Второй тур Лига 8 классов

XVI турнир математических боев «Kostroma Open 8-9»
31 октября — 5 ноября 2010 года
Второй тур
Лига 8 классов
1.
В ряд висят несколько воздушных шариков, причем каждый следующий больше
предыдущего. На каждом написана буква, при этом складывается надпись
"ВАЖБГЕЛДКИМЗОН". Некоторые шарики раздули — в два или в три раза
(некоторые не трогали), и снова перевесили шарики по возрастанию. Могла ли
после этого сложиться надпись "АБВГДЕЖЗИКЛМНО"?
2.
В стране 100 городов и нет дорог. Веселый король хочет, чтобы из каждого
города выходило нечетное число дорог. Докажите, что среди проектов
исполнения королевского желания проектов с четным общим числом дорог
столько же, сколько и проектов с нечетным общим числом дорог.
3.
В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Таким образом, в
вершинах многоугольника сходится 15 углов. Верно ли, что если какие-то 7
углов из этих 15 равны, то пятиугольник правильный?
4.
К следователю привели четырёх обвиняемых, из которых ровно двое —
преступники; и пятерых свидетелей, из которых ровно двое — лжесвидетели.
Лжесвидетели всегда говорят неправду, а остальные — правду. Знающий всё
вышеописанное следователь может спросить у любого свидетеля про любого
обвиняемого: «Это преступник?». Как следователю с помощью семи таких
вопросов обнаружить обоих преступников?
5.
На катете BC прямоугольного треугольника ABC с углами C и A, равными 30 и
60 градусам соответственно, отмечена точка D, что 2BD = CD. Отмечены точка
X на гипотенузе и некоторая точка Y, что XD = DY = YC. Найдите углы
треугольника DXY.
6.
В школьном чемпионате по шахматам участвовало 44 человека. Каждый сыграл
с каждым по разу, и каждый выиграл ровно у двух одноклассников. Докажите,
что в чемпионате была ничья.
7.
На какое наименьшее число нулей может заканчиваться произведение 100
последовательных натуральных чисел?
8.
Положительные числа a, b, c и x, y, z удовлетворяют условиям a2 + b2 = c2,
x2 + y2 = z2. Докажите, что ax + by  cz.
Обед в 14:00.
После обеда остаться в столовой — вас заберут на бои.
XVI турнир математических боев «Kostroma Open 8-9»
31 октября — 5 ноября 2010 года
Второй тур
Лига 9 классов
1.
В ряд висят несколько воздушных шариков, причем каждый следующий больше
предыдущего. На каждом написана буква, при этом складывается надпись
"ВАЖБГЕЛДКИМЗОН". Некоторые шарики раздули — в два или в три раза
(некоторые не трогали), и снова перевесили шарики по возрастанию. Могла ли
после этого сложиться надпись "АБВГДЕЖЗИКЛМНО"?
2.
В стране 100 городов и нет дорог. Веселый король хочет, чтобы из каждого
города выходило нечетное число дорог. Докажите, что среди проектов
исполнения королевского желания проектов с четным общим числом дорог
столько же, сколько и проектов с нечетным общим числом дорог.
3.
В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Таким образом, в
вершинах многоугольника сходится 15 углов. Какое максимальное количество
углов можно отметить так, чтобы из их равенства не следовало, что
пятиугольник правильный?
4.
К следователю привели четырёх обвиняемых, из которых ровно двое —
преступники; и пятерых свидетелей, из которых ровно двое — лжесвидетели.
Лжесвидетели всегда говорят неправду, а остальные — правду. Знающий всё
вышеописанное следователь может спросить у любого свидетеля про любого
обвиняемого: «Это преступник?». Как следователю с помощью семи таких
вопросов обнаружить обоих преступников?
5.
Дан равносторонний треугольник ABC с центром M. На сторонах CA и CB взяты
соответственно точки D и E такие, что CD = CE. Точка F — середина отрезка
BD. Найдите углы треугольника MEF.
6.
В школьном чемпионате по шахматам участвовало 44 человека. Каждый сыграл
с каждым по разу, и каждый выиграл ровно у двух одноклассников. Докажите,
что в чемпионате была ничья.
7.
На какое наименьшее число нулей может заканчиваться произведение 100
последовательных натуральных чисел?
8.
Положительные числа a, b, c и x, y, z удовлетворяют условиям a2 + b2 = c2,
x2 + y2 = z2. Докажите, что ax + by  cz.
Обед в 14:00.
После обеда остаться в столовой — вас заберут на бои.