Document 4187181

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
Кафедра математического моделирования
экономических систем АПК
ЭКОНОМЕТРИКА И ЭММ:
МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Для студентов экономических специальностей
Горки 2010
3
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
Кафедра математического моделирования
экономических систем АПК
ЭКОНОМЕТРИКА И ЭММ:
МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Для студентов экономических специальностей
Горки 2010
4
Одобрено методической комиссией экономического факультета 30.03.2010 (протокол № 6).
Составил В.И. КОЛЕСНЁВ.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………..
1. Модели управления запасами…………………………………………………...
1.1. Общие сведения и основные понятия……………………………………...
1.2. Модель оптимального размера заказа……………………………………...
1.3. Модель с конечной интенсивностью поступления заказа………………..
1.4. Модели управления запасом с дефицитом………………………………..
1.5. Модели с определением точки заказа……………………………………...
1.6. Модели с условием оптовой скидки……………………………………….
1.7. Модели управления запасами при вероятностном спросе………………..
1.8. Модели управления многономенклатурными запасами………………….
Литература…………………………………………………………………………..
3
4
4
7
17
21
30
36
39
45
48
УДК 330.115:631.173
Эконометрика и ЭММ: модели управления запасами: методические указания / Белорусская государственная сельскохозяйственная
академия; сост. В. И. К о л е с н ё в. Горки, 2010. 48 с.
Приведены рекомендации для самостоятельного изучения одного из разделов программы курса. Даны теоретические аспекты моделей управления запасами и решение
конкретных задач.
Для студентов экономических специальностей.
Таблиц 3. Рисунков 10. Библиогр. 9.
Рецензенты: В.В. БЫКОВ, канд. экон. наук, профессор; В.И. РАДЮК, канд. экон.
наук, доцент.
 Составление. В. И. Колеснёв, 2010
 Учреждение образования
«Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия», 2010
5
ВВЕДЕНИЕ
Научные исследования и практика работы предприятий народного
хозяйства показывают, что для принятия оптимальных управленческих
решений в рыночной системе целесообразно шире использовать комплекс разнообразных экономико-математических моделей. В настоящее время планово-экономические службы, коммерческие отделы
предприятий и организаций оснащены современной компьютерной
техникой и нуждаются в квалифицированных кадрах, хорошо владеющих методами математического моделирования экономических процессов и систем. В этих условиях большое значение имеет обучение
студентов математической формализации конкретных задач.
Цель и задачи методических указаний состоят в том, чтобы на основе изучения экономико-математических методов и моделей управления запасами принимать оптимальные решения по вопросам эффективного функционирования деятельности сельскохозяйственных, торговых, снабженческих объектов агрокомплекса. Используя математический аппарат и опираясь на данные конкретных экономических систем, студент учится решать типовые задачи, встречающиеся в экономике народного хозяйства, с дальнейшим формированием предложений по механизму реализации полученных результатов в практику
производства.
Специфика изложенного материала состоит в том, что наибольший
акцент сделан на изучение наиболее распространенных видов моделей
управления запасами. Вначале рассматривается теоретическая постановка экономико-математической модели, затем показывается решение конкретной задачи. По большинству приводимых тем предлагаются примеры для самостоятельного решения. Такая компоновка методических указаний позволит каждому студенту уяснить смысл разнообразных постановок моделей управления запасами.
6
1. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
1.1. Общие сведения и основные понятия
В научных исследованиях экономики особое внимание уделяется
такому аспекту повышения эффективности работы предприятий, как
грамотное управление имеющимися запасами. Во всех сферах народного хозяйства важно поддерживать их рациональный уровень (сырья,
полуфабрикатов, готовых изделий). Основные причины создания оптимального объема запасов для любой организации таковы: а) необходимо обеспечить непрерывность и бесперебойность процессов производства; б) существует периодичность выпуска различных видов продукции поставщиками, а также их транспортировка к потребителю
партиями; в) в большинстве объектов происходит несовпадение ритма
производства с ритмом потребления.
Затраты на хранение слишком больших запасов уменьшают прибыльность организации; поддержание запасов на слишком низком
уровне связано с риском возникновения дефицита и остановкой производства. Для компромиссного решения данной проблемы применяют
математические методы и модели теории управления запасами.
Как научная дисциплина теория управления запасами начала формироваться в середине 50-х гг. прошлого столетия и в данный момент
насчитывает более 300 моделей рассматриваемого класса. Под запасами понимается все то, на что имеется спрос и что выключено временно
из потребления. Если рассматривать совокупные запасы на пути технологической цепи «поставщик – потребитель», то их можно разделить на две основные части:
а) производственный запас. Его образует продукция производственно-технического назначения, находящаяся в руках производителей и вступившая или готовая вступить в процесс непосредственного
производства;
б) товарный запас. Его образует продукция, которая находится в
сфере обращения. Таковы запасы на складах предприятий-изготовителей, запасы в пути, запасы на снабженческо-сбытовых, торговых и иных базах. Уровень и структура их должны быть такими, чтобы: а) удовлетворить спрос каждого покупателя; б) выполнить план
товарооборота; в) устранить простои продавцов и складских работников.
Товарные и производственные запасы являются необходимым
условием нормальной работы каждой организации, а их текущий уро7
вень может оказаться одним из решающих факторов успешной деятельности предприятия. Существует ряд обстоятельств, по которым
запасы, как неизбежные издержки, создаются в минимальном количестве из-за сокращения затрат на их содержание или упущенного дохода, который мог бы быть получен при вложении «омертвленных» в
запасе финансовых средств в развитие объекта.
В самом деле, затраты на хранение слишком больших запасов могут свести к минимуму доходность, так как для их финансирования из
оборота отвлекаются денежные ресурсы. Размер этих затрат, связанных с «омертвлением» капитала, предположительно равен средней
рыночной ставке ссудного процента. Такой процент за инвестированный капитал платит организация, если использует банковский кредит
для финансирования запасов. Если же запас финансируется за счет
собственных средств, то предприятие несет в таком же объеме потери
потенциального дохода, который оно могло бы получить, если бы ссудило вложенные в запас денежные средства под проценты.
В то же время поддержание запасов на слишком низком уровне ведет к проблемам срыва производства, а также выполнения заказов покупателей и клиентов.
Следовательно, важно найти наилучшее соотношение между следующими требованиями: а) с одной стороны, минимизация общих издержек, связанных с доставкой и хранением запасов; б) с другой стороны, надежное обеспечение спроса на хранимый запас. Поэтому в
общем аспекте задача управления запасами должна отвечать на следующие два вопроса: определение объемов поставок (какое количество
запаса заказывать?) и периодичность заказов (когда заказывать?). Совокупность правил, по которым принимаются эти решения, и есть
стратегия управления запасами. Ее сущность состоит в определении
такой организации поставок, при которой суммарные затраты на доставку, хранение, а также потери (недополученная прибыль), обусловленные дефицитом товаров, были бы минимальные.
При постановке экономико-математической задачи по управлению
товарными запасами необходимо учитывать следующие особенности:
1) величину запаса. Она определяется в натуральном или стоимостном выражении;
2) спрос. Под спросом понимается совокупность требований на товары или потребность в материальных ресурсах для обеспечения непрерывности производственного процесса. Он может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (описанным
8
вероятностным распределением), что приводит к постановке детерминированных и стохастических моделей.
Среди разновидностей детерминированных моделей различают:
а) статические (объем спроса на хранимую продукцию или запас является постоянным во времени); б) динамические (объем спроса является
функцией времени). Кроме того, исходя из характера потребности,
возможна реализация таких стохастических моделей управления запасами, в которых спрос за рассматриваемый период либо является непрерывной случайной величиной, либо дискретной, т.е. описывается
дискретной плотностью распределения;
3) порядок пополнения запасов. Речь идет об интервале времени
между моментом размещения заказа и его поставкой. Пополнение запасов осуществляется на основе следующих вариантов: а) мгновенная,
т.е. экстренная поставка; б) задержка поставок относительно момента
подачи требования. В этом случае новые заказы размещаются тогда,
когда их уровень опускается до заранее определенного значения,
называемого точкой заказа товара;
4) издержки. Существуют четыре основных вида затрат, которые
оказывают влияние на выбор решения по управлению запасами: а) на
приобретение; б) на оформление заказа; в) на хранение запасов;
г) вследствие дефицита (нехватки запасов).
Затраты на приобретение определяются ценой единицы приобретаемой продукции (хранимого запаса). Эта цена может быть постоянной
или со скидкой, которая зависит от величины партии (объема заказа).
Затраты на оформление заказа (накладные расходы) представляют
собой постоянные издержки на подготовку одного заказа. Считается,
что они не зависят от объема заказа и связаны с расходами по содержанию персонала, занимающегося определением потребности, заключением договоров на поставку, непосредственной закупкой необходимых запасов. К этой же группе расходов следует отнести почтовотелеграфные, канцелярские, командировочные затраты, связанные с
размещением заказа, а также транспортные расходы, не зависящие от
размера партии. Иногда в данную категорию включают издержки по
переналадке оборудования перед выпуском очередной партии товара
(при условии серийного производства однородной продукции).
Затраты на хранение запасов рассчитываются как сумма издержек
на единицу товара за определенный период времени. Они зависят от
величины партии поставки (уровня запасов). В основном это расходы
по содержанию складских помещений: оплата обслуживающего пер-
9
сонала; аренда, амортизация и содержание зданий, сооружений, оборудования (отопление, освещение, вентиляция для обеспечения нормального режима хранения); расходы по учету и инвентаризации; затраты по недостаче, из-за убыли в процессе хранения и т.д. Общие
складские издержки могут составлять порядка 25–50% стоимости хранимых материалов.
Затраты вследствие дефицита – это расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции (возможно из-за несвоевременных поставок). Они включают как потенциальные потери прибыли, так
и более субъективную стоимость, связанную с утратой доверия клиентов. Прибыль организации при дефиците может снизиться за счет простоя производственных мощностей и трудовых ресурсов; переналадки
производственного процесса; замены дефицитных материалов другими, более дорогими; выпуска продукции в сверхурочное время после
ликвидации причины простоя; штрафа за нарушение сроков поставки;
5) критерий оптимальности. Он является интегрирующим показателем сформулированной цели управления запасами. В качестве целевой функции в математических моделях чаще всего используется минимум суммарных затрат, связанных с заготовкой и содержанием запасов.
1.2. Модель оптимального размера заказа
Любая экономическая задача управления запасами – это совокупность математических соотношений и уравнений, описывающих рассматриваемый процесс при тех или иных допущениях. Существуют
различные системы регулирования запасов в зависимости от исходных
параметров. Рассмотрим классическую задачу экономичного размера
заказа, которую называют моделью оптимальной партии поставки.
Она используется для оценки объема заказа на определенный товар и
включает в себя следующую систему предположений:
а) спрос на товар известен и является постоянным, т.е. определенным, детерминированным. Пусть  – спрос (потребность), т.е. общий
объем поставок товара за период t ;
б) нулевой цикл заказа предполагает, что товары будут поставлены
без задержки, т.е. заказ выполняется экстренно. При этом отклонения в
ту или иную сторону в поступлении заказанной партии недопустимы, а
время доставки принимается нулевое;
в) уровень запасов снижается равномерно в соответствии с равномерно поступающими требованиями. Когда все запасы исчерпаны,
10
происходит поставка новой партии товара. Пусть Q – объем заказа
(количество единиц);
г) неизменность цены приобретения, т.е. расходы на приобретение
единицы товара постоянны, которые обозначим P ;
д) дефицит недопустим. Товар должен быть всегда в наличии и потребности покупателей немедленно удовлетворяться.
Исходя из описанных предпосылок графически представим изменение уровня запасов I конкретного товара от начального значения Q в
момент поставки до нуля к концу периода (рис. 1).
I
Q
t
I
0
t1
t2
t3
t4
t
Рис. 1. Динамика изменения запасов во времени.
На графике показано, что уровень запаса снижается с постоянной
скоростью от Q до 0. Когда он достигает нулевой отметки, мгновенно
происходит поступление новой партии товара и уровень запасов немедленно восстанавливается до величины Q . Далее уровень запасов
опять все время снижается и цикл снова повторяется. На графике выделен средний уровень запасов данного товара I , который равен половине размера заказа  I  Q  . Также показана длина цикла t , т.е.
2

интервал времени между поставками  t  Q  .


Решение задачи связано с построением модели, где описываются
общие затраты в системе управления запасами. Они складываются из
стоимости на приобретение товара, расходов на организацию заказа и
хранение запасов. С точки зрения анализа основной модели управления запасами нас не интересуют затраты на приобретение, которые
постоянны (на оптимальный размер заказа они не повлияют). Поэтому
проанализируем те суммарные издержки, которые складываются из
11
затрат на оформление заказа и затрат на хранение запаса в единицу
времени. В данном примере мы выберем период, равный одному году.
В качестве целевой функции примем суммарные годовые затраты
системы управления запасами:
C  C3  Cx ,
где C 3  сумма затрат по организации заказа;
C x  сумма затрат на хранение товаров за период t (год).
Ежегодная стоимость оформления заказа определяется по формуле

Ñ3  K  n или C3  K  ,
Q
где K – затраты на оформление, связанные с размещением заказа (стоимость заказа одной партии товара), т.е. их постоянная
часть;

n  число поставок за анализируемый период t ( n  ) .
Q
Ежегодная стоимость хранения запасов определяется по формуле
C x  I  S или C x  1  Q  S ,
2
где I – средний уровень запасов;
S  затраты на хранение единицы товара в единицу времени (за
год).
Значит, целевую функцию можно записать следующим образом:

 Q 
(1)
Ñ   K    S   min .
Q 2


Первый член в формуле прямо пропорционален, а второй – обратно
пропорционален размеру партии. При изменении величины размера
партии Q изменяется C как функция Q . Таким образом, неуправляемыми параметрами в целевой функции являются  , K, S . Это исходные данные для решения задачи. Выберем управляемую переменную
Q из условия минимума суммарных затрат. Приравняем к нулю
первую производную по Q (необходимый признак экстремума):
dC
K S
  2   0.
dQ
2
Q
Отсюда находится оптимальный размер партии заказа:
2 K
.
Q 
S
12
(2)
d 2C
 0 (достаточный признак экстремума) для всех
dQ 2
Q  0 , то значение формулы (2) доставляет функции цели (1) абсолютный минимум. Причем данная формула (2) известна как экономичная величина заказа, формула размера оптимальной партии поставки,
формула Уилсона.
Далее приведем ряд расчетных характеристик, являющихся оптимальными параметрами системы управления однономенклатурными
запасами:
Так как
оптимальный средний уровень запаса – I * 
Q*
;
2
оптимальное число поставок – n *   ;
Q*
оптимальный интервал времени между поставками –
t* 
1 Q*
.

n* 
При этом минимальный размер суммарных затрат составит:
K 
S 2  K 

C min

 
 2  K  S   S  Q  .
2
S
2  K 
S
Таким образом, для того чтобы определить оптимальный размер
заказа, необходимо только сравнить затраты, связанные с его организацией и хранением. На графике, представленном на рис. 2, видно, как
изменяются издержки в зависимости от размера заказа: 1) расходы на
хранение прямо пропорциональны величине партии поставки (размеру
заказа); 2) расходы на организацию обратно пропорциональны величине партии поставки (размеру заказа).
Минимальное значение общих затрат находится при равенстве двух
видов издержек (точка пересечения их на риc. 2 соответствует оптимальному размеру заказа). Следовательно, целевая функция достигает
минимума при рассчитанном размере партии Q * тогда и только тогда,
когда издержки хранения за время цикла равны затратам на организацию заказа. Становится ясно, что любое отклонение объема поставки
товаров от оптимальной величины ведет к увеличению затрат. Таким
образом, оптимальный размер заказа – это то количество товара, кото13
рое необходимо включить в один заказ, с тем чтобы минимизировать
общие затраты системы управления запасами и удовлетворить потребности потребителя (покупателя).
C
C = C x + C3
Cx
Cmin
Cx=C3
Сз
Сз
Сз
Cq
Q*
Q
Рис. 2. Взаимозависимость суммарных затрат от размера партииq поставки.
Задача 1. Строительная фирма возводит ряд объектов в агропромышленной сфере. Исходя из объема предстоящих работ, потребность
в цементе составит 4000 ц в год ( = 4000). Затраты на оформление
одной партии цемента в виде административных расходов равны
80 у.д.е. независимо от заказанного количества (K = 80). Ежегодные
затраты на хранение 1 ц цемента, по расчетам планово-экономического
отдела, будут составлять 4 у.д.е. (S = 4). Данный показатель специалисты определили следующим образом. Цена покупки 1 ц цемента составляет 16 у.д.е. (P = 16), а затраты на хранение единицы этого товара, по оценкам экономистов, равны 25% в год ( i = 0,25). Таким образом, ежегодные издержки S  i  P . Требуется определить размер партии, при котором затраты на организацию поставок и хранение будут
наименьшими. Сравнить с действующей системой заказа партии 100 ц
цемента.
Для решения данной задачи вначале воспользуемся графическим
представлением (рис. 3).
Нетрудно заметить, что если размер заказа цемента невелик, то
расходы на организацию являются доминирующими. В этом случае
заказы подаются часто, но на небольшое количество продукции. Если
размер заказа является достаточно большим и основной компонентой
14
становятся издержки хранения, делается небольшое число заказов,
размер которых достаточно велик.
С
3500
3000
2500
Минимальные
общие затраты
2000
Общие затраты
Расходы на хранение
1500
1000
Расходы на подготовку заказа
500
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Q
Рис. 3. Издержки запасов в зависимости от размера заказа.
2  80  4000
 400 . Полученный резуль4
тат говорит о том, что для минимизации затрат размер заказа должен
составить 400 ц цемента. Оптимальный интервал между поставками
400
t* 
 0,1 года. Учитывая, что в году 365 дней, время между зака4000
зами партии цемента будет составлять примерно 37 дней. Оптимальное число поставок n   10 , т.е. периодичность поставок цемента
должна быть 10 раз в год.
При этом минимальный размер суммарных затрат при оптимальных параметрах системы управления однономенклатурными запасами
составит:
Оптимальная партия Q* 


Cmin
 2  80  4  4000  1600 или Cmin
 4  400  1600.
Любое отклонение объема поставки цемента от оптимальной величины ведет к увеличению затрат. Например, при действующей системе
фактическая поставка партии цемента строительной фирме составляла
100 ц ( Q = 100). Значит, годовые затраты по формированию поставок
15
4000 100

 4  3400 у.д.е. Если срав100
2
нить их с полученными при работе системы управления запасами в
оптимальном режиме –1600, то можно сделать вывод, что принятие
оптимальной стратегии принесет фирме экономию в размере
1800 у.д.е.
Кроме того, иногда нужно учитывать и тот факт, что в реальной ситуации оптимальный показатель служит в качестве ориентира того,
какой размер заказа наиболее экономичен. При этом окончательная
партия поставки может определяться с учетом и других факторов.
Например, перевозка осуществляется цементовозами, грузоподъемность которых 7 тонн цемента в расчете на один автомобиль. Исходя
из этого, для поставки цемента необходимо заказать 6 машин, В этом
случае наиболее экономичная партия будет составлять 420 ц (670).
Пример № 1. Торговый отдел райагросервисной организации планирует иметь потребность в подшипниках в количестве 60000 шт. Годовые затраты по хранению одной единицы данной запасной части
составляют 1,1 у.д.е. Издержки на транспортировку одной партии этого товара равны 20 у.д.е.
Требуется: 1) определить оптимальные параметры данной системы
управления запасами; 2) сравнить с действующей системой поставки
партии подшипников в количестве 800 шт.
Пример № 2. Частный предприниматель открыл пункт общественного питания на одном из оживленных участков международной автомагистрали. Для удовлетворения месячного спроса в количестве 800 кг
он заказывает свинину у производителей сельскохозяйственной продукции. Фиксированная стоимость размещения заказа равна 6 у.д.е.
Стоимость замораживания и хранения одного килограмма свинины
обходится предпринимателю в 0,9 у.д.е. в месяц. Фактически ему поставляют продукцию партиями по 160 кг свинины в каждой.
Требуется: 1) определить оптимальную стратегию управления запасами для предпринимателя в предположении, что время выполнения
заказа от момента его размещения до реальной поставки равно нулю;
2) найти затраты пункта общественного питания, связанные с существующей стратегией создания запаса; 3) вычислить разность между
текущими месячными затратами предпринимателя и теми, которые
определяются оптимальной стратегией управления запасами.
Пример № 3. На склад областной базы агроснаба поступают аккумуляторы для колесных тракторов (пятый класс тягового усилия), гои содержанию запасов Ñ  80 
16
довая потребность в которых составляет 800 шт. Затраты на оформление, т.е. издержки завоза одной партии, этого товара равны 40 у.д.е.
Ежегодные затраты по хранению одной единицы данной запасной части составляют 73 у.д.е.
Рассматривая детерминированную модель управления однономенклатурными запасами, необходимо: 1) найти фиксированный размер
заказываемой партии аккумуляторов, который минимизирует расходы
по завозу и хранению запасных частей; 2) определить оптимальные
параметры системы управления запасами; 3) рассчитать, каким образом изменятся суммарные издержки по сравнению с оптимальной
стратегией управления запасами, если отдел снабжения предложил
установить размер одной партии поставки аккумуляторов в количестве
16 шт.
Пример № 4. Станция по агрохимическому обслуживанию сельхоз-организаций имеет годовую потребность в калийных удобрениях,
равную 960 т. Годовые затраты по хранению 1 т данного вида удобрений составляют 50 у.д.е. Затраты на подготовительно-заключительные
операции, связанные с каждой поставкой и не зависящие от величины
поставляемой партии, равняются 10 у.д.е.
Необходимо: 1) определить оптимальные параметры системы
управления запасами; 2) рассчитать коэффициент относительного увеличения затрат, если известна фактическая стратегия доставки партии
удобрений в количестве 15 т (имеется 3 специализированные автомашины по перевозке груза грузоподъемностью 5 т каждая).
Пример № 5. В рамках межобластного обмена молочными продуктами молочный комбинат одного из регионов поставляет молоко определенной жирности в тетрапакетах торговому предприятию другого
региона. Потребность магазина составляет 6000 пакетов молока долгосрочного хранения в квартал. Продукт доставляется на склад в контейнерных упаковках в количестве 100 шт. Затраты на заказ и оформление
поставки одной партии молока составляют 5 у.д.е. Среднеквартальные
издержки хранения одного пакета молока равны 0,4 у.д.е.
Требуется определить: 1) период поставки и общие среднеквартальные издержки склада на заказ и хранение молока; 2) экономичный
размер заказываемой партии молока, период поставки и ее количество,
а также среднеквартальные издержки склада на оформление и хранение молочного продукта в оптимальном режиме; 3) величину абсолютного увеличения фактических издержек по сравнению с оптималь-
17
ной стратегией управления запасами и коэффициент относительного
увеличения издержек.
Пример № 6. На овощесушильном заводе на одной линии соки нескольких видов разливаются в банки. Затраты на подготовительнозаключительные операции составляют 500 у.д.е., потребность в соках –
1700 условных банок в неделю, стоимость хранения единицы товара в
течение недели – 0,5 у.д.е.
Определить оптимальные параметры системы управления запасами.
Пример № 7. Организация райагротехсервиса заказывает в начале
каждой недели электроды для удовлетворения спроса на них (со стороны сельхозтоваропроизводителей) в количестве 300 упаковок. Фиксированная стоимость размещения заказа равна 20 у.д.е. Затраты по
хранению одной упаковки электродов обходятся организации райагротехсервиса в 0,21 у.д.е. в неделю.
Необходимо: 1) рассчитать недельные затраты обслуживающей организации, связанные с существующей стратегией создания запаса;
2) определить экономичный объем заказа в предположении, что время
от момента его размещения до реальной поставки равно нулю; 3) вычислить экономию средств, исходя из текущих недельных затрат райагротехсервисной организации и тех, которые определяются оптимальной стратегией управления запасами.
Пример № 8. Потребность моторемонтного завода в подшипниках
определенного типа составляет в среднем 20 ящиков в месяц. Товар
доставляется на склад в количестве 30 ящиков (исходя из заранее подписанных договоренностей). Затраты на поставку одной партии подшипников составляют 23 у.д.е. Среднемесячные издержки хранения
одного ящика подшипников равны 0,3 у.д.е.
Требуется определить: 1) период поставки и общие среднемесячные издержки склада, связанные с работой данной системы управления запасами; 2) оптимальный размер заказываемой партии подшипников определенного типа, оптимальный период поставки и среднемесячные затраты склада на доставку и хранение подшипников в оптимальном режиме; 3) величину абсолютного увеличения общих издержек по сравнению с оптимальным режимом и коэффициент относительного увеличения затрат.
Пример № 9. На железнодорожную станцию поставляют вагоны с
торфобрикетом в количестве 2200 т. В течение суток потребители
успевают забрать 400 т топлива. Накладные расходы по доставке пар-
18
тии груза равны 900 у.д.е. Издержки хранения 1 т торфобрикета за
сутки составляют 0,2 у.д.е.
Определить оптимальный размер заказываемой партии и расчетные
характеристики работы системы в оптимальном режиме.
Модель Уилсона может быть широко использована при расчете
оптимальной партии запуска продукции в производство. В этом случае K – издержки, связанные с переналадкой оборудования, не зависящие от величины выпускаемой партии; Q – величина партии запуска
(рис. 4).
I
Q
Размер партии
0
Выпуск
Использование
партии
Выпуск
Использование t
партии
Рис.4. Модель экономичного размера партии.
Пример № 10. Фабрика по производству сладостей выпускает партиями различные виды конфет. При переходе от выпуска одного вида
конфет к другому предприятие несет издержки из-за переналадок, которые составляют 50 у.д.е. Интенсивность потребления, т.е. средний
объем продаваемых конфет, составляет 4 т в декаду. Издержки, связанные с хранением 1 т конфет за данный период, составляют 0,8 у.д.е.
Определить оптимальный объем запускаемой в производство партии конфет.
Пример № 11. Один из цехов райагропромтехники для восстановления и ремонта валов отбора мощности занимается выпуском различных типов заготовок (партиями) на одном и том же оборудовании. При
переходе от производства одного вида заготовок к другому цех несет
затраты от переналадок оборудования, которые равны 30 у.д.е. Средняя потребность в заготовках каждого типа составляет 300 шт. в год,
себестоимость изготовления единицы производимой продукции –
80 у.д.е. Издержки на хранение изделий составляют 2% от стоимости
складируемой продукции.
Используя приведенную информацию, необходимо найти: 1) издержки содержания единицы продукции за год; 2) оптимальную пар-
19
тию выпуска заготовок; 3) периодичность запуска и среднегодовые
издержки работы системы, связанной как с выпуском, так и с содержанием запасов и переналадками.
П р и м е ч а н и е. Среднегодовые издержки работы системы можно также найти по
формуле
L*  p  (  i  Q* ) ,
где р – стоимость (себестоимость) единицы изделия;
 – интенсивность потребления; i – коэффициент издержек хранения запасов.
В простейших моделях спрос считается непрерывной величиной.
Рассмотрим математическую модель, когда требования дискретны, а
на размер партии налагается условие положительности и целочисленности. В такой задаче оптимальный размер партии поставки будет
иметь следующий вид:
1
1 2  K  
Q*   

,
4
S 
 2
где число в квадратных скобках – наибольшее целое число, не превосходящее Q . В случае, если
1
1 2 K 
1
1 2 K 
Q1   


и Q2  
– целые числа, то оп2
4
S
2
4
S
тимальных решений два: Q1*  Q1 и Q2*  Q2 .
Пример № 12. Специализированный завод поставляет организации
агросервисного обслуживания станки. Средняя потребность в них –
3 единицы в квартал. Стоимость организации заказа равна 40 у.д.е.,
издержки содержания составляют 8 у.д.е. за станко-квартал.
Считая, что оптимальный размер партии станков должен быть целочисленным, необходимо: 1) определить оптимальную партию; 2)
найти оптимальный интервал между поставками; 3) рассчитать
наименьшие суммарные затраты работы системы.
1.3. Модель с конечной интенсивностью поступления заказа
Для ряда предприятий АПК характерны ситуации, когда держатель
запасов одновременно является и поставщиком. Например, моторемонтный завод при сборке использует специальные детали, которые на
нем же и производятся. Допустим, что на некотором станке производится партия деталей, часть которых сразу же используется на другом
станке, имеющем более низкую производительность. Оставшаяся
часть деталей находится в запасе до тех пор, пока эти изделия не понадобятся для работы. В данном случае происходит не единовременное
пополнение запаса, а следующее допущение: запас равномерно возрас20
тает в течение периода работы первого станка, а затем, по мере использования запасов для работы второго станка, начинает убывать.
Система с конечной интенсивностью поступления заказа (или модель
производственных поставок) может работать без дефицита, если интенсивность поставок (производительность, норма выпуска)  превосходит интенсивность потребления (спрос)  (рис. 5). Издержки
рассматриваемой системы в единицу времени составляют:
K Q

Ñ
  S (1  ) .
Q
2

I
Q
t1
0
t2
t1
t2
Выпуск Использование Выпуск
Использование
и использование
и использование
t
Рис. 5. Изменение уровня запасов в модели выпуска партии продукции.
Оптимальные параметры работы системы находят следующим образом:
величина оптимальной партии Q* 
2  K 
S  (1 

)

;
оптимальные периоды возобновления заказа: t* 
2K

 1 ;
S

минимальные издержки в единицу времени
t1* 
Q*

,
t2* 
*
Ñmin
 2 KS  1 
21

.

2K

S
1

1

,
Задача 2. Открытое акционерное общество «Райагротехснаб» выполняет работы по регулированию и ремонту форсунок, расточке и
шлифовке коленчатых валов, а также оказывает другие услуги для
сельскохозяйственных товаропроизводителей. В ремонтной мастерской общества на некотором станке производятся детали в количестве
1000 единиц в месяц. Они используются для выпуска продукции на
другом станке с производительностью 250 единиц в месяц. Оставшиеся детали образуют запас и поступают на специальный склад. Фиксированные издержки по организации производственного цикла, т.е. затраты на производство одной партии изделий, равны 500 у.д.е. По
оценкам специалистов планово-учетного отдела стоимость выпуска
одной детали равна 1,25 у.д.е., а издержки хранения составляют 20%
средней стоимости запасов в год.
Определить: 1) каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке; 2) как следует организовывать циклы для
производства деталей; 3) если бы можно было снизить фиксированные
затраты на производство одной партии деталей до 180 у.д.е., какой
будет оптимальный размер партии и насколько снизятся издержки системы.
Решение. Найдем величину оптимальной партии:
Q* 
2  K 

S  (1  )


2  500  3000
 4000 деталей.
3000
1,25  0,2  (1 
)
12000
*
Рассчитаем оптимальное время накопления запаса t1 (в течение
этого периода детали одновременно и поступают, и потребляются) и
оптимальное время расхода запаса
Q*
t 2* :
4000
 0,333 года;
 12000
2 K

2  500
3000
t2* 
 1 
 1
 1 год.
S 

0,25  3000
12000
Оптимальный период возобновления заказа
t1* 
t* 
2 K

S 
1

1



2  500

0,25  3000
1
3000
1
12000
 1,33 года
или же t *  t1*  t2*  0,33  1  1,33 года.
22
Если затраты на наладку производства одной партии деталей снизятся до 180 у.д.е., то оптимальный размер выпуска составит:
2  180  3000
 2400 шт. в год.
3000
0,25  (1 
)
12000
Минимальные издержки системы в единицу времени находим по
формуле
Q* 
*
Ñmin
 2  K  S   1 

.

Тогда
C1*  2  500  0,25  3000  1 
3000
 750 ó.ä.å.;
12000
C2*  2  180  0,25  3000  1 
3000
 450 ó.ä.å.
12000
Следовательно, затраты при втором варианте снизятся по сравнению с первым на 300 у.д.е. Становится понятным, что в таких задачах,
когда интенсивность поставок значительно выше интенсивности по
требления (  0 ), будем иметь обычную базовую модель Уилсона.

Пример № 13. Специализированный цех предприятия по сервисному обслуживанию машинно-тракторного парка организаций сельского хозяйства занимается производством различных видов запасных
частей, выпуск которых налажен партиями на одном и том же оборудовании. Спрос (интенсивность потребления) на каждый их вид заранее известен и составляет 152 упаковки в месяц. Фиксированные издержки переналадки (связаны с определенной перестройкой оборудования при переходе от выпуска одного вида запасных частей к другому) равны 162 у.д.е. Содержание одной упаковки запасных частей на
складе обходится агропромтехнике в 76 у.д.е. в месяц. Мощность производства цеха составляет 800 упаковок в месяц.
Требуется определить оптимальный размер партии производства
каждого вида запасных частей и среднемесячные издержки, связанные
с переналадками и содержанием продукции исходя из того, что дефицит запаса на складе цеха не допускается.
23
1.4. Модели управления запасом с дефицитом
Q–у
Рассмотрим задачи, где предусматриваются регулярные периоды, в
течение которых запас отсутствует. В первом случае возможна ситуация, когда в условиях дефицита поступающие требования берутся на
учет. Впоследствии после получения новых поставок удовлетворяется
задолженный спрос, а затем пополняется запас и выполняются вновь
поступившие заказы покупателей (рис. 6).
I
t1
t2
t
у
0
Рис. 6. Изменение запасов при возникновении дефицита
(неудовлетворенные требования ставятся на учет).
На рис. 6 Q – партия поставки; у – максимальная величина задолженного спроса (максимальный уровень дефицита); t1 – время существования наличного запаса, t2 – период дефицита (заштрихован).
Максимальная величина наличного запаса в системе будет равна
Q  y . Обозначим d убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в
единицу времени (в других случаях затраты на штраф).
В рассматриваемой постановке задачи средние издержки работы в
единицу времени
K 
(Q  y) 2
y2
.
S
d
Q
2Q
2Q
Отсюда оптимальные параметры системы будут равны:
оптимальный размер партии поставки
2 K 
S
Q* 
 1 ;
S
d
максимальная величина дефицита
C
24
y* 
2  K 

S
S
d
1
;
S
1
d
максимальная величина наличного запаса
Y *  Q*  y * 
2  K 

S
1
S
1
d
;
время существования наличного запаса
t1* 
Y*

2 K

S 

1
1
S
d
;
время дефицита
t2* 
y*

S 2 K


d
S 

1
S
1
d
;
оптимальная величина цикла
2 K
S
 1 ;
S 
d
минимальные издержки системы в единицу времени
t *  t1*  t2* 
*
Ñmin

Q*


2  K  S  
1
.
S
1
d
Задача 3. База снабжения организации по материально-техническому обеспечению АПК занимается продажей различных товаров для
сельхозтоваропроизводителей. Спрос на такую продукцию, как муфты
сцепления, составляет 1800 единиц и равномерно распределяется в
течение года. Закупка товара производится у непосредственного производителя (специализированного завода), а издержки по размещению
заказа равны 40 у.д.е. Затраты, связанные с хранением данной запасной части, за год равны 7 у.д.е. Сельскохозяйственные организации, по
мере необходимости, делают заявку на поставку муфт сцепления. Если
на базе снабжения в момент подачи заявки нет данного товара, то требование ставится на учет и удовлетворяется по мере поступления на
склад обслуживающей организации. Между организацией по матери-
25
ально-техническому обеспечению АПК и сельскохозяйственными
предприятиями заключен договор о том, что за доставку товаров позже
необходимого срока уплачивается штраф. Его величина составляет
3 у.д.е. в год за одну муфту сцепления.
Необходимо определить: 1) величину оптимального размера заказа
муфт сцепления у специализированного завода; 2) максимальную величину задолженного спроса; 3) максимальную величину наличного
запаса; 4) периоды существования запаса и дефицита, а также продолжительность цикла; 5) среднегодовые издержки работы системы.
Решение. Оптимальный размер партии поставки
2K  
S
2  40  1800
7
 1 
 1   262 .
S
d
7
3
Максимальная величина дефицита составит:
Q* 
y* 
S
d
2  K 

S
1

7 2  40  1800


3
7
S
1
d
Максимальная величина наличного запаса
Y* 
2  K 

S
1
S
1
d

2  40  1800

7
1
7
1
3
1
7
1
3
 183 .
 79
или же
Y *  Q *  y*  262  183  79 деталей.
*
Время существования наличного запаса t1 и время дефицита
рассчитывают так:
Y*
79
t1* 

 0,0439 (года), т.е. 16 дн.;
 1800
y * 183
t2* 

 0,1017 (года), т.е. 37 дн.
 1800
Следовательно, оптимальная величина цикла
t*  t1*  t2*  16  37  53 äí.
Q*
t 2*
262
 0,1456 ãîäà, ò.å. 53 äí.
1800
Издержки (минимальные затраты), связанные с заказом и хранением товара, при условии, что дефицит допустим (при оптимальных параметрах системы), равны:
или же
t* 


26
*
Ñmin
 2  K  S  
1
 2  40 1800  7 
1
 550 у.д.е.
S
7
1
1
d
3
Если дефицит недопустим, то величина партии составит:
2  40 1800
Q
 143 шт.
7
При такой системе поставок величина издержек
40 1800 7 143
C 

 1004 у.д.е.
143
2
Таким образом, если база снабжения будет использовать модель
планирования дефицита, экономия составит 454 у.д.е. (1004–550).
Пример № 14. Коммерческая фирма, выступающая в качестве посредника, обязуется продавать райагросервисной организации, занимающейся восстановлением двигателей, коленчатые валы. Согласно
заключенному контракту фирма должна ежедневно обеспечивать агросервисную организацию данными запасными частями в количестве
5 шт. В одном из пунктов контракта записано то, что за просроченный
день в поставке коленчатого вала коммерческая фирма выплачивает
организации штраф в размере 1 у.д.е. Издержки размещения заказа
(организационные затраты) обходятся фирме в 250 у.д.е. Специалисты
планово-аналитической службы рассчитали, что затраты по хранению
одного коленчатого вала составляют 0,15 у.д.е. в день. Руководство
фирмы решает закупать коленчатые валы на свой склад партиями по
60 шт. в каждой.
Необходимо: 1) рассчитав оптимальный размер партии поставки
деталей, внести руководству свои предложения; 2) определить оптимальную продолжительность цикла и соответствующий уровень запасов, который находится на складе в начале каждого периода; 3) найти
суммарные издержки при оптимальной политике управления запасами.
Во втором случае возможна ситуация, когда в условиях дефицита
поступающие и неудовлетворенные требования теряются. Изменение уровней запасов в такой системе показано на рис. 7.
В интервале t1 имеется наличный запас, здесь требования удовлетворяются полностью. В интервале t2 существует дефицит, запас равен
нулю, требования не удовлетворяются и не ставятся на учет. Из-за дефицита система несет убытки. В простейшем случае его издержки счи-
27
таются пропорциональными средней величине потерянных требований
и времени t2, когда в системе в течение цикла имеется дефицит.
I
Q
0
t1
t2
t
Рис. 7. Изменение запасов при возникновении дефицита
(в случае потери неудовлетворенных требований).
Задача 4. Годовая потребность райагропромтехники в профтрубах
(размер 20 × 20 мм) составляет 150 т. В соответствии с техническими
требованиями в случае необходимости профильная труба размером
20 × 20 мм может быть заменена профтрубой размером 25 × 25 мм,
цена которой за единицу на 10 у.д.е. больше. Транспортнозаготовительные расходы агросервисной организации по размещению
одного заказа равны 16 у.д.е., годовые издержки по хранению 1 т материала – 7 у.д.е.
Требуется определить оптимальные параметры работы системы.
Решение. Поскольку во время отсутствия необходимого вида
профтрубы для изготовления продукции и ремонта используется другой, более дорогой ее аналог, то в задаче речь идет о системе с потерей
неудовлетворенных требований. Рассчитаем оптимальную величину
партии поставок:
Q* 
2  K 

S
1

2  16  150

7
1
S
7
1
1
d
10
Такая партия расходуется за время
Q * 20
t1* 

 0,133 года ≈ 49 дн.
 150
Определим длину цикла:
28
 20 т.
t* 
2 K
S
 1 
S 
d
2  16
7
 1
 0,228 ãîäà  83 äí.
7  150
10
В течение цикла более дорогой вид профтрубы используется для
*
изготовления продукции и ремонта 34 дня ( t 2 =83–49). Отношение
времени содержания запаса ко времени дефицита может быть представлено в следующем виде:
t1*
d
,
S
т.е. время существования наличного запаса так относится ко времени
дефицита, как удельные издержки дефицита – к удельным издержкам
содержания.
Рассчитаем годовые затраты системы:
t2*
*
Ñmin
 2  K  S   1 

S
7
 2  16  7  150  1 
 239 ó.ä.å.
d
10
Если бы дефицит не допускался, то величина партии была бы
2  16  150
 26 т.
7
Затраты при этом были бы меньше:
больше и составляла: Q 
C  2 16 150  7  183 у.д.е.
Следовательно, в случае потери неудовлетворенных требований
дефицит ведет к увеличению издержек.
Пример № 15. Перерабатывающее предприятие в дополнение к основной продукции выпускает побочную того же назначения, что и основная. Среднегодовой спрос на побочную продукцию составляет
810 шт. Издержки переналадки оборудования равны 150 у.д.е., годовые затраты на хранение каждой единицы товара – 28 у.д.е. Неудовлетворенные требования теряются, а удельные издержки дефицита равны
89 у.д.е.
Необходимо найти: 1) оптимальную величину выпускаемой партии; 2) время производства партии продукции, время между выпуском
партий (длину цикла), время дефицита; 3) издержки работы системы в
течение года; 4) оптимальные параметры работы системы без дефицита.
В некоторых случаях математическая модель оптимальной партии поставки с учетом неудовлетворенных требований может
29
иметь обобщенный вид (если учитывать постоянную интенсивность
спроса  и поступления  ). Допуская существование дефицита в такой системе управления запасами, график изменения их уровня представим на рис. 8.
I
t1
t2
t3 t4
0
t
Рис. 8. Изменение запасов при возникновении дефицита (обобщенная модель).
На рис. 8 t1 – время возрастания запаса; t2 – время, в течение которого уровень запаса понижается до нуля; t3 – время роста дефицита;
t4 – время, в течение которого дефицит ликвидируется.
В рассматриваемой постановке задачи удельные издержки функционирования системы

1
K  S
  Q.
C
 
Q
2 1 S
d
Оптимальные параметры системы будут равны:
оптимальный размер партии поставки
Q 
*
S
1
2  K 
d

;

S
1

максимальная величина дефицита

1
S
2

K


;
y *    t3* 

S
d
S
1
d
максимальный уровень наличных запасов
30

1
2

K


;
Y *    t2* 

S
S
1
d
время возрастания запасов
t1* 
Q*
1

 1 S
d
время снижения запасов до нуля
t2* 
Q
*

1
;

;
 1 S
d
время накопления невыполненных заказов

 S;
t3* 

 1 S d
d
Q*
1
время для ликвидации дефицита
Q* 1 S
t  
 ;
 1 S d
d
*
4
оптимальный период возобновления запасов
t *  t1*  t2*  t3*  t4* или
t* 
Q
*

1
S
d ;
2 K


S 
1
d

время, затраченное на производство партии,
Q*
*
*
 t1*  t4* ;
или tïð
tïð


31
минимальные затраты работы системы в единицу времени
*
С min

2  K  S  
1

 .
1
S
d
Задача 5. Одно из предприятий производит для мотороремонтного
завода системы агроснаба форсунки. Так как завод восстанавливает
двигатели для различных марок тракторов, то предприятие выпускает
форсунки четырех типов партиями. Производительность линии для
производства деталей составляет 3000 единиц за неделю. Средний
объем потребления каждого вида форсунок равен 600 шт. за неделю.
Стоимость переналадки оборудования при переходе от выпуска одного
типа деталей к другому составляет 120 у.д.е., а издержки по хранению
одной форсунки – 0,02 у.д.е. в неделю. Неудовлетворенные заявки по
поставке форсунок берутся на учет, однако удельные издержки дефицита (снижение объемов продаж, определенная утрата доверия покупателя) равны 0,12 у.д.е. за форсунку в неделю.
Необходимо найти оптимальные параметры работы системы
управления запасами.
Решение. Рассчитаем оптимальную партию выпуска деталей:
Q* 
0,02
1
2  120  600
0,12

 3240 шт.
600
0,02
1
3000
t1* , снижения запасов до нуля
t 2* , накопления невыполненных заказов t 3* , ликвидации дефицита t 4* :
Найдем время возрастания запасов
3240
1

 0,926 нед;
3000 1  0,02
0,12
600
1
3240
*
3000
t2 

 3,703 нед;
600 1  0,02
0,12
t1* 
32
600
1
3240
0,02
3000



 0,617 нед;
600 1  0,02 0,12
0,12
3240
1
0,02
t4* 


 0,154 нед.
3000 1  0,02 0,12
0,12
Оптимальный период возобновления запасов (продолжительность
цикла)
t3*
t *  t1*  t2*  t3*  t4*  0,926  3,703  0,617  0,154  5,4 íåä
или же t * 
Q*


3240
 5,4 íåä.
600
Время, затраченное на производство партии, рассчитывается следующим образом:
*
tïð
 t1*  t4*  0,926  0,154  1,08 íåä èëè æå
Q*
3240
 1,08 íåä.

3000
Максимальная величина дефицита y * и максимальный уровень
наличных запасов Y * определяем по следующим формулам:
y*    t3*  600  0,617  370 ôîðñóíîê;
*
tïð


Y *    t2*  600  3,703  2222 äåòàëè.
Минимальные затраты работы системы в единицу времени (неделю)
600
1
*
3000  44 ó.ä.å.
Ñmin  2  120  0,02  600 
0,02
1
0,12
1.5. Модели с определением точки заказа
Для обеспечения бесперебойного снабжения в некоторых случаях
следует также учитывать срок выполнения заказа L, т.е. время от момента размещения заказа до момента появления товара у потребителя.
Из-за того, что пополнение запаса не всегда может происходить мгно-
33
венно (как предполагалось ранее), в отдельных задачах существует
положительный срок выполнения заказа L (временное запаздывание)
от момента его размещения до реальной поставки, как показано на
рис. 9. В этой ситуации точка возобновления заказа имеет место, когда
уровень запаса опускается до r = L единиц. Точка заказа r есть минимальный уровень наличных запасов, при котором необходимо разместить новый заказ, чтобы избежать дефицита.
I
Точки возобновления заказа
Q*
0
L
L
t
Рис. 9. Изменение запасов при учете времени их доставки.
На рис. 9 представлено изменение уровня запаса во времени в
предположении, что срок выполнения заказа L меньше продолжительности цикла заказа (оптимального интервала времени между поставками) t*.
Задача 6. Торговый отдел агротехсервисного предприятия реализует 2000 электродвигателей в год. Величина спроса равномерно распределяется в течение указанного периода. Каждый электродвигатель
стоит 150 у.д.е. Согласно экономическим расчетам стоимость одного
заказа составляет 50 у.д.е. в виде административных и постоянных
транспортных расходов. Время доставки заказа от поставщика – 3 рабочих дня. По оценкам специалистов издержки хранения составляют
15% среднегодовой стоимости запасов. Предполагается, что торговый
отдел работает 300 дн. в году.
Требуется определить: 1) оптимальную партию поставки электродвигателей; 2) оптимальный интервал между поставками (длину цикла); 3) точку размещения заказа (уровень повторного заказа); 4) моменты размещения заказов, если известно, что запас электродвигателей на начало года составляет 60 шт.
34
Решение. По формуле Уилсона найдем оптимальный размер партии:
Q* 
2  50  2000 = 94 электродвигателя.
150  0,15
Оптимальная длина цикла
94
t* 
 0,047 ãîäà  14 äí.
2000
Так как срок выполнения заказа (L = 3) меньше длины цикла (t* =
= 14), то точка размещения заказа (учитывая, что 3 дня составляет
0,01 года) равна: r  L   0,01  2000  20 шт. Следовательно, очередной заказ необходимо подавать, когда в торговом отделе на складе
останется 20 электродвигателей.
В общем случае заказы следует размещать в моменты:
tk  (
I0

 L)  k  t * , k =0,1,2…
Таким образом, первый заказ необходимо сделать в момент
60
t0  (
 0,01)  0,02 (года) = 6 дн., следующий – в момент
2000
60
t1  (
 0,01)  1  0,047 , т.е. 20 дн. и т.д.
2000
В некоторых задачах срок выполнения заказа L больше продолжительности цикла заказа. Тогда находят эффективный срок Le выполнения заказа:
Le  L  m  t * ,
где m – наибольшее целое, не превышающее
L
.
t*
Стратегия управления запасами при этом формулируется следующим образом: заказывать Q * единиц продукции, как только уровень
запаса снижается до Le   единиц.
При подобной постановке задачи можно также выделить следующие этапы модели с определением точки заказа:
а) нахождение оптимального размера партии поставки ( Q * ) по
формуле Уилсона и расчет оптимального интервала (t*); б) нахождение
точки размещения заказа:
35
L
r  L    *   Q* ,
t 
где [  ] – целая часть числа [  ]; в) нахождение минимального начального запаса: I mi n  L  ; г) расчет минимальных суммарных издер*
жек системы (Ñmin
).
Задача 7. Завод производит сельскохозяйственную технику для поставок на рынки ближнего зарубежья. Для этих целей он имеет потребность в комплектующих изделиях в количестве 90 шт. в день.
Подразделение, занимающееся коммерческими операциями, заказывает эти изделия с определенной периодичностью. Стоимость размещения заказа на поставку комплектующих составляет 90 у.д.е. Расходы
на хранение изделий на складе оцениваются в 0,02 у.д.е. в день. Срок
выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки
равен 17 дн. Требуется определить оптимальную стратегию заказа
комплектующих изделий.
Решение. В данной задаче оптимальный объем заказа
2K 
2  90  90
Q 

 900,
S
0,02
Q
900
 10 .
90
Так как срок выполнения заказа (L = 17 дн.) превышает продолжительность цикла t* = 10, поэтому необходимо вычислить Le . Число
целых циклов, заключенных в L , равно:
L
17
m = (наибольшее целое   ) = (наибольшее целое  )  1 .
10
t
Таким образом, Le = L – m t* = 17 – 110 = 7 дн. Поэтому точка повторного заказа имеет место при уровне запаса:
Le  = 790 = 630 изделий.
Для нахождения точки размещения заказа воспользуемся другой
формулой:
17 
r  17  90     900  1530  1  900  630 .
10 
Оптимальная стратегия заказа комплектующих изделий может
быть сформулирована так: необходимо заказать 900 изделий, как только уровень их запаса уменьшается до 630 шт.
длина цикла
t 


36
В данной задаче для обеспечения бездефицитной работы необходимо иметь минимальный начальный запас, величина которого
I 0  L   = 1530.
Дневные расходы, связанные с содержанием запаса в соответствии
с оптимальной стратегией, равны:

Cmin
 S  Q   0,02  900  18 ó.ä.å.
Пример № 16. Коммерческая фирма, занимающаяся внешнеторговыми операциями, хранит на складе импортные вентиляторы для поставки их районным агропромтехснабам. Интенсивность потребления
одного товара обусловлена планом проведения ремонтновосстановительных работ обслуживающих организаций и составляет
80 единиц в день. За размещение заказа коммерческая фирма каждый
раз платит 10 у.д.е. Стоимость хранения единицы продукции на складе
обходится в 0,42 у.д.е. в неделю или 0,06 у.д.е. за день. Необходимо
определить оптимальную стратегию управления запасами, если предположить, что время выполнения заказа от момента его размещения до
поставки равно 5 дн.
Рассмотрим определение оптимальной точки заказа в модели с конечной интенсивностью поступления заказа, т.е. в модели производственных поставок. Оптимальная точка заказа определяется следующим образом (два случая):
L * *
L
 t  t 2 , то r  L   *   Q* ;
*
t 
t 
L * *
2) если L   *   t  t 2 , то
t 
1) если L  
 L     
r  L(   )    *   1    1  Q* .
 t     
Задача 8. Для ремонта топливных насосов УТН-5 агропромтехнике
требуется 360 узлов в квартал. Необходимые узлы, которые используются в ремонтно-сборочной линии обслуживающей организации,
можно производить собственными силами в объеме 600 шт. за квартал.
Затраты на наладку производства данного узла (каждого нового производственного цикла) составляют 200 у.д.е. Квартальные расходы на
хранение и поддержание изделия в нужном состоянии – 3 у.д.е. Время
реализации заказа (от подачи заявки до выхода готовой продукции)
37
составляет: а) 30 дней; б) 60 дней. Определить минимальный уровень
запасов, при котором необходимо разместить новый заказ.
Решение. Найдем величину оптимальной партии или размер про2  200  360
 346 узлов.
360
3  (1 
600
Определим оптимальное время расхода запаса:
изводственного заказа: Q* 
t 2* 
2  200
360
 1
 0,385 êâàðòàëà  35 äí.
3  360
600
Рассчитаем оптимальный период возобновления заказа:
t* 
2  200

3  360
1
 0,962 квартала ≈ 87 дн.
360
600
Рассматривая период L = 30 дн., что составляет 0,333 квартала,
 0,333 
имеем: 0,333  
  0,962  0,385 .
 0,962 
1
 0,333 
L
Тогда r  L       Q*  0,333  360  
  346  120 .
t
*
 
 0,962 
В случае, если L=60 дн., т.е. 0,667 квартала, имеем:
 0,667 
0,667  
  0,962  0,385.
 0,962 
 L
 

 1    1  Q*  0,667(360 


  t *
 
Тогда r  L  (   )   

  0,667    600

 600)   
 1  
 1  346  71 óçåë.


  0,962    360
Пример № 17. Взяв условия примера 13, внести дополнение: срок
выполнения заказа – 3 дн. Определить оптимальную точку заказа для
данной системы управления запасами.
Изучим определение оптимальной точки заказа для системы с
учетом неудовлетворенных требований. В таких моделях изменение
запасов происходит в условиях возникновения дефицита (неудовлетворенные требования ставятся на учет). При этом значение r может
38
быть отрицательной величиной, т.е. заявки на выполнение запаса
должны посылаться, когда величина дефицита составляет
r.
Возьмем информацию задачи 3 и предположим, что время реализации заказа составляет 0,5 мес, т.е. 0,0417 года. Найдем точку возобновления заказа по следующей формуле:
L
r  L       Q *  y*  00417  1800 
 t *
 0,0417 

  262  183  108.
 0,1456 
Точка возобновления заказа – при дефиците 108 шт. муфт сцепления.
1.6. Модели с условием оптовой скидки
В некоторых случаях цена на какой-либо товар не является постоянной и может зависеть от объема покупки (при ярмарочной торговле,
международных аукционах) или размещенного заказа. Многие поставщики предлагают определенные скидки на большие заказы, т.е.
при оптовых закупках цены снижаются. Речь идет о том, что продукция может быть приобретена со скидкой, если объем заказа Q превышает некоторый фиксированный уровень g. Например, стоимость единицы продукции p (при двухуровневой системе скидок) определяется
следующим образом:
 p , åñëè Q  g
p 1
 p2 , åñëè Q  g ,
где p1  p2 .
При решении задачи и рассмотрении вопроса о том, пользоваться
или нет предлагаемыми скидками, необходимо рассчитать связанные с
этим дополнительные затраты и возможную экономию. Заказы на более крупные партии продукции могут: а) с одной стороны, повлечь за
собой увеличение стоимости запасов (стоимость заказов и издержки
хранения); б) с другой стороны, происходит своего рода компенсация
затрат за счет снижения закупочной цены.
Общие затраты в единицу времени, т.е. стоимость приобретения,
издержки на подготовку заказов и расходы на хранение, рассчитываются следующим образом:
39
K  Q

C1 (Q )    p1 
  S,Q  g

Q
2

C (Q )  
C (Q )    p  K    Q  S , Q  g .
2
 2
Q
2

Рассмотрим задачу, в которой приведен случай оптовой скидки,
назначающейся за каждую единицу закупаемого товара, если партия
превышает некоторую величину.
Задача 9. Организация, занимаясь сервисным обслуживанием машинно-тракторного парка, дополнительно специализируется на замене
масла в импортных автомобилях для индивидуальных владельцев. Ее
цех закупает автомобильное масло в большом количестве по 4 у.д.е. за
литр. За день специалисты могут обслужить примерно 60 автомобилей, на каждый из которых в среднем расходуется 3,1 л масла. Закупаемое масло хранится на складе, что обходится обслуживающей организации в 0,03 у.д.е. в день за один литр. Стоимость размещения заказа на партию масла составляет 30 у.д.е. Поставщик горюче-смазочных
материалов предлагает руководству организации снизить цену до 3,5
у.д.е. за литр при условии, что заказ на покупку масла составит более
900 литров. Требуется определить, следует ли агросервисной организации принимать данное предложение.
Решение. Продукция может быть приобретена со скидкой, т.е. по
цене p2 = 3,5 у.д.е. вместо цены p1 = 4 у.д.е., если объем заказа Q превысит некоторый фиксированный уровень g ( g  900 литров).
Найдем оптимальный размер партии:
Q
2  30  186
 610 ë.
0,03
В данной задаче необходимо сравнить затраты при выборе двух вариантов: а) заказывать 610 л масла; б) заказывать 900 л масла. Итак:
30  186 610
Ñ1 (610)  186  4 

 0,03  762 ó.ä.å.;
610
2
30  186 900
Ñ2 (900)  186  3,5 

 0,03  671 ó.ä.å.
900
2
Затраты при величине партии 900 л меньше, чем при величине партии 610 л. Следовательно, партия 900 л масла является оптимальной.
Рассмотрим алгоритм выбора оптимальной партии при
n-уровневой системе скидок. Если Qn* попадает в интервал предо-
40
ставления скидки, то это значение является оптимальной величиной
партии. Если Qn* не попадает в интервал предоставления скидки, то
интервалы рассматриваются в порядке убывания их номеров, и определяется наибольшее значение, попадающее в свой интервал.

Пусть Qn  Qk ; Qk 1 ) . Для определения оптимальной партии
*
C (Qk* ) , C (Qk*1 ) , C (Qk* 2 ) , …, C (Qk* ) ,
сравниваются затраты
C (Qn* ) , и по минимальной величине затрат определяется оптимальная
партия.
Задача 10. Организация по агросервисному обслуживанию приобретает каждый год 900 шт. запчастей, которые предназначены для плановой замены в ходе ремонта зерноочистительного оборудования
сельскохозяйственных предприятий. Стоимость единицы товара зависит от величины партии. Затраты на хранение единицы изделия равны
15% от средней стоимости запасов в год. Издержки на размещение
одного заказа в виде административных расходов составляют 10 у.д.е.
Данные о скидках представлены в табл. 1.
Т а б л и ц а 1. Информация по заказываемому товару
Размер заказа, шт.
Цена 1 шт., у.д.е.
70 –139
9
1– 69
11
140 и более
7
Требуется определить оптимальную стратегию управления запасами.
Решение. Вычислим оптимальный размер заказа при цене 7 у.д.е.:
2Ê
2  10  900
*
Q3 
S

7  0,15
 131.
Полученное значение не попадает в третий интервал предоставления скидки. Определим величину оптимальной партии при цене
9 у.д.е.:
Q2* 
2  10  900
 116.
9  0,15
Поскольку Q2*  70,139 , рассчитаем затраты.
41
Годовые затраты при таком размере заказа складываются из стоимости приобретения, расходов на хранение и подготовку заказов C2
( Q2* ):
116
900
900  9 
 1,35  10 
 8256 .
2
116
Среднегодовые издержки работы системы можно также найти по
формуле
L*  p  (  i  Q* ) ,
где i – коэффициент издержек хранения запасов:
9(900+0,15∙116)≈8256 у.д.е.
Рассчитаем затраты при условии размещения заказа на 140 единиц:
стоимость приобретения
  p3 = 9007 = 6300;
Q
140
расходы на хранение
S 
 7  0,15  74;
2
2

900
расходы на подготовку заказов
K   10 
 64.
Q
140
Общие годовые затраты будут равны 6300+74+64 = 6438. Следовательно, оптимальная стратегия управления запасами предполагает, что
затраты будут минимизированы при размещении заказов размером в
140 шт. запчастей.
1.7. Модели управления запасами при вероятностном спросе
Все рассмотренные ранее модели основывались на предположении,
что спрос является постоянным. Однако некоторые системы управления запасами содержат элемент неопределенности, так как спрос изменяется во времени, т.е. его среднее значение колеблется в течение
года. Учет вероятностной природы спроса предполагает существование постоянного резервного (буферного) запаса на протяжении всего
планового периода. Его размер устанавливается таким образом, чтобы
обеспечить колеблемость спроса и требуемый уровень обслуживания.
При этом исходят из того, что вероятность истощения запаса в течение
периода выполнения заказа (интервала между моментом размещения
заказа и его поставкой) не должна превышать наперед заданной величины.
Для данной модели экономичного размера заказа с учетом вероятностной природы спроса введем обозначения:
L – срок выполнения заказа;
42
ХL – случайная величина, представляющая величину спроса на протяжении срока выполнения заказа;
 L – средняя величина спроса на протяжении срока выполнения
заказа;
 L – среднеквадратическое отклонение величины спроса на протяжении срока выполнения заказа;
В – размер резервного запаса;
 – максимально возможное значение вероятности нехватки или
истощения запаса (дефицита) на протяжении срока выполнения заказа.
Основное предположение при построении модели заключается в
том, что величина спроса ХL на протяжении срока выполнения заказа L
является распределенной случайной величиной со средним  L и стандартным отклонением  L . При этом L должно быть равно эффективному времени выполнения заказа (Le).
Вероятностное условие, которое определяет размер резервного запаса В, имеет следующий вид:
РХ L  B   L    .
При этом важно знать, что любую нормально распределенную случайную величину можно привести к стандартному виду путем замены:
X  L
.
Z L
L
Величина спроса на протяжении срока выполнения заказа L обычно
описывается плотностью распределения вероятностей, отнесенной к
единице времени. В частности, если спрос за единицу времени является нормально распределенной случайной величиной со средним  и
стандартным отклонением  , то общий спрос на протяжении срока
выполнения заказа L будет иметь распределение N  L ,  L  , где
 L    Le
и  L   2  Le (формула для  L получена на основа-
нии того, что значение Le является целым числом или же округлено до
целого).
Задача 11. В задаче 7 дана информация об управлении запасом
комплектующих изделий. Ее решение показало, что экономичный размер заказа составляет 900 изделий. Требуется определить размер резервного запаса таким образом, чтобы вероятность истощения запаса
не превышала   0,05 . При этом соблюдается условие, что дневной
43
спрос является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием   90 комплектующих изделий и среднеквадратическим отклонением   9 шт., имея распределение N (90, 9).
Решение. Результаты задачи показывают, что экономичный размер
заказа составляет 900 изделий ( Q*  900 ), эффективное время выполнения заказа – 7 дн. (Le = 7). Рассчитаем
L
и
 L . Здесь L
= 907 =
= 630 шт.;  L  9 2  7  23,81 ед.
Из таблиц стандартного нормального распределения (при   0,05 )
X  630
 1,64 ) . Далее необходимо рассчитать ХL
находим Z ( Z  L
23,81
(ХL  669).
На рис. 10 показана точка ХL, обеспечивающая дефицит в течение
цикла заказа на уровне не более 0,05. Размер резервного запаса вычисляется так:
В  23,81  1,64  39 ед. комплектующих изделий.
5%
ХL
Рис. 10. Нормальное распределение.
Таким образом, оптимальная политика управления запасами с объемом резерва В=39 состоит в заказе 900 комплектующих изделий, как
только объем запаса уменьшается до 669 ед.
Пример № 18.Торговый отдел организации по агрохимическому
обслуживанию АПК реализует для населения химические средства для
обработки сельхозкультур. Дневной спрос на препарат является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 50 шт. и среднеквадратическим отклонением 5 ед. Стоимость
хранения химического препарата на складе торгового отдела составляет 0,05 у.д.е. в день. Размещение нового заказа каждый раз обходится
организации по агрохимическому обслуживанию АПК в 45 у.д.е. По44
ставщик обычно устанавливает восьмидневный срок выполнения заказа. Руководство организации хочет ограничить вероятность истощения
запаса препаратов на протяжении срока выполнения заказа величиной,
не превышающей 0,05.
Определить оптимальное управление запасами для торгового отдела организации по агрохимическому обслуживанию АПК.
Рассмотрим более усложненную модель экономичного размера заказа, в которой вероятностная природа спроса учитывается непосредственно в постановке задачи. В ней заказ размером Q размещается тогда, когда объем запаса достигает значения R. Уровень R,при котором снова размещается заказ, является функцией периода времени
между размещением заказа и его выполнением. В модели приняты
следующие допущения:
– неудовлетворенный спрос в течение срока выполнения заказа
накапливается; разрешается не более одного невыполненного заказа;
распределение спроса в течение срока выполнения заказа является
неизменным во времени.
Для данной модели введем дополнительные обозначения:
f x – плотность распределения спроса х в течение срока выполнения заказа;
d – удельные потери от неудовлетворенного спроса (на единицу
продукции за единицу времени).
Рассмотрим расчет элементов, которые входят в целевую функцию
данной задачи. Затраты на размещение заказа в единицу времени, как

было показано в предыдущих моделях, равны K  .
Q
 
Стоимость хранения запасов за единицу времени составляет I  S .
При этом средний уровень запаса
(Q  M R  x)  M R  x Q
I 

 R  M x .
2
2
Приведенная формула получена в результате усреднения ожидаемых запасов в начале и конце временного цикла. При этом игнорируется случай, когда значение величины R  M x отрицательно, что
является одним из допущений задачи.
Определим ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным
спросом. Дефицит возникает при x  R . Значит, ожидаемый дефицит
45

за единицу времени составит Ô 
 x  R  f x  dx .
Потери за один
R
цикл, связанные с неудовлетворенным спросом, равны dФ. Поскольку
единица времени содержит

циклов, то ожидаемые потери, обуQ
словленные дефицитом, составляют:
d   Ô
.
Q
Таким образом, целевая функция общих затрат будет иметь следующий вид:
C  K


Q
 d 
 S   R  M x 
( x  R) f x dx .
Q
2
 Q R

Оптимальные значения Q* и R* определяются так:
Q* 
2   ( K  d  Ô )
;
S


R*
f x dx 
S  Q*
.
d 
При R=0 последние два уравнения соответственно дают следующее:
2   ( K  d  M x)  d 
Q
; Q
.
S
S

Если Q  Q , тогда существуют единственные оптимальные значения для Q и R. Вычислительная процедура определяет, что наимень-
2  Ê 
, которое достигается при Ф=0.
S
Задача 12. Районная служба агросервисного обслуживания занимается работами по ремонту техники для сельскохозяйственных организаций. Сварочный цех использует в производственном процессе электроды в количестве 1000 упаковок в месяц. Размещение заказа на новую поставку электродов обходится ремонтникам в 100 у.д.е. Стоимость хранения одной упаковки электродов на протяжении одного
месяца равна 2 у.д.е., а удельные потери от их дефицита – 10 у.д.е. за
одну упаковку. Статистические данные свидетельствуют о том, что
спрос в период поставки является случайной величиной, равномерно
шим значением Q* является
46
распределенной от 0 до 100 упаковок. Необходимо определить оптимальную стратегию управления запасами для агросервисной службы.
Решение. Обозначим имеющуюся информацию:  =1000 упаковок,
К = 100 у.д.е., S = 2 у.д.е., d = 10 у.д.е. за одну упаковку.
1
f x  
,0  x  100 , M x  = 50 упаковок.
100
Покажем алгоритм, который предполагает поиск допустимого ре
шения. Используя уравнения для Q , Q , получаем следующее:
2  1000  (100  10  50 )
 774 ,6 упаковки;
2
 10  1000
Q
 5000 упаковок.
2

Так как Q  Q , существует единственное решение для Q* и R*.
Выражение для Ф записывается следующим образом:
Q
100
Ô

( x  R) 
R
1
R2
dx 
 R  50 .
100
200
Полученное значение подставим в предыдущие уравнения:
Qi 
2  1000  (100  10  Ô )
 100000  10000  Ô упаковок;
2
100
2  Qi
 100 dx  10 1000 .
1
Ri
Q
Из данного уравнения имеем Ri  100  i .
50
Для нахождения оптимального решения используем ряд последовательных итераций. На первом шаге выполняются следующие расчеты:
2  K 
2 100 1000
Qi 

 316 ,23 упаковки;
S
2
316 ,23
R1  100 
 93,68 упаковки.
50
Далее выполним операции второго шага:
R2
Ô  1  R1  50  0,19971 óïàêîâêè.
200
47
Тогда имеем:
Q2  100000  10000  0,19971  319 ,37 упаковки.
Следовательно:
319 ,37
R2  100 
 93,612 упаковки.
50
Аналогичные расчеты выполним на следующей итерации:
R22
 R2  50  0,20399 упаковки.
200
В этом случае имеем:
Ф
Q3  100000  10000  0,20399  319 ,44 упаковки;
319 ,44
R3  100 
 93,611 упаковки.
50
Алгоритм решения данной задачи предполагает завершение расчетов в случае Ri  Ri 1 . Так как значения R2 и R3 примерно одинаковы,
приближенное оптимальное решение определяется значениями
R*  93,61, Q*  319,4 . Таким образом, оптимальное управление
запасами состоит в размещении заказа примерно на 320 упаковок
электродов, как только запас уменьшается до 94 упаковок.
1.8. Модели управления многономенклатурными запасами
В практике АПК складские помещения агросервисных организаций
содержат множество товаров. Возникает потребность в рассмотрении
задач управления многономенклатурными запасами. Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада рассматривает задачу управления запасами N различных видов продукции,
которые хранятся на складе ограниченной вместимости. Особенность
модели в том, что товары конкурируют между собой за ограниченное
складское пространство.
При отсутствии дефицита математическая модель задачи имеет
следующий вид:
48
–
минимизировать
ограничении
N

i 1
C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) 
 K i   i S i  Qi


2
i 1  Qi
N





при
f i  Qi  F ,
где f i – необходимая площадь для хранения единицы товара вида i;
Qi – величина партии i-го вида товара;
F – максимальная площадь склада для хранения товаров n видов.
Решение задачи предполагает:
1) вычисление оптимальных объемов заказов без учета ограничения
по вместимости склада:
2 K i  i
, i  1,2,..., n ;
Si
2) проведение проверки: удовлетворяют ли найденные значения
*
Q i ограничению по вместимости склада. Если выполняются, расчет
Qi* 
завершен (при этом значения Qi* , i  1,2,...,n являются оптимальными).
Если нет, вычисления продолжаются;
3) ограничение по вместимости склада должно удовлетворяться в
форме равенства. Используется метод множителей Лагранжа для
определения оптимальных объемов заказа (для задачи с ограничением).
Функция Лагранжа:
 N

L( , Q1, Q2 ,..., Qn )  C (Q1 , Q2 ,..., Qn )   
f i Qi  F  


 i 1


 K i  i Si  Qi

 Q  2
i
i 1 
N


  0 – множитель Лагранжа.
 N


  
f i Qi  F ,




 i 1


Так как функция Лагранжа является выпуклой, оптимальные значения Qi и  находятся из следующих уравнений, которые представляют собой необходимые условия экстремума функции Лагранжа:
K  S
dL
  i 2 i  i    fi  0 ;
dQi
2
Qi
49
N

dL
  fiQi  F  0 .
d
i 1
Второе уравнение показывает, что ограничение по вместимости
склада в оптимальной точке должно удовлетворяться в форме равенства.
Из первого уравнения следует, что
2K i  i
.
Qi* 
S i  2*  f i
*
Полученная формула показывает, что Qi зависит от оптимального
значения
*
множителя Лагранжа. Кроме того, при *  0 значение
Qi* является решением задачи без ограничения.
Значение * может быть найдено следующим образом. Так как по
определению в поставленной выше задаче минимизации *  0 , нужно
последовательно уменьшать  на достаточно малую величину и использовать ее в данной формуле для расчета соответствующего значения Qi* . Искомое значение * приводит к значениям Qi* , i  1,2,..., n ,
которые соответствуют ограничению по вместимости склада в форме
равенства.
Задача 13. На склад агросервисной организации поступают товары
трех групп. Общая площадь склада равна 25 м2. Данные задачи приведены в табл. 2.
Т а б л и ц а 2. Параметры модели управления запасами
Товар
(i)
Стоимость
размещения
заказа, у.д.е.
(Ki)
Интенсивность спроса, шт. в
день (i )
Издержки хранения
единицы товара в
день, у.д.е. ( Si )
Необходимая
площадь для
единицы товара,
м2 ( fi )
1
2
3
10
5
15
2
4
4
0,3
0,1
0,2
1
1
1
Для решения задачи уменьшаем
лений приведем в табл. 3.
50

с шагом 0,1. Результаты вычис-
Т а б л и ц а 3. Расчетные данные задачи

n
Q1
Q2
Q3
 f Q F
i i
i 1
0
–0,1
–0,2
–0,3
–0,4
11,5
8,9
7,6
6,7
6,0
20,0
11,5
8,9
7,6
6,7
24,5
17,3
14,1
12,2
11,0
+31,0
+12,7
+5,6
+1,5
–1,3
Последний столбец показывает, что ограничение по вместимости
склада в форме равенства выполняется в интервале 0,3    0,4 .
Дальше можно использовать методы численного анализа для нахождения соответствующего значения  из указанного интервала. Опуская
расчеты, получаем *   0,345 . Таким образом, это дает следующие
оптимальные значения: Q1*  6,35 шт.; Q2*  7,11 шт.; Q3*  11,6 шт.
ЛИТЕРАТУРА
1. К о л е с н ё в, В.И. Экономико-математические методы и модели в коммерческой
деятельности предприятий АПК: учеб. пособие / В.И. Колеснёв. Минск: ИВЦ Минфина,
2009. 264 с.
2. К о л е с н ё в, В.И. Экономико-математические методы и модели. Практикум:
учеб. пособие / В.И. Колеснёв. Минск: ИВЦ Минфина, 2010. 273 с.
3. К о л е с н ё в, В.И. Экономико-математические методы и модели в материальнотехническом обеспечении АПК. Сборник задач : учеб. пособие / В.И. Колеснёв. Минск:
Дикта, 2008. 208 с.
4. С а к о в и ч, В.А. Исследование операций (детерминированные методы и модели) / В.А. Сакович. Минск: Вышэйш. шк., 1984. 256 с.
5. Экономико-математические методы и модели: практикум / С.Ф. Миксюк [и др.];
под. ред. С.Ф. Миксюк. Минск: БГЭУ, 2008. 311 с.
6. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Н.И.Холод [и др.];
под общ. ред. А.В. Кузнецова. 2-е изд. Минск: БГЭУ, 2000. 412 с.
7. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / С.Ф. Миксюк
[и др.]; под общ. ред. С.Ф. Миксюк, В.Н. Комкова. Минск: БГЭУ, 2006. 219 с.
8. Экономико-математические методы и прикладные модели: учеб. пособие / под
ред. В.В. Федосеева. М., 2000. 391 с.
9. Ю ф е р е в а, О.Д. Экономико-математические методы и модели: сб. задач /
О.Д. Юферева. Минск: БГЭУ, 2002. 103 с.
51
Учебно-методическое издание
Виктор Иванович Колеснёв
ЭКОНОМЕТРИКА И ЭММ: МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Методические указания для выполнения практических работ
Редактор Е.А. Юрченко
Техн. редактор Н.К. Шапрунова
Корректор А.М. Павлова
ЛИ №348 от 16.06.2009. Подписано в печать
.2010.
Формат 60841/16. Бумага для множительных аппаратов.
Печать ризографическая. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 2,79. Уч.- изд. л. 2,65.
Тираж 100 экз. Заказ
. Цена 3 660 руб.
Редакционно-издательский отдел БГСХА
213407, г. Горки Могилевской обл., ул. Студенческая, 2
Отпечатано в отделе издания учебно-методической литературы, ризографии
и художественно-оформительской деятельности БГСХА
г. Горки, ул. Мичурина, 5
52