Д.А.КОСЕНКО, С.М.РЕТНЕВ, М.С.ФАРАФОНОВ Научный руководитель - В.А. ВОРОНЦОВ, к.ф.-м.н., доцент ИНТЕРАКТИВНЫЙ ПОИСК

Д.А.КОСЕНКО, С.М.РЕТНЕВ, М.С.ФАРАФОНОВ
Научный руководитель - В.А. ВОРОНЦОВ, к.ф.-м.н., доцент
Московский инженерно-физический институт
(государственный университет)
ИНТЕРАКТИВНЫЙ ПОИСК
МИНИМУМА ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В работе обосновываются достоинства интерактивного поиска минимума
функции многих переменных и приводятся результаты применения метода многомерной “амебы” для ряда поверхностей. Они могут быть положены в основу
проекта по созданию инструментального средства для решения экономических
задач, имеющего коммерческое значение.
Проблема поиска минимума функции многих переменных, возникающая в самых различных задачах, достаточно актуальна. Наличие самых
разнообразных методов поиска минимума, таких как, например, метод
спуска, метод сопряженных градиентов и т.п., свидетельствует о сложности решения этой задачи в общем виде. Во многом сложность подхода
объясняется неизвестной заранее формой многомерной поверхности, на
которой определена заданная функция. Многообразие форм поверхности
приводит к многообразию методов, и среди них нет выделенного, единого
метода, который был бы эффективнее других. Связь форма-метод очевидна.
Одной из общих характеристик наиболее распространенных методов
оптимизации функции многих переменных является отсутствие действенного контроля за продвижением к минимуму, формализация алгоритма,
завершающего поиск минимума, либо по количеству шагов, либо по степени приближения точки к минимуму, точнее по расстоянию между двумя соседними точками последовательности, сходящейся к минимуму.
Кроме того, общее количество точек, в которых рассматривается значение функции, невелико и обычно равно двум и оно не позволяет представить характерное поведение функции вблизи минимума. Многие методы, например, градиентные, требуют вычисления производной функции,
которая не всегда существует, что снижает эффективность метода, или же
вычисления функции во многих точках на одном итерационном шаге, что
также понижает эффективность рассматриваемого метода.
В связи с вышеизложенным приобретает смысл использование интерактивного режима поиска минимума функции многих переменных, при
котором включается интеллект оператора, осуществляющего навигацию в
многомерном пространстве.
Для интерактивного режима поиска минимума функции был выбран
известный метод “амебы”, обобщенный на случай многих переменных.
Он заключается в том, что в n мерной области определения функции задается многогранник, имеющий n+1 вершин, выбираемых тем или иным
способом. Затем вычисляется значение функции в вершинах многогранника и выбирается та из них, в которой функция принимает максимальное
значение. Эта вершина отображается в противолежащей грани многогранника через центр ее тяжести на заданную глубину. В полученном новом многограннике проводится очередной поиск вершины, в которой
функция имеет максимальное значение и так далее. Этот метод был проверен на ряде поверхностей, таких как
1)
эллипсоид
n
Z 2  R 2    i X i2
i 1
2)
параболоид
n
   i xi2 ,
i 1
3) желоб

mn
 x
2
i i ,
i 1
4) гофрированная поверхность
n
   sin  i x sin  i y
i 1
а также варианты этих поверхностей с различного рода выступами и
впадинами, определяемыми выражением
n
   i e

( ri  a i ) 2
2 i2
i 1
Полученные результаты показали высокую эффективность предлагаемого метода и возможность быстрой и успешной обучаемости оператора в
качестве навигатора. Простота метода возлагает особую ответственность
на навигатора, который осуществляет навигацию в многомерном пространстве, превращаясь тем самым в эксперта.
К числу решений, принимаемых навигатором, относятся: уменьшение
размера “амебы”, вариация последующего шага, обход, заключающийся в
выборе вершины для отражения, откат на один или несколько шагов, перенос всей “амебы” целиком в другую точку пространства.
В ходе движения “амебы” навигатор получает качественное представление о виде исследуемой поверхности и в соответствии с этим определяет способ и характер дальнейшего продвижения. Гибкость метода заключается как в возможности построения дерева возможных продолжений
движения “амебы”, так и в подключении совершенно новых продолжений
в виде исполняемых файлов, которые могут быть написаны и откомпилированы в процессе навигации.
На базе результатов проведенного исследования может быть создано
инструментальное средство решения конкретных практических задач.
Проект создания такого средства, представляющего законченный программный продукт, может включать в себя наряду с составлением программы, реализующей алгоритм минимизации функции, написание удобного графического интерфейса для навигатора. Одним из перспективных
направлений применения предлагаемого программного продукта может
быть направление, связанное с решением задач экономического профиля,
включая задачи инвестиционного менеджмента.