Дискретная математика - Санкт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
Рекомендуется для направления подготовки
230700 Прикладная информатика
Квалификация выпускника - бакалавр
Санкт-Петербург
2011 год
2
1. Цели и задачи дисциплины: накопление необходимого запаса сведений по математике
(основные определения, теоремы, правила), а также освоение математического аппарата,
помогающего моделировать, анализировать и решать задачи, связанные с информатикой,
помощь в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и
прогнозировать процессы и явления из области будущей деятельности студентов;
развитие логического и алгоритмического мышления, способствование формированию
умений и навыков самостоятельного анализа исследования проблем информатики,
развитию стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы.
2. Место дисциплины в структуре ООП.
Дисциплина «Дискретная математика» относится к циклу Б.2.1 Математический и
естественнонаучный цикл, Базовая часть. Входные знания, умения и компетенции
студентов должны соответствовать школьному уровню и знаниям и компетенциям,
полученными после изучения дисциплин «Математика», «Математический анализ» и
«Теория вероятностей и математическая статистика». Дисциплина «Дискретная
математика» является предшествующей для следующих дисциплин: «Менеджмент»,
«Бухгалтерский учет», «Информатика и программирование», «Математические методы в
экономике», «Методы решения оптимизационных задач в бизнесе», «Системы поддержки
принятия решений», «Имитационное моделирование экономических процессов»,
«Вычислительные системы, сети и коммуникации», «Информационные системы и
технологии», «Проектирование информационных систем», «Нейроинформатика».
3. Требования к результатам освоения дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
способен логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную
речь, владеть навыками ведения дискуссии и полемики (ОК-2);способен самостоятельно
приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения,
стремится к саморазвитию (ОК-5); способен понимать сущность и проблемы развития
современного информационного общества (ОК-7); способен свободно пользоваться
русским языком и одним из иностранных языков на уровне, необходимом для выполнения
профессиональных задач (ОК-9);
проектная деятельность: способен ставить и решать прикладные задачи с
использованием современных информационно-коммуникационных технологий (ПК-4);
способен применять к решению прикладных задач базовые алгоритмы обработки
информации, выполнять оценку сложности алгоритмов, программировать и тестировать
программы (ПК-10); способен принимать участие в реализации профессиональных
коммуникаций в рамках проектных групп,
аналитическая деятельность: способен проводить оценку экономических затрат на
проекты по информатизации и автоматизации решения прикладных задач (ПК-15);
способен применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом,
математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);
научно-исследовательская деятельность: способен применять системный подход и
математические методы в формализации решения прикладных задач (ПК-21);
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные понятия и факты теории множеств, комбинаторного анализа, общей
алгебры, теории графов, математической логики, сетевого планирования, теории потоков
в сетях;
Уметь: разрабатывать эффективные алгоритмы и отлаживать программы с
использованием современных компьютерных технологий;
Владеть: навыками моделирования прикладных задач методами дискретной математики.
2
3
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц.
Вид учебной работы
Четвертый
семестр
Всего часов
72
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (всего)
В том числе:
Контрольная работа №1
Контрольная работа №2
Контрольная работа №3
Контрольная работа №4
Экзамен
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
40
32
108
18
18
18
18
36
180
4+1
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов дисциплины
1. Множества и функции. Множества и способы их задания. Парадоксы. Алгебра
множеств. Фактор-множество. Отображения. Композиция и инверсия. Декартовы
произведения и степени.
2. Элементы комбинаторики. Перечисление подмножеств и отображений. Бином
Ньютона. Принцип Дирихле. Формула включений-исключений. Метод математической
индукции и алгоритмические построения.
3. Бинарные отношения. Алгебра бинарных отношений. Матричное представление
отношений. Свойства бинарных отношений: рефлексивность, антирефлексивность,
симметричность, антисимметричность, транзитивность, антитранзитивность. Некоторые
виды бинарных отношений: эквивалентности, толерантности, порядки.
4. Порядковые структуры. Частичные порядки. Цепи, верхние и нижние грани. Атомы и
коатомы. Произведение порядков. Максимальность по Парето. Лексикографический
порядок. Решетки, орторешетки, булевы алгебры. Квазипорядки и конечные топологии.
Диаграммы Хассе.
5. Элементы общей алгебры. Операции на множествах и их свойства. Полугруппы,
группы, кольца, поля. Действие групп на множествах. Элементы теории сравнений и
конечная арифметика. Конечные поля и линейные пространства. Полиномиальное
кодирование.
6. Графы. Задачи, приводящие к графам. Неориентированные графы и операции над ними.
Изоморфные графы. Пути и циклы. Связность. Гамильтоновы и Эйлеровы графы. Мосты.
Деревья и леса. Планарность. Раскраски графов. Двудольные графы. Матрицы смежности.
Кратчайшие пути.
7. Математическая логика. Переключательные (булевы) функции. Элементарные булевы
функции: дизъюнкция, конъюнкция, отрицание, импликация, штрих Шеффера, стрелка
Пирса. Логические элементы И-НЕ. Полиномы Жегалкина, СКНФ и СДНФ. Синтез
релейных схем. Функционально замкнутые классы и теорема Поста. Высказывания.
Основные законы логики. Парадокс Рассела. Логика предикатов. Кванторы. Логические
формулы.
3
4
8. Ориентированные графы. Матрица инциденций. Циклы. Турниры и сети.
Двухполюсные сети. Потоки в сетях и теорема Кёнига-Эгервари о разрезах.
9. Элементы сетевого планирования. Сетевые графики. Критический путь. Критическое
время. Резервы времени.
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№ Наименование
п/п обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Номера разделов данной дисциплины, необходимых для
изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.
Менеджмент

2.
Бухгалтерский учет

3
Информатика и
программирование









4
Математические
методы в экономике









5
Методы решения
оптимизационных
задач в бизнесе






6
Системы поддержки
принятия решений






7
8
9
10
11
Имитационное
моделирование
экономических
процессов
Вычислительные
системы, сети и
коммуникации
Информационные
системы и
технологии
Проектирование
информационных
систем
Нейроинформатика































5.3. Разделы дисциплин и виды занятий
4
5
№
Наименование раздела дисциплины
п/п
Лекц.
40
Практ. СРС
зан.
64
32
2
6
Всего
час.
136
12
1
Множества и функции
4
2
Элементы комбинаторики
4
4
6
14
3
Бинарные отношения
4
4
8
16
4
Порядковые структуры
4
4
6
14
5
Элементы общей алгебры
4
2
6
12
6
Графы
6
4
8
18
7
Математическая логика
6
4
10
20
8
Ориентированные графы
4
4
6
14
9
Элементы сетевого планирования
4
4
8
16
6. Лабораторный практикум не предусмотрен
7. Практические занятия (семинары)
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Тематика практических занятий (семинаров)
Знакомство с теоретико-множественными операциями. Построение
произведения множеств. Задачи на разбиения и покрытия.
Композиция отображений. Обратное отображение. Перестановки
на множестве. Генерирование подмножеств.
Перестановки,
размещения,
сочетания.
Комбинации
с
повторениями. Производящие функции.
Сложение, пересечение и композиция бинарных отношений.
Матрицы
отношений.
Рефлексивность,
симметричность,
антисимметричность, транзитивность, интранзитивность.
Отношения эквивалентности и разбиения. Толерантность и
покрытия. Примеры частичных порядков. НОД и НОК.
Примеры частичных порядков. Нахождение цепей, верхних и
нижних граней, атомов и коатомов.
Умножение порядков. Нахождение оптимумов по Парето.
Лексикографическое упорядочение. Примеры решеток, булевы
алгебры. Построение диаграмм Хассе.
Примеры операций, полугрупп, групп, колец, полей. Действие
группы перестановок. Решение сравнений и вычисления в
конечных арифметиках. Поле и линейные пространства
характеристики 2. Простейшее кодирование.
Сложение графов. Поиск изоморфизма графов. Нахождение путей,
циклов, мостов и компонент связности. Отыскание гамильтоновых
и эйлеровых циклов. Деревья и леса. Изучение планарности.
Раскрашивание графов. Нахождение матриц смежности. Отыскание
кратчайших путей.
Трудоемко
сть
(час.)
2
2
2
2
2
2
2
2
5
6
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Дизъюнкция, конъюнкция, отрицание, импликация, штрих
Шеффера, стрелка Пирса. Логические элементы И-НЕ. Релейноконтактные схемы.
Полиномы Жегалкина, СКНФ и СДНФ.
Исследование
функциональной полноты.
Высказывания. Основные законы логики. Логика предикатов.
Кванторы. Логические формулы.
Матрица инциденций. Циклы. Турниры и сети. Двухполюсные
сети.
Потоки в сетях и теорема Кёнига-Эгервари о разрезах. Алгоритм
Форда-Фалкерсона.
Сетевые графики. Работы и события. Построение графика.
Критический путь. Критическое время. Резервы времени.
Резерв.
2
2
2
2
2
2
2
2
8. Примерная тематика курсовых работ – курсовые работы не предусмотрены.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература
1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория
Базовых Знаний, 2001. – 376 с.
2. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике
и теории алгоритмов.— М.: Физматлит, 2004. -256 с.
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - С.-Пб. Питер, 2001. –
304 с.
4. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988 – 480с
б) дополнительная литература
1. Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. — М.:
Финансы и статистика, 2006. — 368 с.
2. Андерсон, Джеймс А. Дискретная математика и комбинаторика. - Пер. с англ. —
М. : Издатель- Издательский дом "Вильямс", 2004. — 960 с.
3. Виленкин Н.Я Комбинаторика. - М., Наука, 1969. -328 с.
4. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. изд.3 М.: Вузовская книга , 2000. - 200с.
5. Дмитриев В.Г. Введение в математику. Основные алгебраические структуры;
Учебное пособие. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2004. –153 с.
в) программное обеспечение не предусмотрено
г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
1. http://www.intuit.ru/
2. http://www.edu.ru/
3. http://www.i-exam.ru/
4. http://gen.lib.rus.ec/
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины: нет
11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
Дисциплина «Дискретная математика» изучается в течение одного семестра» и
заканчивается экзаменом. Для контроля самостоятельной работы в процессе обучения
предусмотрены четыре контрольных работы. Максимальное число баллов за каждую
контрольную работу равно 25. Минимальное число баллов для того, чтобы контрольная
работа была зачтена, равно 15 для первых трех работ и 10 для четвертой. Максимальное
6
7
количество баллов за самостоятельную работу в семестре равно 100, минимальное – 55.
Максимальное число баллов, которое можно получить на экзамене, также равно 100.
Итоговая оценка (в баллах) вычисляется по формуле Q  0,8  Qсем  0, 2Qэкз , где Qсем –
баллы, полученные за работу в семестре, а Qэкз – за экзамен. Набранное итоговое
количество баллов переводится в оценку согласно следующей таблице:
Итоговое количество баллов
до 55
от 55 до 70
от 70 до 85
от 85
оценка
неудовлетворительно
удовлетворительно
хорошо
отлично
Пример задач и вопросов контрольной работы №1
Вопрос. Что такое диаграмма Эйлера-Венна? Проиллюстрируйте с помощью диаграммы
Эйлера-Венна объединение и пересечение трех множеств.
Задача. Сформулируйте и докажите основные тождества алгебры множеств.
Пример задач и вопросов контрольной работы №2
Задача. Следующий опрос 100 студентов (см. задачу 4) выявил следующие данные о
числе студентов, изучающих различные иностранные языки: только немецкий — 18;
немецкий, но не испанский — 23; немецкий и французский — 8; немецкий — 26;
французский — 48; французский и испанский — 8; никакого языка — 24.
а) Сколько студентов изучают испанский язык?
б) Сколько студентов изучают немецкий и испанский языки?
в) Сколько студентов изучают французский язык, в том и только в том случае, если
они не изучают испанский?
Вопрос. Является ли отношение {{1,4); (2, 3); (3, 2); (4,1)}, заданное на декартовом
квадрате множества А = {1, 2, 3, 4}, биективным отображением?
Задача. Пусть X — множество пальто в гардеробе, У — множество крючков. В
каком случае отображение множества пальто X в множество крючков У будет
инъективным, сюръективным, биективным?
Пример задач и вопросов контрольной работы №3
Задача 1. Для каждого из следующих высказываний: 1) найдите символическую форму;
2) постройте таблицу истинности. Воспользуйтесь буквенными обозначениями: X для
«Джо умен»; У для «Джим глуп»; Z для «Джо получит приз».
(a) Если Джо умен, а Джим глуп, то Джо получит приз.
(b) Джо получит приз в том и только в том случае, если он умен или если Джим глуп.
(c) Если Джим глуп, а Джо не удастся получить приз, то Джо не умен.
Задача 2. Таблица истинности высказывания, составленного из двух простых
высказываний, состоит из четырех строк; а таблица истинности высказывания,
составленного из трех простых высказываний, — из восьми строк. Сколько строк должна
иметь таблица истинности высказывания, составленного из четырех простых
7
8
высказываний? Сколько — из пяти? Сколько — из п? Укажите способ систематической
записи таблиц истинности для произвольного п?
Задача 2. Представить сложное высказывание "Для повышения производительности
труда и улучшения качества продукции персоналу фирмы необходимо пройти
переподготовку и соблюдать производственную дисциплину" в виде логической формулы.
Пример задач и вопросов контрольной работы №4
Задача. Ниже перечислены отдельные работы, которые выполняют при ремонте
квартиры.
а) Шпаклевка потолков и стен.
б) Побелка потолков.
в) Замена внешней электропроводки на внутреннюю.
г) Принятие решения о ремонте квартиры.
д) Договор с малярами.
е) Покупка материалов, необходимых для малярных работ.
ж) Договор с электромонтерами.
з) Оклеивание стен обоями.
и) Окраска дверей и оконных рам.
к) Покрытие полов лаком. η) Уборка после завершения малярных работ.
л) Шпаклевка дверей и оконных рам.
Составьте сетевой график ремонта квартиры. При составлении сетевого графика
используйте буквы, которыми обозначены отдельные работы в приведенном списке.
Вопрос. Отношение R на множестве всех книг библиотеки определили следующим
образом. Пара книг а и b принадлежат R, если и только если в этих книгах есть ссылка на
одни и те же литературные источники. Является ли R
а) рефлексивным отношением;
б) симметричным отношением;
в) транзитивным отношением?
Задача. Саша дружит с Олей, Коля и Юра дружат с Машей. Саша учится с Олей в одной
группе, а Коля учится в одной группе с Викой. Вика учится вместе с Юрой и дружит с
ним. Ввести бинарное отношение Т1 "учиться вместе", а также Т2 "быть другом".
Построить матрицу смежности для Т1 и Т2. Определить свойства этих бинарных
отношений.
Разработчики:
СПбГУЭФ
доцент
Г. Н. Парфенов
СПбГУЭФ
профессор
Г. В. Савинов
8
9
СПбГУЭФ
доцент
В. Г. Дмитриев
ЭМИ РАН
директор
Л. А. Руховец
СПбГМТУ
профессор
В. Б. Хазанов
Эксперты:
9