МОР ВЗФЭИ методы оптимальных решений, 8

Задание 2
Решите
графическим
методом
типовую
задачу
оптимизации.
Осуществите проверку правильности решения с помощью средств MS Excel
(надстройки Поиск решения).
Имеется два вида корма (I и II), содержащих питательные вещества
(витамины) S1, S2 и S3. Данные о содержании питательных веществ в 1 кг
каждого вида корма и необходимом минимуме питательных веществ
приведены в таблице.
Питательное
вещество (витамин)
Необходимый минимум
питательных веществ
S1
S2
S3
9
8
12
Число единиц
питательных веществ в 1
кг корма
I
II
3
1
1
2
1
6
Стоимость 1 кг кормов: вида I – 4 ден. ед., вида II – 6 ден. ед.
Составьте дневной рацион, имеющий минимальную стоимость.
Постройте
экономико-математическую
модель
задачи,
дайте
необходимые комментарии к ее элементам и получите решение графическим
методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Решение.
Определение переменных. В рамках заданных ограничений следует
принять решение о том, какое количество каждого вида продукции следует
производить. Пусть х – количество корма первого вида. Пусть у – количество
корма второго вида.
Определение цели и ограничений. Цель состоит в минимизации
стоимости дневного рациона (целевая функция). Она минимизируется в
рамках ограничений по количеству питательных веществ.
Выразим цель через переменные:
Это целевая функция задачи – количественное соотношение, которое
подлежит оптимизации.
Выразим ограничения через переменные. Существуют следующие
ограничения на процесс:
а)
необходимый минимум питательных веществ
Корм содержит питательные вещества (витамины) S1, S2 и S3. Таким
образом:
б)
условие неотрицательности:
Окончательная формулировка задачи линейного программирования
имеет следующий вид:
при ограничениях:
Решим задачу графически.
Первое
ограничение
Прямая
по
первому
питательному
веществу
S1:
проходит через точки (0, 9) и (3, 0).
Второе ограничение по питательному веществу S2:
Прямая
проходит через точки (0, 4) и (8, 0).
Третье ограничение по питательному веществу S3
проходит через точки (0, 2) и (12, 0).
Четвертое ограничение
. Прямая
Для определения направления движения к оптимуму построим векторградиент , координаты которого являются частными производными целевой
функции, т.е.
.
Что бы построить этот вектор, нужно соединить точку (4; 6) с началом
координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в
направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном
направлении. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный
вектору . На рисунке 1 изображен вектор градиент (4; 6).
Рисунок 1. Минимум целевой функции достигается в точке (2, 3).
В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять в
противоположном направлении вектора градиента. В крайней левой, угловой
точке достигается минимум целевой функции. Для нахождения координат
этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из
соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку минимума:
Отсюда легко записать решение исходной задачи:
При решении задачи на максимум мы двигаемся в направлении
вектора-градиента и получаем данные: х = 12, у = +∞.
Проверка решения с помощью средств MS Excel.
Ответ: дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, состоит из
2 кг корма 1-го вида и 3 кг корма 2-го вида.
Задание 3
Рассчитайте параметры моделей экономически выгодных размеров
заказываемых партий.
Крупная юридическая фирма использует ежедневно в среднем 30
упаковок бумаги. Фирма работает 260 дней в году. Годовая стоимость
хранения бумаги оценивается в 20 руб. за упаковку. Затраты на оформление
и получение заказа составляют 120 руб. Доставка бумаги осуществляется в
течение одного дня. В настоящее время менеджер офиса использует объем
заказа в 200 упаковок.
Определите:
а)
объем заказа, который обеспечит минимальные расходы;
б)
период поставок;
в)
точку заказа;
г)
затраты на управление запасами за год.
Порекомендуете ли вы менеджеру использовать оптимальный объем
заказа вместо 200 упаковок?
Решение.
За единицу времени выберем год. Введем условные обозначения:
период времени:
;
спрос (потребность юридической фирмы в бумаге) за период Т:
издержки размещения заказа: s = 120 руб.;
удельные издержки хранения за период Т: H = 20 руб./уп.
Оптимальный объем заказа определяется по формуле:
Число партий (заказов) в течение года вычисляем по формуле:
Период поставки, т.е. время между подачами заказа или между
поставками:
Определяем среднесуточный спрос по формуле:
Точку восстановления запаса (уровень запасов, при которых делается
новый заказ) вычисляем по формуле:
Минимальные совокупные издержки заказа и хранения вычисляем по
формуле:
Рассчитаем параметры модели при использовании объема заказа в
200 шт.
Число партий (заказов) в течение года вычисляем по формуле:
Период поставки, т.е. время между подачами заказа или между
поставками:
Затраты на управление запасами на год составят:
Таким образом, при уменьшении размера оптимальной партии заказа
до 200 упаковок, затраты на управление запасами в год возрастут на
561,2 руб.
Решение с помощью средств MS Excel.
Ответ: юридическая фирма должна заказывать по 306 упаковок бумаги
каждые 10 дней. Всего количество заказов за год составляет 26 партий. Заказ
на поставку новой партии должен размещаться, когда величина наличного
запаса составит 30 шт. При этих условиях суммарные годовые затраты будут
минимальными и составят 6118,8 руб.
Задание 4
В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с
сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в
бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых
отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием
ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая
обслуживания.
Статистический
анализ
показал,
что
среднее
число
сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно λ = 8, а
среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, –
Тср = 10 мин.
Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии как
СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных
потерь рабочего времени!). Определите, сколько бухгалтеров должно
работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность
обслуживания сотрудников была выше 85 %.
Решение.
Оценим основные характеристики работы мастерской как СМО с
отказами.
Определим параметр μ потока обслуживаний:
Приведенная интенсивность потока заявок:
Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:
Вероятность отказа в обслуживании заявки:
Относительная пропускная способность:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число занятых бухгалтеров:
Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем
будет занято 0,965 бухгалтера из двух – остальные 1,035 будут простаивать.
Работу бухгалтеров вряд ли можно считать удовлетворительной, так как они
не обслуживают заявки в среднем в 27,6 % случаев (Р2= 0,276). Очевидно, что
пропускную способность при данных λ и μ можно увеличить только за счет
увеличения числа бухгалтеров.
Определим,
сколько
нужно
бухгалтеров,
чтобы
вероятность
обслуживания сотрудников была выше 85 %, т.е. чтобы вероятность отказа в
решении задач не превосходила 0,15. Для этого используем формулу
вероятности отказа:
Составим следующую таблицу:
n
р0
1
0,429
2
0,31
3
0,276
ротк
0,571
0,276
0,109
Анализируя данные таблицы, следует отметить, что увеличение
количества бухгалтеров при данных значениях λ и μ до 3 человек позволит
обеспечить вероятность обслуживания сотрудников на 89,1%, так как при
n = 3 вероятность отказа в обслуживании (ротк) составляет 0,109.
Решение средствами MS Excel.
Ответ: основные характеристики работы мастерской как СМО с
отказами:
вероятность отказа в обслуживании бухгалтера:
;
относительная пропускная способность бухгалтерии:
абсолютная пропускная способность:
;
сотрудников в час (в
среднем);
среднее число занятых бухгалтеров:
Если в бухгалтерии начнет работать три человека, то вероятность
обслуживания сотрудников будет выше 85 %.
Задание 5
Статистический
(длительность
анализ
показал,
что
обслуживания
клиента
в
случайная
величина
парикмахерской)
показательному закону распределения с параметром
Х
следует
, а число
клиентов, поступающих в единицу времени (случайная величина Y), – закону
Пуассона с параметром
Организуйте
датчики
псевдослучайных
чисел
для
целей
статистического моделирования (использования метода Монте-Карло).
Получите средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и
15 реализаций случайной величины Y.
Решение.
Имитационный эксперимент проведем с использованием MS Excel.
Вводим

значения
параметров
данных
законов
распределения
1
 1,0 и  = 2,3 в ячейки B1 и B5.
Tср
Получим
15 реализаций
случайной
величины
Х
(длительность
обслуживания клиента в парикмахерской, мин.). Для этого:
В ячейку B3 вводим формулу: =60*(-1/$B1)*LN(СЛЧИС()).
Копируем эту формулу в ячейки C3:P3.
Получим 15 реализаций случайной величины Y (время между
приходом в парикмахерскую двух клиентов, мин.). Для этого:
В ячейку B7 вводим формулу: =60*(-1/$B5)*LN(СЛЧИС()).
Копируем эту формулу в ячейки C7:P7.
Введем учет времени прихода в парикмахерскую клиентов (мин.). Для
этого:
В ячейку B9 вводим формулу: =B7 (время прихода 1-го клиента).
В ячейку C9 вводим формулу: =B9+C7 (время прихода 2-го клиента).
Копируем последнюю формулу в ячейки D9:P9 (время прихода
следующих клиентов).
Для контроля генерации псевдослучайных чисел вводим:
в ячейку Q1 формулу: =60/B1;
в ячейку Q3 формулу: =СРЗНАЧ(B3:P3);
в ячейку Q5 формулу: =60/B5;
в ячейку Q3 формулу: =СРЗНАЧ(B7:P7).
Рисунок 2. 15 реализаций случайных величин Х и Y