Асимптотическая геометрия и гиперболические пространства

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: [email protected]
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Асимптотическая геометрия и гиперболические пространства
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения: очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработал
Г.н.с., профессор, д.ф.-м.н.
Санкт-Петербург
C. В. Буяло
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью преподавания данной дисциплины является подготовка
высококвалифицированных специалистов в области геометрии и топологии.
Гиперболическая геометрия имеет важные приложения в топологии, в том числе и
теории маломерных многообразий, а асимптотическая геометрия широко
использует методы такой топологической дисциплины как теория размерности.
- Задачей освоения исциплины является изучение асимптотических свойств
различных метрических пространств. При этом гиперболические пространства
выделяются в отдельный класс ввиду имеющейся двойственности между квазиизометриями пространств и квази-мебиусовыми отображениями их границ на
бесконечности. Для более общих метрических пространств такой двойственности
нет, и в их асимптотической геометрии изучаются в основном квазиизометрические инварианты размерностного типа. После освоения курса
аспиранты должны выйти на уровень, позволяющий им вести исследования на
переднем крае этой геометрической дисциплины.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Асимптотическая геометрия и гиперболические
пространства».
Код
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
ОПК-1
Способностью самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую
деятельность в соответствующей профессиональной области с
использованием современных методов исследования и информационнокоммуникационных технологий.
ПК-1
Готовность применять методы римановой геометрии в задачах математики,
механики и математической физики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Асимптотическая геометрия и гиперболические пространства» и
её вклад в формирование результатов обучения (компетенций) слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
- умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Дисциплина «Асимптотическая геометрия и гиперболические пространства» изучается в
четвертом семестре 2 курса аспирантуры.
Изучение данной дисциплины опирается на знания аспирантов в общих курсах
математического анализа, алгебры, римановой геометрии и топологии. Освоение
дисциплины «Асимптотическая геометрия и гиперболические пространства» должна дать
аспирантам возможность выйти на уровень, который позволил бы им проводить
исследования на переднем крае геометрии.
3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
3.1 Виды учебной деятельности
Виды учебной работы
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (СР)
Экзамен (Э)
Трудоемкость по семестрам
4 сем.
ач/нед
ач/сем
12
-
Общая трудоемкость освоения дисциплины
Итого, ач
12
В академических часах, ач
12
В зачетных единицах, ЗЕ
3
3.2 Разделы дисциплины и виды учебной работы
Изучаемый вопрос
1
Модели вещественного гиперболического
пространства.
2
Гиперболические геодезические пространства.
3
Граница на бесконечности.
4
Функции буземана на гиперболических
пространствах.
5
Морфизмы гиперболических пространств.
6
Квази-мебиусовы и квази-симметрические
отображения.
7
Гиперболическая аппроксимация метрических
пространств.
8
Теоремы продолжения.
9
Теоремы вложения.
10 Основы теории размерности.
11 Асимптотическая размерность.
12 Линейно-контролируемая размерность:
основные свойства.
13 Линейно-контролируемая размерность:
приложения.
14 Гиперболическая размерность, гиперболический
ранг и субэкспоненциальный коранг.
Итого по видам учебной работы
Общая трудоемкость освоения дисциплины: а.ч./ЗЕ
Л, ач
1
ПЗ, ач
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
12/3 ЗЕ
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
Модели вещественного
Псевдосферическая модель. Модель
СР, ач
гиперболического пространства.
единичного шара. Модель верхнего
полупространства. Мебиусовы
преобразования. Двойное отношение.
Гиперболические геодезические
пространства.
Геодезические метрические пространства.
Произведение Громова. Определение
гиперболичности геодезического
пространства. Стабильность
геодезических.
Граница на бесконечности.
Дельта-неравенство и гиперболические
пространства. Граница на бесконечности
гиперболических пространств. Локальная
самоподобность границы.
Функции буземана на гиперболических
пространствах.
Функции Буземана. Произведения Громова с
базой на бесконечности. Метрики
видимости с базой на бесконечности.
Морфизмы гиперболических
пространств.
Морфизмы метрических пространств и
гиперболичность. Тройки двойной разности
двойные разности. PQ-изометрические
отображения. Квази-изометрические
отображения гиперболических
геодезических пространств.
Квази-мебиусовы и квазисимметрические отображения.
Двойные отношения. Квази-мебиусовы и
квази-симметрические отображения.
Мебиусова структура на квази-метрическом
пространстве.
Гиперболическая аппроксимация
метрических пространств.
Построение гиперболической
аппроксимации. Геодезические в
гиперболической аппроксимации. Граница на
бесконечности гиперболической
аппроксимации.
Теоремы продолжения.
Теорема продолжения для билипшицевых
отображений. Теорема продолжения для
квази-симметрических отображений.
Теорема продолжения для квази-мебиусовых
отображений. регулярности в окрестности
данной точки.
Теоремы вложения.
Теорема вложения Ассуад. Теорема
вложения Бонка-Шрамма.
Основы теории размерности.
Различные размерности. Конструкции.
Теорема монотонности. Теорема
произведения. Лемма Шпернера.
Асимптотическая размерность.
Оценки снизу. Оценки сверху. Вложение
гиперболической плоскости в произведение
двух деревьев.
Линейно-контролируемая размерность:
основные свойства.
Разделенные последовательности
раскрашенных покрытий. Квазисимметрическая инвариантность линейноконтролируемой размерности.
Линейно-контролируемая размерность:
приложения.
Вложение в произведение деревьев. Линейноконтролируемая размерность локально
самоподобных пространств. Приложения к
гиперболическим пространствам.
Гиперболическая размерность,
гиперболический ранг и
субэкспоненциальный коранг.
Крупномасштабные множества со
свойством удвоения. Определение
гиперболической размерности.
Гиперболическая размерность
гиперболических пространств. Приложения
к теоремам невложимости.
Гиперболический ранг.
Субэкспоненциальный коранг. Приложения к
теоремам невложимости. Сравнение
гиперболической размерности и
субэкспоненциального коранга.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Преподавании курса носит форму лекций с проверкой усвоения материала курса в форме
экзамена. Вместе с тем, в преподавании курса используются современные технологии,
такие как проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Традиционным для курса является широкое использование знаний аспирантов,
полученных ими в ходе освоения смежных теоретических курсов. Курс лекций
«Асимптотическая геометрия и гиперболические пространства» базируется на знаниях,
приобретенных слушателями на предыдущих этапах обучения, в частности при изучении
математического анализа, алгебры, римановой геометрии и топологии.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Асимптотическая
геометрия и гиперболические пространства» является приобретение им знания:
- Конструкции моделей гиперболического пространства.
- Определение и основные свойства произведения Громова, гиперболичности
геодезического пространства.
- Определение и основные свойства гиперболическиго по Громову
пространства, а также его граница на бесконечности.
- Определение и основные свойства метрики видимости с базой на
бесконечности.
- Определение, основные свойства инварианты квази-изометрические
отображения гиперболических геодезических пространств.
- Определение и основные свойства мебиусовой структуры на квазиметрическом пространстве.
- Построение гиперболической аппроксимации.
- Формулировка и доказательство теорем продолжения для билипшицевых
отображений, квази-симметрических отображений и квази-мебиусовых
отображений.
- Формулировка и доказательство теорем вложения Ассуад и Бонка-Шрамма.
- Определение и основные свойства различных размерностей.
- Доказательство оценок снизу и сверху на эти размерности.
- Конструкция вложения гиперболической плоскости в произведение двух
деревьев.
- Доказательство инвариантности различных размерностей.
- Приложения теории размерностей к гиперболическим пространствам.
- Определение и основные свойства гиперболического ранга и
субэкспоненциальный коранга.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Асимптотическая геометрия
и гиперболические пространства» является посещение лекций и успешная сдача экзамена
для приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского
экзамена по специальности 01.01.04 Геометрия и топология и выполнения
квалификационной работы и последующей защиты кандидатской диссертации.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. S. Buyalo and V. Schroeder, Elements of asymptotic geometry, EMS Monographs in
Mathematics, 2007, 209 pages.
2. M. Bonk and O. Schramm, Embeddings of Gromov hyperbolic spaces, Geom. Funct.
Anal. 10(2000), 266--306.
3. M. Gromov, Geometric group theory (Sussex,1991), Vol.2: Asymptotic invariants of
infinite groups, London Math. Soc. Lecture Note Ser. 182, Cambridge University Press,
Cambridge 1993.
Дополнительная литература
1. J. Roe, Lectures on coarse geometry, Univ. Lecture Ser. 31, Amer. Math. Soc.,
Providence, RI, 2003.
2. J. Heinonen, Lectures on analysis on metric spaces, Universitext, Springer-Verlag, New
York 2001.
8.
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория геометрии и топологии ПОМИ РАН, оснащенная необходимой техникой,
оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: [email protected]
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
Асимптотическая геометрия и гиперболические пространства
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью
преподавания
данной
дисциплины
является
подготовка
высококвалифицированных специалистов в области геометрии и топологии.
Гиперболическая геометрия имеет важные приложения в топологии, в том числе и
теории маломерных многообразий, а асимптотическая геометрия широко
использует методы такой топологической дисциплины как теория размерности.
- Задачей освоения исциплины является изучение асимптотических свойств
различных метрических пространств. При этом гиперболические пространства
выделяются в отдельный класс ввиду имеющейся двойственности между квазиизометриями пространств и квази-мебиусовыми отображениями их границ на
бесконечности. Для более общих метрических пространств такой двойственности
нет, и в их асимптотической геометрии изучаются в основном квазиизометрические инварианты размерностного типа. После освоения курса
аспиранты должны выйти на уровень, позволяющий им вести исследования на
переднем крае этой геометрической дисциплины.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Асимптотическая геометрия и гиперболические
пространства».
Код
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
ОПК-1
Способностью самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую
деятельность в соответствующей профессиональной области с
использованием современных методов исследования и информационнокоммуникационных технологий.
ПК-1
Готовность применять методы римановой геометрии в задачах математики,
механики и математической физики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Асимптотическая геометрия и гиперболические пространства» и
её вклад в формирование результатов обучения (компетенций) слушателя:
 умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
 умение представить полученные научные результаты.
 знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
 умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
2.1. Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Асимптотическая
геометрия и гиперболические пространства» является приобретение им знания:
- Конструкции моделей гиперболического пространства.
- Определение и основные свойства произведения Громова, гиперболичности
геодезического пространства.
- Определение и основные свойства гиперболическиго по Громову
пространства, а также его граница на бесконечности.
- Определение и основные свойства метрики видимости с базой на
бесконечности.
- Определение, основные свойства инварианты квази-изометрические
отображения гиперболических геодезических пространств.
- Определение и основные свойства мебиусовой структуры на квазиметрическом пространстве.
- Построение гиперболической аппроксимации.
- Формулировка и доказательство теорем продолжения для билипшицевых
отображений, квази-симметрических отображений и квази-мебиусовых
отображений.
- Формулировка и доказательство теорем вложения Ассуад и Бонка-Шрамма.
- Определение и основные свойства различных размерностей.
- Доказательство оценок снизу и сверху на эти размерности.
- Конструкция вложения гиперболической плоскости в произведение двух
деревьев.
- Доказательство инвариантности различных размерностей.
- Приложения теории размерностей к гиперболическим пространствам.
- Определение и основные свойства гиперболического ранга и
субэкспоненциальный коранга.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
2.2. Оценочные средства
Промежуточная аттестация производится в форме экзамена.
Вопросы экзамена:
1. Модели гиперболического пространства. Формула для угла параллельности в H2.
2. М ебиусовы преобразования. Инверсии и изометрии. Сохранение двойного
отношения.
3. Двойное отношение. Двойное отношение и м ̈ебиусовы преобразования.
Двойное отношение в гиперболической геометрии.
4. Гиперболические геодезические пространства, стабильность геодезических.
Следствия.
5. Свойства произведения Громова, тетраэдрическая лемма, гиперболические
по Громову пространства, граница на бесконечности.
6. Граница на бесконечности, произведение Громова на границе на
бесконечности, квази-метрики, метрики видимости на границе на бесконечности,
существование метрик видимости.
7. Локальная самоподобность границы на бесконечности. Свойство удвоения.
8. Граничная непрерывность CAT(−1)-пространств.
9. Кросс-тройки, двойные разности и малые двойные разности четверок
точек. Условие гиперболичности в терминах малых двойных разностей. PQизометрические отображения.
10. PQ-изометрические и квази-изометрические отображения геодезических
гиперболических пространств.
11. Мультипликативная кросс-тройки и двойное отношение четверки точек
в квази-метрическом пространств. Мультипликативные K-тройки. Квазимебиусовы и PQ-квази-мебиусовы отображения. Их появление как
граничных значений PQ-изометрических отображений гиперболических пространств.
12. Квази-симметрические, степенно квази-симметрические отображения,
их свойства. Теорема о том, что квази-изометрическое отображение
гиперболических геодезических пространств индуцирует степенно квазисимметрическое отображение их границ на бесконечности. Следствие.
13. Определение гиперболической аппроксимации метрического пространства.
Геодезические в гиперболической аппроксимации.
14. δ-неравенство для геодезической аппроксимации. Гиперболическая
аппроксимация ограниченного метрического пространства.
15. Теорема о гиперболической аппроксимации полного, ограниченного
метрического пространства.
16. Теорема о продолжении билипшицева отображения и ее следствия.
17. Теорема о продолжении квази-симметрического гомеоморфизма между
равномерно совершенными ограниченными пространствами. Следствие.
18. Теорема вложения Ассуад: раскраска, нормировка, критический уровень;
доказательство липшицевости.
19. Теорема вложения Ассуад: раскраска, нормировка, критический уровень;
доказательство билипшицевости.
20. Теорема вложения Бонка-Шрамма.
21. Определения по покрытиям различных размерностей. Соотношения
между ними. Квази-изометрическая инвариантность асимптотической и линейноконтролируемой размерностей.
22. Красочное определение различных размерностей. Оценка сверху для
размерности евклидова пространства.
23. Лемма Шпернера и ее приложения для подсчета размерностей.
24. Конструкции: равномерные симплициальные полиэдры; нерв покрытия
и барицентрические отображения.
25. Конструкции: барицентрическое подразделение.
26. Конструкции: барицентрическая триангуляция произведения.
27. Полиэдральное определения различных размерностей. Эквивалентность
определений по покрытиям, красочного и полиэдрального для
топологической размерности.
28. Эквивалентность определений по покрытиям, красочного и
полиэдрального для асимптотической размерности.
29. Эквивалентность определений по покрытиям, красочного и
полиэдрального для размерности Ассуад-Нагата.
30. Эквивалентность определений по покрытиям, красочного и
полиэдрального для линейно-контролируемой метрической размерности.
31. Эквивалентность определений по покрытиям, красочного и
полиэдрального для линейно-контролируемой асимптотической размерности.
32. Теорема монотонности и теорема о произведении (по выбору).
33. Насыщение семейств; теорема о размерности конечного объединения.
34. Асимптотическая размерность – оценки снизу.
35. Асимптотическая размерность – оценки сверху.
36. Вложение гиперболической плоскости в произведение двух деревьев.
Гиперболическая размерность: множества с ls-удвоением и определение
37. Гиперболическая размерность: множества с удвоением на больших
масштабах в CAT(−1)-пространствах.
38. Гиперболическая размерность: оценка снизу для гиперболического
многообразия Адамара и ее применение к теоремам невложимости.
39. Гиперболический ранг; вложение H2 в произведение H2 × H2
40. Субэкспоненциальный коранг и его свойства. QPC-пространства.
41. Оценка сверху гиперболического ранга через субэкспоненциальный
коранг. Приложения.
Тесты:
1. Мебиусово преобразование сохраняет
a. расстояния;
b. углы;
c. объемы;
d. двойное отношение.
2. Это пространство является гиперболическим геодезичеким пространством.
a. евклидова плоскость;
b. евклидово пространство;
c. нормированная плоскость;
d. метрическое дерево.
3. Метрика видимости задана на
a. единичной сфере в гиперболическом пространстве;
b. касательном конусе к гиперболическому пространству;
c. асимптотическом конусе к гиперболическому пространству;
d. границе на бесконечности.
4. Квази-изометрическое отображение гиперболических геодезических пространств
индуцирует
a. степенно квази-симметрическое отображение их границ на бесконечности;
b. билипшицево отображение их границ на бесконечности;
c. изометрическое отображение их границ на бесконечности;
d. конформное отображение их границ на бесконечности.
5. Эти два пространства квази-изометричны
a. R2 и R3;
b. R2 и H2;
c. R2 и Z2;
d. Z2 и H2.
6. Эта размерность не является квази-изометрическим инвариантом
a. асимптотическая размерность;
b. Гиперболическая размерность;
c. линейно-контроллируемая размерность;
d. топологическая размерность.
7. Нерв покрытия является
a. топологческой сферой;
b. симплициальным комплексом;
c. алгеброй с делением;
d. группой.
8. Какого определения асимптотической размерности не существует
a. по покрытиям;
b. красочного;
c. алгебраического;
d. полиэдрального.
9. Какое из неравенств верно
a. асимптотическая размерность не меньше линейно-контроллируемой асимптотической
размерности;
b. асимптотическая размерность не больше линейно-контроллируемой асимптотической
размерности;
c. асимптотическая размерность не меньше размерности Асуад-Нагаты;
d. асимптотическая размерность не больше топологической размерности.
10. Какое из следующих утверждений верно
a. функция Буземана не зависит от отмеченной точки;
b. функция Буземана непрерывна;
c. функция Буземана разрывна в несчетном множестве точек;
d. функция Буземана определена на декартовом квадрате пространства.
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Асимптотическая геометрия
и гиперболические пространства» является посещение лекций и успешная сдача экзамена
для приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского
экзамена по специальности 01.01.04 Геометрия и топология и выполнения
квалификационной работы и последующей защиты кандидатской диссертации.