КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ. ПО ЛИНЕЙНОМУ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ.
ПО ЛИНЕЙНОМУ ПРОГРАММИРОВАНИЮ
Задание 1.
1. Решить графически ЗЛП.
Завод может изготовить два типа изделий, обрабатываемых в трех цехах.
Известны трудоемкость изготовления изделия по цехам, ПФВ, величина прибыли
от реализации одного изделия каждого типа.
Определить производственную
программу завода, обеспечивающую получение максимальной прибыли. Решить
задачу графически. Исходные данные показаны в таблице.
ПФВ работы в тыс.
№
нормо-часов
цеха
Трудоемкость изготовления изделия
в тыс. нормо-часов
1
18
1
3
2
8
1
1
3
18
3
1
2
3
Прибыль в млн. руб
Для удобства их представим в следующей форме, не требующей особых
18

8
пояснений: 
18



1 3

1 1
3 1

2 3 
Решить задачу графически для следующих данных:
 22

14
1. 
14



2 4

2 2
3 1

8 5 
 23

16
2. 
16



1 4

2 2
3 1

5 4 
 29

16
3. 
19



3 4

2 2
3 2

3 5 
 23

8
4. 
17



1 4

1 1
3 1

6 7 
 39

9
5. 
32



3 5

1 1
4 2

6 5 
 23

16
6. 
14



1 4

2 2
3 1

2 4 
 37

24
7. 
34



4 5

3 3
5 3

7 5 
 37

24
8. 
32



4 5

3 3
5 3

7 5 
 21

10
9. 
30



3 5

2 2
6 3

3 5 
 21

12
10. 
30



4 5

3 3
5 3

5 7 
ЗАДАНИЕ 2.
Для изготовления изделий А, В, С предприятие использует три вида сырья.
Заданы нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена
одного изделия, а также общее количество сырья. Изделия могут производиться в
любых соотношениях( сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным
предприятию сырьем каждого вида.
Составить план производства сырья,
обеспечивающего максимальную прибыль.
Данные представлены в таблице. Решить задачу симплекс-методом
Вид
Нормы затрат сырья( в кг.)
Общее количество
сырья
на одно изделие
сырья(кг)
А
В
С
1
18
15
12
360
2
6
4
8
192
3
5
3
3
180
Цена одного
9
10
16
изделия(тыс.руб)
18 15 12 
 9
 360 




 
Данные таблицы представим в форме A   6 4 8  , B  192  , C  10 
5 3 3
16 
180 


 


Решить задачу симплекс-методом для следующих вариантов данных:
3 5 3 
129 
 2




 
1. A   5 3 1  , B  107  , C   3 
 2 3 4
113 
 2




 
5 1 2
110 
3




 
2. A   2 3 1 , B   85  , C   4  .
1 3 5 
110 
 2




 
6 1 2
 91 


 
3. A   2 4 1 , B   74  ,
1 3 5 
 94 


 
2 1 1 


4. . A   2 4 1 ,
1 4 5 


3
 
C   4
 2
 
 39 
 4


 
B   78  , C   4 
110 
3


 
8 3 5
162 
3




 
5. A   2 4 1 , B   90  , C   4 
1 4 5 
122 
 2




 
 7 3 5
194 
 2




 
6. A   2 4 1  , B   92  , C   4 
1 4 5 
117 
5




 
 6 3 3
111 
5




 
7. A   2 4 1  , B   76  , C   4 
1 4 5 
109 
3




 
 6 2 2
111 
5




 
8. A   2 4 1  , B   76  , C   4 
1 4 5 
109 
3




 
6 1 3
111 
5




 
9. A   2 4 1 , B   76  , C   4 
1 4 5 
109 
3




 
 6 2 2
121 
5




 
10. A   2 4 1  , B   66  , C   3 
1 4 5 
109 
 4




 
ЗАДАНИЕ 3
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
Задача 3. На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в
количествах 200б 300 и 100 ед. Его необходимо перевезти в четыре магазина.
Каждый из магазинов должен получить соответственно 150б250б100 и 100 ед.
груза. Тарифы перевозок единицы груза из каждого из складов во все магазины
задается матрицей:. Составить план перевозок, при котором стоимость является
минимальной. Решить задачу методом потенциалов.
B2
B1
Базы
B4
B3
6
4
4
5
200
A2
6
9
5
8
300
A3
8
2
10
6
100
A1
магазины
150
250
100
 6 4 4 5


C  6 9 5 8
 8 2 10 6 


Решить методом потенциалов транспортную задачу:
100
600
6
5 6 104 
 7


6
8 4 214 
 3
1. 
.
3
2
3 4 142 


101 123 139 97



8
7
 8

1 7
7
2. 
3
2
3

123 107 129

7
6 4 130 
 8


9 3 237 
 3 8
3. 
3 3 5 3 93 


102 121 128 109



7
6 4 130 
 8


9 3 237 
 3 8
4. 
3 3
6 3 93 


102 121 128 109



6
5
 9

1
6
3
5. 
4
3 3

106 110 135

8
5
 7

1
7
8
6. 
2
2
3

118 100 135

6 133 

5 200 
5 127 


109

6 110 

3 211 
4 139 


96

5 135 

3 221
3 127 


107

7
6 4 140 
 8


9 3 237 
 3 8
7. 
3 3 5 3 93 


112 121 128 109



5 6 132 
 7 8


9 3 234 
 1 7
8. 
2
2
4 3 94 


114 128 109 109



6
5 5 122 
 8


8
9 3 224 
 3
9. 
4
2
4 3 114 


112 121 112 115



8
7
 9

1
8 8
10. 
2 1 5

118 122 130

5 109 

3 216 
3 135 


190

4. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
1. Теоретические сведения.
В общем виде задача нелинейного программирования(ЗНП) состоит в
определении максимального (минимального) значения функции
f x1 , x2 ,, x n 
(1)
при условии, что ее переменные удовлетворяют соотношениям
g i x1 , x2 ,, x n   bi i  1,, k 
,

g i x1 , x2 ,, x n   bi i  k  1,, m
(2)
где f i и g i некоторые заданные функции n переменных, а bi заданные числа.
В евклидовом пространстве En система ограничений (2) определяет область
допустимых решений(ОДР) задачи. Если определена ОДР задачи, то нахождение
решений задачи (1), (2) сводится к определению такой точки этой области, через
которую
проходит
гиперповерхность
наивысшего
(наинизшего)
уровня
f x1 , x2 ,, x n   h. Указанная точка может находиться как на границе области, так
и внутри ее.
1.1. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
Процесс нахождения решения ЗНП с использованием ее геометрической
интерпретации включает в себя следующие этапы:
1. находят ОДР задачи, определяемую соотношениями (2). Если она пуста, то
задача не имеет решения.
2. Строят гиперповерхность f x1 , x2 ,, x n   h.
3. Определяют гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня или
устанавливают неразрешимость задачи из-за неограниченности целевой функции
на множестве допустимых решений.
4. Находят точку области допустимых решений, , через которую проходит
гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня и определяют в ней значение
целевой функции.
Пример 1. Найти максимальное значение функции
F  x2  x12  6x1
(3)
2 x1  3x2  24,

 x1  2 x2  15,
3x  2 x  24,
2
 1
(4)
x2  4, x1 , x2  0 .
(5)
при условиях
РЕШЕНИЕ. Так как целевая функция (3) нелинейная, то задача (3)-(5) является
задачей нелинейного программирования. Область допустимых решений задачи
представляет многоугольник OABC . Таким образом, нужно определить такую
точку многоугольника, в которой целевая функция (3) принимает максимальное
значение. Построим линии уровня функции
F  x2  x12  6 x1  h ,
где h – некоторая постоянная. При каждом значении этого параметра получаем
параболу, которая тем выше удалена от оси Ox1 ,чем больше значение h . Значит,
целевая функция принимает максимальное значение в точке касания одной из
парабол с границей многоугольника OABC . В данном случае это точка D , в
которой линия уровня F  x2  x12  6 x1  13 касается стороны AB многоугольника.
Координаты этой точки находим решением системы уравнений
F  x2  x12  6 x1  13,

x2  4.

Ее решение x1*  3; x2*  4 и Fmax  13 при X *  3,4
15
f1( x)
f2( x)
f3( x) 10
g1( x)
g2( x)
g3( x) 5
d( x)
0
0
5
10
15
x
Пример 2. Найти максимальное и минимальное значения функции
F   x1  3  x 2  4
2
2
(7)
при условиях
 3x1  2 x 2  7,

 10 x1  x 2  8,
 18 x  4 x  12,
1
2

x1 , x2  0 .
(8)
(9)
РЕШЕНИЕ.
Область допустимых решений задачи представляет треугольник
многоугольник ABC . Построим линии уровня функции
F  x1  3   x 2  4  h ,
2
2
где h – некоторая постоянная. При каждом значении этого параметра получаем
окружность с центром в точке E  3,4 и радиуса
(уменьшением)
числа
h
значения
целевой
h. С
функции
увеличением
увеличиваются(
уменьшаются). Проводя из точки E  3,4 концентрические окружности разных
радиусов, видим, что минимальное значение целевая функция принимает в точке
D касания окружностью области решений.
Найдем координаты этой точки. Для этого воспользуемся равенством угловых
коэффициентов прямой 10 x1  x2  8 и касательной к окружности в точке D . Из
уравнения прямой x2  10 x1  8 видим, что ее угловой коэффициент в точке D
равен 10. Угловой же коэффициент касательной к окружности в точке D
определим как значение производной функции x 2 от переменной x1 в этой точке.
Рассматривая x 2 как неявную функцию переменной
x1 и дифференцируя
уравнение окружности, получим

2( x1  3)  2( x 2  4) x 2  0 .
Из последнего равенства выражаем производную x 2  и приравниваем 10.
Присоединяя уравнение прямой, на которой лежит точка E, приходим к системе
линейных уравнений
 x1  10 x2  43,

10 x1  x2  8.
Находим
значения
Fmax  (123 / 101  3) 2  (422 / 1013  4) 2  324 / 101.
x1*  123 / 101; x2*  422 / 101
и
Пример 3. Найти максимальное и минимальное значения функции
F   x1  4  x 2  3
2
2
(10)
при условиях
 2 x1  3x2  6,

 3 x1  2 x2 18,
 x  2 x  8,
2
 1
(11)
x1 , x2  0 .
(12)
Решение. Область допустимых решений задачи представляет многоугольник
ABCDE , а линии уровня функции F  x1  4  x 2  3  h окружности с центром
2
в точке E  4,3 и радиуса
h.
2
Из рисунка видно, что целевая функция
принимает минимальное значение в точке F (4,3) , а максимальное – в точке
C (13,10.5) . Следовательно, Fmin  0 , а Fmax  137.250 .
1.2. Условный экстремум
Рассмотрим функцию z  f ( x, y ), определенную и дифференцируемую в
область G, координаты точек которой удовлетворяют системе уравнений связи
G  {( x, y) i ( x, y)  0; i  1,2...., m} в
этой области нужно найти такую точку
M 0 ( x0 , y 0 ), чтобы выполнялось условие f ( M 0 )  f (M )M ( x, y)  G.
Такие задачи называются задачами отыскания условного экстремума
функции z  f ( x, y ). Для отыскания условного экстремума исследуется на обычный
экстремум функция Лагранжа
m
L( x, y, i )  f ( x, y )   i i ( x, y ).
i 1
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид
m
 L f
 i


 x x  i x  0
i 1

m
 L f

  i i  0
 
y
 y y i 1
 L
  i ( x, y )  0

 i
i=1,2…,m.
Из этой системы m+2 уравнений с m+2 неизвестными находят значения
неизвестных x, y, i ( i=1,2…,m). Числа i называются коэффициентами Лагранжа.
Пример. Найти экстремумы функции z=2x+y при условии x 2  y 2  5 .
Решение.
Составляем
функцию
Лагранжа:
L( x, y,  )  2 x  y   ( x 2  y 2  5 ).
Находим частные производные и составляем необходимые условия экстремума
функции Лагранжа:
 L
1

 x  2  2x  0
x    ,


1
 L

 y  
,

  1  2y  0
2
 y

1
 L
1
 x2  y2  5  0  2  2  5

4

 
1
1


x  2; y  1;   , M 0 (2;1); 0 

1

2 
2
 

1
2 
M (2;1);    1
x

2
;
y

1
;



,
0
1
2
2


В данном случае  ( x, y)  x 2  y 2  5.
Для исследования на экстремум в
полученных критических точках вычисляем значения
   2 L  2 L  2 L
,
,
,
,
:
x y x 2 xy y 2


2L
2L
2L
 2 x,
 2 y,
 2 ,
 0,
 2
x
y
x 2
xy
y 2
и составляем определитель
0
 x ( M 0 0 )  y ( M 0 0 )
 ( M 0 0 ) L xy
 ( M 0 0 ) .
    x ( M 0 0 ) L xx
 y ( M 0 0 ) Lxy ( M 0 0 ) L yy ( M 0 0 )
Если   0, то z=2x+y имеет в точке M 0 ( x0 , y0 ), условный максимум, если
  0, - то условный минимум. Итак,
0
0    4
2
4 2
0  4  16  20  0,
1
1
0
следовательно, в точке M 0 (2;1) условный минимум, zmin  5.
0
4
2
 1   4  1 0  4  16  20  0, .
2 0 1
следовательно, в точке M1 (2;1) условный максимум , zmax  5
ЗАДАНИЯ К П. 1.1
1.
Применяя графический метод, найти глобальные экстремумы функции
L  x1  2x2 при ограничениях
 x12  x22  9
.

 x2  0
2.
Найти
глобальные
экстремумы
функции
L   x1  1   x 2  3 при
2
2
ограничениях
 x1  2 x2  4
, xi  0 .

2.5 x1  2 x2  20
3.
Найти
глобальные
экстремумы
функции
L   x1  1   x 2  3 при
2
ограничениях
 x1  x 2  8,

3x1  x 2  15 , xi  0 .
 x  x  1,
2
 1
4.
Найти глобальные экстремумы функции L  x1  3x2 при ограничениях
2
 x1 2  2 x 2 2  4
, xi  0 .

2.5 x1  2 x 2  10
5.
Найти
глобальные
экстремумы
функции
L   x1  1   x 2  3 при
2
2
ограничениях
 x1 2  16 x 2  4
, xi  0 .

2.5 x1  2 x 2  5
6.
Найти
глобальные
экстремумы
функции
L   x1  1   x 2  3 при
2
2
ограничениях
 x1  2 x2  4
, xi  0 .

x

4
x

12
2
 1
7.
Найти
глобальные
экстремумы
функции
L   x1  1   x 2  3 при
2
2
ограничениях
 x1  2 x2  4
, xi  0 .

2.5 x1  2 x2  20
8.
Найти
глобальные
экстремумы
функции
L   x1  1   x 2  3 при
2
2
ограничениях
 x1  x2  4
, xi  0 .

 x1  2 x2  6
ЗАДАЧИ К П 1.2.
Найти условные экстремумы функций, используя метод множителей
Лагранжа:
1. z  x 2  y 2  xy  x  y  4
1
x
2. z  
x  y  3  0.
при
1
при x  y  2 .
y
3. z  xy2 при x  2 y  1 .
5. z  x  y при
4. z  x  2 y при x 2  y 2  1 .
 y  2 z  3,
 x  y  2.
6. L  2 xz  yz при ограничениях 
 x  y  2,
 y  z  2.
7. L  xy  yz при ограничениях 
1
1
1
 2  .
2
2
x
y
 x  y  2,
 y  z  4.
8. L  xy  yz при ограничениях 
9. L  2 x  y  z при ограничениях x12  x 22  x32  1.
10. Найти условные экстремумы функции L  x12  x2 2  x3 при ограничениях
 x1  x2  x3  4
.

 2 x1  3x2  12
11. Найти условные экстремумы функции L  x1 x2 x3 при ограничениях
2 x1 x2  2 x2 x3  12
.

2 x1  x2  8

12. Найти условные экстремумы функции L  x1 x2  x2 x3 при ограничениях
 x1  x 2  4
.

 x 2  x3  4
13.
Найти
условные
экстремумы
функции
L  3 x12  2 x1  2 x 22  4 x 2 x3 при
ограничениях
 x12  2 x22  1`9
.

2.5 x1  2 x2  20
14. Найти экстремальные значения функции
L  x12 x 22 x32 при
ограничениях
x1  x2  x3  18 .
15. Найти условные экстремумы функции L  x1 x2 x3 при ограничениях
 x1  x2  x3  5
.

x
x

x
x

x
x

8
2 3
1 3
 1 2
2. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ(ДП)
2.1. НАХОЖДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДП.
Предположим, что состояние рассматриваемой системы S на K -м шаге
( k  1, n  определяется совокупностью чисел X k   x1k  , x 2k  ,, x nk  , полученных в
результате выполнения управления u k , приведшего к переходу системы S из
состояния X k 1 в текущее состояние X k  .
Сформулируем условие отсутствия последействия: состояние системы

S X k 

на текущем
шаге не зависит от того, каким образом она достигла
предыдущего состояния S X k 1  , но зависит от X k 1 и выбранного управления
u k . Присоединим условие аддитивности целевой функции. Предположим, что в
результате реализации K -го шага обеспечен доход(прибыль), зависимый от
исходного состояния X k 1 и выбранного управления u k и равный Wk X k 1 , uk  .
Тогда общий доход за n шагов составляет
n


F   Wk X k 1 , u k . Выполнение
k 1
условия
отсутствия
последействия
позволяет
сформулировать
принцип
оптимальности по Беллману. Предварительно введем определение оптимальной
стратегии управления.
Под оптимальной стратегией управления понимается совокупность
управлений U *  u1* , u2* ,  , un* , в результате реализации которой система S за n
шагов переходит из начального состояния X 0  в конечное состояние X k  и при
этом общий доход принимает наибольшее значение.
Принцип оптимальности по Беллману: каково бы ни было состояние системы
перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге таким образом,
чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех
последующих этапах был максимальным.
Отсюда следует, что оптимальную стратегию управления можно получить,
если сначала найти ОСУ на n-м шаге, затем на двух последних шагах и т.д. Таким
образом, решение ЗДП целесообразно начинать с определения оптимального
решения на последнем, n-м шаге. Чтобы найти его решение, нужно сделать
предположения об окончании предпоследнего шага, и с учетом этого выбрать
управление
u n0 ,
обеспечивающее максимум функции


Wn X n1 , u n .
Такое
управление u n0 , выбранное при определенных предположениях об окончании
предыдущего этапа, называется условно оптимальным управлением. Поэтому
принцип оптимальности требует определения на каждом этапе условно
оптимального управления для любого из возможных исходов предшествующего
шага.
Приведем теперь математическую формулировку принципа оптимальности.
Пусть
 
Fn X 0
максимальный доход, получаемый за n шагов
при переходе
системы
S из начального состояния X 0  в конечное состояние X n  при
реализации ОСУ U  u1 , u2 ,  , un* . Тогда

Fnk X k 

максимальный доход,
получаемый за оставшиеся (n-k) шагов ( при ОСУ) при переходе системы S из
любого состояния X k  в конечное состояние X n  . Тогда


Fn X 0    max W1 X 0  , u1     Wn X n1 , un  ;
u k 1


 


Fnk X k   max Wk 1 X k  , u k 1  Fnk 1 X k 1
u kk 1
 k  0, n  1.
Последнее выражение называется функциональным уравнением Беллмана
или рекуррентного соотношения. Полагая k=n-1 в рекуррентном соотношении,
получим функциональное уравнение


F1 X т1   max Wn X n1 , un   F0 X n  
uт
.
Полагая известным F0 X n   и рассматривая всевозможные состояния
системы на шаге (n-1)
: X 1n1 , X 2n1 , , X Mn1 находим условные оптимальные
решения u n0 x1n1 , , u n0 x2n1 ,  , u n0 xMn1  и соответствующие значения функции
максимального дохода F10 X 1n1 , , F10 X 2n1 , , X 10 xMn1 . Таким образом, на шаге с
номером n находим условно оптимальные значения при любом допустимом
состоянии S после (n-1)-го шага.
Последовательно осуществляя вышеприведенный итерационный алгоритм,
дойдем до первого шага. На этом шаге известно, в каком состоянии пребывает
система. Поэтому остается только выбрать управление, которое является
наилучшим с учетом условно оптимальных управлений, принятых на предыдущих
шагах. Таким образом, в результате прохождения всех этапов от конца к началу
определяем максимальное значение выигрыша за n шагов и находим условно
оптимальное управление.
Для
нахождения
оптимальной
стратегии
управления,
проходим
последовательность шагов в обратном направлении. На первом шаге в качестве
оптимального
управления
u1*
возьмем найденное условно оптимальное
управление u10 . На втором шаге найдем состояние X 1* , в которое переводит
систему управление u 20 , которое будем считать оптимальным. Зная u 2* , находим
X 2* и определяем u3* и т.д.
В результате находим решение задачи, т.е.
максимально

возможный
доход
и
оптимальную
стратегию
управления

U *  u1* , u 2* ,  , u n* , включающую оптимальные управления на отдельных шагах.
2. 2. Задача выбора оптимальной стратегии
предприятия по замене оборудования.
Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении
оптимальных сроков замены. При этом критерием оптимальности служит
прибыль от эксплуатации оборудования, или суммарные затраты на содержание
оборудования, подлежащие минимизации.
Введем следующие обозначения: u (t ) –ежегодные затраты на обслуживание
оборудования возраста t лет;
s (t ) – остаточная стоимость оборудования возраста
t лет; P – покупная цена оборудования.
Рассмотрим период
рассматриваемой
оборудования.
N лет, в пределах которого предстоит выполнение
операции:
определение
Обозначим
оптимального
цикла
замены
f N (t ) – максимальный доход, получаемый от
оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет
цикла
использования
оборудования пи условии оптимальной стратегии. Возраст оборудования
отсчитывается в прямом направлении, временные же стадии процесса в обратном
по отношению к ходу процесса направлении. На каждом этапе N-стадийного
процесса должно приниматься решение о сохранении или замене оборудования,
при этом выбранный вариант обеспечивает получение максимальной прибыли.
Функциональные уравнения, основанные на принципе оптимальности,
имеют вид:
r (t )  u (t )  f N 1 t  1  сохранение
f N t   max 
s(t )  P  R(0)  f N 1 (1)  замена
(1)
 Сохранение
r (t )  u (t )
f1 t   max 
.
s(t )  P  r (0)  u (0)  Замена
(2)
Уравнение (1) описывает
N-стадийный процесс, а уравнение (2)–
одностадийный. В верхней строке формулы записан доход при сохранении, а во
второй – прибыль, получаемая при замене и продолжении работы на новом
оборудовании.
Функция r (t )  u (t ) обозначает разность между стоимостью
произведенной продукции и эксплуатационными издержками на N-ой стадии
процесса. Функция f N 1 t  1 означает суммарную прибыль от (N-1) оставшихся
стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий
(t+1) лет.
Функциональные уравнения имеют вид:
 f (t )  f N 1 t  1
,
f N t   max 
 p  f (0)  f N 1 (1)
 f (t )
.
f1 t   max 
 p  f (0)
Исходные данные представлены в таблице.
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f(t)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0
Даны значения параметров: p  10 , S (t )  0 , f (t )  r (t )  u (t ) .
 f (0)
10
f1 0  max 
 max 
 10
 p  f (0)
 10  10
 f (1)
9
f1 1  max 
 max 
9
 p  f (0)
 10  10




 f (12)
0
f1 12  max 
 max 
0
 p  f (0)
 10  10
Для N=2 имеем :
 f (0)  f1 (1)
10  9
f 2 0  max 
 max 
 19
 10  10  9
 p  f (0)  f1 (1)
 f (1)  f1 (2)
9  8
f 2 1  max 
 max 
 17

p

f
(
0
)

f
(
1
)

10

10

9

1




Вычисления ведутся до тех пор, пока величина прибыли от замены больше, по
сравнению с прибылью, извлекаемой при использовании старого оборудования.
Результаты расчетов помещаются в таблицу , при этом выделяется момент
замены, после которого прекращается выполнение расчетов.
2. 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОГО
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРЕДПРИЯТИЯ.
Совет
директоров
фирмы
рассматривает
предложения
по
наращению
производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на
четырех предприятиях, принадлежащих фирме. Для этого он выделяет средства в
объеме 120 млн. ден.ед. с дискретностью 20 млн. ден.ед. Прирост выпуска
продукции на предприятиях зависит от выделенной суммы, его значения
представлены предприятиями и содержатся в таблице.
Выделяемые
Прирост выпуска продукции, млн. ден.ед.
средства,
млн.ден.ед.
Предприятие
Предприятие
Предприятие
Предприятие
№1
№2
№3
№4
0
0
0
0
0
20
8
10
12
11
40
16
20
21
23
60
25
28
27
30
80
36
40
38
37
100
44
48
50
51
120
62
62
63
63
Найти
распределение
средств
между
предприятиями,
обеспечивающее
максимальный прирост выпуска продукции, причем на одно предприятие можно
осуществить не более одной инвестиции.
Решение. Разобьем решение задачи на четыре этапа по количеству предприятий,
на которые выделяются средства. На каждом этапе используются рекуррентные
соотношения Беллмана
f k x   . max g k xk   f k 1 x  xk  и данные приведенной
0 xk  x
таблицы.
С учетом вышесказанного,
приступаем к определению сначала условно
оптимальных, а затем и оптимальных распределений инвестиций между
предприятиями. Пусть X  0 ; тогда g1 0  0 , f1 0  0 . Возьмем теперь X  20 .
0
8
Тогда, принимая во внимание данные таблицы, получаем f1 20  max   8 ,
X 10  20 . Здесь первая строка соответствует решению X 1  0 ; а вторая – решению
X 1  20 . Так как при первом решении прирост выпуска продукции не обеспечен, а
при втором он равен 8, то условно оптимальным является X 10  20 . Аналогично
находим
условно
оптимальные
0

f1 40  max 8  16 ,
16

0
8

f1 80  max 16  36 ,
25

[36]
решения
0
8

16

f1 120  max 25  62 ,
36

44
[62]

других
значений
0
8

f1 60   max 
 25 ,
16

[25]
X 10  40 .
X 10  80
для
0
8

16
f1 100  max 
 44 ,
25
36

[44]
X 10  120 .
X 10  60 .
X 10  100
На первом шаге инвестиции предоставлены
только первому предприятию. Результаты вычислений сведем в таблицу:
Максимальный прирост
Условно-оптимальный
f1  X  выпуска продукции
обьем инвестиций X 10
0
0
0
20
8
20
40
16
40
60
25
60
80
36
80
100
44
100
120
62
120
Обьем капиталовложений X i
X:
Теперь, на втором этапе,
инвестируются первое и второе предприятия.
Рекуррентное соотношение для общего случая имеет следующий вид:
f k x   . max g k xk   f k 1 x  xk ,
0 xk  x
а для второго шага оно записывается как
f 2 x   max g2 x2   f1 x  x2  .
0 x2  x
Пусть X  0 ; тогда g 2 0  0 , f 2 0  g 2 0  f1 0  0 ,
X  20 .
Приведем
полную
f 2 40  max g 2 x2   f1 20  x2 . Здесь
0 x2 20
f 2 0  0 . Возьмем теперь
выкладку
x2
для
вычисления
принимает значения: 0, 20. Тогда,
принимая во внимание данные таблицы, получаем
 g 0  f1 20
f 2 20  max  2
 max
 g 2 20  f1 0
0  8
 10 ,

10  0
X 20  20 .
Для вычисления f 2 40  max g 2 x2   f1 40  x2 . Здесь x2 принимает значения: 0,
0 x2 40
20, 40:
 g 2 0  f1 40

f 2 40  max  g 2 20  f1 20  max
 g 40  f 0
1
 2
0  16

0
10  8  18 , X 2  40 .
20  0

При X  60 имеем f 2 60  max g 2 x2   f1 60  x2  и находим значение
0 x2 60
 g 2 0  f1 60
 g 20  f 40

1
f 2 60  max  2
 max
 g 2 40  f1 20
 g 2 60  f1 0
25
10  16

 28 , X 20  60 .

20  8
28
Аналогично определяем оставшиеся значения:
 g 2 0  f1 80
36
 g 20  f 60
10  25
1
 2

f 2 80  max  g 2 40  f1 40  max 20  16  40 ,
 g 60  f 20
28  8
1
 2

 g 2 80  f1 0
40
X 20  80 .
 g 2 0  f1 100
44
 g 20  f 80
10  36
1
 2

 g 2 40  f1 60 
20  25
f 2 100  max 
 max 
 48 ,
 g 2 60  f1 40 
28  16
 g 2 80  f1 20
40  8


48
 g 2 100   f1 0
X 20  100 .
 g 2 0  f1 120
62
 g 20  f 100
10  44
1
 2

 g 2 40  f1 80
20  36


f 2 120  max  g 2 60  f1 60  max 28  25  62 ,
 g 80  f 40
40  16
1
 2

 g 2 100  f1 20
48  8

62

 g 2 120  f1 0
X 20  120 .
Результаты вычислений сведем в таблицу:
Максимальный прирост
Условно-оптимальный
f 2  X  выпуска продукции
Обьем инвестиций X 20
0
0
0
20
10
20
40
20
40
60
28
60
80
40
80
100
48
100
120
62
120
Обьем капиталовложений X i
На третьем шаге производится инвестирование второго и третьего предприятий.
Расчеты ведутся по формуле:
f 3 x   max g3 x3   f 2 x  x3 
0 x3  x
 g 3 0  f 2 20
0  10
f 3 20  max 
 max 
 12 ,
12
 g 3 20  f 2 0
X 30  20 .
Для вычисления f 3 40  max g3 x3   f 2 20  x3  . Здесь x2 принимает значения: 0,
0 x2 120
20, 40:
 g 3 0  f 2 40

f 3 40  max  g 3 20  f 2 20  max
 g 40  f 0
2
 3
0  20

0
12  10  22 , X 3  40 .
21  0

При X  60 имеем f 2 60  max g3 x3   f 2 60  x3  и находим значение
0 x3 60
 g 3 0  f 2 60
 g 20  f 40
 3
2
f 3 60  max 
 max




g
40

f
20
3
2

 g 3 60  f 2 0
28
12  20

 32 , X 30  40 .

21  10
27
Аналогично определяем оставшиеся искомые значения:
 g 3 0  f 2 80
 g 20  f 60
2
 3
f 3 80  max  g 3 40  f 2 40  max
 g 60  f 20
2
 3
 g 3 80  f 2 0
36
12  25

20  16  40, ,
28  8

40
X 20  80 .
 g 3 0  f 2 100
 g 20  f 80
2
 3
 g 3 40  f 2 60
f 3 100  max 
 max
 g 3 60  f 2 40
 g 3 80  f 2 20

 g 3 100  f 2 0
44
10  36

20  25
 48 ,

28

16

40  8

48
X 20  80 .
 g 3 0   f 2 120 
62
 g 20   f 100 
10  44
2
 3

 g 3 40   f 2 80 
20  36


f 3 120   max  g 3 60   f 2 60   max 28  25  62 ,
 g 80   f 40 
40  16
2
 3

 g 3 100   f 2 20 
48  8

63

 g 3 120   f 2 0 
X 20  120 .
На последнем этапе распределим 120 млн. ден.ед. между третьим этапом и
четвертым предприятием. При x  120 получим
 g 4 0  f 3 120 
63
 g 20   f 100 
11  52
3
 4

 g 4 40   f 3 80 
23  41


f 4 120   max  g 4 60   f 3 60   max 30  32  64.
 g 80   f 40 
37  22
3
 4

 g 4 100   f 3 20 
51  12

63

 g 4 120   f 3 0 
Получены условия управления от 1-го до 4-го этапов. Вернемся от 4-го
этапа к первому.
Максимальный прирост выпуска продукции в 64 млн. ден.ед. получен на 4м этапе как 41+23. т.е. прирост в 23 млн .ден.ед. соответствует предоставлению
40 млн.ден. ед. четвертому предприятию.
Согласно 3-му этапу, максимальный прирост выпуска продукции в 41 млн.
ден.ед получен как 20+21, т.е. 21 млн.ден.ед прироста соответствует выделению
40 млн.ден.ед третьему предприятию.
Согласно 2-му этапу прирост выпуска продукции
в 20
млн.ден .ед
достигнут при предоставлении 40 млн.ден.ед второму предприятию.
Таким образом, инвестиции в обьеме 120 млн.ден.ед целесообразно
выделить второму, третьему, четвертому предприятиям по 40 млн. ден.ед, при
этом прирост продукции будет максимальным и составит 64 млн.ден.ед
Задание по теме «Динамическое программирование»
2.1.
Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных
данных: S(t)=0, f(t)= r(t)-u(t).
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(t)
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Значения коэффициентов условия задачи.
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
12
10
14
11
13
15
16
15
14
11
a1
12
10
14
11
13
15
16
15
14
11
значения
2.2.
a2
a3
10
9
12
10
12
14
15
14
13
10
8
8
10
9
11
12
13
13
12
9
a4
a5
6
7
8
7
9
10
11
11
10
8
4
5
6
5
7
8
8
9
7
7
a6
2
3
4
3
4
6
5
7
4
5
a7
0
1
1
0
1
3
2
4
1
3
a8
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
a9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию
производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции
на четырех предприятиях, принадлежащих фирме. Для модернизации
предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 250 млн. р. с
дискретностью 50 млн. р. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной
суммы его значения представлены предприятиями и содержится в таблице.
Инвестиции
Млн.руб
50
100
150
200
250
Прирост выпуска продукции, млн.руб
Предприятие 1 Предприятие 2 Предприятие 3 Предприятие 4
a11
a12
a13
a14
a21
a31
a22
a32
a23
a33
a24
a34
a41
a42
a43
a44
a51
a52
a53
a54
Пусть A  aij 54 . Данные для вариантов:
 5 7 6 4


 9 10 8 11 
1. A   21 20 21 19  .


 33 34 32 35 
 38 39 40 41


 8 10 7 10 


13 12 14 13 
2. A   22 23 22 23  .


 31 38 29 30 
 39 40 38 41 


11 12 10 11 


16 15 17 14 
3. A   23 24 22 25  .


 32 31 32 30 
 38 39 40 38 


 5 7 6 4


 9 10 8 11 
4. A   21 20 21 19  .


 33 34 32 35 
 38 39 40 41


 8 10 7 10 


13 12 14 13 
5. A   22 23 22 23  .


 31 38 29 30 
 39 40 38 41 


11 12 10 11 


16 15 17 14 
6. A   23 24 22 25  .


 32 31 32 30 
 38 39 40 38 


 5 7 6 4


 9 10 8 11 
7. A   21 20 21 19  .


 33 34 32 35 
 38 39 40 41


 8 10 7 10 


13 12 14 13 
8. A   22 23 22 23  .


 31 38 29 30 
 39 40 38 41 


11 12 10 11 


16 15 17 14 
9. A   23 24 22 25  .


 32 31 32 30 
 38 39 40 38 


2. Вопросы для зачета.
1. Дайте определения стандартной и канонической ЗЛП. Приведите пример.
2. Приведите геометрическую интерпретацию ЗЛП.
3. Сформулируйте признак оптимальности опорного плана.
4. Как производится проверка на оптимальность в индексной строке?
5. Укажите алгоритм выбора ключевого элемента.
6. В чем заключается правило прямоугольника.
7. Как записывается решение при альтернативном оптимуме?
8. Дайте описание метода искусственного базиса.
9. Дайте определение цикла, приведите правила для пересчета по циклу.
10. Приведите примеры для графического решения для ЗЛП.
11. Приведите описание множителей Лагранжа.
12. Классические методы определения экстремума.
12. Укажите достаточные условия достижения экстремума.
13. Оптимизация функции полезности.
14. Задача потребительского выбора.
15. Формулировка оптимальности по Беллману.
16. Приведите схему процесса принятия решений методом динамического
программирования.
17. Приведите формулу Беллмана.
18. Сформулируйте модель задача выбора оптимальной стратегии предприятия
по замене оборудования.
19. Приведите рекуррентную форму для нахождения приближений по методу
Франка-Вульфа.
20. Произведите сравнение метода штрафных функций и метода Эрроу-Гурвица.
5. Список литературы.
1.
2.
3.
Авторы,
составители
Красс М.С.,
Чупрынов Б.П.
Красс М.С.,
Чупрынов Б.П.
Клюшин В.А
4.
под ред. В.И.
Ермакова
Под ред. В.И.
Ермакова
1.
под ред. В.И.
Ермакова
Акулич И.Л.
2.
1. Основная литература.
наименование
Математика для экономического
бакалавриата
Математика для экономистов.
Изд-во, год
М.: Дело, 2005.
СПб.: Питер, 2007.
. Высшая математика для
М.:ИНФРА, 2009.
экономистов
Общий курс высшей
М.: ИНФРА-М,
математики для экономистов
2007.
Сборник задач по высшей
М.: ИНФРА –М,
математике для экономистов:
2009. –575 с.
Учебное пособие
2. Дополнительная литература
Справочник по математике для ИНФРА-М, 2007.
экономистов
Математическое
М.: Высшая школа,
программирование в примерах и
1986
задачах