Бабин А. И., Немировский Ю.В - 22

УДК 539.3
А.И. Бабин, Ю.В. Немировский
Численное решение задачи термоупругого деформирования
спирально армированных цилиндрических оболочек
Аннотация
А.И. Бабин, Ю.В. Немировский
Численное решение задачи термоупругого деформирования спирально
армированных цилиндрических оболочек
Разработана методика приведения трёхмерной нестационарной задачи
теплопроводности для многослойных оболочек к двухмерной.
Решена несвязная задача упругого деформирования спирально армированных
цилиндрических оболочек при действии температурных и силовых факторов.
Annotation
A.I. Babin, Yu.V. Nemirovsky
The numerical solution of the problem of the thermoelastic deformation of spirally
reinforced cylindrical shells
The procedure for bringing the three-dimensional unsteady heat conductivity
problem for multi-layer shells to a two-dimensional one is developed.
The incoherent problem of the elastic deformation of spirally reinforced cylindrical
shells under the influence of temperature and force factors is solved.
Ключевые слова: армированная оболочка, двухмерная, трёхмерная
нестационарная задача, температура, упругое деформирование.
Content words: reinforced shell, two-dimensional, three-dimensional nonstationary
problem, temperature, elastic deformation.
Работа посвящена построению и численному решению уравнений
нестационарной теплопроводности и несвязной термоупругости для спирально
армированных цилиндрических оболочек.
Представим расчётную схему в виде двухслойной цилиндрической оболочки
постоянной толщины, находящейся под действием термосиловых факторов.
1
Слои цилиндра изготовлены из связующего с одинаковыми
термомеханическими характеристиками и перекрестно армированы в
направлении винтовых линий. На внутренней поверхности  введём
ортогональную систему координат, координатные линии которой – линии
кривизны поверхности  :
x, z  0  x  l, z
k
 z  zk 1 , k  1,2; z1  0, z2  h1 , , z3  h1  h2  h 
Здесь h1 , h2  толщины слоев, l  длина оболочки. Параметры Ламе
A1  1, A1  R и главные кривизны отсчётной поверхности
k1  0, k 2   1 R, R  внутренний радиус цилиндра. Торец оболочки при x  0
жестко защемлен, при x  l – свободен от усилий. Считая оболочку достаточно
тонкой, принимаем приближенное равенство 1  k 2 z  1.
На кромках x  0, x  l и на цилиндрической поверхности z  z3 осуществляется
теплообмен по закону Ньютона:




 11  T,x   1 T    0 , 11  T,x   2 T    0 ,  k = 1,2;
k
k
k
k
k

k

  33  T,z   0,5 1  2  T    0 .
2
2
2
(1)
(2)
Здесь и далее нижний индекс после запятой обозначает частную производную
по соответствующей переменной. 1 , 2  коэффициенты теплообмена с
окружающей средой, имеющей температуру  0 .
В (1), (2) приняты следующие выражения для компонентов тензора
теплопроводности модифицированной матрицы композита [1, c. 25]:

k11   cos  k 

 sin   k 

2
 
2
k

 z k  ak   ck    ck  

 z k  ak  ck 
 k k
 ck  1   z k 
k k
 c  1   a


2

 
 ,
 


 22   sin   k 
k

 cos  k 

2
                
2
k
k
k
a
z
k
c
k
c

 z k  ak  ck 
k 
k 



1


c
z
  k  ck   1    k  ak 





 ,



1
 33 
k

k 
 z k 
1   z  



; k  1,2;
k  
   k   k   1    k   k 

c
a
c




ak  , ck   теплопроводности армирующих волокон и связующего k  го слоя
k
соответственно,     удельное содержание армирующих волокон в k  м слое
k
на кромках x  0 , x  l цилиндра,  z   интенсивность армирования в k  м
слое по нормали к  ;   k    1 c
k
c2  1 , c 0,5 – постоянные углы,
которые винтовая линия составляет с образующей поверхности  [2. c. 92].
На поверхности z  z1  0 задан кусочно-линейный закон изменения
  0 , 0     0 ;
температуры: T1*  
,   0;

(3)
На цилиндрической поверхности z  z2  h , выполняются условия идеального
теплового контакта [3, c. 168]. Нестационарное двухмерное температурное
поле в k  м слое оболочки апроксимировалось зависимостью [1. c. 23]:
T
k
 x, z,    k  z,   f z x, , k  1,2.
(4)
k
где    непрерывно дифференцируемые функции, допускающие
представление в замкнутом виде;   независимая характеристика,
учитывающая нелинейное распределение температуры на отсчётной
поверхности, f  z  достаточно гладкая функция z , удовлетворяющая
условиям: f  z1   f  z2   0,  233  f  z3   0,5 1  2  f  z3   0.
Нестационарное уравнение для функции ( x, ) , начальное и граничные
условия в анизотропном теле получаем, используя вариационное уравнение
3
(5)
теплопроводности для многослойных полиармированных оболочек, при
отсутствии источников теплоты [1. c. 22] и используя (1-5):

C  x,  ,   11  x,  ,x

,x
  33  x,    C ,  x,0  0;
(6)
11 x, , x x0  1  210     22 x,  x0 ,
11 x, ,x xl  2  210     22 x,  xl .
(7)
Начально-краевая задача (6-7) решается итерационно-интерполяционным
методом, предложенным в работе [4, с. 6].
Функции   ( x, ) , присутствующие в (4) выражаются, в конечном виде [1, c.
k
24]: k   k   Kk  z    zk , zk  z  zk 1 , k  1,2.
(8)
Подставляя решение краевой задачи (6, 7) и выражения (8) в (4), находим
нестационарное температурное поле двухслойного армированного цилиндра.
После определения поля температуры, решается несвязная задача
термоупругости по методике, изложенной, например в [1, с. 26].
Примем гипотезу Кирхгофа - Лява для всего пакета слоёв в целом [1, c. 26].
Разрешающая система уравнений статики многослойных армированных
оболочек вращения и краевые условия приведена в [5, с. 77; 2, с. 27].
Приведем описание структурного критерия прочности армированной среды [5,
с. 36]. Материалы матрицы и армирующих элементов подчиняются условию
прочности Мизеса [5, с. 36]:
M   c   kc2 , M   a   ka2 .
(9)
После решения соответствующей задачи термостатики, находим средние

напряжения  
k  и средние деформации   k  k  слоя. По методике, подробно
k
описанной в [5, с. 36], восстанавливаем истинные напряжения  
c в
k
связующем и армирующих волокнах  
a . Подставляя последние в (9),
 k *
*
 k *
k 
k
находим значения: M  
c ,a  , M c ,a   sup M   c ,a  , M c ,a   max M c ,a 
Vk
4
k
Здесь Vk  область, занятая k  м слоем.
Если выполняется одно из равенств M *c ,a   min kc,ka* , то считаем, что в данной
k
точке наступила потеря прочности композитного материала.
Рассмотрим цилиндрическую металлокомпозитную оболочку, нагруженную
внутренним равномерно распределенным давлением интенсивности P  2 МПа,
радиуса R  0,5 м., длиной l  10 R , изготовленную из алюминия
( c1  c2   240 Вт/(м·град), cc1  cc2   757 Дж/(кг·град), c1  c2   2687 кг/м3,
Ec1  Ec2   73·ГПа,  c1   c2   2,4 10 6 C 1 , предел прочности (текучести) при
растяжении kc1  kc2   62·МПа [3, с. 173, 180]) и симметрично армированную
двумя семействами стальных волокон ( a1  a2   45 Вт/(м·град), ca1  ca2   568
Дж/(кг·град),  a1   a2   7811 кг/м3, Ea1  Ea2   20·ГПа,  a1   a2   13 10 6 C 1 ,
ka1  ka2   413·МПа [3, с. 174, 180]) в направлении винтовых линий.
Температурное воздействие характеризуется следующими параметрами:
  500 C ,  0  0 C , 1   2  20 Вт/(м2·град),  0  5 с. Параметры
армирования:  k    zk   0,5.
В таблице 1 представлена зависимость M *c  от угла укладки арматуры в
направлении винтовых линий при заданных термосиловых полях.
Библиографический список
1.
Бабин А.И., Немировский Ю.В. Термоупругость узлов с полимерными
подшипниками скольжения //Численные методы решения задач теории
упругости и пластичности: Тр.XXI Всероссийской конференции, Кемерово, 30
июня - 2 июля 2009 г./Под ред. В.М.Фомина. Новосибирск: Изд-во
"Параллель", 2009. – С.19-32.
2.
Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении./ М.-Л.:
ОГИЗ,-1947, Ч.1, -216с. ил.
5
3.
Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент:
Справочник //Под общ. ред. В.А. Григорьева, В.М. Зорина. – 2-е изд., перераб.
– М.: Энергоатомиздат, 1988. - 560 с., ил. – (Теплоэнергетика и теплотехника,
Кн.2.).
4.
Гришин А. М., Кузин А. Я. О гетерогенно – гомогенном воспламенении
пластины при обтекании потоком окислителя.//Сб. Горение и взрыв. – М.:
Наука, 1969.
5.
Андреев А. Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные
оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. – Новосибирск: Наука,
2001. –288 с.
Таблица 1
 1 , град.
25,625
40.514
47.673
51.247
53.198
  2 , град.
-25,625
-40.514
-47.673
-51.247
-53.198
M *c  , ГПа
0,806
0.814
0.882
0.923
0.947
Бабин Анатолий Иванович, старший преподаватель кафедры математики,
Кузбасский государственный технический университет, тел. 8-905-067-8856,
Россия, 650000, г. Кемерово, ул. Весенняя, 28, e-mail: anbabin@yandex.ru;
Немировский Юрий Владимирович, д.ф.-м.н., профессор, г.н.с., Институт
теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, 8-383303-804, Россия, 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1, e-mail:
admin@itam.nsc.ru
6