З а д а н и я к ... Цель работы – освоить методы построения планов

Задания к контрольной работе.
Цель работы – освоить методы построения планов
погашения среднесрочных и долгосрочных кредитов.
В соответствии с вариантом задания слушатель должен
сформировать планы погашения задолженности для различных
условий, зафиксированных в кредитных договорах:
1) долг погашается единым паушальным платежом с
формированием погасительного фонда;
2) основная сумма долга гасится в конце срока, проценты
выплачиваются периодически, предусмотрено
формирование погасительного фонда;
3) основной долг гасится равными суммами, проценты
выплачиваются периодически;
4) долг гасится в форме аннуитета.
Методические указания к контрольной работе по дисциплине
«Финансовая математика»
Важное практическое применение теории аннуитетов – составление различных
вариантов (планов) погашения задолженностей (кредитов). При составлении плана
погашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика – выплаты
процентов и выплаты по погашению основной суммы долга (такие платежи носят
название срочных уплат или издержек по кредиту).
Варианты заданий по контрольной работе
№
Размер Ставка
кредита по
кредиту
Срок
кредита
(лет)
Частота
начисления
процентов
(выплат)
Ставка по
взносам в
погаситель
ный фонд
1
100000
2
4
12%
10%
План погашения кредитов оформляется, обычно, в виде таблицы:
№ периода
долг на начало
периода
процентные
выплаты
выплаты по
погашению
основного долга
издержки по
кредиту
Размеры срочных уплат зависят от условий погашения кредитов.
Основных вариантов погашения долгосрочных задолженностей – три.
I.
Погашение долга в один срок.
Частота
начисле
ния
процент
ов
2
Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока,
целесообразным бывает создание погасительного фонда, для чего периодически
вносятся в банк определенные суммы, на которые начисляются проценты.
Введем обозначения:
D – основная сумма долга (без процентов);
q – ставка процента по займу;
I – выплата процентов по займу;
R – размер взноса в погасительный фонд;
i – ставка, по которой начисляют проценты на взносы в фонд;
Y – величина срочной уплаты;
n – срок займа (в годах)
Найдем величину срочной уплаты Y и ее составляющих (Y=I+R).
По определению I=D*q
Сумма, накопленная в погасительном фонде за n лет, т.е. наращенная сумма
аннуитета с параметрами R и i, должна составить величину D. Используя
коэффициент конечной стоимости, получаем
(1  i ) n  1
DR
i
Отсюда
RD
i
(1  i ) n  1
Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяется формулой:
Y  Dq  D
i
(1  i ) n  1
Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме
долга, срочная уплата будет состоять только из взносов в погасительный фонд
( Y  R ). Общая сумма долга в момент времени n составит величину D(1  q) n ,
отсюда получаем
Y  R  D(1  q ) n
II.
i
(1  i ) n  1
Погашение долга равными суммами
Пусть долг погашается в течение n лет равными суммами, и проценты
выплачиваются периодически. Тогда на погашение долга постоянно идут платежи
размером D / n , а процентные выплаты ежегодно сокращаются, так как
уменьшается основная сумма долга.
Обозначим:
D k - сумма долга после K-го года;
I k - процентная выплата за K-й год.
Тогда
D1  D  D / n  D(1  1 / n) ;
I1  D  q
Y1  D  q  D / n
На конец второго года получим
D2  D1  D / n  D(1  2 / n) ;
I 2  D(1  1 / n)  q ;
и т.д.
Y2  D(1  1 / n)  q  D / n
Для определения размера срочной уплаты и процентного платежа после Kго года получаем
Dk  D(1  k / n) ;
I k  D1  (k  1) / nq ;
Yk  D1  (k  1) / nq  D / n
Из приведенных формул видно, что самые большие суммы приходится
платить в начале периода погашения, что может расцениваться как недостаток
этого метода погашения задолженности.
III.
Погашение долга с использованием постоянных срочных выплат (в форме
аннуитета).
Срочные уплаты при заданной форме погашения задолженности
представляют собой финансовую ренту (аннуитет) с соответствующими
параметрами ( D, q, n) .
Поэтому величина срочной уплаты определяется с использованием
коэффициента аннуитета по следующей формуле:
Y D
(1  q) n  q
(1  q) n  1
Известно, что срочная уплата Y складывается из процентных выплат I и
сумм, идущих на погашение основного долга R . Понятно, что со временем
составляющая I будет уменьшаться, т.к. уменьшается основная сумма
задолженности. Соответственно, составляющая R будет увеличиваться.
Обозначим через Rk сумму, идущую на погашение займа в конце К-го года
и запишем следующие соотношения
1)
2)
3)
4)
I k  Rk  I k 1  Rk 1
Dk  Dk 1  Rk
I k  Dk 1  q , откуда Dk 1  I k / q ;
I k 1  Dk  q , откуда Dk  I k 1 / q .
Подставляя выражение 3) и 4) в соотношение 2), получим:
I k 1 / q  I k / q  Rk , откуда I k 1  I k  Rk  q
Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:
I k  Rk  I k  Rk  q  Rk 1 ;
Откуда получаем
Rk 1  Rk (1  q)  R1 (1  q) k
Так как I 1 = D  q , для R1 получаем
R1  Y  I 1  Y  D  q
Для расчета D k можно использовать следующее выражение:
k
D k  D   Rt
t 1
Далее получаем:
I k  Dk 1  q
Последний метод погашения долгосрочных и среднесрочных кредитов
является наиболее распространенным в банковской практике.
Для лучшего понимания рассмотренного материала слушатель может
изучить дополнительную литературу: Кирлица В.П. «Финансовая математика.
Руководство к решению задач » (Гл. 5 «Планирование погашения долгосрочной
задолженности»).