M-22_ZD8_ch6

Глава 6
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Алгоритмы
А-1
А-2
А-3
А-4
А-5
А-1
Вычисление квадратного корня
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Вычисление длин и расстояний
Сравнение числовых выражений, содержащих радикалы
Преобразование корней более высоких степеней
Вычисление квадратного корня
1. Проверьте равенство:
1)
441  21 ,
961  31, 1681  41, 10609  103 ;
1
1
2) 1024  2 5 , 11  3 , 0,2 4  5 2  0,2, 14,4  10 5  1,2  10 3 ;
9
3
3)
a 2  a (a  0), a 6  a 3 (a  0), 25a 4  5a 2 ,
4)
1  3 
2
 3  1,

2. Запишите значение
2 5

2
16a 2 4 | a |

;
121
11
 5  2 , 5  2 6  3  2 , 11  4 7  7  2.
a при a, равном:
1) 0; 1; 16; 49; 81; 0,01; 0,04; 1,69; 0,0144;
2) 529; 841; 1024; 961; 10000; 10201;
3) 225; 625; 1225; 2025; 15625.
3. Выполните действия.
1)
 16  ; 
2
3

 2 
 ;
196 ; 

18


2

2)
36  36 ; 2  4 16 ;
3)
2 5  2 2 ; 2  3  27  52  4 2 ;
4) 3  2 10 3  10 2 ;
 
3
0,25 ;

3
2,89 ; 

9  16 ; 100  36 ;
2
 24 ;
3
25 2  2 4  2 3  ;
2
4
5  .

7  81 ;

23  50 ;
33 
165 2  124 2
;
164
2
1
.
12
98
;
2
176  112 2
4. Найдите значение выражения.
1)

256  121 .
6a 16  a при a = –2; a = –2,5; a = 0; a = 8.
2)  5  10  0,1x при x = 3,9; x = 27,1; x = –2,4; x = –900.
149 2  76 2
.
457 2  384 2
x  3; 7 x  1  1; x 2  5  2; x  2  1; x  x .
5. Решите уравнения:
А-2
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
a b  a  b .
1. Вычислите по формуле
9  64 ;
1) 16  25 ;
0,01  81 ;
49  0,04 ; 196  0,0016 ; 169  0,81  0,36 .
2) 12  48; 10  40; 0,036  12,1; 1,6  19,6;  4  (16) ; (25)  (100).
3)
0,87  49  0,82  49 ;
39  14  65  35  6 ;
1,44  1,21  1,44  0,4 ;
6050  8450 ;
1,521  10 5 .
4)
5  45 ;
3  27 ;
0,1  0,4 ;
a

b
2. Вычислите по формуле
1)
2)
81
;
169
48
3
121
;
196
128
;
8
0,000225 ;
108
;
3
216
;
6
a
b
0,8  1000  2 .
.
1
2 ;
4
0,000441 ;
;
8  10  5 ;
0,1  10 ;
722
1250
;
3675
6912
4
;
9

5 3 
4
 400
.
 361
25
;
36
5
.
3. Вычислите квадратный корень из степени.
24 ;
1)
38 ;
93 ;
2)
(2) 6  (5) 4 ;
2 4  52  7 6 ;
3  3,12 ;
83  2 3 .
2  5 
2
;

2


2
5 3 ;
22 6 3;
7  2 10 .
3)
 x 
2
, x < 0;
 x 
2
2
, x  0;
22 

   ;
7 

 
2
355 

 
 ;
113 

10

2
.
4. Упростите.
1)
1  x 2
5) x  1  x 2  2 x  1 , x  1
2)
9  6x  x 2
6)
x  32
3)
4 y  x 
7)
4)
x2 
x2
, x <0
x
8)
x  xx  1
2
2 x  12

x  3
2
2
, 3 x  3
5. Вычислите
a , представив число a в виде произведения простых множителей. Число
a равно: 1764; 1296; 5929; 28 224; 25 921.
6. Приведите числовые выражения к виду a b , где b – натуральное число, свободное от
квадратов (то есть не делящееся ни на какой квадрат целого числа).
1) 12 ; 18 ;
2)
48 ; 128 ; 160 ;
0,24 ; 1,25 ;
0,001 ;
2048 .
0,169 ; 10 0,32 .
7. Представьте выражение в виде
a или – a .
5 12
2 3
6
2
175 ;
;
;
;
.
2 5
8 5
3
2
1)
2) x 2 ( x  0); b x (b  0); b

4 1
 ; 2 3
b b2
8. Упростите

3 1  2
2 3 2  8  2 18
4)
48  72

12)

 2  2 3 3 2  3 
6) 3  4 6  2  2 3 
7)  5  1 5  1
5)
13)
14)
8) ( 5  20 ) 2

9) 1  2


11) 2  3
2) 3 3  12  4 75
3)
74 3 ;
32

74 3 .

10) 2 12  75  147 : 3
2  4  8  16  32
1)

15)

3

8  4 50 : 2
10  15
8  12
2  3 8  4 50
2
42 3
3 1
28  12
10  2 21
9. Освободите от радикалов знаменатель и упростите выражение.
1)
2)
3)
4)
6
3
15
2 5
4
3 8
125
12
5)
6)
4b
ab
2a
ab
2
1 5
3
8)
3 2
7)
1
7 3
5
10)
2 3
7 5
11)
7 5
2 3
12)
2 3
9)
13)
1 2 3
1
1

2 3 3 3 3 5
10  2 2
2 5
16)

5 2
5 2
15)
1 3 3
14)
3
2

5 3
5 3
17)
1
1 2  3
18)
1
2 3 5
10. Упростите.
1) 3 a  2 a  9a
12)
2) (a a  b b )  ab
3) x  ( 4 x  3 9 x  25 x )
4) (2 ab  4 b  5 a 
1
4a )  3 ab
4
5) ( a  b )( a  b )
6) (a a  b b )( a a  b b )
7) ( a  b)( a  b)
8) ( a  b )( a  b  ab )
9) ( a  b)( a  b a  b 2 )
10)
a b
a b
11)
a a b b
a b
a3  3 3
a 3

 
a
a 

 1 : 1 
13) 

a

1
a

1

 


a
b  a b
 
14) 

a

b
a

b

 a
 a

b
ab
15) 

 2  
a
 b
 a b

ab  b  
a
b
2 ab 




16)  a 
  a b

a

b
a

b
a

b

 

 a 1

a 1
1 

 4 a   a 
17) 

a 1
a
 a 1

 a b
a  b  ab
 

18) 
 a b b a a b b a  a b
19)
a  b a 2  a b a  b 4a b


 2
a b
a b
a  b a b
11. Найдите области определения следующих выражений. Ответ запишите в виде
объединения промежутков и нанесите его на ось.
1)
x2
6)
x  3  x 1  x  2
2)
2x  3
7)
2 x  x2
8)
x 1  x 1
9)
x2 1
3)
1
3 x
4)
x
5)
x  1 x
А-3
10)
2x  1  3  2x
(4 x  1)( 4 x  3)
Вычисление длин и расстояний
1. Найдите длины сторон треугольника ABC, зная координаты его вершин.
А-4
№
A
B
C
1
(0; 0)
(1; 2)
(3; –1)
2
(1; –1)
(5; 2)
(–2; 3)
3
(0; 1)
(1; –1)
(–1; 1)
4
(2; –3)
(0,5; 2,5)
(–1,5; 1,5)
5
(0; 0)
6
(0; 0)
 1 1
 ; 
 2 3
( 2; 2 )
1 2
 ; 
 4 3
(2 2 ;1)
Сравнение числовых выражений, содержащих радикалы
1. Сравните, что больше – A или B?
№
A
B
2
5 1
2
10
1
2
3,2
3
99
9,9
1
1
3
5
3
3
2 3
6
17 15
7
3  10
8
0,99
9
2 3
3
10
5 6
1
6 7
4
11
12
3 2
4
2  11
0,99
2 1
2004  2002
3
1 3 4
2 2003
2. Найдите (без калькулятора) два последовательных целых числа, между которыми
заключено данное число.
1) 10
2)
5)
300
1 5
2
6)
2 3
7)
1
32 2
3) 1000
4) 3  5
А-5
Преобразование корней более высоких степеней
8) 2  5
9)
1
2 5
10)
2 3
2 3
1. Вычислите значения числовых выражений.
1)
3
729
9) 3 1000
2)
3
2 3  36  5 9
10)
3
24
81
3)
3
125
512
11)
3
2 6  39
4)
3
12)
4
625
81
0,008
5) 3 1,331
3
6)
3
7)
4
8)
4
13)
0,343
625
34  7 8
24
3
625
40
14)
3
7,29  10 4
15)
3

27
16
2. Упростите числовые выражения.
1)
3
81
10) 3 10 (3 100  3 10000 )
2)
3
0,0001
11)
3
3) 16
4)
5)
2
4
2 5  34  5
4
3
 3  1
9  2 81  2 9  4
x  a  x  a  x  a 
2  3
3 1
3
3
3
4
3
4
4
3
16) ( 4 a  4 b )( 4 a  4 b )
3
3
3
3
3
6) 3 (2) 5
8)
1 3 2

13) 
14) 
15) 
12)
2
7)
1
17) ( x x  3 y )( x 3  3 y )
24  3 81
9) 3 16  33 54
18) (3 a  3 b )(3 a 2  3 ab  3 b 2 )
Соответствия
С-1
С-2
С-3
С-4
С-1
Различные формы записи чисел
Числовые множества и связь между ними
Изображение иррациональностей на числовой оси
Запись расстояний
Различные формы записи чисел
1. Разложение рационального числа в бесконечную десятичную дробь
Разложите следующие числа в бесконечные десятичные дроби
1)
2
5
1
4
16
20
10
7
100
3
1
7
; 2) ; 3)
; 4)
; 5) ; 6)
; 7) ; 8)
; 9) ; 10) ; 11)
; 12)
.
11
12
3
3
99
9
9
33
6
7
7
15
2. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Для этого перевода надо число x «сдвинуть на период», то есть уменьшить его на 10n,
где n – длина периода. Затем надо вычесть эти два числа друг из друга и получить
конечную десятичную дробь r. Далее осталось решить уравнение 10n x – x = r в
рациональных числах: (10n – 1) x = r, x 
r
10  1
n
.
Пример: x = 3,77… = 3,(7)
10x = 37,77… = 37,(7)
10x – x = 34,0… = 34
x
34
9
1) x = 1,6… = 1,(6)
4) x = 1,3535… = 1,(35)
2) x = 0,044… = 0,0(4)
5) x = 2,322… = 2,3(2)
3) x = 0,1818… = 0,(18)
6) x = 0,1(36)
3. Иррациональные числа – непериодические десятичные дроби.
Докажите, что в записи следующих дробей нет периода и, следовательно, они являются
записями иррациональных чисел.
С-2
1) 0,123456789101112…
4) 0,182764125216…
2) 1,929939994999959…
5) 0,12112211122211112…
3) 0,135791113151719…
6) 0,3815243548638099…
Числовые множества и связь между ними
1. Классификация чисел
Отметьте номер класса, к которому относятся заданные числа. Если число относится к
нескольким классам, укажите «самый маленький» из них, то есть класс, который не
содержит внутри себя никакого из других названных классов.
Номер
1
2
3
4
5
1 вариант
Класс чисел
натуральные
целые
рациональные
вещественные
комплексные
2 вариант
N
Z
Q
R
C
3 вариант
4 вариант
1
0,1
4
9
2
10
2
2,3
3
4
–0,5
 0,5
0,16
4
4
6
3
5
7
3
6
3
(1  2 ) 2
7
1 2

 16
8
4
–3,14

2
1
2
0,666…
8
8
3
9
(1  2 ) 2
10
0,999…
3
1 3

3
5
С-3
0,333…
3
4
36
2 5
27
(1  3 ) 2
1 3
121
2 7
0,01
0,111…
3
0,125
12
3
5
6
5
3
Изображение иррациональностей на числовой оси
1. Расположите числа в порядке возрастания, нанеся их на числовую ось.
1) 1; 2; 1 2 ;
3  1;
1 5
;
2
2) 3; 4; 10 ; ; 2 2 ;
3) –1; 1; 1 2 ;
2 3
;
2
2 3;
5 1
;
2
2 3;
7;
3 2
1 15
2
1
;
1 3
2
1
;
3 3  10
2. Найдите целую часть числа, то есть наибольшее целое число, его не превосходящее.
1)
80
2)
200
3)
999
4)
2000
5) 123456789
6) 1  2  3  4  ...  10
7)
1
1
1
1


 ... 
1 2
2 3
3 4
9  10
С-4
Запись расстояний
1. Запись расстояний с помощью формул
Запишите с помощью формул следующие расстояния.
1) Расстояние между точками a и b на числовой оси.
2) Расстояние от точки M(x; y) до начала координат.
3) Расстояние от точки M(x; y) до оси абсцисс.
4) Расстояние от точки M(x; y) до оси ординат.
5) Сумма расстояний от точки M(x) числовой оси до точек A1(a1) и A2(a2).
6) Сумма расстояний от точки M(x; y) плоскости до точек A1(a1; b1) и A2(a2; b2).
7) Расстояние от точки M(x; y) до прямой x = a, параллельной оси ординат.
8) Расстояние от точки M(x; y) до прямой y = b, параллельной оси абсцисс.
Приложения
П-1 Приближенное вычисление корней
П-2 Квадратные корни в физических формулах
П-3 Геометрические приложения
П-1
Приближенное вычисление корней
1. Воспользуемся следующим способом приближенного вычисления числа
качестве x1 приближенное значение
a
a : взять в
с избытком и затем вычислять две
последовательности значений xn и yn по формулам: y n 
последовательности дадут возможность вычислить
x  yn
a
, xn1  n
(n  1). Эти
xn
2
a с любой степенью точности.
Вычислите с пятью знаками после запятой.
1)
5 ; 2)
6 ; 3)
7 ; 4) 11 ; 5)
30 ; 6)
95 .
Разумеется, не надо использовать при вычислениях кнопку
калькулятора и лишь в
конце проверить результат с ее помощью.
П-2
Квадратные корни в физических формулах
1. Многие формулы в физике используют возведение в квадрат:
а) M = kR2h – масса однородного цилиндра с плотностью k, высотой h и радиусом
основания R;
б) s 
gt 2
– путь, пройденный телом под действием силы тяжести за время t (g –
2
гравитационная постоянная);
в) E 
mv 2
– кинетическая энергия тела массы m, движущегося со скоростью v
2
г) F  k
m1m2
– закон притяжения, дающий значение силы взаимного притяжения двух
r2
масс m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга.
Нахождение величин, входящих в такие формулы в квадрате, приводит к операции
извлечения квадратного корня.
1) Выразите из приведенных формул R, t, v и r.
2) Вычислите значение этих величин (с одним знаком после запятой), используя
следующие данные:
а) M = 3,1 кг, h = 10 см, k = 1 г/см3
б) s = 12 м, g  9,8 м/с2
в) m = 10 кг, E = 1,45  102 кг м2/с2
г) m1 = m2 = 2,1  106 кг, F = 1,2  10–10 Н, k = 6,673  10–11 Н  м2/кг2
П-3
Геометрические приложения
1. Вычислите сторону а квадрата, если его площадь равна S.
1) S = 324
2) S = 6,76
3) S = 0,0784
4) S = 1,21  106
2. Используя
теорему
Пифагора
a2 + b2 = c2,
вычислите
длину
с
гипотенузы
прямоугольного треугольника с катетами а и b.
1) a = 5, b = 12
2) a = 40, b = 42
3) a = 2, b = 3
4) a = 44, b = 117
3. Вычислите сторону квадратного основания прямоугольного параллелепипеда, у
которого известна высота h и объем V.
1) h = 13; V = 117
2) h = 21; V = 147
3) h = 3,1; V = 1,519
4) h = 0,16; V = 0,04
4. Что можно сказать о форме треугольника АВС по координатам его вершин?
A
B
C
(1; 2)
(2,5; 2,5)
(3; 1,5)
(0; 5)
(2; 1)
(–1; 7)
(3; 0)
(2,5; 10)
(–2,5; –5)
(1; 1)
(4; 2)
(2; 8)
 3 3

;  1,5 
(0;3)  
 2

ПрямоРавноТупоВырожРавноугольный сторонний угольный денный бедренный
3 3


;  1,5 
 2

5. Необходимо огородить забором участок площади 10 м2. Вычислите длину забора для
участков следующей формы (в метрах, с точностью до 1 см). Сравните результаты.
1) Квадрат.
2) Круг.
3) Правильный треугольник.
4) Правильный шестиугольник.
Исследования и доказательства
И-1 Автомат
И-2 Доказательство тождеств
И-3 Сопряженные иррациональности
И-1
Автомат
1. Автомат a  a ; a  3 a ; a 
a
x
Автомат A извлекает квадратный корень, автомат B извлекает кубический корень,
автомат C делит выражение на x, т. е. A(a) =
Вычислите результат применения автоматов.
a ; B(a) =
3
a ; C(a) =
a
.
x
 
 
1) A x 6
2) B x12
 
3) A  C x 9
 
4) B  B  A  A  B x108
Постройте последовательность применения автоматов так, чтобы как можно быстрее из
данной степени x получить единицу.
5) x 18
И-2
6) x 100
7) x 43
8) x 100
Доказательство тождеств
1. Докажите тождества
1) a  b  ( a  b ) 2  2 ab
2) a  b  ( a  b )( a  b )
3) a  b  (3 a  3 b )(3 a 2  3 ab  3 b 2 )
4) a 2  b 2  (3 a 2  3 b 2 )( a3 a  3 a 2b 2  b3 b )
5) a  b  c  ( a  b  c ) 2  2( ab  ac  bc )
6) Если
3
a  3 b  3 c  0 , то a  b  c  33 abc
7) (a  a 2  b ) 2  2a(a  a 2  b )  b  0

2 a  b , при a  b  c
8) a  b  c  2 ac  bc  a  b  c  2 ac  bc  

2 c , при a  b  c
И-3
Сопряженные иррациональности
1. Рассмотрим множество K выражений вида x  a  b d , где a и b – рациональные
числа, а число d – натуральное, не являющееся квадратом целого числа. Число
x  a  b d (мы поменяли знак перед радикалом) называется сопряженным с числом x,
а сама операция перехода от x к x называется сопряжением.
1) Проверьте следующие свойства сопряжения. Сформулируйте словами эти свойства.
а) x  y  x  y
в) x  x
б) x  y  x  y
г) x Q  x  x
2) Проверьте, что следующие симметричные выражения являются рациональными
числами
а) x  x
б) x  x
в) ( x  x) 2
г)
1 1

x x
3) а) Докажите, что если x, y К , то x  y  K , xy  K .
б) Докажите, что если x  K , x  0 , то и
1
K .
x
Как можно было сформулировать правило освобождения от иррациональности в
знаменателе с помощью операции сопряжения?
4) Пусть x  a  b d является квадратом числа y  K . Докажите, что тогда число
a 2  b 2 d является квадратом рационального числа.
 at
a t 

5) Формула сложного радикала. Пусть a  b d  t . Тогда a  b d  


2
2


2
2
2
2
(b  0 )
6) Найдите самостоятельно формулу сложного радикала для случая b<0.
7) Пользуясь предыдущими формулами, извлеките квадратные корни из следующих
чисел:
а) 5  2 6
в) 7  2 10
д) 9  4 5
б) 9  4 5
г) 12  2 35
е) 2  3
8) Найдите первые 20 цифр после запятой числа x  (5  26 ) 20 , решив предварительно
следующие задачи:
а) Докажите, что сумма числа x и его сопряженного x есть целое число
б) Проверьте, что
в) Докажите, что
26  5 
26  5 
1
5  26
1
10
г) Найдите первые 20 цифр после запятой числа x  (5  26 ) 20 .