1.11. Контрольная работа по теме «Вероятность»

1.11. Контрольная работа по теме «Вероятность»
Вариант 1
1. Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шаров, случайно вынимают без
возвращения 3 шара. С какой вероятностью все вынутые шары будут белыми?
2. Шесть студентов, среди которых Иванов, Петров и Сидоров, случайным
образом занимают очередь в библиотеку. С какой вероятностью в очереди Сидоров окажется первым а Иванов и Петров – по соседству друг с другом?
3. Какова вероятность того, что четырёхзначный номер автомобиля состоит
из разных цифр?
4. На склад поступают изделия от двух поставщиков с процентами брака 2%
и 6% соответственно. От второго поставщика приходит в два раза больше продукции, чем от первого. На контроль взято одно изделие. С какой вероятностью
оно будет бракованным?
5. Шарик диаметром 2 см падает на сетку с квадратными ячейками размера 4
см, сделанную из тонкой проволоки. С какой вероятностью шарик не заденет
сетку?
6. Стрелок, попадающий в мишень с вероятностью 0.8, выстрелил 5 раз. С
какой вероятностью он попадёт ровно 3 раза?
Вариант 2
1. Из колоды (36 карт) случайно выбирают 4 карты. С какой вероятностью
среди них есть ровно 3 короля?
2. Десять студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным образом
занимают места в аудитории в одном ряду, состоящем из 15 мест. С какой вероятностью Иванов и Петров окажутся сидящими рядом?
3. Какова вероятность того, что четырёхзначный номер автомобиля содержит ровно две одинаковые цифры?
4. В первой урне 1 белый и 2 чёрных шара, во второй – 2 белых и 3 чёрных
шара. Из первой урны, не глядя, переложили один шар во вторую, затем из второй урны наугад взяли шар. С какой вероятностью он будет белым?
8
5. На отрезке наудачу выбирают 2 точки. С какой вероятностью расстояние
между ними будет меньше половины длины этого отрезка?
6. Игральная кость подбрасывается 5 раз. С какой вероятностью 6 очков появятся ровно 2 раза?
Вариант 3
1. Из полного набора домино (28 костей) берут наудачу 5 костей. С какой вероятностью среди них есть ровно 2 кости с шестёрками?
2. Пять первых букв русского алфавита записывают в случайном порядке. С
какой вероятностью буква «а» будет записана раньше буквы «б»?
3. Какова вероятность того, что четырёхзначный номер автомобиля содержит ровно две пары одинаковых цифр?
4. Вероятность попадания в мишень для 1-го стрелка равна 0.8, для 2-го и 3го стрелков – 0.7, а для 4-го, 5-го и 6-го стрелков – 0.6. Наудачу выбранный
стрелок произвёл выстрел. С какой вероятностью мишень была поражена?
5. В течение суток шлагбаум на железнодорожном переезде закрывается 20
раз каждый раз на 4 мин. С какой вероятностью автомобиль проедет переезд без
остановки или с задержкой не более, чем на 1 мин?
6. В семье 5 детей. Считая, что рождение мальчика и девочки – независимые
равновероятные события, найти вероятность того, что в этой семье три девочки
и два мальчика.
Вариант 4
1. Найти вероятность угадать ровно 4 вида спорта в спортлото 6 из 45.
2. Буквы, составляющие слово «семинар», расставляются заново, в случайном порядке. С какой вероятностью новое «слово» начинается на букву «с» и заканчивается буквой «р»?
3. Какова вероятность того, что четырёхзначный номер автомобиля содержит ровно три одинаковые цифры?
4. В первой урне 1 белый и 2 чёрных шара, а во второй – 2 белых и 3 чёрных
шара. Наугад выбирается урна, а из неё – шар. С какой вероятностью он будет
белым?
9
5. На отрезке AB наудачу выбирают точки C и D. С какой вероятностью точка C окажется ближе к D, чем к A?
6. Пять игроков поочерёдно тянут по одной карте из колоды в 36 карт, каждый раз возвращая вытянутую карту в колоду. С какой вероятностью ровно двое
из них вытянут карты пиковой масти?
Вариант 5
1. Методом жеребьёвки из студенческой группы (25 чел.), в которую входят
Иванов и Петров, выбирают четверых для помощи в уборке территории института. С какой вероятностью Иванов попадёт, а Петров не попадёт в число помощников?
2. В студенческой группе 25 человек, в том числе Иванов, Петров и Сидоров.
Студенты сдают экзамен в случайной очерёдности. С какой вероятностью первыми экзаменующимися окажутся упомянутые три студента в произвольном порядке?
3. Какова вероятность того, что четырёхзначный номер автомобиля начинается и заканчивается одной и той же цифрой?
4. Вероятность попадания в мишень для 1-го стрелка равна 0.8, для 2-го и 3го стрелков – 0.7, а для 4-го, 5-го и 6-го стрелков – 0.6. Наудачу выбранный
стрелок произвёл выстрел и попал. С какой вероятностью это был первый стрелок?
5. Какова вероятность, не целясь, попасть пулей диаметра 1 см в прутья толщины 1 см, образующие решётку с прямоугольными ячейками размера 6 см  10
см?
6. Процент брака в массовом производстве деталей равен 10%. С конвейера
берут для контроля 6 деталей. С какой вероятностью среди них окажутся ровно
две бракованные?
Вариант 6
1. Среди 20 приборов 5 не исправны. На контроль берут 4 прибора. С какой
вероятностью среди них будет обнаружен хотя бы один неисправный прибор?
10
2. Шесть человек, в том числе Иванов, Петров и Сидоров рассаживаются
случайным образом на 6 мест за круглым столом. С какой вероятностью эти три
человека окажутся сидящими на соседних местах?
3. Какова вероятность того, что четырёхзначный номер автомобиля содержит ровно две цифры «7»?
4. На склад поступают изделия от двух поставщиков с процентом брака 2% и
6% соответственно. От второго поставщика приходит в два раза меньше продукции, чем от первого. На контроль взято одно изделие, оказавшееся бракованным.
С какой вероятностью оно поступило от второго поставщика??
5. На отрезке [0;1] наудачу выбирают две точки. С какой вероятностью сумма их координат будет больше 1?
6. Студент может решить задачу по теории вероятностей с вероятностью 0.5.
Ему предложены 6 задач. С какой вероятностью он решит ровно 3 из них?
Решение задач варианта 1
1. При выборе без возвращения порядок элементов можно не учитывать. По3
этому N   C10
. Благоприятствующие исходы соответствуют выборкам по три
белых шара из имеющихся 6 белых шаров, т.е. N  A  C63 . Окончательно,
P A 
C63
6!3!7!
6 5 4 1


 .
3
C10 3!3!10! 10  9  8 6
2. Число элементарных исходов равно числу перестановок из 6: N    6! .
Благоприятствующие событию A исходы подсчитаем с помощью формулы
(1.3.8):
N  A  N 1 N 2 ... N m . При этом учтём, что:
а) первый в очереди –Сидоров (1 вариант, N 1  1 );
б) Иванов и Петров - по соседству, т.е. занимают места: 2-е и 3-е или 3-е и 4е, или 4-е и 5-е, или 5-е и 6-е, число вариантов N 2  4 ;
в) если Иванов и Петров, находясь по соседству, поменяются местами, то
они останутся соседями в очереди, т.е. N 3  2 ;
11
г) при выполнении всех перечисленных условий для Иванова, Петрова и Сидорова остальные 3 студента могут находиться на трёх оставшихся местах очереди в любом порядке, поэтому N 4  3!  6 .
Окончательно, N  A  N1 N 2 N 3 N 4  1  4  2  6 , P A 
426
426
1

 .
6!
2  3  4  5  6 15
3. Случайный выбор четырёхзначного номера можно представить как выбор
4 элементов (цифр) из 10 с возвращением. Поскольку речь идёт о выборке с повторениями,
порядок
элементов
безусловно
важен.
Таким
образом,
N   A410  104 .
Формирование благоприятствующих событию A исхода можно представить
как выбор 4 элементов из 10 без возвращения, т.е. благоприятствующие исходы это выборки из 10 элементов по 4 без повторений. Поскольку порядок элементов
в выборке при подсчёте N   учитывался, то он должен быть учтён и при опре4
делении числа N  A , т.е. N  A  A10
.
A410
10!
10  9  8  7 63


 0,504 .
Окончательно, P  A  4 
4
125
10
6!10
10 4
4. Используем формулу полной вероятности. Событие A  {взятое изделие
оказалось бракованным}, гипотезы: H i  {взятое изделие поступило от i -го поставщика}. Вероятности: PH1   , PH 2   ; PA H1   0,02 , PA H 2   0,06 .
1
3
2
3
Окончательно, P A  
1 2
2 6
14
 

 0,047 .
3 100 3 100 300
5. Изобразим ячейку сетки, на которую упал шарик, см рис. 1.11.1

4 см
A
2 см
2 см
4 см
Рис. 1.11.1. К задаче 5
12
Опыт по падению шарика на сетку можно представить в виде геометрической схемы со случайным выбором точки (центр шарика) в пространстве
  {ячейка сетки – квадрат со стороной 4 см}. Шарик не заденет сетку, если
расстояние от его центра до ближайшей стороны ячейки не превзойдёт величины радиуса шарика, поэтому A  {квадрат со стороной 2см}, см рис. .
Таким образом, P A 
mes  A 4 см 2

 0,25 .
mes  16 см2
6. В условии задачи описана серия из n  5 испытаний по схеме Бернулли с
вероятностью
успеха
p  0,8 .
По
формуле
Бернулли
находим:
P A  C53  0,83  0,22  0,2048 .
1.12. Тесты по теме «Случайные события. Вероятность»
Тест 1. Случайные события. Классическая вероятность. Геометрическая
вероятность
Вариант 1
1. (1, 1) Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Возможные исходы каждого выстрела - попадание и промах. Сколько существует элементарных исходов у этого опыта?
2. (1, 3) Опыт состоит в проверке доброкачественности трёх приборов. События: A  {все приборы доброкачественные}, B  {хотя бы один прибор бракованный}, C  {ровно один прибор бракованный}. Что означает событие
A  C   B ?
3. (1, 3) Упростить выражение AB  AB  AB для произвольных событий A и
B.
4. (1, 4) Упростить выражение A  A B  A  B  для произвольных событий A и
B.
5. (2, 3) Студент знает 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из полученных наудачу трёх вопросов он знает по крайней мере два?
13
6. (2, 4) В группе из 25 человек, среди которых 20 юношей и 5 девушек, путём жеребьёвки выбирают старосту и двух его заместителей. Какова вероятность
того, что старостой окажется юноша, а его заместителями – девушки?
7. (2, 3) Десять книг на одной полке расставляются наудачу. С какой вероятностью четыре определённые книги окажутся поставленными рядом?
8. (2, 2) С какой вероятностью случайно выбранный телефонный номер
начинается с чётной цифры и заканчивается нечётной цифрой? Известно, что
номера семизначные, от 000-00-00 до 999-99-99.
9. (2, 3) На плоскости проведены параллельные прямые, расстояние между
которыми попеременно равны 2 см и 8 см. Определить вероятность того, что
наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не пересечётся ни с
одной линией.
10. (2, 4) На отрезке AB наудачу поставлены точки L и M . Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M , чем к точке A .
Ответы к задачам варианта 1
1. N    8 . 2.  A  C   B   . 3. AB  A B  AB  A  B . 4. A  A B  A  B    . 5.
P
3
2 1
C20
 C20
C5 133

 0,578 .
3
230
C25
P
3
3
5 105  5 1
 0,3 . 10. P   0,75 .
 . 9. P 
7
4
10
4
10
6.
P
20 A52
3
A25

2
 0,029 .
69
7.
P
7  4!6! 1
.

10!
30
8.
Тест 2. Схема Бернулли. Вероятности сложных событий
Вариант 1
1. (1, 2) Подбрасывают 6 игральных костей. С какой вероятностью ровно на
трёх из них выпадет по 6 очков?
2. (1, 3) Из колоды в 36 карт наудачу 4 раза выбирают по одной карте, каждый раз возвращая выбранную карту в колоду. С какой вероятностью туз будет
выбран не менее трёх раз?
14
3. (2, 4) К автобусной остановке с интервалом 20 минут подъезжают автобусы и с интервалом 10 минут подъезжают маршрутные такси того же маршрута. С
какой вероятностью подошедший к остановке пассажир будет ожидать транспорт не более 5 минут?
4. (2, 4) Два стрелка, попадающие в мишень независимо друг от друга с вероятностями 0,9 и 0,8 соответственно, выстрелили по одному разу. Было замечено, что целостность мишени нарушена. С какой вероятностью мишень поразили
оба стрелка?
5. (2, 5) Одна и та же зона наблюдения системы противовоздушной обороны
контролируется подразделением, включающим две независимо работающие радиолокационные станции. Случайным образом обе станции могут оказаться в
одном из двух режимов: работа без помех – с вероятностью 0.8 и работа при
наличии помехи – с вероятностью 0.2. В первом режиме вероятность обнаружения цели для каждой станции составляет 0.9, а во втором 0.7. Найти вероятность
обнаружения цели подразделением.
6. (2, 3) К студенту Иванову могут прийти в гости независимо друг от друга
три товарища. Вероятности их прихода равны, соответственно, 0,4, 0,6 и 0,8. С
какой вероятностью Иванов не останется в одиночестве?
7. (2, 3) На сборку приборов поступили 3 партии однотипных деталей: 30 деталей в первой партии, 50 – во второй и 70 – в третьей. Вероятности того, что деталь не проработает расчётное время для этих партий равны, соответственно, 0,1 ,
0,2 и 0,4 . Найти вероятность того, что выбранная наудачу деталь не проработает
расчётного времени.
8. (2, 4) При передаче кодовых слов, состоящих из нулей и единиц, искажается в среднем 20% нулей и 10% единиц. Известно, что в передаваемых сообщениях нули и единицы встречаются в соотношении 3 : 2. Найти вероятность того,
что принят переданный символ, если принят ноль.
9. (2, 4) Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает её
наугад. С какой вероятностью ему придётся звонить не более, чем в три места?
10. (2, 5) Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два выстрела,
каждый по своей мишени. Вероятности попадания при одном выстреле для пер15
вого и второго стрелков равны, соответственно, 0,9 и 0,8 . Выигрывает тот, у кого больше попаданий. Найти вероятность выигрыша первого стрелка.
Ответы к задачам варианта 1
3
3
3
1
4
0
1
5
1
8
1
8
33
5
1. P  C63      0,0536 . 2. P  C43      C44      4  0,005 . 3. P  . 4.
6 6
P
0,72
 0,735 .
0,98
9 9
5.
P  0,974 .
 0,4  0,6  0,8  0,952 . 7. P  0,293 . 8. P 
6.
9 9
9
8
P  0,4  0,6  0,8  0,4  0,6  0,4  0,8  0,6  0,8 
0,6  0,8
 0,923 . 9. P  0,3 . 10. P  0,2988 .
0,6  0,8  0,4  0,1
16