
5
8
10
6
5
6
8
6
m
4
5
4
3
3
3
4
4
5
6
5
3
4
5
3
k
1
3
2
1
2
2
3
2
3
4
3
2
3
2
2
Таблица 3
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
n
20
18
16
14
12
10
18
22
24
26
30
25
23
24
30
k
6
8
6
5
4
4
6
8
10
6
8
7
6
8
9
Вариант
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
m
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
25
n
15
17
18
20
22
26
28
30
26
28
14
18
16
17
19
k
5
6
8
7
6
8
7
10
6
10
5
5
4
3
6
m
2
3
4
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
Таблица 4
Вариант n1
p1
n2
p2
n3
p3
Вариант
n1
p1
n2
p2
n3
p3
1
2
3
25
15
40
0,9
0,8
0,9
35 0,8
25 0,7
35 0,7
40
10
25
0,7
0,7
0,9
16
17
18
25
15
40
0,9
0,8
0,9
35
25
25
0,8
0,7
0,8
40
20
35
0,7
0,9
0,8
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
25
10
40
20
35
15
40
20
14
16
30
20
0,7
0,9
0,8
0,8
0,7
0,9
0,8
0,9
0,8
0,8
0,9
0,8
10
20
30
50
35
45
15
15
26
40
20
10
15
20
30
30
30
40
45
15
10
44
50
20
0,8
0,6
0,9
0,8
0,9
0,9
0,8
0,8
0,8
0,7
0,7
0,9
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
14
18
30
16
30
15
40
10
35
40
30
10
0,8
0,9
0,9
0,9
0,9
0,8
0,8
0,9
0,8
0,8
0,9
0,7
26
32
20
24
10
35
20
20
25
20
40
20
0,6
0,8
0,7
0,8
0,7
0,9
0.8
0,8
0,7
0,9
0,8
0,9
20
30
10
60
10
50
40
10
50
40
30
20
0,7
0,7
0,8
0,9
0,7
0,8
0,9
0,6
0,8
0,8
0,9
0,7
0,9
0,8
0,8
0,9
0,8
0,8
0,7
0,9
0,9
0,9
0,7
0,9
Таблица 5
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
Числовые данные
-5
2
3
0,4 0,3 0,1
0,2 0,5 0,6
0,1 0,5 0,2
-6
-2
1
0,1 0,3 0,4
0,2 0,5 0,6
0,5 0,4 0,5
-8
-2
1
0,1 0,3 0,4
-2
1
3
Вариант
4
0,2
0,8
0,2
4
0,2
16
17
18
19
0,1
3
0,2
5
0,1
0,3
0,4
0,2
-3
0,3
2
0,1
-4
2
0,4
3
0,4
-1
3
0,1
10
0,5
2
5
0,2
20
21
22
23
3
24
26
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
Числовые данные
4
6
9
0,4 0,3 0,3
4
6
8
0,3 0,1 0,1
3
6
7
0,3 0,2 0,1
5
10
12
0,4 0,2 0,1
6
8
14
0,2 0,4 0,4
1
3
4
0,4 0,3 0,1
xi
pi
xi
pi
xi
4
0,1
2
0,3
2
5
0,5
4
0,1
4
7
0,2
5
0,4
8
9
0,5
9
0,4
14
0,3
5
0,2
8
0,2
6
0,2
10
11
12
13
14
15
pi
0,3
0,1
0,4
0,2
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
-3
0,3
-6
0,2
2
0,5
-5
0,2
2
0,2
4
0,3
2
0,4
-2
0,4
5
0,1
-3
0,1
5
0,2
6
0,1
3
0,1
2
0,1
6
0,4
1
0,1
6
0,4
8
0,3
5
0,2
3
0,3
25
26
27
3
0,6
8
0,2
12
0,3
28
29
30
pi
0,1
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
-3
0,4
2
0,1
2
0,5
1
0,2
4
0,3
6
0,2
0,4 0,5
Окончание табл. 5
-1
3
5
0,3 0,1 0,2
4
6
9
0,3 0,3 0,3
4
5
6
0,1 0,3 0,1
3
8
0,1 0,7
6
8
10
0,2 0,4 0,1
8
12
16
0,3 0,1 0,4
Таблица 6
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Р
0,2
0,25
0,1
0,2
0,1
0,2
0,3
0,1
0,12
0,3
0,15
0,18
0,24
0,14
0,16
N
3
4
3
2
4
3
4
3
3
4
3
3
4
2
3
Вариант
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Р
0,15
0,24
0,1
0,12
0,14
0,16
0,15
0,13
0,21
0,16
0,19
0,26
0,14
0,15
0,22
N
4
3
2
3
4
4
3
3
2
2
3
4
3
2
3
Таблица 7
Вариант Мх
1
10
2
12
3
14
4
16
5
18
6
20
7
24
x
1
2
3
2
1
2
1
а
8
8
10
15
16
17
20
b
14
14
15
18
21
22
26
Вариант
16
17
18
19
20
21
22
27
Мх
40
38
42
44
45
46
48
x
4
2
4
5
5
4
5
а
36
35
40
41
43
44
45
b
43
40
43
45
48
48
49
8
9
26
28
3
2
23
24
27
30
23
24
50
52
6
4
10
11
12
13
14
15
30
32
34
36
38
40
1
3
1
2
3
2
27
30
30
34
37
39
32
35
36
37
41
42
25
26
27
28
29
30
54
56
58
60
62
64
3
4
5
6
5
6
48 53
50 55
Окончание табл. 7
53 56
55 58
56 61
58 63
59 64
60 66
Таблица 8
Вариант
Числовые данные
Y
1
X
2
3
Y
2
X
1
4
Y
3
X
3
4
Y
4
X
1
3
Y
5
X
4
6
Вариант
1
3
4
0,16
0,14
0,10
0,20
0,28
0,12
2
3
5
0,06
0,12
0,18
0,13
0,24
0,27
1
2
4
0,12
0,20
0,24
0,15
0,22
0,07
2
3
4
0,16
0,14
0,10
0,20
0,28
0,12
2
3
5
0,06
0,12
0,18
0,13
0,24
0,27
2
3
4
0,16
0,14
0,10
0,20
0,28
0,12
16
17
18
19
20
Числовые данные
X
5
7
9
Y
4
0,14
0,15
0,21
7
0,16
0,20
0,14
X
1
4
6
Y
3
0,14
0,12
0,13
7
0,13
0,20
0,28
X
5
8
10
Y
2
0,11
0,13
0,26
6
0,21
0,06
0,23
X
4
7
9
Y
4
0,22
0,09
0,32
7
0,14
0,17
0,06
X
8
9
12
Y
1
6
Y
X
0,14
0,23
0,11
0,04
0,18
0,30
3
6
8
0,21
0,11
0,07
0,20
0,23
0,18
3
4
7
0,15
0,21
0,23
0,09
0,15
0,17
X
Y
6
21
1
3
2
8
Y
X
2
X
4
5
Y
7
22
1
3
0,12
0,18
0,13
0,06
0,24
0,27
4
8
28
Окончание табл. 8
Х
Y
X
4
5
6
0,06
0,12
0,18
0,13
0,24
0,27
2
4
5
0,12
0,18
0,13
0,06
0,24
0,27
1
3
4
0,13
0,18
0,24
0,06
0,12
0,27
1
3
4
0,13
0,18
0,24
0,06
0,12
0,27
3
5
6
0,12
0,20
0,24
0,15
0,22
0,07
4
5
8
0,13
0,20
0,08
0,16
0,12
0,31
3
4
7
0,30
0,05
0,20
0,12
0,10
0,23
4
6
8
0,24
0,10
0,30
0,12
0,05
0,19
8
Y
X
1
3
Y
10
X
3
6
Х
11
Y
3
5
X
12
Y
1
3
X
13
Y
3
5
X
14
Y
3
6
X
15
5
8
0,13
0,24
0,14
0,08
0,19
0,22
6
9
12
0,23
0,17
0,07
0,20
0,15
0,18
5
8
10
0,11
0,20
0,21
0,09
0,14
0,25
4
7
9
4
10
X
Y
5
9
X
Y
2
7
X
Y
0,30
0,08
0,12
0,12
0,10
0,28
2
6
9
0,21
0,08
0,18
0,14
0,14
0,25
4
7
9
0,09
0,17
0,15
0,23
0,16
0,20
1
4
8
4
8
0,11
0,21
0,24
0,08
0,17
0,19
4
8
14
0,12
0,23
0,13
0,12
0,20
0,20
23
2
3
9
4
Y
Y
2
5
3
5
Х
24
Y
5
9
X
25
Y
2
7
X
26
27
28
29
Y
X
30
29
Y
3
5
СПИСОК ЛИТЕРАРУРЫ
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика /
В.Е. Гмурман. – М., 2000.
2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика /
Н.Ш. Кремер. – М., 2005.
3. Гмурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике / В.Е. Гмурман. – М., 1997.
4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие
/ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФА, 2003.
30
СОДЕРЖАНИЕ
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ………………………………………………..3
1.1. Множество событий. Классическое определение вероятности
события……………………………………………………………………….3
1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей………………………4
1.3. Вероятность появления хотя бы одного события…………………….6
1.4. Формула полной вероятности и формула Байеса…………………….7
1.5. Формулы Бернулли и Пуассона………………………………………..8
2. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ…………………………..9
2.1. Закон распределения вероятностей……………………………………9
2.2. Математическое ожидание и дисперсия……………………………...12
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ……………………….14
3.1. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности…..14
3.2. Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана………….16
3.3. Равномерное распределение…………………………………………..17
3.4. Нормальное распределение…………………………………………...18
3.5. Показательное распределение………………………………………...19
4. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН………………………………..20
4.1. Законы распределения двумерной случайной величины…………...20
4.2. Числовые характеристики системы двух случайных величин……..22
ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………………………24
Задания………………………………………………………………………24
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………….30
31
Составители: ИЗМАЙЛОВ Шамиль Зинурович
САФИН Рашит Рафаилович
Методические указания
для самостоятельного изучения
дисциплины «Математика»
с контрольными заданиями
Раздел III
«Теория вероятностей»
Технический редактор: С.А. Юдина
Подписано в печать 02.02.09. Формат 60×84 1/16.
Бумага писчая. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 2. Тираж 100 экз.
Цена свободная. Заказ № 13.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов
на ризографе в издательском отделе
32
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (347) 241-69-85.
33