УДК 533.9 ЭКРАНИРОВАНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ НИТИ ДВУМЕРНЫМ ЭЛЕКТРОННЫМ ГАЗОМ СО СВЕРХСТРУКТУРОЙ В УСЛОВИЯХ

УДК 533.9
ЭКРАНИРОВАНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ НИТИ ДВУМЕРНЫМ
ЭЛЕКТРОННЫМ ГАЗОМ СО СВЕРХСТРУКТУРОЙ В УСЛОВИЯХ
ШТАРКОВСКОГО КВАНТОВАНИЯ
© С.Ю. Глазов1, Е.И. Выдрыч1, Т.А. Ковалева2,
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
пр. им. В.И. Ленина, 27, Волгоград, 400131
2
Волгоградский государственный медицинский университет
пл. Павших Борцов, 1, Волгоград, 400131
[email protected]
Изучено влияние постоянного однородного электрического поля на
проникновение поля равномерно и периодически заряженной нити в
двумерный электронный газ двумерной сверхрешетки. В присутствии
постоянного квантующего электрического поля потенциал осциллирует с
частотами, кратными штарковской частоте. Найдена амплитуда постоянной
составляющей потенциала в предположении невырожденного электронного
газа.
Ключевые слова: сверхрешетка, заряженная нить, экранирование.
1
В последнее время активно изучаются физические явления в
низкоразмерных объектах (двумерных - 2D и одномерных - 1D). В
реальных 2D – системах электроны испытывают действие
случайного потенциала, связанного с разнообразными дефектами
(шероховатость поверхности, заряженные примесные центры вблизи
канала и др.) Плотность состояния 2D – электронов определяется
характером неоднородностей, а также экранированием создаваемого
ими потенциала [1]. Экранирование поля точечного заряженного
центра рассмотрено в [2]. В [3] исследовано влияние однородного
высокочастотного поля на экранирование заряда двумерным
электронным газом.
Известно [4,5], что достаточно сильное постоянное
электрическое поле вызывает “блоховские” осцилляции электронов,
описываемых спектром:

(1)
 ( p)     cos(pxd )  cos(p yd ) ,
2
где  – полуширина минизоны проводимости; d – период
сверхрешетки (СР); px, py – компоненты квазиимпульса электрона в
плоскости СР, здесь и далее  =1.
Рассмотрим твердотельную структуру в плоскости z = 0 в


1
которой находится 2D электронный газ СР, разделяющий
пространство на две среды с разными диэлектрическими
проницаемостями: для z > 0 диэлектрическая постоянная равна +,
для z < 0 диэлектрическая постоянная -. Будем считать, что в
плоскости z = h (h > 0) имеется распределение электрического заряда


с поверхностной плотностью Q(  ) (   {x, y,0} ). Постоянное
электрическое поле воздействует на 2D электронный газ СР (вектор

напряженности E ориентирован вдоль оси OX). Найдем поле,

созданное распределением заряда Q(  ) в присутствии 2D
электронного
газа
и
постоянного
электрического
поля
воспользовавшись преобразованием Фурье:



 d 2q
~
.
(, z, t )   (q , z, t ) exp( iq)
(2) 2

Фурье компонента ~ (q , z , t )
получаемыми из уравнения Пуассона:
(2)
описывается
уравнениями,
~
 2~ /  z 2  q 2~   (4 /   ) Q (q)  ( z  h) ,
 2~ /  z 2  q 2~  0 ,


(3)
где Q~ (q) – Фурье компонента распределения заряда, а индексы + и указывают на величину для диапазонов z > 0 и z < 0 соответственно.
При z = 0 выполняются следующие граничные условия:
(     )
z 0
 
 
 0 ,      
z
z 

z 0
 4e a p  q a p . (4)
p
Правая часть (4) содержит Фурье компоненту плотности
заряда 2D газа
a p  q a p
в терминах операторов рождения и
уничтожения частиц. Угловые скобки означают усреднение с
матрицей
плотности,
соответствующей
гамильтониану,
учитывающему влияние постоянного электрического поля.
Фурье компонента
a p  q a p
определяется уравнением:

в приближении случайных фаз
 


 
 

 
 i  p  q  eEt   p  eEt  

 t

2



 a pq a p  ieq,0, t  n pq  n p , (5)
где n p  a p a p
– числа заполнения электронных уровней в 2D
электронном газе. Решив уравнение (5) относительно
a p  q a p ,
подставим результат в (4). После чего решив уравнения (3) с
использованием соответствующих граничных условий (4) , получим
выражение для потенциала при z < 0:
~ 


4
~
Q exp q z  h   e exp( qz ) a p  q a p . (6)
     q
p
Решая совместно уравнения (5) и (6) имеем:
2
~
~(q, z, t )  exp[ q(h  z )] Q(q) 
q
  J n ( z x ) J m ( z x ) exp[ it  st (n  m)] (      (q, n st )) 1 ,(7)
n,m
где
функция Бесселя вещественного аргумента,
z x   sin( q x d / 2) /  st ,  st = eEd – штарковская (блоховская)
частота,
n p  q  n p

4e 2
. (8)
 q,    q p
q  
 q y d  
 sin  p y  y d   
 sin 
2  
 2  
Jn(x)
-
Отметим, что в присутствии постоянного электрического поля
экранирующий потенциал осциллирует с частотами, кратными  st .
Это и есть проявление блоховских осцилляций электронов в
минизоне. Для постоянной составляющей потенциала (после
усреднения (7) по времени, значительно превышающего период
штарковских осцилляций), получим
~
4
~ (q, z ) 
exp q(h  z ) Q (q ) 
q
J
     (q, n st )) 1 .
2
n ( z x )( 
(9)
n
Рассмотрим далее невырожденный электронный газ, для
которого n p  exp   ( p x , p y ) / T , где T – температура в


энергетических единицах. Вычисление (8) значительно упрощается в
3
случае высоких температур: 2 << T. При этом в случае  st  
получаем следующее выражение:
   

| |
(10)
),
 q,      q  (1 
q
d


y

 2  2 sin 2 

2


2
где  = 4e N / [(      )T], N - поверхностная плотность 2D
электронного газа.
Тогда выражение для постоянной составляющей потенциала
примет вид:
~
4
~(q, z ) 
exp q(h  z )Q(q) 
q(     )
1
.
(11)
 J n2 ( z x )
| n st |

n
1  (1 
)
q
q d
2
2
2 y 

(n st )   sin 

2


Распределение постоянной части потенциала при z < 0
рассчитаем для случаев: равномерно и периодически заряженной
нити.
Пусть плотность распределения заряда задана соотношением
Q(  )  0 cos(kx)  ( y ) , 0 – линейная плотность заряда.
Произведя обратное Фурье-преобразование получим формулу
для распределения потенциала

2 cos(kx) e

 ( , z)  0
(     )

 k 2  q 2y ( h  z )  iqy y
k 2  q 2y

(12)
 
 kd  
J n2 
sin   dq y
  st  2  
| n st |

n   1 
(1 
)
2
2
q d
k  qy
2
2
2 y
(n st )   sin
2


Этот интеграл не выражается в табулированных функциях.
Анализ формулы (12) производился численно.
На рисунке 1 представлена зависимость экранированного
4
потенциала от координаты x. Численный анализ показал, что при
увеличении напряженности постоянного поля E увеличивается
эффект экранирования заряженной нити. Эта ситуация отражена на
рисунке 2, где показана зависимость экранированного потенциала от
координаты z.
Рис.1. Зависимость безразмерного потенциала от x при y=0, h/d=1,
z/d=-1,  /  st =0.5, a) kd = 1; b) kd=2.
Исследование поведения экранированного потенциала от
концентрации электронов в 2D газе СР показало, что при увеличении
концентрации носителей увеличивается эффект экранирования.
Случай равномерно заряженной нити получается из (12),
положив k = 0. Наиболее интересная ситуация получается при
повороте нити в плоскости, параллельной плоскости 2D
электронного газа. В этом случае плотность распределения заряда
удобно описывать одним из соотношений Q(  )  0  ( y  x) ,
Q(  )  0  ( x  y /  ) . Установлено, что постоянная составляющая
потенциала поля равномерно заряженной нити зависит от угла
поворота нити и является следствием анизотропности системы,
обусловленной в первую очередь наличием постоянного
5
электрического поля.
В итоге отметим, что наличие постоянного квантующего поля
приводит к усилению эффекта экранирования.
Рис.2. Зависимость безразмерного потенциала от z при x=y=0,
h/d = 1, kd = 1, a)  /  st =0.1; b)  /  st =0.9.
Приведем численные значения параметров задачи, при
которых выполняются сделанные выше приближения и можно
ожидать проявления максимального экранирования:  ~ 10-2 эВ, d ~
10-6 cм, st ~ 1013 c-1 (E ~ 103 B/см), N ~ 1011 см-2 . Для проявления
штарковского квантования необходимо выполнение условия st >>
1 ( - среднее время свободного пробега электрона). Последнее
неравенство может быть выполнено при  > 10-13 c (что является
довольно жестким условием на чистоту образца).
Литература
1. Кукушкин И.В., Мешков С.В., Тимофеев В.Б. // УФН. 1988. Т 155. N 2 С.
219 – 264.
2. Stern F. // Phys. Rev. Lett. 1967. V 8. N 14. Р. 546 – 548.
3. Shmelev G.M., Epshtein E.M. // J.Phys.: Condens. 1989. Р. 4013 – 4015.
4. Bryxin V.V., Firsov Yu.A. // Sol. St. Commin. 1972. N 10. Р. 471 – 474.
5. Глазов С.Ю., Кубракова Е.С. // Известия РАН. Серия физическая. 2011. Т
6
75. N 12. С. 1720-1722.
7
SCREENING OF THE CHARGET WIRE TWO-DIMENSIONAL
ELECTRONIC GAS WITH SUPERSTRUCTURE IN THE CONDITIONS OF
STARK QVANTIZATION
S.Yu. Glazov1, E.I. Vydrych1, T.A. Kovaleva2
1
Volgograd State Pedagogical University,
Volgograd, 400131, Lenin pr., 27, Russia,
2
Volgograd State Medical University,
Volgograd, 400131, Pavshikh Bortsov Sq, 1, Russia
The influence of a constant homogeneous electric field on the penetration
of the field periodically and uniformly charged wire in a two-dimensional electron gas two-dimensional superlattices. In the presence of a quantizing electric
field of constant potential oscillates with frequencies that are multiples of the
Stark frequency. Found the amplitude of the constant component of the capacity
under the assumption of a nondegenerate electron gas.
Keywords: superlattice, charged wire, energy spectrum of electrons.
8