31.03.2015x - Сибирский федеральный университет

УДК 681.5
СИНТЕЗ ПИД-РЕГУЛЯТОРА НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ВИБРАЦИОННЫМ КАТКОМ
Евдокимов С. И.,
научный руководитель д-р техн. наук Иванчура В. И.,
научный консультант канд. техн. наук Прокопьев А. П.
Сибирский федеральный университет
Цель работы: разработка методики синтеза ПИД-регулятора системы
управления объектом описываемым передаточной функцией выше второго порядка.
Объект исследования: система управления с обратной связью, передаточная
функция которой выше второго порядка.
Известна методика синтеза ПИД-регулятора для нелинейных систем управления
модальным методом [1], где объект регулирования имеет передаточную функцию вида:
b0
W0 ( s) 
.
2
a0  s  a1  s  a2
Задача исследования сводится к понижению исходной ПФ объекта управления
до второго порядка. Известны работы [2, 3, 4, 5] священные задачам синтеза
регуляторов.
Предлагается следующая методика.
Для понижения порядка ПФ выполняются следующие действия.
1. Составить характеристическое уравнение ПФ.
Передаточная функция объекта управления:
k
Wy ( s ) 
.
n
a0  s  a1  s n 1  ...  an 1
Характеристическое уравнение:
В( s)  a0  s n  a1  s n 1  ...  an 1  k .
2. Найти корни уравнения.
3. По найденным корням вычислить полюса.
Количество полюсов зависит от порядка ПФ. Какой порядок столько и будет
полюсов.
4. Расчитать среднее значение полюсов.
5. По полученным полюсам восстановить характеристическое уравнение.
6. По графику переходной характеристики ПФ высшего порядка определить
установившееся значние (k).
7. Синтезировать ПИД-регулятор по полученному уравнению ПФ.
Пример:
Объект управления состоит из двух колебательных звеньев соединенных
последовательно, см. рис. 1. Получить уравнение второго порядка эквивалентное ПФ
объекта управления.
Рисунок 1 – Модель объекта управления
Исходные данные:
K2  0.1; K3  3; T2  0.2; T3  0.15; 2  0.3; 2  0.6;
K2
0.1
W2 ( s )  2 2

;
2
T2  s  2   2  T2  s  1 0.04  s  0.12  s  1
K3
3
W3 ( s )  2 2

.
2
T3  s  2  3  T3  s  1 0.0225  s  0.18  s  1
Передаточная функция объекта управления:
0.1
3
W23 ( s )  W2 ( s ) W3 ( s ) 


2
2
0.04  s  0.12  s  1 0.0225  s  0.18  s  1
3000

.
4
3
9  s  99  s  841 s 2  3000  s  10000
Характеристическое уравнение:
D( s)  9  s 4  99  s3  841 s 2  3000  s  10000.
Переходная характеристика разомкнутой системы объекта управления показана
на рис. 2.
Амплитуда
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
Время, с
2.5
3
3.5
4
Рисунок 2 – Переходная характеристика
Найдем корни уравнения:
10000 


 3000 
v   841  .


 99 
 9 


По полученным корням определим полюса ПФ:
s1  4  i  5.333; s2  4  i  5.333; s3  1.5  j  4.77; s4  1.5  j  4.77.
Система устойчива, так как все полюсы расположены в левой полуплоскости.
Определим показатели качества процесса управления:
 степень устойчивости: 23  min( Re(s1 ),  Re(s2 ),  Re(s3 ),  Re(s4 ))  1.5;
 Im( s 1 ) Im( s 2 ) Im( s 3 ) Im( s 4 ) 
 колебательность: 23  max 
,
,
,
  3.18;
 Re( s1 ) Re( s2 ) Re( s3 ) Re( s4 ) 

 перерегулирование:  23  e 23 100  37.235;
1
 2.
 время регулирования: t p 23  3 
 23
С целью определения параметров системы второго порядка эквивалентной
рассматриваемой системе четвертого порядка, считаем, что установившиеся значения
их переходных характеристик совпадают, а полюса ПФ системы второго порядка
определяются некоторыми средними значениями полюсов ПФ системы четвертого
порядка. Для этого выполним следующие операции.
1. Вычисление среднего значения полюсов системы четвертого порядка:
4  i  5.333  (1.5  i  4.77)
s11 
 2.75  i  5.051.
2
Выбираем отрицательное значение, так как действительная часть полюсов по
условию устойчивости должна быть отрицательной.
2. Вычисление характеристического уравнения системы второго порядка для
среднего значения полюсов с помощью математического пакета Mathcad:
[s  (2.75  j  5.051)]  [s  (2.75  j  5.051)] collect , s  s 2  5.5  s  33.075101.
3. Приводим характеристическое уравнение системы второго порядка к виду,
чтобы свободный член был равен единице
s 2  5.5  s  33.075101
 0.03023  s 2  0.166288  s 2  1.
33.0751101
Получаем что искомомая ПФ имеет вид:
b0
Wэ 
,
2
0.03023  s  0.166288  s 2  1
где b0 – установившееся значение системы управления четвертого порядка (b0=0.3).
Проверим корректность полученной ПФ с помощью пакета MATLAB, рис. 3.
Амплитуда
0.4
0.3
0.2
WЭ
0.1
W23
0
0
0.5
1
1.5
2
Время, с
2.5
3
3.5
4
Рисунок 3 – Переходные характеристики ПФ W23 и Wэ
По переходной характеристике видно, что эквиваленктная ПФ найдена верно.
Для получения необходимых точности и качества переходного процесса можно
синтезировать ПИД-регулятор. Уравиение ПИД-регулятора имеет следующий вид:
K d  s 2  K p  s  Ki
Wy 
.
s
Параметры ПИД-регулятора в случае, когда полюса объекта регулирования
получились комплексные, находятся по следующим формулам:
(  2  22  21 2 )  a0  a2
Kp 
;
b0
Ki 
1 (  2  22 )  a0  a0
b0
;
(1  2 2 )  a0  a1
,
b0
где а0, а1, а2 – коэффициенты ПФ второго порядка.
Kd 
Параметры β, η1, η2 подбираются итерационно.
Принимаем η1=1, η2=5, β=0.5, получим, что
(  2  22  21 2 )  a0  a2
Kp 
 0.219;
b0
Ki 
1 (  2  22 )  a0  a0
b0
 2.444;
(1  2 2 )  a0  a1
 0.554.
b0
На рис. 4 приведены переходные характеристики системы с ПИД-регулятором.
Kd 
1.4
1.2
Амплитуда
1
0.8
WЭ
0.6
0.4
W23
0.2
0
0
1
2
3
Время, с
4
5
6
7
Рисунок 4 – Переходная характеристика с ПИД-регулятором
Разработана методика синтеза ПИД-регулятора системы управления объектом
описываемым передаточной функцией выше второго порядка.
Выполнена проверка работоспособности методики на передаточной функции
объекта управления четвертого порядка.
Список литературы
1. Прокопьев, А.П. Идентификация нелинейной системы управления с ПИДрегулятором [Электронный ресурс] / А.П. Прокопьев, В.И. Иванчура, Р.Т. Емельянов //
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления»
(SICPRO ‘15), 26 января – 29 января 2015 г., г. Москва. ИПУ РАН. М.: Институт
проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2015. 1484 с. (С. 387-397). –
Электронные текстовые дан. (121 файл, 68,5 Мб). – М.: ИПУ РАН, 2015. – 1
электронно–оптический диск (CD-ROM). – Системные требования: Pentium 4, Acrobat
Reader 6.0 и выше. – ISBN 978-5-91450-1621-1. – Режим доступа:
http://www.sicpro.org/sicpro15/code/r15_08.htm.
2. Теория автоматического управления. Ч. II. Теория нелинейных и специальных
систем автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. – М.: Высш. шк., 1986.
3. Гамынин, Н.С. Гидравлический привод систем управления. – М.: Машиностроение, 1972.
4. Циммерман, В.В. Нелинейные свойства электрогидравлического вибрационного источника сейсмических колебаний // Проблемы нелинейной сейсмики. ИФЗ АН
СССР. М.: Наука, 1987. С. 273 – 279. URL: http://www.seisel.com/docs/i_nelsv.pdf.
5. Лукас, В.А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, 1990.