Panchenko-17-Difrakcija-SH-Poluprostr

УДК 004.652, 539.3
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕКРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ В
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СТАЦИОНАРНЫХ SH-ВОЛН
Б.Е. Панченко
Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАНУ
[email protected]
Для оценочного исследования задачи управления механическими характеристиками системы некруговых
отверстий в полупространстве со свободной границей может быть применен метод численного интерполирования
высокоточных результатов решения прямой задачи. В работе предложен и исследован параллельный алгоритм
численного решения прямой стационарной динамической задачи теории упругости о взаимодействии SH-волн с
системой отверстий произвольного поперечного сечения, находящейся в полупространстве с границей, свободной от
сил. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений, которая решается численно. Схема параллельных
вычислений позволила исследовать ситуации с большим числом отражающих отверстий. Приведены новые численные
результаты.
Введение
Решение обратных задач механики сплошных сред, к которым сводятся задачи
управления механическими характеристиками динамических систем с усложненными
свойствами, как правило, сопряжено с очень трудоемкими аналитическими процедурами и
ресурсоемкими вычислительными алгоритмами. К тому же, при определении, например,
оптимальных геометрических характеристик системы отверстий в изотропном
полупространстве при воздействии стационарных динамических нагрузок так, чтобы
максимальные контурные напряжения были не выше заданных, краевая задача будет,
вообще говоря, некорректно поставленной.
Однако указанный класс задач может быть оценочно исследован численно путем
прямого моделирования поведения таких систем. Тогда задачи управления, а также
идентификации геометрических или волновых характеристик могут быть исследованы
приближенно методом интерполяции. При этом, если результаты решения прямых задач
будут высокоточными (до 10 знака), достоверность интерполирования будет вполне
удовлетворительной. Тем более, что получаемые даже начальные оценки управления
таких малоисследованных систем позволят избежать разрушений конструкций и
значительных затрат.
Среди аналитических методов решения прямых задач теории дифракции в случае
произвольной формы у отражающих неоднородностей наиболее применимым для
разработки кластерных алгоритмов является метод интегральных уравнений [1,2].
Важным преимуществом этого метода является сокращение числа пространственных
переменных [3]. В связи с тем, что моделирование динамических взаимодействий упругих
волн и систем неоднородностей требует привлечения больших объемов вычислений и
значительных ресурсов цифровой памяти, особое значение приобретают эффективные
параллельные алгоритмы [4]. Тем более, что такие задачи являются все еще
малоисследованными.
В настоящей работе исследуется алгоритм кластерного решения интегрального
уравнения Фредгольма второго рода, возникающего при исследовании модельной задачи
дифракции волн сдвига на системе цилиндрических полостей произвольного поперечного
сечения в полубесконечной среде со свободной от сил границей.
1. Постановка задачи
Рассмотрим упругое полупространство у ≥ 0, содержащее m бесконечных
туннельных вдоль оси Oz полостей, поперечные сечения которых ограничены замкнутыми
(без общих точек) контурами L j , j  1, m типа Ляпунова. Пусть L – совокупность указанных
контуров и пусть положительное направление выбрано так, что при движении вдоль L область D
остается слева (рис. 1).
1
Рис. 1
Предположим, что источники внешнего поля перемещений W0 размещены в
области D. В качестве такого источника может быть набегающая на цилиндры из
бесконечности монохроматическая SH-волна, нормаль к фронту которой составляет угол
 с осью OX (=const),

W0  e  i 2 ( x cos  y sin ) ,  2 
(1)
c2
или гармонический источник интенсивности P, сосредоточенный в точке M0(x0,y0) и
порождающий поле перемещений
P 1 (1)
W0  
H 0 ( 2 r ), r  z  z0 , z  x  iy , z0  x0  iy 0 .
(2)
 4i
Здесь c2 – скорость волны сдвига,  - частота колебаний,  - модуль сдвига, i – мнимая
2
единица ( i   1 ), H n(1) ( x ) - функция Ханкеля первого рода n-го порядка, зависимость от
 iωt
времени выражается множителем e .
В результате взаимодействия падающей и отраженной от границы волн с
отверстиями возникает дифрагированное волновое поле. Обозначим W1 амплитуду
отраженной волны сдвига. Тогда суммарное поле амплитуд перемещений представим в
виде W=W0+W2+W1. В случае набегающей из бесконечности волны сдвига отраженная от
границы волна имеет вид [2,3]:
W1  ei 2 ( x cos  y sin ) ,  2  
c2
А для гармонического источника отраженная от границы волна имеет вид:
W1  
P 1 (1)
H ( r ), r  z  z 0 , z 0
 4i 0 2 1 1
 x0  iy 0
(3)
Неизвестная функция W2 должна удовлетворять однородному уравнению
Гельмгольца в области D с волновым числом 2:
2
2
W2   22W2  0,   2  2 ,
(4)
x
y
а также условием излучения на бесконечности типа Зоммерфельда [2].
На границе отверстий L нас будут интересовать касательные напряжения
 sz   s e it ,  nz   n e it . В случае антиплоской деформации
W
W
, τn  μ
(5)
,
s
n
где s – положительная касательная, n – нормаль в точке     i  L (рис.1).
Пусть  0  0  i0 - точка L, в которой мы будем удовлетворять граничные
условия. Так как L – граница отверстий, то, очевидно,
s  
2

(W0  W1  W2 ) L  0,
n0
(6)
где n – нормаль к L в точке  0  L .
Таким образом, задача дифракции волны сдвига (1) или (2) на системе отверстий в
изотропном полупространстве с защемленной границе сводится к решению краевой
задачи (4), (6) при выполнении дополнительных условий излучения на бесконечности.
2. Метод решения
Следуя [5,6], запишем функцию W2(x,y), характеризующую рассеянную
отверстиями волну перемещений в области D, следующим образом:
W2 ( x, y) 


 f (s)G( x, y,  , )ds ,
(7)
L
1 (1)
H 0 ( 2r )  H 0(1) ( 2r1 ) , r  z   , r1  z   , z  x  iy ,     i  L.
4i
Здесь L – совокупность контуров L j , j  1, m (рис. 1); f(s) – неизвестная функция,
G
удовлетворяющая на L условию Гельдера.
Интегральное представление (7) удовлетворяет уравнению Гельмгольца (4) в
области D и обеспечивает выполнение условий излучения на бесконечности. Остается
выполнить граничное условие (6). Для осуществления предельного перехода в (6) при
W
W
z   0  L частные производные
и
будем понимать следующим образом:
s0
n0
W
s
iφ W 
 iφ W
 e 
e 
 ,
z
z  zζ

W
W 
 iφ W
 e iφ
 ,
L  i e
n
z
z  zζ

dζ
eiφ   ,  0  0  i0  L.
ds
L

0
(8)
0


Воспользуемся также известными соотношениями [2]:
 ()
γ
 (1)

H 0 (r )   e  i H1(1) (r ),
H  (γr )   eiα H() (γr ),
z
2
z

H() (γr ) 

 H (γr ), z    rei ,
iπγr
(9)
где H1 ( x) - непрерывная функция в точке x=0.
Привлечение формулы Сохоцкого-Племеля [2] для вычисления предельных
значений интегралов типа Коши, возникающих при удовлетворении граничного условия
(6) с учетом соотношений (7) - (9), приводит к искомому интегральному уравнению
относительно неизвестной функции f(s):
1
f ( s0 )   f ( s ) E ( s, s0 )ds  K n ( s0 ), n  1, 2
(10)
2
L


E(s, s0 )   2 H1(1) ( 2r0 ) sin(0  0 )  H1(1) ( 2r10 ) sin(10  0 ) ,  0    r0ei ,  0  
0
K1( s0 )  i 2 W0 ( s0 ) sin(   0 )  W1( s0 ) sin(   0 )
P
K 2 ( s0 )    2 H 1( 1 )(  2 0 ) sin(  0  0 )  H 1( 1 )(  2 10 ) sin(  10  0 )


 r10ei10 ,

 0  z0  0 ei ,  0  z0  10ei .
0
10
3
Здесь функции K1 ( s0 ) и K 2 ( s0 ) отвечают случаям (1) и (2) соответственно.
Представим ядро E ( s, s0 ) , учитывая (9), в виде:
E ( s, s0 ) 

i
2 
 e 0 

*
(1)
Im
   H ( r ) sin( 0  0 )  H1 ( 2 r10 ) sin(10  0 )
i    0  2 1 2 0

(11)
Теперь нетрудно убедиться [2], что функция E ( s, s0 ) непрерывна на L. Следовательно,
интегральное уравнение (10) является уравнением Фредгольма второго рода, которое, как
известно, разрешимо и имеет единственное решение в классе функций, непрерывных по
Гельдеру.
3. Дискретизация задачи
Представим неизвестную плотность f(s) интегрального уравнения (10) как
совокупность функций fj(sj), определенных на контурах L j , j  1, m . Тогда (10)
превращается в систему интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода
m

(12)
f k ( sk  )    f j ( s j ) E ( s j , sk  )ds j  K n ( sk  ), k  , m, n  , .

j  L
Здесь дуговые координаты s j и sk  относятся к точкам  j   j  i j  L j и
ζ k   ξ k   iηk   Lk соответственно.
Численная реализация интегральных уравнений (12) проводилась методом
механических квадратур [2]. Вводилась параметризация контура Lj с помощью
соотношений
 j   j (  ), ζ j   ζ j  ( β ), 0   , 0  2 ,
(13)
причем
 j (0)   j (2 ).
Интегральное
уравнение,
соответствующее
контуру
L k,
удовлетворялось в узлах вида l   (2l  1) / nk (l  1, nk ) и сводилось к системе линейных
алгебраических уравнений относительно значений функции fj() в узлах вида
 p   (2 p  1) / n j ( p  1, n j ) , где nj - число точек разбиения контура Lj. Внеинтегральные
значения f k (l ) выражались с помощью интерполяционных полиномов Лагранжа через
искомые значения f k (  p ) . Если nk – нечетно, то выражение имеет вид [2]:
  p
1 nk
(1) nk  p f k (  p ) cos ec l
,
(14)

nk p 1
2
Таким образом, при численной реализации системы интегральных уравнений (12)
задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с
N=n1+n2+…+nm неизвестными.
4. Схема вычислений
Пусть система интегральных уравнений сведена к системе линейных
алгебраических уравнений, все элементы матрицы которой являются результатом
дискретизации контуров. Очевидно, что размер матрицы пропорционален числу
отверстий. Для исследования описанного метода при большом числе отверстий, а также
для получения высокоточных результатов с погрешностью вычислений до 10-10 и
проверки сходимости решений при большом числе точек коллокации потребуются
существенные вычислительные ресурсы. Применим распараллеливание алгоритма. Из
(12) следует, что каждый элемент матрицы определяется координатами узлов
дискретизации.
Как показано на рис. 2, данный метод в вычислительном смысле сводится к обходу
каждого контура по точкам коллокации внеинтегральной переменной ζ k  и
одновременному же обходу каждого контура по аналогичным либо иным узлам
переменной интегрирования  k .
f k ( l ) 
4
Рис. 2
Таким образом, переменная ζ k  формирует строки матрицы СЛАУ, а переменная
 k – ее столбцы. Диагональные элементы матрицы соответствуют коэффициентам
системы, вычисленным в узлах общих для ζ k  и  k отверстий. Иные коэффициенты
вычисляются так, что значения ζ k  принадлежат множеству точек коллокации с одних
контуров, а значения переменных интегрирования  k – с других.
Параллельно-конвейерная схема вычислений показана на рис. 3. Тут приведена
пропорция интервалов времени вычислений на: синтез массивов исходных данных (время
t0 при количестве процессов P1), синтез матрицы СЛАУ (время t1 при количестве
процессов P1), решение СЛАУ методом Гаусса (t2 – оптимальное время вычислений при
оптимальном числе процессов P0), синтез массивов итоговых решений (время t3). Первый,
второй и четвертый этапы макроконвейера не требуют пересылок данных, что означает
независимость вычислений. На третьем этапе для решения СЛАУ существует
оптимальное число процессов, определяемое спецификой матрицы. Это означает, что для
1, 2 и 4 этапов алгоритма оптимальным является число процессов, соответствующе числу
коэффициентов СЛАУ.
Для алгоритма решения СЛАУ искомого интегрального уравнения Фредгольма 2-го
рода оптимальным числом оказалось 150 – 200 процессов при заданной точности 10-10.
Рис. 3
На рис. 4 приведен график зависимости общего времени кластерных вычислений
массива контурных напряжений на системе ромбических отверстий от числа процессов
для одного варианта нагрузки. По графику видно, что весь алгоритм хорошо
масштабируется.
5
Рис. 4
Так как для данной методики решения краевой задачи основная операция при
вычислении каждого элемента матрицы – это определение разностного аргумента
цилиндрических функций Ханкеля, заданного на множестве значений параметрических
координат отверстий, а также вычисление самих этих функций и коэффициентов при них,
то на следующем шаге на каждом клоне хоста запускаются цикл процедур определения
указанных коэффициентов. При этом синхронизация каждого процесса не требуется, так
как итоговая матрица собирается по факту завершения последнего.
Вычислительный процесс решения СЛАУ также распараллеливается согласно [6].
Параллельное вычисление итоговых искомых характеристик осуществляется путем
подстановки массивов значений неизвестных функций f k ( β p ) в представление (7)
аналогично процедурам формирования матрицы СЛАУ.
5. Численные результаты
В исследовании достигалась точность вычислений порядка 10-10. Такая точность
обеспечена следующим – высокая сходимость самого алгоритма, разрешающая
способность компиляторов языков высокого уровня и разрешающая способность
операционных сред. Метод интегральных уравнений обеспечивает быструю сходимость
решения, а также функциональную зависимость стабилизации знаков результирующих
данных от увеличения числа точек коллокации. Для описанных задач достаточно 25003000 точек коллокации каждого контура для вычисления контурных напряжений с
точностью 10-10. При 100 точках получаем 3 знака стабильного решения, при 300 - 4, при
1000 - 5, при 1500 - 6, а при 2000 – 8, а при 2900 – 10 знаков.
С целью исследования сходимости построенного алгоритма рассмотрим случай
нормального падения (ψ=π/2) волны сдвига (1) на систему эллиптических или
ромбических отверстий, расположенных вдоль одной линии на одинаковом расстоянии d
один от другого (рис. 5).
Рис. 5
Используем известные [7] параметрические уравнения для задания основного
6
контура L0:
 ( )  b sin   sin 3 ,  ( )  a cos   cos 3 , 0    2 ,
(15)
где при ν = 0.14036 контур имеет вид ромба со скругленными точками возврата. А в
случае ν = 0 контур имеет эллиптическую форму. Остальные контуры для простоты будем
располагать симметрично относительно оси Y. В этом случае рассматриваемая
дифракционная задача обладает свойством симметрии, что позволяет осуществлять
первичное самотестирование получаемых результатов.
В ходе численной реализации вычислялись безразмерные контурные напряжения
σ β  τ s / μ . Точность вычислений проверялась путем сравнения результатов при
различных значениях N. Проводилось также сравнение полученных результатов с
результатами, приведенными в [5] как для случая одиночного эллиптического отверстия в
полупространстве со свободной от сил границей, так и для бесконечной среды [6,8].
Проведено параметрическое исследование контурных напряжений на системе
эллиптических или ромбических (со скруглениями) отверстий в полубесконечной среде со
свободной от сил границей. Применение метода параллельных вычислений, проведенного
на кластере «Инпарком-256», позволило подтвердить вывод работы [6], что сходимость
решения интегрального уравнения практически не зависит от числа отражателей.
Численное исследование показало, что в полубесконечном случае с границей,
свободной от сил, при воздействии на систему отверстий SH-волной из бесконечности
эффект насыщения, как и в [6,8], наблюдается не строго. И хотя при линейном и
симметричном относительно нагрузки расположении отверстий вдоль границы для
усредненного исследования достаточно не более 9 отверстий, все же при дальнейшем
наращивании числа отверстий наблюдаются незначительные пульсации в распределении
напряжений. Как на центральном, так и на иных отверстиях замечены небольшие
отклонения в распределении контурных напряжений при добавлении отверстий в систему.
Изменения амплитуд напряжений и зон их дислокации, например, на центральном
отверстии объясняется несимметричными характеристиками волнового фронта,
отраженного от свободной от сил границы при добавлении новых отражателей. При
численной реализации описанного алгоритма было исследовано дифрагированное поле на
системе до 37 отверстий. Однако исследования показали, что такие пульсации
незначительны.
При воздействии же на систему SH-волной от точечного источника, расположенного
как показано на рисунке на оси Y - точка M0(0,Yz) - дифрагированное поле является
затухающим. Поэтому добавление новых отверстий в систему не приводят к
существенному изменению волнового поля на центральном отверстии. И значительному
затуханию на крайних отверстиях.
Для построенного алгоритма обнаружена MIMD-пропорция. Для системы из 3–9
отверстий оптимальным является 150-200 параллельных процессов, что совпадает с
результатом аналогичного исследования СЛАУ [9]. Увеличение числа процессов
приводит лишь к незначительному снижению суммарного времени вычислений за счет
части алгоритма без пересылок. Но и к приросту вычислительных расходов на
балансировку загрузки процессоров при решении СЛАУ методом Гаусса.
Причем при фиксированной размерности матриц СЛАУ число отверстий не влияет
на оптимальное число процессов, поскольку в интегральном уравнении каждый контур
отверстия является частью суммарного контура интегрирования. Поэтому при прочих
равных условиях свойства систем линейных уравнений, полученных и для одного
отверстия, и для девяти, не изменяются. Как и в случае [6,8], от числа отверстий не
зависит также сходимость алгоритма.
В работе проводились вычисления контурных напряжений σ β вдоль контуров
центрального L0 и крайнего Lk отверстий (рис. 5) в случае решетки, состоящей из
нечетного числа отверстий (p=k). Отсчет угла  ведется от нуля (теневая точка) до 
7
(лобовая точка) для центрального отверстия (учитывается симметрия в случае
нормального распределения волны сдвига) и от 0 до 2   для крайних отверстий (в силу
симметрии распределения напряжений на контурах Lk и L-k зеркальны). Рассматривается
случай ромбов, вытянутых навстречу набегающей волне. При этом b/a=2.5.
На рис. 6 приведены распределения σ β вдоль контура центрального L0 (а) и крайнего
слева L1 (б) отверстий в случае решетки, состоящей из трех, пяти и девяти эллипсов.
Воздействие – волна из бесконечности. Значения безразмерного волнового числа γ2a=2,5, а
d=2a. На обоих графиках кривые 1 показывает распределение напряжений для 3 отверстий,
кривые 2 – для решетки из 5 отверстий, а кривые 3 – для 9 отверстий. Если в теневой (=0) и
лобовой (=) точках σ β =0, то в зоне соскальзывания с увеличением числа отверстий число
локальных максимумов
результатами работы [6]
σβ
стабилизируется. Такой вывод полностью совпадает с
а) Lo
б) L1
Рис. 6
На рис. 7 показано распределение σ β вдоль контура только центрального отверстия
L0 в случае решетки, состоящей из трех, пяти и девяти эллипсов для рис 7а, а также трех, пяти
и девяти ромбиков для рис. 7б. При этом нагрузка – волна сдвига от точечного источника,
расположенного в точке M0 (как показано на рис. 5). При данном типе нагрузки значения
контурных напряжений на удаленных контурах значительно ниже, чем на контуре
центрального отверстия. Поэтому эти распределения тут не приведены. Нумерация
кривых имеет тот же смысл. Здесь также наблюдаются локальные минимумы в теневой
(=0) и лобовой (=) точках. И наблюдается эффект стабилизации распределения с
увеличением числа отверстий.
а) эллипс
б) ромбик
Рис. 7
Разработанная схема численного эксперимента позволила сформировать
уникальную таблицу высокоточных значений максимумов касательных напряжений и
8
соответствующих угловых координат на контуре эллиптического или ромбического
центрального или крайних отверстий (в системе от 3 до 9 объектов). Воздействие - волна
из бесконечности или расположенный вблизи точечный источник гармонических SH-волн
для любых геометрических соотношений отверстий и большинства волновых чисел. По
мнению автора, такая таблица сформирована впервые.
Тут в Таблице 1 приводится фрагмент этого результата для волны из
бесконечности и точеного источника, воздействующих на систему из трех эллиптических
или ромбических отверстий с соотношением осей b/a=2.5 и волновым числом γ2a равным
1,7 и 2,5 соответственно.
Таблица 1. Высокоточные значения максимумов касаетльных напряжений
Источник
Тип
γ2a
Расположение
Максимум σ β
Угол  в
контура
отверстия
радианах
1,8083546472
4,9322161984
Волна
Эллипс 1,7
Центральное
2,6671627452
4,7416936928
Волна
Эллипс 1,7
Крайнее справа
1,8268660436
5,1751590725
Волна
Ромбик 1,7
Центральное
4,4490736669
4,8272091735
Волна
Ромбик 1,7
Крайнее справа
3,6537320872
0,4635095872
Точ. источ. Эллипс 1,7
Центральное
0,0841461897
0,4970435907
Точ. источ. Эллипс 1,7
Крайнее справа
6,2003791851
0,9382451791
Точ. источ. Ромбик 1,7
Центральное
0,0183699216
0,9065827935
Точ. источ. Ромбик 1,7
Крайнее справа
4,7097275147
5,4104159374
Волна
Эллипс 2,5
Центральное
0,4217880668
7,7997356746
Волна
Эллипс 2,5
Крайнее справа
1,1243103563
7,7482388913
Волна
Ромбик 2,5
Центральное
1,7424909430
7,9598189856
Волна
Ромбик 2,5
Крайнее справа
0,2763436339
0,6645505895
Точ. источ. Эллипс 2,5
Центральное
4,0679041718
0,3704055008
Точ. источ. Эллипс 2,5
Крайнее справа
6,1931335886
1,1070230839
Точ. источ. Ромбик 2,5
Центральное
0,0275548824
0,8070105417
Точ. источ. Ромбик 2,5
Крайнее справа
Таким образом, для задачи дифракции сдвиговых волн на системе отверстий
некруговой формы в полубесконечной упругой среде с границей, свободной от сил,
параллельные алгоритмы позволяют значительно сократить время вычислений и более
детально проанализировать характеристики волнового поля. Это очень важно, так как
получение точных величин резонансных максимумов контурных напряжений вплоть до
10-го знака, а также точных координат их дислокации позволяет избежать разрушений
конструкций, работающих в условиях динамических нагрузок.
Приведенная
таблица
позволяет
построить
достаточно
достоверные
полиномиальные вычислительные схемы, моделирующие обратное поведение системы:
для каких частот динамического воздействия, при каком взаимном расположении
отверстий, при каких геометрических характеристиках формы отверстий максимальные
контурные напряжения не будут превышать пороговых значений, а локализация
максимальных напряжений на контуре отверстий не будет критической? Построение
таких упрощенных моделей решения задач идентификации и управления поведением
описанной системы – очень актуальная проблема. Потому, что до настоящего времени
указанный класс обратных задач механики практически не исследован.
Сочетание метода интегральных уравнений, позволяющего на единицу снизить
размерность задачи, и процедур распараллеливания, приводящих к значительной
экономии времени вычислений, приводит к существенному увеличению эффективности
предложенного алгоритма.
Литература
1. Гуляев Ю.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Сизова Н.Д. Исследование дифракции
упругих волн на пластинах, ослабленных двумя отверстиями произвольной формы
9
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
//ДАН. Математическая физика. – 1996. – 349, №2. – С. 175 - 179.
Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных
уравнений в двумерных задачах дифракции. – К.: Наук. думка, 1984. – 344 с.
Фильштинский Л.А. Дифракция упругих волн на трещинах, отверстиях, включениях в
изотропной среде //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1991. - №4. – С. 119 -127.
Вертгейм И.И., Терпугов В.Н. Параллельные технологии вычислений в механике
сплошных сред и МДТТ.: Учебное пособие. – Пермь, 2007. – 84 с.
Назаренко А.М. Дифракция волн сдвига на цилиндрических включениях и полостях в
упругом полупространстве //Проблемы прочности. – 1990. – №11. – С. 90 – 94.
Назаренко А.М., Панченко Б.Е. Схема параллельных вычислений в задачах дифракции
волн сдвига на системе отверстий в бесконечной упругой среде //Проблемы
программирования. – 2010. – № 2-3, С. 604-610
Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных
сред. Киев, - 1989.- 352 с.
Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение трехмерной задачи дифракции волн на
группе объектов //Акустический журнал. – 2007. – 53, №1. – С. 5 – 14.
Химич А.Н., Молчанов И.Н., Попов А.В. Численное програамное обеспечение
интеллектуального MIMD-компьютера «Инпарком» - К: Наук. думка. – 2007. - с. 220
Проблемы управления и информатики – 2012. – № 4. – C. 84-93
10