Вопрос о вычислении Птолемеем длины тени гномона

Статистический анализ длин теней гномона
в “Альмагесте” К. Птолемея
В сочинении греческого астронома Клавдия Птолемея “Альмагест” приведены длины
теней гномона для двадцати четырех климатов в дни солнцестояний и равноденствий.
Анализ этих данных показывает, что все эти величины являются результатом вычислений.
Сравнение величин невязок, которые представляют собой разность расчетных длин теней
гномона, с длинами теней, приведенных в “Альмагесте”, показывает существование двух
групп ошибок, дисперсия которых отличается в несколько раз. Этот результат требует
объяснения.
Lcalc-Lptol , [разность отн. ед.]
В книге 2-й ”Альмагеста” [1] содержатся длины теней гномона в дни солнцестояний и
равноденствий для двадцати четырех климатов (Приложение 1). Высота используемого
гномона составляет 60 условных единиц, а длины теней от гномона приведены с точностью
до 1 12 условной единицы. Точность, с которой Птолемей приводит широты климатов,
составляет одну минуту дуги. Так, широта Авалитского залива (3-й климат) составляет 8;25,
широта острова Мерое – 16;27 (5-й климат), а широта Геллеспонта 40;56 (13-й климат).
Кроме того, в этой же главе Птолемей использует угол наклона эклиптики к плоскости
небесного экватора, который соответствует его эпохе наблюдения, ε = 23;51;20 = 23.8555
градусов. Хотя Птолемей не сообщает, являются ли приведенные им длины теней
результатом реальных измерений или результатом вычислений, это можно установить.
Для этого, зная широты климатов и наклон эклиптики к экватору на эпоху Птолемея,
найдем расчетные длины теней гномона Lcalc для каждого климата и сравним их с данными
“Альмагеста”. Для этого вычислим невязки теней Lcalc  LPtol и построим их в зависимости от
расчетной длины тени Lcalc , рис. 1.
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450
Длина тени гномона, Lcalc , [отн. ед.]
Рис. 1. Зависимость величины невязки теней гномона от длины тени. Кружками,
квадратами и треугольниками обозначены данные, которые соответствуют летним
солнцестояниям, равноденствиям и зимним солнцестояниям
В таблице 1 вычислены значения средних невязок Lcalc  LPtol и соответствующие им
среднеквадратичные отклонения (СКО). Во втором и третьем столбцах представлены
результаты расчета, полученные по всей выборке данных, в четвертом и пятом столбцах
приведены результаты с отфильтрованными выбросами.
Таблица 1
Среднее
СКО
Среднее
СКО
Наблюдения
(все данные) (все данные)
(2σ)
(2σ)
Летнее солнцестояние
0.091
0.049
–0.022
–0.006
Равноденствие
0.021
0.064
0.027
0.056
Зимнее солнцестояние
0.578
0.077
0.215
–0.030
Отсюда можно сделать два важных заключения. Во-первых, усредненные невязки
Lcalc  LPtol для летних солнцестояний и равноденствий примерно одинаковы по величине,
среднеквадратичному отклонению, и соответствуют друг другу в пределах погрешности.
Невязка СКО, вычисленная для зимних солнцестояний, превышает невязки СКО летних
солнцестояний и равноденствий более чем в 4 раза, что требует объяснения. Во-вторых, с
точки зрения анализа, важной величиной является оценка СКО для невязок равноденствий,
поскольку именно она позволяет дать ответ на вопрос являются ли данные Птолемея
результатами наблюдений или результатами расчетов.
Оценка СКО для равноденствий позволяет получить теоретическую оценку точности, с
которой наблюдатель должен уметь определять момент наступления равноденствия.
Известно, что в день равноденствия склонение Солнца изменяется примерно на одну минуту
дуги за один час. Поэтому погрешность определения момента равноденствия ± n часов
приводит к вариации склонения ±n угловых минут. Из-за вариации склонения длина тени
гномона d в момент измерения окажется чуть меньше или чуть больше длины его тени d rav
в момент равноденствия. Следовательно, мы можем исследовать зависимость поведения
невязок d i  d i  d irav от погрешности определения момента равноденствия. Считая, что
ошибка определения момента наступления равноденствия подчиняется распределению
Гаусса с параметрами N (0; n) , смоделируем эту ошибку и вычислим, какие при этом
получатся невязки теней гномона для всех 24 климатов. Повторим эту процедуру по методу
Монте-Карло 30 раз и получим 720 значений невязок, для которых вычислим среднее
значение и теоретическое СКО. Проведя такую процедуру для разных значений n, построим
зависимость теоретического СКО от величины ошибки определения момента равноденствия.
Результаты расчетов представлены на рис. 2.
В случае реальных измерений величина ошибки будет больше, по сравнению с
теоретически вычисленными значениями СКО, поскольку расчет не учитывает погрешность
измерения длины тени. Полученная зависимость позволяет провести обратную оценку, когда
из вычисленного значения СКО можно найти погрешность определения момента
равноденствия. Если воспользоваться значением СКО из таблицы 1 для равноденствий, то
получим оценку погрешности времени ~ 1 часа. Иначе говоря, для того чтобы получить
значение СКО ~0.05 необходимо уметь определять момент наступления равноденствия с
точностью не хуже 1 часа. Кроме того, потребуется провести селекцию наблюдений, когда из
всего множества должны быть отобраны только те наблюдения, в которых момент
равноденствия совпадает с моментом прохождения Солнца через местный меридиан. Такая
задача вполне разрешима. В работе [2] показано, что наблюдения равноденствий,
выполненные греческими астрономами Метоном, Эвктемоном и Гиппархом, имеют ошибку
около 7.5 часов, чему соответствует теоретическое значение СКО ~0.25. Очевидно, что при
такой погрешности невозможно даже близко получить значения СКО, которые приведены в
таблице 1. Следовательно, длины теней гномона являются результатом вычислений, а не
измерений.
0,40
Теоретическое СКО
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ошибка определения момента равноденствия, [часы]
Рис. 2. Теоретическая зависимость СКО невязки длины тени гномона от величины
ошибки определения времени равноденствия
В дополнении к сказанному заметим, что данные Птолемея по наблюдению
равноденствий имеют значительно большие значения ошибок по сравнению с его
предшественниками. Это дает основание считать, что Птолемей не наблюдал сам моменты
равноденствий, а вычислял их. Причина расхождения состоит в неправильно принятой
величине скорости прецессии 1 градус в 100 лет, поэтому мы не будем далее рассматривать
наблюдения Птолемея, для которых теоретические значения СКО должны быть от 0.7 и
выше.
Таким образом, с помощью статистического анализа было показано, что длины теней
гномона являются вычисленными величинами. Этому выводу можно найти косвенное
подтверждение, если обратить внимание на то, что часть климатов и соответствующих им
широт связана с протяженными объектами, например, “Страны Нижнего Египта”(№ 9),
”Середина Финикии”(№ 10), “Середина Понта” (№ 15), “Юг Британии”(№ 19)”, ”середина
Британии” (№ 23). К точно локализуемым объектам относится лишь часть климатов,
например, Напату (№ 6), Сиена (№ 7), Геллеспонт (№ 13). Широты самых северных
климатов № 21÷№ 25, которые так же являются протяженными объектами, переданы целыми
числами. По всей видимости, этим климатам широта была априорно приписана из каких-то
соображений, после чего Птолемей для них вычислил продолжительность светового дня и
длины теней гномона.
Другим не менее важным вопросом к данным Птолемея является проблема невязок для
зимних солнцестояний, у которых СКО оказывается в 4 раза больше величины СКО для
летних солнцестояний и равноденствий. Основная причина отличия заключается в
аномально высоких значениях невязок, которые соответствуют климатам № 12÷№ 20, рис.
1. Значение невязки, усредненное по первым двенадцати климатам, составляет L  0.024
при величине среднеквадратичного отклонения   0.080 . Хотя значение СКО примерно в
1.5 раза превышает величины СКО из таблицы 1, оно было получено на выборке вдвое
меньшего объема. Если из данных по летним солнцестояниям и равноденствиям делать
случайные выборки из двенадцати элементов, то получим аналогичные величины СКО. Это
говорит о том, что длины теней гномона, соответствующие летним солнцестояниям,
равноденствиям и первым двенадцати климатам зимних солнцестояний имеют одинаковую
Lcalc-Lptol , [разность отн. ед.]
статистическую точность. Длина тени гномона во время зимних солнцестояний для климатов
~
№ 12÷№ 18 и № 20 имеет среднее значение L  0.162 и ~  0.344 , что значимо отличается
от всех предыдущих результатов, рис. 3.
Массалия
0,6
Устье
Истоки
Танаиса
Борисфена
Юг
Британии
Середина
Понта
0,4
0,2
0,0
Истоки
Истра
Озеро
Меотидское
-0,2
Устье
Рейна
[выброс]
Геллеспонт
-0,4
0
50
100
150
200
250
300
Длина тени гномона, L calc , [отн. ед.]
Рис. 3. Зависимость величины невязки теней гномона от длины тени для климатов с
наибольшими невязками. Кружками, квадратами и треугольниками обозначены данные,
которые соответствуют летним солнцестояниям, равноденствиям и зимним солнцестояниям
Из рис. 3 следует, что для этих же климатов, невязки соответствующие летним
солнцестояниям и равноденствиям имеют значение СКО ~0.08. Это означает, что проблема
высоких значений СКО для зимних солнцестояний не может являться следствием в ошибке
широты. Кроме того, проверка показала отсутствие ошибок в таблице хорд (или синусов
двойного угла) у Птолемея, поэтому высокие значения СКО соответствующие зимним
солнцестояниям не могут быть связаны с систематической ошибкой в вычислениях.
Наиболее вероятным объяснением наблюдающейся картины является предположение о том,
что длины теней гномонов, приведенные в “Альмагесте”, принадлежат как минимум двум
разным исследователям. Первоначально длины теней гномонов были получены в результате
реальных измерений или не очень точных теоретических расчетов. В последствии, они были
заменены более точным расчетом, но не полностью. Такое объяснение вполне соответствует
представлениям о компилятивном характере знаний, собранных в “Альмагесте” Птолемея.
Литература
1) К. Птолемей. Альмагест, М.: Физматлит, 1998.
2) Р. Ньютон. Преступление Клавдия Птолемея. М.:, “Наука”, 1985.
Место
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Остров Тапробану
Залив Авалитский
Залив Адулийский
Остров Мерое
Напату
Сиена
Гермиева Птолемиада
Страны Ниж. Египта
Середина Финикии
Родос
Смирна
Геллеспонт
Массалия
Середина Понта
Истоки Истра
Истоки Борисфена
Озеро Меотидское
Юг Британии
Устье Рейна
Устье Танаиса
Бригантий
Середина Британии
Катукартоний
Юг Малой Британии
Широта
4.2500
8.4167
12.500
16.450
20.233
23.850
27.200
30.367
33.333
36.000
38.583
40.933
43.067
45.017
46.850
48.533
50.067
51.500
52.833
54.017
55.000
56.000
57.000
58.000
Приложение 1
Длина тени в
Длина тени
Длина тени
летнее СС в равноденствие в зимнее СС
4.417
32.000
–23.333
8.833
37.900
–16.580
13.333
44.167
–12.000
17.750
51.000
–7.750
22.167
58.167
–3.750
0.000
26.500
65.833
3.500
30.833
74.167
6.867
35.083
83.083
10.000
39.500
93.083
12.917
43.600
103.333
15.667
47.833
114.917
18.500
52.167
127.833
20.833
55.917
140.250
23.250
60.000
155.083
25.500
63.917
171.500
27.500
67.833
188.583
29.917
71.667
208.333
31.417
75.417
229.333
33.333
79.083
256.167
34.917
82.583
278.750
36.250
85.667
304.500
37.667
88.833
335.250
39.167
92.417
372.667
40.667
96.000
419.167