Урок для 11 класса по теме «Исследование функции».

2ой урок комплексного применения знаний и умений
Урок для 11 класса
по теме «Исследование функции». (Слайд 1)






Цели урока:
Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний свойств функции
(область определения, четность, нечетность, промежутки знакопостоянства и
монотонности) и умений по исследованию функции.
Раскрыть возможность использования производной для нахождения
промежутков выпуклости функции и точек перегиба.
Развивать:
умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при
исследовании функции;
навыки самоконтроля при выполнении самостоятельной работы.
Способствовать воспитанию воли и настойчивости для достижения
конечных результатов.
План урока:
1. Организационный момент. (4 минуты)
2. Актуализация знаний, умений, навыков. (21 минута)
3. Изучение нового материала. (6 минут)
4. Закрепление учебного материала. (8 минут)
5. Информация о домашнем задании. (2 минуты)
6. Подведение итогов урока. (4 минуты)
Оборудование:
Мультимедийный проектор, карточки для проведения рефлексии, оценочные
листы, карточки с разноуровневым заданием, таблица с дифференцированным
домашним заданием.
Используемые методы обучения:
Методы организации учебно-познавательной деятельности:
наглядные, практические, квазиисследовательские.
Методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности:
учебная дискуссия, эмоциональное воздействие.
Методы контроля: письменный, самопроверка.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Сегодня на урок я пришла с настроением, которое у меня ассоциируется с
солнышком. Покажите, пожалуйста, ваше настроение: если радостное и
спокойное, то покажите солнце, с тревогой и печалью – солнце за тучей,
Ломакина
Ирина
Владимировна
1
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
2ой урок комплексного применения знаний и умений
пасмурное, хочется остаться дома – туча. Я надеюсь, что встреча с математикой
ваше хорошее настроение укрепит.
Тема урока «Исследование функции». Цель занятия - выявить уровень
овладения вами комплексом знаний по свойствам функции (область
определения,
четность,
нечетность,
периодичность,
промежутки
знакопостоянства и монотонности) и умений по исследованию функции и
ликвидировать имеющиеся у вас пробелы. А при выполнении заданий вас ждёт
сюрприз, а точнее небольшая проблема, для решения которой необходимо
будет пополнить багаж ваших знаний. Мы изучим свойство функции, которое
рассматривается в классах с углублённым изучением математики. Я верю вам
интересно попробовать свои силы и доказать себе и другим, что вы можете
подняться на новую ступеньку в своих знаниях.
В: Теме функция уделяется большое внимание в курсе математики, еще, наверное
и потому, что функция, её график часто встречается в жизни, в
профессиональной среде. Где в своей работе с этим встречается врач, юрист?
Урок будет проходить в форме парной работы, в каждой из предложенных
групп заданий (их будет 5) ваша парта выбирает одно, под цифрой 1- задания
стандартные, под цифрой 2 – творческие. После выполнения упражнения и
последующей проверки вы оцениваете его в 1 балл, если у вас только идея
решения или 2 балла, если задание выполнено полностью.
Оценочный лист
Ф.И.
Задания
1. Область определения
2. Четность, периодичность
3. Точки пересечения с осями координат
4. Монотонность, экстремумы
5. Промежутки выпуклости, точки перегиба
Баллы
«3» - 5-6 баллов,
«4» - 7-8 баллов,
«5» - 9-10 баллов
Итоговый результат
Ломакина
Ирина
Владимировна
Уровень
2
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
2ой урок комплексного применения знаний и умений
2. Актуализация знаний, умений, навыков.
Исследование функции (Слайд 3). Впервые обозначение для функции вида
f(х) ввел Л. Эйлер (Слайд 10).
В: Назовите свойства функции, используемые для её исследования, желательно
придерживаться того порядка, который определён учебником.
После повторения свойств предлагается задание для выполнения.
1. Область определения (Слайд 3)
I. 1. Какова область определения функции
I. 2. Почему не существует график функции
Проверка на слайде 4.
y
x2  4
?
x2  x  6
f ( x)   x 2  2 x  2 ?
2. Четность, периодичность (Слайд 3)
II. 1. Является функция четной или нечетной?
II. 2. Определите период функции у = sin2x.
Проверка на слайде 6.
y
x2  9
3x
3. Точки пересечения с осями координат, знакопостоянство (Слайд 3)
III. 1. Может ли функция y 
1
обращаться в нуль?
x  2x
2
III. 1. В каких точках график функции у = х2 + 1 пересекает ось абсцисс?
Проверка на слайде 5.
4. Монотонность, экстремумы (Слайд 3)
IV. 1. Какая из данных функций
убывает
на всей числовой оси:
а) у = -х3 + х б) у = х3 – х
в) у = х3 + х г) у = -х3 – х2
д) у = -х3 - х
IV. 2. По графику производной некоторой функции
укажите интервалы, на которых функция монотонно
возрастает, убывает; назовите точки максимума,
минимума, перегиба.
Проверка на слайде 7.
Подведём промежуточный итог. Поднимите руки, кто набрал 7-8 баллов.
А у кого результат 5-6 баллов? Молодцы!
Ломакина
Ирина
Владимировна
3
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
2ой урок комплексного применения знаний и умений
При рассмотрении физического смысла производной вы узнали, что первая
производная от координаты по времени помогает находить скорость, а вторая
ускорение. При исследовании функции тоже помогает производная. Как мы
сейчас повторили, благодаря производной можно легко находить промежутки
монотонности. А вот какое влияние оказывает на график функции вторая
производная, мы попробуем установить далее.
3. Изучение нового материала. (Слайд 3)
Для того чтобы определить, как связаны между собой график функции и
вторая производная, проведите небольшое исследование по следующей схеме:
(Слайд 12). Все необходимые записи и вывод записать в тетради.
1. Рассмотрите функцию у=х3, постройте её график.
2. Найдите критические точки.
3. Проверьте их на экстремум.
4. Найдите вторую производную (производная от первой).
5. Определите знак второй производной слева и справа от критических точек.
6. Охарактеризуйте вид графика на этих промежутках.
7. Сделайте вывод, установив взаимосвязь между графиком функции и второй
производной.
Предполагаемый вывод: Если на промежутке (а; в) вторая производная
отрицательна, то на этом промежутке функция выпукла вверх, если же на
промежутке (а; в) вторая производная отрицательна, то на этом промежутке
функция выпукла вниз (вогнута).
4. Закрепление учебного материала.
V. 1. Исследовать функцию
y
3
2
x
x

 1,7
6
2
на
вогнутость. (Слайд 8)
выпуклость,
V.2. Имеет ли функция
у =-х4 + 4х3 – 4х2 +4
точку перегиба на отрезке [1;2]?
(Слайд 9)
Выбирается любое задание и выполняется индивидуально каждым
учащимся.
Два ученика выполняют задания с оборотной стороны доски для последующей
проверки.
Творческое задание.
Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её “автобиографии”. Найдите
область определения, нули функции, точку разрыва, промежуток возрастания и
убывания.
Ломакина
Ирина
Владимировна
4
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
2ой урок комплексного применения знаний и умений
Я – функция сложная, это известно,
Еще расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.
f ( x) 
f ( x) 
f ( x) 
1 4
x
4
2x
x2  x
x
x 1
2
f ( x) 
f ( x) 
1 3 1 2
x  x  2x  3
3
2
f ( x) 
x 1
x 1
f ( x)  ( x 2  1) 2
1
3  4x 2
 x  2
f ( x)  

 x  2
f ( x)  x(1  x)
2
5. Домашнее задание.
Предлагается на три уровня сложности. Один номер - стандарт, а одно задание
нестандартное.
Я предлагаю тем, кто набрал до 5 баллов, выполнить сначала задания 1 уровня, у
кого результат 6-7 баллов – 2 уровня, а остальные могут испытать свои силы при
выполнении домашнего задания 3 уровня.
Домашнее задание 1 уровня
1. Исследовать и построить
график функции
а) у = (х+1)3(х-2)
б) у = (х+2)2(х-2)
Домашнее задание 2 уровня
1. Исследовать и построить
график функции
x2  5
а) f ( x) 
2 x
x2  3
2. Нестандартное задание:
б) f ( x) 
x 1
составить
формулу,
задающую
функцию,
графиком которой была бы 2. Нестандартное задание:
составить формулу, задающую
прямая с выколотой точкой.
функцию, графиком которой была
бы одна точка.
Ломакина
Ирина
Владимировна
5
Домашнее задание 3 уровня
1. Исследовать и построить
график функции
а) f ( x)  x 2 1  2 x
б) f ( x)  4 x 2 1  4 x
2. Нестандартное задание:
отыскать функции, описывающие
реальные физические процессы,
которые вы изучали на уроках
физики, и исследуйте их.
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
2ой урок комплексного применения знаний и умений
6. Итог урока.
В: Рассмотрите взаимосвязь между свойством функции и производной.
В: Как влияет знак второй производной на выпуклость функции?
Знаете ли вы, кто является основателем дифференциального исчисления?
Ньютон, Лейбниц. (Слайд 11) Математик Ролль писал об их изобретении: “Новая
наука есть коллекция гениальных ошибок”.
Прошло более трёх столетий, и новая наука прочно вошла во все
математические книги, а Роля мало кто помнит. Так вот творите, выдумывайте и
фантазируйте. Быть может, в ваших силах придумать что-то новое в математике,
что кому-то покажется ошибочным, а оценено будет потомками.
В: Будьте добры, покажите, пожалуйста, ваше настроение в конце нашего урока.
В: Поставьте себе оценку за урок по следующим критериям: «3» - 5 баллов,
«4» - 7 баллов,
«5» - 9 баллов
В: Оцените работу учителя на уроке по пятибалльной системе.
Ломакина
Ирина
Владимировна
6
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11