по теме «Площадь конуса».

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа
№4 г. Солнечногорска Московской области.
Методическая разработка урока в 11 классе
по геометрии
по теме «Площадь конуса».
Цель урока:
 Познакомить учащихся с формулой площади поверхности конуса.
 Научить учащихся решать задачи, в которых используются
формулы площадь круга, площади сектора, длины окружности,
длины дуги окружности, площади треугольника, теорема
косинусов, теорема об угле, вписанном в окружность.
Ход урока.
Первый этап урока.
Вспомнить теоретический материал, который изучался на предыдущих
уроках.
Вопросы для учеников:
1) Что такое конус?
2) Что такое ось конуса, высота конуса, образующая конуса?
3) Что такое осевое сечение конуса? Какая это фигура?
Второй этап урока.
Объяснение нового материала.
Площадь поверхности конуса.
S
S=𝜋𝑅2 + 𝜋𝑅𝐿
R –это радиус основания конуса,
R=OA
L –это образующая конуса,
ОЩ
А
L=SA
Доказательство:
1) Площадь полной поверхности конуса складывается из площади
основания и площади боковой поверхности.
S= Sосн. + Sбок.
Sосн.= 𝜋𝑅2
2) Боковая поверхность конуса – это сектор. Сектор – это часть круга,
ограниченная двумя радиусами.
L

𝝅L2
𝝅𝑳𝟐
𝟑𝟔𝟎𝟎
𝝅𝑳𝟐

𝟎
Площадь круга с радиусом L
Площадь сектора в 10.
2𝝅L
Длина окружности с радиусом L
Длина дуги окружности в 10.
Площадь сектора в 0.
𝟑𝟔𝟎
3)
𝟐𝝅𝑳
𝝅𝑳
𝟑𝟔𝟎
𝝅𝑳
𝟏𝟖𝟎𝟎
𝟎 =
Длина дуги окружности в 0.
0
𝟎 
𝟏𝟖𝟎
4) Длина дуги сектора совпадает с длиной окружности основания
конуса.
𝜋𝐿
1800
𝐿
1800
=2𝜋R
 =2 R
𝜋𝐿2
𝐿
360
180
5) Sбок. =
=
0
2R

0
𝜋𝐿
2
𝜋𝐿
=2𝑅 
2
=𝜋RL
Итак, S=𝜋R2 + 𝜋RL=𝜋R(R+L)
Третий этап урока.
Решение задач с помощью доказанной формулы.
№563 ( Учебник «Геометрия 10-11», Л.С. Атанасян)
Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см 2. Высота конуса равна
1,2см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.
S
Дано: SSAB= 0,6см2
S0= 1,2см
Найти: Sполн.
А
О
B
Решение:
1) S= Sосн. + Sбок. =𝜋R(R+L)
1
2) SSAB=  ABSO
2
1
2
 2R  1, 2 =0, 6
R=0,5
3) SOB , SOB=900
По теореме Пифагора SB=√𝑆𝑂2 + 𝑂𝐵2
SB= √1,22 + 0,52 =√1,44 + 0,25 =√1,69 =1, 3
4) S=𝜋  0, 5 (0,5+1, 3)=𝜋 0, 5 1,8=0, 9𝜋
Ответ: 0, 9𝜋
№ 564.
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . В
основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а,
а противолежащий угол равен . Найдите площадь полной поверхности
конуса.
S
A


O

O
М
B
C
1) ВАС – это вписанный угол.
1
ВАС= ВОС,
2
ВОС=2.
2) ВОС. По теореме косинусов
ВС2 = ВО2+ОС2 - 2ВООС cos2
a 2=R2+R2 – 2R2cos2
a2 =2R2 -2R2cos2
a2=2R2 (1-cos2)
𝑎2
R2 =
22𝑠𝑖𝑛2 
R=
𝑎
2𝑠𝑖𝑛
3) SOM, 0=900.
𝑂𝑀
cos= 𝑆𝑀
SM=
𝑂𝑀
𝑐𝑜𝑠
=
𝑎
2𝑠𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠
4) Площадь полной поверхности конуса
S= 𝜋𝑅 (R+L)
S=𝜋
𝑎
2𝑠𝑖𝑛
Ответ:
(
𝑎
2𝑠𝑖𝑛
+
𝜋  а2 ( 𝑐𝑜𝑠 +1)
4𝑠𝑖𝑛2 𝑐𝑜𝑠
𝑎
2𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠
) = 𝜋
𝑎2

𝑐𝑜𝑠 +1
2𝑠𝑖𝑛 2𝑠𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠
=
𝜋  а2 ( 𝑐𝑜𝑠 +1)
4𝑠𝑖𝑛2 𝑐𝑜𝑠
Четвёртый этап урока.
Домашнее задание.
Вывод формулы площади поверхности конуса.
№ 552, №553, №562, №565
Заключительный этап урока.
Попросить учащихся закрыть учебники, тетради, убрать справочный
материал. На отдельных листочках выполнить самостоятельную работу
с последующей проверкой.
Вариант 1.
1) Записать формулу площади круга.
2) Записать формулу длины дуги окружности.
3) Формулировка теоремы косинусов.
4) Определение дуги окружности.
Вариант 2.
1) Записать формулу длины окружности.
2) Записать формулу площади сектора.
3) Определение сектора.
4) Чему равен вписанный угол.
Ответы:
Вариант 1.
1) S=𝜋𝑅2, R –радиус круга.
S=𝜋
𝑑2
𝜋𝑅
2) l=
4
1800
, d – диаметр круга.
0
3) a2=b2 + c2 -2bccos
4) Дуга – это часть окружности.
Вариант 2.
1) C=2𝜋R, R- радиус окружности.
С=𝜋d, d- диаметр окружности.
2) S=
𝜋𝑅 2
3600
0.
3) Сектор- это часть круга, ограниченная двумя радиусами.
4) Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Эта самостоятельная работа проводится с последующей проверкой.
Цель самостоятельной работы не проверить знания учащихся, а
обратить ещё раз внимание на формулы и правила, которые
использовались при выводе формулы площади поверхности конуса, при
решении задач. Этот теоретический материал будет использоваться при
решении домашних задач. Обратить внимание учеников на то, что этот
теоретический материал будет использоваться на следующем уроке на
самостоятельной работе. Вот тогда самостоятельная работа будет
оцениваться.
Вот один из вариантов самостоятельной работы.
К каждой позиции, данной в первом столбце, подберите
соответствующую позицию из второго столбца.
Формулы
1 Площадь сектора
А
С=𝜋d
2 Длина дуги окружности
Б S=𝜋 𝑑2
3
Площадь круга
В
S=
4
𝜋𝑅 2
3600
𝜋𝑅
0
4
Длина окружности
Г
l=
5
Площадь боковой
поверхности конуса
Д
S=𝜋RL
Ответ:
1
В
2
Г
3
Б
4
А
5
Д
1800
0