12 §5. Дифференцирование абстрактной функции. Пусть E1 и - нормированные пространства отображение E2 y yx . называется абстрактной функцией и обозначается y : E1 E2 Определение сильного дифференциала (дифференциала Фреше). Говорят, что функция y x дифференцируема в точке x0 , если найдется такой линейный ограниченный оператор A LE1 E2 , что y x y x0 A x0 x x0 x x0 x где функция x (5.1) x x0 .Линейный бесконечно малая при оператор называется сильной производной (производной Фреше) абстрактной функции обозначается y x0 , элемент Ax0 x x0 (дифференциалом Фреше) функции называется сильным дифференциалом в dyx0 dyx0 , dx , dx x x0 . A x0 y x и точке x0 и обозначается Равенство (5.1) можно записать в виде y x y x0 y x0 dx dx x (5.2) Очевидно, что дифференцируемая функция непрерывна. Свойства производной и дифференциала Фреше. 1. yx zx yx zx 2. Если функция y : E1 E2 дифференцируема в дифференцируема в точке точке дифференцируема в точке x0 и x0 , а функция z : E2 E3 y0 yx0 , то сложная z y x0 z y0 y x0 . Доказательство. z y z y0 z y0 y y 0 y y0 1 y y x y x0 y x0 dx dx 2 x z y x z y x0 z y0 y x0 dx dx 2 x y x0 dx dx 2 x 1 y x или 12 функция z yx 13 z y x z y x0 B x0 dx dx 3 x B x0 z y0 y x0 3 x z y0 2 x 1 y x dx y x0 dx dx 2 x 3 x z y0 2 x 1 y x y x0 2 x Так как y x непрерывная функция, то при x x0 выполнено откуда следует, что 3 x 0 при x x0 . Определение слабого дифференциала (дифференциала Гато) Dy x0 , h y x y0 , d y x th y x y x0 th lim t 0 dt t t 0 Легко показать, что дифференциал Гато есть однородная функция, но не обязательно аддитивная и ограниченная. Если же дифференциал Гато есть ограниченный линейный оператор, то D x0 , h yc x0 h , и линейный оператор yc x0 называют слабой производной функции y x в точке x0 . В вариационном исчислении дифференциал Гато называют первой вариацией. Можно показать, что для существования производной Гато в точке x0 достаточно, чтобы в некотором шаре с центром в этой точке дифференциал Гато был непрерывен по h и равномерно непрерывен по x . §6. Формула конечных приращений для дифференцируемой функции. 3. Если слабая производная yc x определена на выпуклом множестве K E, то y x2 y x1 y c x1 x2 x1 x2 x1 0 1 ; x1 , x2 K (6.1) y x2 y x1 y c x1 x2 x1 y c x1 x2 x1 y c x1 x2 x1 x2 x1 Доказательство. Соединим точки 0,1 функцию x1 и x 2 zt yx1 t x2 x1 13 отрезком и рассмотрим на отрезке 14 Пусть f y произвольный ограниченный линейный функционал в пространстве E2 . Рассмотрим скалярную функцию t f zt t дифференцируема на 0,1 f t t f t Функция t lim t f y x1 t t x2 x1 f y x1 t x 2 x1 lim t 0 t y x1 t t x 2 x1 y x1 t x 2 x1 f lim t t 0 f y c x1 t x 2 x1 x 2 x1 t 0 Применяя к функции t формулу конечных приращений, получаем 1 0 , 0 1 f y x 2 f y x1 f y c x1 x 2 x1 x 2 x1 (6.2) f y 2 x y1 x f y c x1 x 2 x1 x2 x1 В силу следствия из теоремы Банаха-Хана о продолжении линейного функционала найдется линейный функционал с единичной нормой такой, что f y x2 y x1 y x2 y x1 (6.3) Из (6.2) и (6.3) следует первое неравенство (5.2). Чтобы получить второе неравенство следует применить первое неравенство к функции y x yc x1 x x1 . Следствие 1. Если на выпуклом множестве K выполнено неравенство y c x L , то на этом множестве функция y x удовлетворяет условию Липшица y x 2 y x1 L x2 x1 (6.4) Связь между слабой и сильной производными. Легко показать, что сильная производная есть и слабая производная. Обратное утверждение неверно. Справедлива теорема Теорема. Если слабая производная существует в некоторой окрестности точки непрерывна в точке x0 , то yc x0 y x0 . Доказательство. Пусть 14 x0 и 15 x 1 y x y x0 yc x0 x x0 x x0 Применяя формулу конечных приращений (6.1), получаем x yc x0 x x0 yc x0 0 в силу непрерывности при слабой производной в точке x x0 x0 Но тогда y x y x0 y c x0 x x0 x x x0 x 0 при x x0 Следовательно yc x0 есть производная Фреше y x0 . Формула конечных приращений в интегральной форме. Теорема. Если производная Фреше K E1 , то при x1 , x2 K y x непрерывна на выпуклом множестве справедливы формулы 1 y x2 y x1 y x1 t x2 x1 x2 x1 dt (6.5) 0 y x 2 y x1 y x1 x2 x1 1 (6.6) y x1 t x 2 x1 y x1 x2 x1 dt 0 Доказательство. Рассмотрим на отрезке 0,1 функцию t yx1 t x2 x1 По правилу нахождения производной сложной функции t y x1 t x2 x1 x2 x1 Интегрируя это равенство, получаем 1 1 0 y x2 y x1 y x1 t x2 x1 x2 x1 dt 0 15 16 Формула (6.5) доказана. Для доказательства формулы (2.8) то же самое рассуждение нужно применить к функции t yx1 t x2 x1 ty x1 x2 x1 Заметим только, что t y x1 t x2 x1 y x1 x2 x1 Лемма 1. Если производная Фреше удовлетворяет на выпуклом множестве условию Гельдера y x2 y x1 L x2 x1 , 0, L 0 (6.7) то y x2 y x1 y x1 x2 x1 L x2 x1 1 1 Доказательство. Применяя равенство (6.6), получаем y x 2 y x1 y x1 x 2 x1 1 y x1 t x2 x1 y x1 x2 x1 dt 0 1 y x1 t x 2 x1 y x1 x 2 x1 dt 0 1 L t x 2 x1 x2 x1 dt L x 2 x1 1 0 1 t dt 0 L x2 x1 1 1 Пример. a, b a, b функцию K t, s и полосе P a,b , функцию 1. Рассмотрим непрерывную на квадрате непрерывно дифференцируемую в g s , v . Предположим, полосе P . Оператор что функция b y x K t , s g s, x s ds a 16 g / x равномерно непрерывна в 17 C a , b в C a , b. Покажем, что этот оператор дифференцируем по Фреше действует из и b y x h K t , s a g s, xs hs ds x Имеем b y x h y x K t , s g s, x s h s g s, x s ds a b K t , s a 1 h h g s, x s h s ds h h s g s, x s K t , s h s ds g s, x s h s g s, x s s a b h h 0 в пространстве C a , b. Применяя формулу конечных приращений Лагранжа к функции g s, x , Покажем, что бесконечно малая функция при получаем g s, x g g h h s, x h s, x s s s g s, x h g s, x , 0 1 h s s g s, x h g s, x В силу равномерной непрерывности частной производной для любого 0 существует 0 такое, что при h , a s b выполнено неравенство g s, x h g s, x b a max K s, t s s Если h h , то b a max K t, s h h b a max K t, s Следовательно, h , h 17 18 Функция h 0 дифференцируема на C a , b. h 0. при §7. Функции двух переменных Следовательно, f : E1 E2 E3 Лемма 1. Общий вид линейного оператора или функция w f x, y . A LE1 E2 E3 A x, y A1 x A 2 y , A1 LE1 E3 , A 2 LE2 E3 Доказательство. Так как при выполнено неравенство y x (7.1) A1 LE1 E3 , A 2 LE2 E3 A 1 x A 2 y A 1 x A 2 y A 1 x A 2 y A1 A 2 x y C x , y , C A1 A 2 то A x, y A1 x A 2 y есть линейный оператор на E1 E2 . Пусть A LE1 E 2 E3 . Положим A x,0 A1 x , A0, y A 2 y . Так как A x,0 A x , A0, y A y то A1 , A 2 линейные операторы и A x, y A x,0 0, y A x,0 A0, y A1 x A 2 y Лемма доказана. Дифференцируемость. Функция если найдутся линейные операторы такие, что f x, y дифференцируема в точке x0 , y0 , A1 LE1 E3 , A 2 LE2 E3 f x, y f x0 , y0 Adx Bdy dx dy x, y где x, y бесконечно малая функция при определяются как A f x0 , y0 f x0 , y0 ,B x y 18 x, y x0 , y0 . Частные производные 19 df x, y Если f x0 , y0 f x0 , y0 dx dy x y z x, y , то функция f z f x, y и f x0 , y0 f x0 , y0 f zz0 , x y Правило дифференцирования сложной функции, примененное к f z дает f z u u du f zz u z u du f x0 , y0 , f x0 , y0 xu du, yu du x y f x, y f x, y f x, y f x, y , xu yu du xu du, yu du x y x y f x u , y u f x u , y u f x u , y u x u y u x y §8. Теорема о неявной функции. Пусть B1 , B2 , B3 - банаховы пространства. f : B1 B2 B3 . Будем обозначать z f x, y . Рассмотрим абстрактное уравнение f x, y 0 . Задана абстрактная функция эту функцию как f x, y 0 определяет на множестве U x0 U y0 переменную y как неявную функцию x , если для любого x U x0 существует единственный y U y0 такой, что f x, y 0 . Определение неявной функции. Говорят, что уравнение Теорема 1. (о неявной функции). Если 1) 2) f x0 , y0 0 функции f x, y и f y x, y непрерывны в окрестности точки x0 , y0 3) существует линейный ограниченный оператор f y x0 , y0 1 , такие, что на множестве U x0 U y 0 уравнение f x, y 0 определяет y как неявную функцию x . Неявная функция непрерывна и y x0 y0 . Доказательство. Запишем уравнение f x, y 0 в эквивалентной форме то существуют положительные числа y y0 f y x0 , y0 1 f x, y f x0 , y0 f y x0 , y0 y y0 F x, y (8.1) 19 20 Функция F x, y обладает следующими свойствами 1. Функции F x, y и Fy x, y непрерывны в окрестности U 0 x0 U 0 y0 , Fy x, y f y x0 , y0 1 f y x, y f y x0 , y0 F x0 , y 0 y 0 2. Пусть , Fy x0 , y 0 0 x x0 0 , y y 0 0 . Так как функция найдется такое f y x, y непрерывна и Fy x0 , y0 0 , то для 0,1 , что при x x0 , y y0 выполнено неравенство Fy x, y (8.2) Из формулы конечных приращений следует, что при каждом F x, y является оператором сжатия в шаре U y0 . Оценим теперь F x, y0 y0 . Подберем число 0 так, чтобы x U x 0 оператор F x, y0 y0 f y x0 , y0 1 f x, y0 1 x U x0 . Это возможно, поскольку функция f x, y0 непрерывна и стремится к нулю при x x0 . При каждом x U x0 оператор F x, y является оператором сжатия в шаре U y 0 и отображает этот шар в себя и поэтому у этого оператора есть единственная неподвижная точка в этом шаре. Тем самым уравнение f x, y 0 определяет в U x0 U y0 переменную y как неявную функцию x . Осталось доказать, что эта функция непрерывна. Докажем сначала непрерывность в точке x0 если y x y x0 F x, y x F x0 , y0 F x, y x F x, y x0 F x, y x0 F x0 , y x0 y x y x0 f y x0 , y0 1 f x, y0 Следовательно, y x y x0 1 f y x0 , y 0 1 f x, y 0 0 при x x0 1 Аналогично доказывается непрерывность в любой точке U Исследуем дифференцируемость неявной функции. 20 x0 . 21 Теорема 2. Если к условиям предыдущей теоремы добавить условие непрерывности функции Fx x, y в некоторой окрестности точки x0 , y0 , то найдется такая окрестность, в которой неявная функция будет дифференцируемой. Доказательство. Известно, что ряд Неймана I A A2 An 2 A LE E A 1 и его сумма есть 1 A1 . Это сразу следует из равенства сходится при I A A , An 1 A I An 1 Так как yx F x, yx , yx x F x x, yx y то y y x x y x F x x , y y F x , y 1 Fx x tx, y ty x Fy x tx, y ty y dt 0 Или 1 1 I Fy x tx, y ty dt y Fx x tx, y ty dt x 0 0 Fy x, y 0 при x x0 , y y0 , то в достаточно малой окрестности точки x0 , y0 Так как 1 1 0 0 Fy x tx, y ty dt Fy x tx, y ty dt 1 и поэтому 1 y I Fy x tx, y ty dt 0 1 1 Fx x tx, y ty dt x 0 Воспользовавшись непрерывностью частных производных, получаем 21 22 y I Fy x, y 1 Fx x, y x x, y, x, y x где x, y, x, y бесконечно малая при x 0 . Таким образом, неявная функция дифференцируема и y x I Fy x, y 1 Fx x, y Вспоминая, что F x, y y0 f y x0 , y0 1 f x, y f x0 , y0 f y x0 , y0 y y0 Fx f y x0 , y0 1 f x x, y Fy f y x0 , y0 1 f y x, y f y x0 , y0 I f y x0 , y0 1 f y x, y получаем y x f y 1 x0 , y 0 f y x, y 1 f y x0 , y 0 1 f x x, y f y x, y 1 f y x0 , y 0 f y x0 , y 0 1 f x x, y f y x, y 1 f x x, y Эту формулу можно получить, дифференцируя формально тождество f x, y x 0 В самом деле, f x x, y x f y x, y x y x 0 y x f y x, y x 1 f x x, y x 22