Вопросы к зачету - Учебно-методические комплексы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра информационной безопасности
Ниссенбаум Ольга Владимировна
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ МЕТОДЫ В КРИПТОГРАФИИ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности 10.05.01 - Компьютерная безопасность,
специализация «Безопасность распределенных компьютерных систем»
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
1
О.В. Ниссенбаум. Теоретико-числовые методы в криптографии. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 10.05.01 Компьютерная
безопасность, специализация «Безопасность распределенных компьютерных систем»
очной формы обучения. Тюмень, 2014, 18 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВПО по специальности.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Теоретико-числовые
методы в криптографии [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой информационной безопасности. Утверждено
директором института математики и компьютерных наук Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: А.А. Захаров, д-р техн. наук, проф., заведующий
кафедрой информационной безопасности ТюмГУ.
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Ниссенбаум О.В., 2014.
2
1.
1.1.
Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины
Дисциплина «Теоретико – числовые методы в криптографии» обеспечивает
приобретение знаний по математическим основам криптографической защиты
информации. Целью преподавания дисциплины «Теоретико–числовые методы в
криптографии» является изложение базовых принципов построения и математического
обоснования криптографических систем.
Задачи изложить:
• теоретико-числовые, алгебраические, аналитические и вероятностные подходы
к построению и анализу криптосистем;
•
математические основы криптографии;
•
математические методы, используемые в криптоанализе
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Теоретико-числовые методы в криптографии» относится к базовой
части профессионального цикла. Изучение её базируется на следующих дисциплинах:
«Алгебра», «Математическая логика и теория алгоритмов», «Теория информации»,
«Информатика», «Дискретная математика», «Структуры и алгоритмы компьютерной
обработки информации», «История криптографии».








В результате изучения этих дисциплин студент должен
знать:
основные понятия математической логики и теории алгоритмов;
основные понятия и методы дискретной математики, включая дискретные
функции, конечные автоматы, комбинаторный анализ;
основы теории групп и теории групп подстановок;
основные комбинаторные и теоретико-графовые алгоритмы, а также способы их
эффективной реализации и оценки сложности;
основы Интернет-технологий;
уметь:
формализовать поставленную задачу;
осуществлять программную реализацию алгоритма;
проводить оценку сложности алгоритмов.
Дисциплина «Теоретико-числовые методы в криптографии» обеспечивает изучение
следующих дисциплин:
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№ п/п
Наименование
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
(последующих) дисциплин
Модуль 1
Модуль 2
Модуль 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.
Криптографические
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
протоколы
2.
Защита электронного
+
+
+
+
+
+
+
документооборота и
3
банковских систем
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате
компетенциями:
освоения
ОП
выпускник
должен
обладать
следующими
профессиональными (ПК):
 способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием
вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);
 способностью проводить анализ проектных решений по обеспечению
защищенности компьютерных систем (ПК-23).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
знать:

об основных задачах и понятиях криптографии;

о теоретико-числовых основах двухключевой криптографии;

основы дискретной алгебры и теории чисел;

основные виды асимметричных криптографических алгоритмов;

алгоритмы проверки чисел и многочленов на простоту, построения больших
простых чисел, разложения чисел и многочленов на множители, дискретного
логарифмирования в конечных циклических группах.
уметь:
 проводить оценку сложности алгоритмов;
 корректно применять симметричные и асимметричные криптографические
алгоритмы;
 формализовать поставленную задачу;
 выполнить постановку задач криптоанализа и указать подходы к их решению;
 использовать основные математические методы, применяемые в синтезе и
анализе типовых криптографических алгоритмов.
владеть:
 криптографической терминологией;
 навыками применения алгоритмов, основанных на теоретико-числовых
принципах, к вопросам построения криптосистем и их анализу;
 навыками использования современной научно-технической литературы в области
криптографической защиты
 навыками эффективного вычисления в кольцах вычетов и в кольцах
многочленов.
4
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 академических часа, из них 74,6 часов,
выделенных на контактную работу с преподавателем (36 часов лекций, 36-практических
занятий, 2,6 – иные виды работ), 33,4 часа, выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план
Таблица 3.
Из них в интерактивной форме
Итого количество
баллов
3
4
5
6
7
8
9
0-3
6
2
4
12
2
0-9
4-6
6
6
4
16
2
0-9
7
2
6
6
14
2
0-7
14
14
14
42
6
0-25
6
6
6
18
6
0-31
6
6
6
18
6
0-31
11-13
6
4
6
16
2
0-19
14-16
6
8
6
20
4
0-19
17-18
4
4
4
12
2
16
16
16
48
8
36
36
36
108
8-10
Практичес
кие
занятия
Самостоят
ельная
работа
Итого часов по теме
1
2
Модуль 1
1 Введение в математические
проблемы криптографии.
Основы теории чисел.
2 Теория сравнений. Вычеты.
3 Сравнения первой степени.
Системы сравнений первой
степени.
Всего*:
Модуль 2
4 Квадратичные сравнения и
криптосистемы на их основе.
Вероятностные тесты на
простоту.
Всего*:
Модуль 3
5. Порождающий элемент и
дискретный логарифм.
Криптосистемы на их основе.
Доказуемо простые числа.
6 Алгоритмы криптоанализа
шифров с открытым ключом.
7 Конечные группы и поля
многочленов.
Всего*:
Итого (часов, баллов) за
семестр*:
Из них в интерактивной
форме
Лекции
Тема
недели семестра
№
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
20
*- с учетом иных видов работы
5
0-6
0-44
0-100
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
п/п№ темы
Работа на
занятии
Модуль 1
1.
2.
3.
Всего
Модуль 2
4.
Всего
Модуль 3
5.
6.
7.
Всего
Итого
Формы текущего контроля
Домашние
Коллоквиумы
контрольные
работы
Контрольные работы
Итого
количество
баллов
0-4
0-4
0-2
0-5
0-5
0-5
0-9
0-9
0-7
0-25
0-6
0-15
0-4
0-6
0-31
0-31
0-4
0-4
0-1
0-5
0-5
0-5
0-4
0-4
0-6
0-6
0-19
0-19
0-6
0-44
0-100
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1. Введение в математические проблемы криптографии. Основы теории чисел.
Делимость, простые числа, наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида,
расширенный алгоритм Евклида. Цепные дроби. Асимптотический закон
распределения простых чисел. Мультипликативные функции. Функция Эйлера.
2. Теория сравнений. Вычеты. Полная система вычетов, приведенная система
вычетов. Zn, Zp, Z*n, Z*p Обратный элемент в Zn Алгебраические структуры на
целых числах. Теорема Эйлера, теорема Ферма, тест Ферма на простоту.
Криптосистема RSA. Понижение степени сравнения.
3. Сравнения первой степени. Системы сравнений первой степени. Сравнения
первой степени и их решение. Системы сравнений первой степени и их решение.
Китайская теорема об остатках и ее применения в криптографии (схема разделения
секрета на ее основе и ее применение в RSA).
Модуль 2.
4. Квадратичные сравнения и криптосистемы на их основе. Вероятностные
тесты на простоту. Квадратичные сравнения. Символ Лежандра. Закон
взаимности. Существование решений квадратичного сравнения по простому
модулю. Решение квадратичных сравнений по простому модулю. Символ Якоби и
его свойства. Тест Соловея-Штрассена на простоту. Существование и количество
решений квадратичного сравнения по составному модулю. Решение квадратичных
сравнений по составному модулю. Квадраты и псевдоквадраты. Проблема
различения квадратов и псевдоквадратов, ее связь с задачей факторизации. Числа
Блюма. BBS-генератор. Криптосистемы Блюма-Гольдвассер, Гольдвассер-Микали.
Модуль 3.
6
5. Порождающий элемент и дискретный логарифм. Криптосистемы на их
основе. Доказуемо простые числа. Циклическая группа Z*p (Up). Порождающий
элемент и дискретный логарифм. Задача дискретного логарифмирования.
Криптосистемы Диффи-Хэллмана и Эль-Гамаля. Теоремы Сэлфриджа и
Поклингтона. (n-1) – тесты на простоту. Доказуемо простые числа общего вида.
Числа Ферма, теорема Пепина, тест Пепина. Числа Мерсенна и тест ЛукасаЛемера. Теорема Диемитко и процедура генерации простых чисел ГОСТ Р34.10-94.
6. Алгоритмы криптоанализа шифров с открытым ключом. Элементы теории
сложности. Оценки сложности по времени, по объему требуемой памяти.
Полиномиальная сложность, субэкспоненциальная сложность, экспоненциальная
сложность алгоритмов. Сложность элементарных операций. Теоретико-числовые
проблемы, лежащие в основе двухключевых криптосистем – факторизация,
дискретное логарифмирование. Алгоритмы факторизации. Метод пробных
делений, метод Ферма, метод квадратичного решета, ро-метод Полларда, p—1 –
метод Полларда, методы случайных квад-ратов. Примеры, оценки сложности
указанных алгоритмов. Алгоритмы дискретного логарифмирования. Метод
прямого поиска, ро-метод Полларда, метод исчисления индексов, «шаг младенцашаг великана». Примеры, оценки сложности указанных алгоритмов.
7. Конечные группы и поля многочленов. Многочлены над Zp, Zn. Сложение,
умножение, факторизация многочленов. Неприводимые многочлены. Поля Галуа.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Тема 1: Введение в математические проблемы криптографии. Основы теории чисел.
1. Операции над целыми числами. Нахождение наибольшего общего делителя при
помощи алгоритма Евклида, наименьшего общего кратного. Построение таблицы
первых простых чисел с помощью решета Эратосфена. Нахождение канонического
разложения числа на простые сомножители.
Тема 2: Теория сравнений. Вычеты.
2. Разложение дробей в цепные дроби при помощи алгоритма Евклида.
Асимптотический закон распределения простых чисел – вычисление примерного
количества простых чисел на заданном интервале.
3. Вычисление функции Эйлера от числа. Теория сравнений. Построение
приведенной системы вычетов от по заданному модулю. Проверка сравнений.
4. Вычисление обратного элемента в Zn при помощи расширенного алгоритма
Евклида. Тест Ферма на простоту. Понижение степени сравнения при помощи
теоремы Эйлера. Криптосистема RSA.
Тема 3: Сравнения первой степени. Системы сравнений первой степени
5. Сравнения первой степени и их решение.
6. Системы сравнений первой степени и их решение по Китайской теореме об
остатках.
7. Контрольная работа.
Модуль 2.
Тема 4: Квадратичные сравнения и криптосистемы на их основе. Вероятностные
тесты на простоту
8. Символ Лежандра. Существование решений квадратичного сравнения по простому
модулю. Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
9. Символ Якоби. Существование и количество решений квадратичного сравнения по
составному модулю. Решение квадратичных сравнений по составному модулю.
10. Квадраты и псевдоквадраты. Проблема различения квадратов и псевдоквадратов,
ее связь с задачей факторизации. Числа Блюма. BBS-генератор. Криптосистемы
7
Блюма-Гольдвассер, Гольдвассер-Микали. Циклическая группа Z*p (Up).
Отыскание порождающего элемента. Контрольная работа.
Модуль 3.
Тема 5: Порождающий элемент и дискретный логарифм. Криптосистемы на их
основе. Доказуемо простые числа
11. (n-1) – тесты на простоту на основе теорем Сэлфриджа и Поклингтона.
12. Числа Ферма, тест Пепина. Числа Мерсенна и тест Лукаса-Лемера. Процедура
генерации простых чисел ГОСТ Р34.10-94.
Тема 6: Алгоритмы криптоанализа шифров с открытым ключом.
13. Алгоритмы факторизации. Метод пробных делений, метод Ферма, метод
квадратичного решета.
14. Ро-метод Полларда, p—1 – метод Полларда, методы случайных квадратов.
Примеры, оценки сложности указанных алгоритмов.
15. Алгоритмы дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска, «шаг
младенца-шаг великана», ро-метод Полларда.
16. Метод исчисления индексов, метод Полига-Хэллмана. Примеры, оценки
сложности указанных алгоритмов.
Тема 7: Конечные группы и поля многочленов.
17. Вычисления в конечных кольцах многочленов. Сумма, произведение многочленов,
разложение многочлена на сомножители.
18. Неприводимые многочлены, проверка многочлена на простоту. Нахождение
обратного.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены.
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не предусмотрены.
Кол-во
баллов
Теория
сравнений.
Вычеты.
Конспектирование
материала на лекционных занятиях.
Выполнение домашней контрольной
работы.
Конспектирование
материала на лекционных занятиях.
Выполнение домашней контрольной
работы.
Объем
часов
Модуль 1
1 Введение в
математически
е проблемы
криптографии.
Основы
теории чисел.
2
Неделя
семестра
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5.
№
Модули и
Виды СРС
темы
обязательные
дополнительные
Работа с учебной
литературой.
Подготовка к
коллоквиуму и
контрольной работе.
0-3
4
0-9
Работа с учебной
литературой.
Подготовка к
коллоквиуму и
контрольной работе.
4-6
4
0-9
8
Сравнения
Конспектирование
первой
материала на
степени.
лекционных
Системы
занятиях.
сравнений
Выполнение домапервой
шней контрольной
степени.
работы.
Всего по модулю 1*:
Модуль 2
Квадратичные Конспектирование
сравнения и
материала на
криптосистемы
лекционных
4. на их основе.
занятиях.
Вероятностные Выполнение доматесты на
шней контрольной
простоту.
работы.
Всего по модулю 2*:
Модуль 3
Порождающий Конспектирование
материала на
элемент и
лекционных
дискретный
занятиях.
логарифм.
5.
Выполнение
Криптосистем
домашней
ы на их осноконтрольной
ве. Доказуемо
работы.
простые числа.
Конспектирование
Алгоритмы
материала на леккриптоанализа
ционных занятиях.
6.
шифров с
Выполнение домаоткрытым
шней контрольной
ключом.
работы.
Конечные
Конспектирование
группы и поля материала на лекмногочленов. ционных занятиях.
7.
Выполнение домашней контрольной
работы.
Всего по модулю 3*:
ИТОГО*:
*- с учетом иных видов работы
3.
Работа с учебной
литературой.
Подготовка к
коллоквиуму и
контрольной работе.
Работа с учебной
литературой.
Подготовка к
коллоквиуму и
контрольной работе.
Работа с учебной
литературой.
Подготовка к
коллоквиуму и
контрольной работе.
Работа с учебной
литературой.
Подготовка к
коллоквиуму и
контрольной работе.
Работа с учебной
литературой.
Подготовка к
коллоквиуму и
контрольной работе.
7
6
0-7
14
0-31
6
0-31
6
0-31
1113
6
0-19
1416
6
0-19
8-10
0-6
1718
4
16
36
0-44
0-100
Самостоятельная работа включает в себя:
1. Решение домашних контрольных работ по темам:
1. Основы теории чисел. Цепные дроби. Асимптотический закон распределения
простых чисел. Нахождение НОД чисел. Нахождение обратного элемента.
Вычисление функции Эйлера. Определение количества простых чисел в диапазоне.
2. Сравнения первой степени. Системы сравнений первой степени Системы
сравнений первой степени и их решение по Китайской теореме об остатках.
Сравнения первой степени, не имеющие решений, имеющие несколько решений.
9
3. Квадратичные сравнения и криптосистемы на их основе. Вероятностные
тесты на простоту Решение квадратичных сравнений. Существование и
количество решений квадратичного сравнения по простому, составному модулю.
Решение квадратичных сравнений по простому и составному модулю.
4. Порождающий элемент и дискретный логарифм. Криптосистемы на их
основе. Доказуемо простые числа. Построение доказуемо простых чисел общего и
специального вида. Определение количества порождающих элементов в
мультипликативной группе Z*n. Нахождение порождающих элементов.
5. Алгоритмы криптоанализа шифров с открытым ключом.
Факторизация чисел и нахождение дискретных логарифмов численными методами.
2. Подготовку к коллоквиумам. Вопросы к коллоквиумам совпадают с вопросами к
зачету.
3. Подготовку к аудиторным контрольным работам.
Примеры вариантов контрольных работ и вопросы к зачету приведены в пункте
10.3
10
ПК-2
Семестр
Дисциплина
1
2
3
5
6
8
9
10
С.6.
ИГА
С.5.
практики
С.1.-С.3. Дисциплины
4
Математический анализ*
История криптографии
Математический анализ*
Математическая логика и теория алгоритмов*
Математическая логика и теория алгоритмов*
Дискретная математика*
Дискретная математика*
Системы управления базами данных*
Системы управления базами данных*
Системы и сети передачи информации*
Теоретико-числовые методы в криптографии*
Исследование операций*
Защита программ и данных*
Модели безопасности компьютерных систем*
Организационное и правовое обеспечение информационной
безопасности*
Теория игр
Методы анализа рисков*
Научно-исследовательская работа
ПК-23
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Производственная практика
+
Выпускная квалификационная работа
+
+
Итоговый междисциплинарный экзамен по специальности
+
+
*отмечены дисциплины базового цикла.
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
минимальный
базовый (хор.)
повышенный
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
61-75 баллов
91-100 баллов
11
Оценочные
средства
Результаты
обучения в
целом
Виды
занятий
Код
компетенци
и
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
ПК-2
Знает: алгоритмы Знает: о теорети-
проверки чисел и ко-числовых осномногочленов на вах двухключевой
простоту,
криптографии;
построения
основы дискретбольших простых ной алгебры и
чисел, разложениятеории чисел;
чисел и
алгоритмы промногочленов на верки чисел и
множители,
многочленов на
дискретного
простоту, пострологарифмированиения больших
я в конечных
простых чисел,
циклических
разложения чисел
группах.
и многочленов на
Умеет: проводить множители, дисоценку сложностикретного логарифалгоритмов;
мирования в
использовать
конечных циклиосновные
ческих группах.
математические Умеет: проводить
методы,
оценку сложности
применяемые в алгоритмов;
синтезе и анализе выполнить постатиповых
новку задач крипкриптографическитоанализа и
х алгоритмов.
указать подходы к
Владеет:
их решению;
навыками
использовать осиспользования новные математисовременной
ческие методы,
научноприменяемые в
технической
синтезе и анализе
литературы;
типовых криптонавыками
графических
эффективного
алгоритмов.
вычисления
в Владеет: навыкакольцах
ми использовавычетов и в ния современной
кольцах
научномногочленов.
технической
литературы в
области
криптографическ
ой защиты;
навыками
эффективного
вычисления в
кольцах
вычетов и в
кольцах
многочленов.
12
Контрольные работы, коллоквиум
Знает:
о
ко-числовых осно- теоретиковах двухключевой числовых
криптографии;
основах
основы дискрет- двухключевой
ной алгебры и
криптографии;
теории чисел;
основы
алгоритмы про- дискретной
верки чисел и
алгебры
и
многочленов на теории чисел;
простоту, постро- Умеет:
выполнять
ения больших
элементарные
простых чисел,
в
разложения чисел вычисления
кольцах целых
и многочленов на
чисел.
множители, дисВладеет:
кретного логариф- навыками
мирования в
эффективного
конечных цикли- вычисления
ческих группах. элементарных
Умеет: проводить
операций
и
оценку сложности простейших
алгоритмов;
алгоритмов в
выполнить поста- кольцах
новку задач крип- вычетов и в
тоанализа и
кольцах
указать подходы к многочленов.
их решению;
использовать основные математические методы,
применяемые в
синтезе и анализе
типовых криптографических
алгоритмов.
Владеет: навыками использования современной
научнотехнической
литературы в
области
криптографическ
ой защиты;
навыками
эффективного
вычисления в
кольцах вычетов и
в кольцах
многочленов.
Лекции, практические занятия
Знает: о теорети-
Контрольные работы, коллоквиум
Знает: понятие Знает: понятие
асимметричной асимметричной
криптосистемы, криптосистемы,
шифра, ЭЦП,
шифра, ЭЦП,
факторизации, факторизации,
дискретного
дискретного
логарифмировани логарифмировани
я.
я в кольцах целых
Умеет:
чисел и
Умеет:
корректно
Корректно
многочленов.
Владеет:
применять
криптографиче применять
Умеет: корректсимметричные и ской
асимметричны но
применять
асимметричные терминологией е шифры и асимметричные
криптографическ ;
ЭЦП, тесты на шифры и ЭЦП,
ие алгоритмы;
простоту.
тесты на просформализовать
тоту, алгоритмы
Владеет:
поставленную
навыками
факторизации и
задачу.
применения
дискретного
Владеет:
алгоритмов
логарифмирова
криптографическ
генерации
ния.
ой
простых чисел Владеет: навытерминологией;
с
заданными ками примененавыками
свойствами,
ния алгоритмов
применения
алгоритмов
генерации просалгоритмов,
шифрования и тых чисел с заоснованных на
расшифровани данными свойтеоретикоя, подписи и ствами,
алгочисловых
верификации. ритмов шифропринципах, к
вания и расвопросам
шифрования,
построения
подписи и верикриптосистем и
фикации, фактоих анализу.
ризации и дискретного
логарифмирования.
Лекции, практические занятия
Знает: понятие
основных задачах асимметричной
и понятиях
криптосистемы,
криптографии; шифра, ЭЦП.
основные виды Умеет:
асимметричных формализовать
криптографичес поставленную
ких алгоритмов. задачу.
ПК-23
Знает: об
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Вопросы к зачету
Основные понятия теории чисел. Теорема делимости.
Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида.
Цепные дроби и алгоритм Евклида.
Наименьше общее кратное. Простые числа.
Теоремы Евклида о простых числах. Решето Эратосфена.
Основные свойства простых чисел. Теорема о единственности разложения на
простые сомножители.
7. Теорема о делителях числа и ее следствия.
8. Асимптотический закон распределения простых чисел.
9. Функция Эйлера, ее свойства.
13
1.
2.
3.
4.
5.
6.
10. Сравнения. Свойства сравнений.
11. Полная система вычетов, приведенная система вычетов. Алгебраические свойства,
обратный элемент.
12. Теорема Эйлера, теорема Ферма. Следствие.
13. Тест Ферма на простоту. Числа Кармайкла. Теорема Кармайкла.
14. Применение теоремы Ферма в криптосистеме RSA.
15. Сравнения с одним неизвестным 1-й степени.
16. Система сравнений 1-й степени. Китайская теорема об остатках.
17. Применение Китайской теоремы об остатках в RSA и схема разделения секрета на
ее основе.
18. Квадратичные сравнения по простому модулю.
19. Символ Лежандра и его свойства.
20. Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
21. Число решений квадратичного сравнения по составному модулю.
22. Символ Якоби, его свойства. Тест Соловея-Штрассена.
23. Квадратичные сравнения по модулю RSA. Связь задач извлечения корней и
факторизации. Криптосистема Рабина. (только для КБ)
24. Квадраты и псевдоквадраты. Числа Блюма. (только для КБ)
25. BBS-генератор. Криптосистема Блюма-Гольдвассер, криптосистема ГольдвассерМикали. (только для КБ)
26. Тест Миллера-Рабина.
27. Порядок группы. Порядок элемента в группе. Порождающий элемент.
28. Существование порождающего элемента в Z*n
29. Критерий Люка.
30. Теорема Сэлфриджа и тест Миллера.
31. Теорема Поклнгтона и тест на простоту на ее основе.
32. Числа Ферма, теорема Пепина, тест Пепина.
33. Числа Мерсена. Тест Лукаса-Лемера.
34. Теорема Диемитко. Процедура генерации простых чисел ГОСТ Р 34.10-94.
35. Дискретный логарифм. Проблема Диффи-Хелмана. Криптосистема ЭльГамаля.
36. Кольца многочленов.
37. Поле многочленов GF(pα).
38. Проблема факторизации. Метод проных делений.
39. Метод Ферма факторизации.
40. Метод квадратичного решета.
41. Ро-метод Полларда факторизации.
42. p—1 – метод факторизации.
43. Методы случайных квадратов.
44. Задача дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска.
45. Ро-метод Полларда дискретного логарифмирования.
46. Алгоритм Полига-Хеллмана.
47. Метод «Шаг младенца-шаг великана».
48. Метод исчисления порядка.
Пример варианта домашней контрольной работы №1
1. Вычислить НОД(a,b) двумя способами: алгоритмом Евклида с делением с остатком и
бинарным алгоритмом Евклида. Сравнить количество итераций для этих алгоритмов.
а) a=18, b=35; б) a=329, b=826; в) a=26, b=738; г) a=288, b=15.
2. Определить, являются ли числа a, b, c взаимно простыми? Попарно простыми?
а) a=13, b=17, c=15; б) a=105, b=91, c=26; в) a=22, b=121, c=209.
14
3. Вычислить функцию Эйлера от следующих чисел:
а) 13; б) 17;
в) 9;
г) 16; д) 6;
е) 24;
ж) 227; з) 725; и) 94836.
4. Пользуясь асимптотическим законом распределения простых чисел, вычислить
примерное количество простых чисел в промежутке от 2 000 до 10 000.
5. Сколько нечетных чисел размера 32 бита (старший бит =1) следует перебрать, чтобы
среди них с вероятностью не менее 0,95 нашлось хотя бы одно простое?
6. Выписать абсолютно наименьший и наименьший неотрицательный вычеты числа a
по модулю b (понижать степени, пользуясь теоремой Эйлера), где
а) a=2, b=15;
б) a=13, b=20;
в) a=26, b=7;
г) a= –10 , b=5;
д) a=1210, b=7;
е) a=513, b=9;
ж) a=144, b=12;
з) a= (2)101, b=165.
7. Выписать полную и приведенную системы наименьших неотрица-тельных вычетов
по следующим модулям:
а) 7;
б) 16;
в) 17;
г) 21;
д) 20;
е) 5.
8. Верны ли следующие сравнения?
а) 163(mod 13);
б) -11(mod 5);
в) -35(mod 8);
9. Вычислить a-1 mod b, если таковой существует, где
а) a=18, b=35;
б) a=3, b=256;
в) a=16, b=89;
10. Решить сравнения
а)7x3(mod 13);
б)-15x15(mod 35);
11. Решить системы сравнений
а) 3x1(mod 4)
б) 3x5(mod 7)
2x3(mod 5)
2x1(mod 3)
д) 2x4(mod 5)
е) x2(mod 3)
3x5(mod 7)
6x5(mod 11)
5x3(mod 8)
3x2(mod 4)
г) 320(mod 4).
г) a=21, b=15.
в)35x5(mod 24);
в) 6x7(mod 11)
3x1(mod 5)
ж) x(2-1)(mod 7)
4x11(mod 13)
16x5(mod 19)
г)18x13(mod 81).
г) 5x3(mod 7)
7x2(mod 9)
з) x13(mod 17)
3x8(mod 121)
3x2(mod 4)
Пример варианта домашней контрольной работы №2
1. Вычислить символ Якоби:
 61 
а) 
;
 103 
 109 
b) 
;
 73 
 9 
 49 
c) 
 ; d) 
;
 123 
 201 
 148 
e) 
;
 241 
 175 
f) 
.
 459 
2. Выяснить, сколько решений имеет сравнение, не решая его.
a) x220 (mod 31); b) x221 (mod 49); c) x22 (mod 55); d) x289(mod 160).
3. Решить квадратичные сравнения
a) x213 (mod 23);
b) x224 (mod 53);
d) x271 (mod 77);
e) x27 (mod 9);
g) x2100 (mod 231);
c) x210 (mod 41);
f) x240 (mod 81);
h) x21 (mod 110);
j) x217 (mod 57).
15
i) x281 (mod 176);
Пример варианта домашней контрольной работы №3.
1. Сколько порождающих элементов в Z*m? Найти порождающий элемент, если они
существуют.
а) m=214;
б) m=85;
в) m=202;
г) m=23;
д) m=343.
2. Какие из чисел 2, 3, 4, m-2, m-3, m-4 являются порождающими элементами Z*m?
а) m=11;
б) m=46;
в) m=242;
г) m=169;
д) m=280.
3. Проверить на простоту число m=299 тестом Поклингтона. Число итераций = 3.
Основания a выбирать произвольно.
4. Факторизовать m=209 методом Ферма.
5. Факторизовать m методом квадратичного решета с решетами по модулям 4, 5, 7.
а) m=299;
б) m=403.
6. Факторизовать 205 ро-методом.
7.Факторизовать 639 методом случайных квадратов с базой {2,3,5,7}.
8. Вычислить log23(mod 101–1) методом «шаг младенца–шаг великана».
9. Вычислить log 6 5 (mod 103–1) ро-методом.
10. Вычислить log 5 2 (mod 97–1) методом Полига-Хэллмана.
11. Вычислить log 5 71 (mod 73–1) методом исчисления порядка.
Пример варианта контрольной работы №1.
1. Сколько нечетных чисел размера 256 бит (старший бит =1) следует перебрать, чтобы
среди них с вероятностью не менее 0,95 нашлось хотя бы одно простое?
2. Вычислить φ(15125).
3. Решить систему
2 x  5(mod 11)

3x  8(mod 17 )
x  31 (mod 41)

Пример варианта контрольной работы №2.
Найти все корни квадратичного сравнения x2≡ 385 (mod 752). Проверить, есть ли среди
них квадраты, псевдоквадраты?
Пример варианта контрольной работы №3.
1. Разложить на 2 сомножителя методом квадратичного решета n=1841. Решёта по
модулям 4, 5, 9.
2. Вычислить log350 (mod 137 - 1) методом «шаг младенца-шаг великана».
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
К зачету допускаются студенты, набравшие за семестр 35 баллов. Зачет проходит в
традиционной форме, по билетам. В билете – 2 теоретических вопроса и задача. Для
получения оценки «зачтено» студентом должна быть решена задача и сделан ответ на 1
вопрос из билета. Ответ должен раскрывать тему и не содержать грубых ошибок. Ответ
16
студента должен показывать, что он знает и понимает смысл и суть описываемой темы и
ее взаимосвязь с другими разделами дисциплины и с другими дисциплинами
специальности, может привести доказательство теорем и утверждений, привести пример
по описываемой теме. Ответ может содержать небольшие недочеты. Решение задачи
должно быть верным. Допускаются небольшие недочеты, например вычислительные
ошибки или пропуск некоторых шагов протокола, если после указания на них
преподавателя студент способен исправить их самостоятельно.
11. Образовательные технологии.
В учебном процессе используются традиционные виды учебной активности, такие
как лекционные занятия, конспектирование, выполнение практических заданий под
руководством преподавателя и в группах по вариантам, домашних контрольных работ с
последующим их обсуждением. Традиционные домашние задания заменены домашними
контрольными работами по индивидуальным вариантам, оцениваемыми в рамках
балльно-рейтинговой системы, что стимулирует студентов к самостоятельным занятиям.
Решения домашних контрольных проверяются преподавателем, который указывает
студенту на его ошибки и дает возможность исправить их, консультирует в случае
возникновения затруднений при решении.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1 Основная литература:
1. Кнауб, Л.В. Теоретико-численные методы в криптографии [Электронный ресурс]:
учебное пособие/ Л.В. Кнауб, Е.А. Новиков, Ю.А. Шитов – Красноярск: СибФУ,
2011. - 160 с. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=229582
(дата обращения: 01.09.2014)
2. Ниссенбаум О.В. Теоретико-числовые методы в криптографии: сб. заданий: учеб.метод. пособие,Ч.2. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ. - 2012. – 40 с.
3. Ниссенбаум О.В. Теоретико-числовые методы в криптографии: сб. заданий: учеб.метод. пособие, Ч.3. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ. - 2014. – 40 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Фирдман, И.А. Теоретико-числовые алгоритмы и их применение в криптографии
[Электронный ресурс]: сборник задач/ И.А. Фирдман. - Омск: Омский
государственный
университет,
2011.
19
с.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=238201 (дата обращения: 01.09.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
- вузовские электронно-библиотечные системы учебной литературы.
- доступ к открытым базам цитирования, в т.ч. springer.com, scholar.google.com, math-net.ru
- A. Menezes, P. van Oorschort, S. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography – CRC
Press Inc., 5th Printing, 2001 [On-line] http://www.cacr.uwaterloo.ca/hac/
- http://www.iacr.org/
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
- MS Excel или Open Office Calc.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины.
17
-компьютерный класс.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для подготовки к коллоквиумам необходимо пользоваться конспектом лекций и [1]
из списка основной литературы. Для выполнения домашних контрольных работ следует
использовать [2,3] из основной литературы. Дополнительная литература в случае
необходимости используется как справочная. Для получения расширенных и углубленных
знаний по тематике рекомендуется пользоваться ссылками из списка интернет-ресурсов,
приведенных в данном УМК, а также электронными и бумажными номерами научных
журналов, имеющихся в ИБЦ, областной научной библиотеке и сети интернет. Особенное
внимание рекомендуется обратить на издания «Математические вопросы криптографии»,
«Прикладная дискретная математика», материалами конференций RealWorldCrypto,
Crypto, Eurocrypt, Rusсrypt, Sibeсrypt, Asiacrypt.
18