(1курс, 2семестр) 1. Понятия неопределенного интеграла. Свойства неопределённого

Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»
(1курс, 2семестр)
1. Понятия неопределенного интеграла. Свойства неопределённого
интеграла и таблица основных неопределенных интегралов.
2. Основные методы интегрирования.
3. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
4. Разложение рациональной дроби на простейшие.
5. Универсальная тригонометрическая подстановка.
6. Интегралы от иррациональных функций.
7. Понятие определенного интеграла.
8. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
9. Формула Ньютона-Лейбница.
10. Основные свойства определенного интеграла.
11. Вычисление определенного интеграла.
12. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей в
прямоугольных координатах и в полярных координатах.
13.Приложения определенного интеграла. Вычисление длины дуги кривой
в прямоугольных координатах, в полярных координатах.
14.Несобственный интеграл 1рода (интеграл с бесконечным промежутком
интегрирования).
15. Несобственный интеграл 2 рода (интеграл от разрывной функции).
16.Основные понятия дифференциального уравнения первого порядка.
17.Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
18.Однородные дифференциальные уравнения.
19.Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.
20.Уравнение Бернулли.
21. Дифференциальные уравнения высших порядков (основные понятия).
22.Уравнения допускающие понижение порядка.
23. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка. Понятие линейно независимых функций. Определитель
Вронского.
24. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами.
25.Интегрирование линейных неоднородных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
26.Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла
27.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
28.Приложения двойного интеграла.
29.Тройной интеграл. Основные понятия. Вычисление тройного интеграла
в декартовых координатах.
30.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических
координатах.
31.Приложения тройного интеграла.
Минимальный набор задач для подготовки к экзамену
по «Высшей математике» 1курс 2семестр
(гр. От71, От72,Шт171, С13, Штс172).
Тема «Неопределенный интеграл»
Часть А
Вычислить неопределённый интеграл
x  6x 4  2
dx

x
dx
4. 
5  2x
3
1.
7.
2.
5.
dx
2
8
 9x
2
3
4
 5  16 x sin 4 xdx.
2x3  1
 x 2  x  6 dx.
2 xdx

8x 2  9
sin x
 cos 5 x dx.
7x
e
6
15 x 4
 10  x 5 dx.
dx
 5x 2  2 x  7 .
dx
 x  1x  2 .
8
9
10
11
12
dx
2
3
 4x
6.
2
 cos
2
2
xdx.
3 xdx.
x5  2x 2  3
 x  2
2
dx.
x dx
1
3
x
Найти неопределённые интегралы
dx
 5  2 sin x  3 cos x

dx
3  4x 2
dx
9. 
x ln x
12.  xex dx
Часть В
Найти неопределённый интеграл
5
7
dx
2
3
 4x
11.
3.  sin( 4  8 x)dx
6  x dx
8.  e 2 x 7 dx .
10.  sin 4 x cos xdx
№
1

2
dx
Тема «Определенный интеграл»
Часть А
Вычислить определённый интеграл
8
1
1.  ( x 4  x )dx;
2.
0

3
x  1dx;
3.
3
dx
 x 1;
2

1
3
2
4.  ( x  3) dx;
2
5.
0
 sin x cos
2
0
xdx;
6.  e 2 x dx;
2
7. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры,
ограниченной линиями. y  x 2 , y  9
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y   x 2  7 x  10 и осью абсцисс.
Часть В
№
Найти определённый интеграл
1
 x

0
2
 4 x  3 cos xdx.
1
2
 /2
3
3x 2  2 x  3
2 x 3  x dx.
4
x 4  3x 3  1
0  x  12 dx;
4
dx
3 x  1x  2 ;
5
dx
4 x( x  2) ;
5
dx
2 5  4 x  x 2 ;
dx
.

1

cos
2
x

/4
5
6
7
8
3
1
3
 x ln( x  1)dx;
2
9
1
x
0
10
2
xdx
;
 3x  2

2
 x cos xdx;
0
11
12
Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой)
площадь фигуры, ограниченной
линиями y 2  x  3, y 2  9  x.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,
заданными уравнениями в полярных координатах
r  21  cos  .
Тема «Дифференциальные уравнения»
Часть А
Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
1. xy   y 2
2. x 2 y   y 2  1
3. x 3 y   y 3
4. x 2 y   x 3  2
5. x 3 y   y
6. xy   y( x 2  1)
Решить линейные однородные уравнения 2-го порядка
1. y   2 y   2 y  0
2. y   10 y   16 y  0
3. y   6 y   10 y  0
Часть В
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
4xdx  3 ydy  3x 2 ydy  2xy 2 dx.
2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
x 4  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0.
2
5
3. Найти решение задачи Коши y   y  x 3 , y 1   .
x
6
3y 2
4. Найти решение задачи Коши y  
 3 , y 1  1.
x
x
5. Найти частное решение дифференциального уравнения
y   sin x, y 0  1, y 0  0, y 0  0.
6. Найти частное решение дифференциального уравнения
6
y   3 , y1  0, y 1  5, y 1  1.
x
7. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего
понижение порядка y x ln x  y .
8. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего
понижение порядка xy   y .
9. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего
понижения порядка 2 yy  y2  1, y(0)  2, y(0)  1.
10.Найти общее решение дифференциального уравнения
а) 2 y   3 y   y  0; б) y   4 y   8 y  0; в) y   6 y   9 y  0; г) y   16 y  0;
д) y   5 y   0.
11.Найти общее решение дифференциального уравнения y  2 y  5 y  4 x 2 .
12.Найти общее решение дифференциального уравнения
y  6 y  13 y  x  x 2 .
13.Найти общее решение дифференциального уравнения y  3 y  2 y  5e  x .
Тема «Кратные интегралы»
2 2
1. Вычислить 12 x y dxdy; D : x  1, y  x 2 , y   x .
D
2. Вычислить
 (36x
D
2
y 2  96 x 3 y 3 )dxdy;
D : x  1, y  3 x , y   x 3
3. C помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной
линиями: x  8  y 2 , x  2 y
4. C помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной
линиями: x  8  y 2 , x  2 y
5. Вычислить  (2 x 2  3 y  z )dxdydz, V : 2  x  3,1  y  2,0  z  4.
V
6. Вычислить
 ( x  y  4 z
V
2
)dxdydz, V : 1  x  1,0  y  2,1  z  1.