6.1. Динамика движения материальной точки

Тема6. Динамика вращения
§6.1. Динамика движения материальной точки
по окружности
Кинематика
вращательного
движения
материальной
точки
рассматривалась в пунктах 1.5-1.6. Было отмечено, что даже при
равномерном движении материальной точки по окружности, ее линейная
скорость непрерывно изменяется по направлению. Это происходит благодаря

ускорению (1.21), называемому центростремительным аЦ , или нормальным

ускорением – аn . Ускорение материальной точки, в соответствии со вторым
законом
Ньютона,
сонаправлено
с
вектором
равнодействующей
приложенных сил, и равно:
 
a  F m.
Таким образом, равномерное движение по окружности материальная

точка может совершать, если равнодействующая F всех сил, приложенных к
ней,
направлена
к
центру
окружности.
Часто
силу
вызывающую
центростремительное ускорение называют "центростремительной силой".
Этот термин, как правило, вызывает заблуждение, ориентируя на поиск
специфической
центростремительной
силы.
Такой
особой
–
центростремительной силы в природе не существует. Центростремительное
ускорение вызывает равнодействующая приложенных сил. Во избежание
недоразумений и ошибок мы рекомендуем не пользоваться термином
"центростремительная сила", а уравнение динамики вращательного движения
материальной точки, масса которой равна m, записывать в следующем виде:


man   Fi .
i
Динамика движения материальной точки по окружности может быть
изучена на основе общего подхода – с помощью основного закона динамики
вращательного движения. Уточним некоторые определения.
Момент силы относительно точки O (полюса O ) – векторная
физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора r
точки приложения силы, проведенного из точки O , и вектора силы F :
 .

 
M  r,F
(0.1)
Рис.2.9. К определению вектора момента силы.
Напомним, что векторное произведение представляет собой вектор,
направление которого определяется по правилу буравчика. Абсолютная
величина (модуль) вектора векторного произведения равна произведению
модулей векторов–сомножителей и синуса угла между ними
 
M  rF sin  r , F  .


Из рисунка 2.9 видно, что модуль M можно представить следующим
образом:
 
M  rF sin  r , F   FL ,


  
где L  r sin  r , F  – плечо силы относительно точки O .


Плечо силы – кратчайшее расстояние от полюса O до линии действия
силы, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из полюса на линию действия
силы.
Момент силы относительно оси – это скалярная величина M , равная

проекции на эту ось вектора момента силы M , определенного относительно
точки, лежащей на этой оси:
M  F L ,
(0.2)

где F – проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси Z , L – плечо

силы F относительно оси Z .

В случае действия нескольких сил Fi результирующий момент равен

векторной сумме моментов M i всех сил:


M   Mi
или
M   Mi ,
в последнем выражении берут алгебраическую сумму, в которой знак M i

зависит от знака проекции M i на ось Z .
Момент импульса материальной точки относительно точки (полюса –

 
O ) – это векторная величина, равная векторному произведению L  r , p  , где

r
– радиус-вектор материальной точки (начало которого находится в полюсе

O ), p – импульс точки.
Момент инерции материальной точки относительно оси – скалярная
величина, равная произведению массы m материальной точки на квадрат
расстояния r от материальной точки до оси:
J  mr 2 .
Вращательное
уравнением,
движение
которое
называется
(0.3)
материальной
точки
основным
уравнением
описывается
динамики
вращательного движения. Запишем уравнение второго закон Ньютона для
материальной точки, движущейся по окружности радиусом r :


d
m
F.
(*)
dt

 
Учитывая формулу Эйлера    , r  , перепишем (*) следующим
образом:
 


d  , r 
 d  
  dr  
m
 m
, r  m  ,   F .
dt
 dt 
 dt 
Умножим справа обе части полученного уравнения векторно на

радиус-вектор r материальной точки:
m
 


   d   
    dr    
d  , r 
 m r 
, r    mr  ,    r , F .
dt
  dt  
  dt  
 
(0.4)
Соотношение (2.28) можно упростить. Действительно, поскольку


  dr 
вектор  ,  параллелен вектору r , то
 dt 

    dr  
r

,
  dt    0 .

 
Имеем:

   d     
m r 
, r   r , F .
  dt  
 
Раскрывая оставшееся двойное векторное произведение:



   d    d     d   
r ,  dt , r    dt r , r   r  r , dt   r , F



 


и учитывая, что векторы r и d dt взаимно перпендикулярны, а поэтому их
 
скалярное произведение равно нулю, приходим к выражению:

 
d
mr
 r,F .
dt
2
 
(0.5)


Правая часть уравнения (2.29) представляет собой момент M силы F
относительно
полюса.

Произведение
mr 2  J
есть
момент
инерции

материальной точки, d dt   – угловое ускорение вращательного движения.
Следовательно, уравнение (2.29) можно записать так:



d
J
 J  M .
dt
(0.6)
Уравнения (2.30) выражает основной закон динамики вращательного
движения материальной точки. Оно является не только следствием, но и
полным
аналогом
второго
закона
Ньютона
 
ma  F
для
случая
поступательного движения материальной точки.


Заметим, что уравнение J  M получено для случая, когда полюс
совпадает с центром вращения материальной точки. Если рассматривать
движение материальной точки относительно оси вращения Z , то уравнение
движения примет соответствующую скалярную форму:
JZ
dZ
 MZ ,
dt
(0.7)
где M Z – суммарный момент сил относительно оси Z , J Z – момент инерции
относительно оси, Z – проекция угловой скорости на ось Z , dZ dt   –
угловое ускорение.
Продифференцируем уравнение
 ,
  
L  r,P
определяющее момент

импульса L материальной точки по времени:

 


 
    d   

 
dL d r , m

  , m  r , m
  r , ma   r , F  M .
dt
dt
dt 

(0.8)


dL
M.
dt
(0.9)

 
Получаем:
Это уравнение является одним из основных уравнений динамики
вращательного движения материальной точки.
Из соотношения (2.33) следует, что под воздействием приложенного

момента сил M  0 момент импульса материальной точки изменяется таким
образом, что
 
dL  Mdt .
(0.10)
Соотношение (2.34) выражает закон изменения момента импульса.
Очевидно, что вектор приращения момента импульса

dL
направлен

параллельно вектору M момента силы.
Выражение момента импульса можно представить в следующем виде:

  
  

 
  
L  r , m  m r ,  mr ,  , r   J
Обратим внимание на то, что соотношения (2.30) и (2.33) получены
нами для материальной точки.
§6.2. Кинетическая энергия вращательного движения
Найдем кинетическую энергию тела, вращающегося относительно
неподвижной оси. Будем рассматривать тело как систему материальных
точек и воспользуемся формулой (2.62). Скорость i материальной точки
выразим через угловую скорость вращения тела по формуле Эйлера.
 2
mii2
mi i , ri   2
J 2
2
T 


 mi ri  2 .
2
2
2 i
i
i


Здесь через ri обозначен радиус-вектор i -ой частицы тела,  i ее
угловая скорость (одна и та же для всех точек), наконец J – момент инерции
тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Таким образом,
кинетическая энергия вращающегося тела описывается следующей формулой
T
J 2
.
2
(2.63)
Последнее уравнение для вращательного движения тела аналогично
уравнению T  m 2 2 для поступательного движения.
Если тело движется поступательно в инерциальной системе отсчета

со скоростью 0 и вращается относительно подвижной оси, проходящей

через центр масс с угловой скоростью  , причем ось перпендикулярна

направлению скорости 0 (так называемое плоское движение, например,
качение колеса), то его кинетическая энергия T равна сумме кинетических
энергий поступательного и вращательного движений:
T
m02 J 2
,

2
2
(2.64)
здесь m – масса тела, J – его момент инерции относительно оси вращения.
Докажем
справедливость
соотношения
(2.64).
Воспользуемся
классическим законом сложения скоростей:


 
i  ЦМ  , ri  ,
где
i -
скорость
движения
i -й
материальной
точки

относительно

неподвижной системы отсчёта; ЦМ – скорость центра масс тела; ri – радиус
вектор i -й точки, проведенный из центра масс;  – угловая скорость
вращения тела. Возведя выражение для i в квадрат, получим:
 
2
i2  ЦМ
  2ri2  2ЦМ , ri  .
Используем
свойство
аддитивности
кинетической
энергии,
запишем:
T   Ti  

m2
 
mii2
m  2r 2
  i ЦМ   i i  2 miЦМ  , ri  .
2
2
2
В полученном выражении последнее слагаемое равно нулю, т. к.
и
 
 


 m  , r    , m r    ,  (m r ),

i
вектор

m r m
i r
i
i

ЦМ
i

ЦМ
i i
ЦМ
i i
по определению равен радиус-вектору центра масс тела,
i
который равен нулю в системе центра масс. Окончательно имеем:
2
ЦМ
2
mЦМ
J 2
T
mi 
mi ri 

.


2
2
2
2
2
2