векторная алгебра(лекции)

Векторная алгебра.
Вектор – это упорядочная пара точек или направленный отрезок и обозначается а
Длина отрезка – длинна вектора.
Вектор, у кторого начало и конец совпадают называют нулевым вектором.
Векторы комплонарны (параллельны), если они лежат в одной или параллельных прямых.
Комлонарные векторы называются одинаковао-ориентироваными если их концы по 1
сторону от прямой соединящей начало и противоположно ориентированы если их концы
по разные стороны от этой прямой.
Векторы называются равными если они комплонарны, одинаковоориентированы и длины
их равны.
Векторы – комплонарные если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той
же плоскости.
Линейные операции над векторами.
Сумма векторов называется вектор а, который замыкает ломанную, составленную из
векторов-слагаемых.
Разность векторов а и в = с , который в сумме с вектором в даст вектор а и направлен по
другой диагонали параллелограмма, от вычитаемого к уменьшаемому.
Произведением вектора а на число λ не равное 0 называется вектор в = λа, который
1. а//в;
2. а↑↑в если λ > 0 ( а ↑↓ в если λ < 0)
3. |b| =| λ |*|a|
Частный случай:
λ = - 1, тогда вектор в = -а – противопложный вектору а.
Операции сложения вектора и умножение на число – линейные операции.
Свойство линейных операций:
1. а+в = в+а;
2. а+в+с = (а+с)+в=а+(в+с);
3. а+0 = а;
4. а+(-а) = 0;
5. 1*а = а;
6. (αβ)*а = а*α*β = α*а*β;
7. (α+β)*а = α*а+а*β;
8. α*(а+в) = αа+ αв;
Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора.
Вектор а = α1а1+ α2а2+…+ αnan называется линейной комбинацией а1,а2,аn с числами α1,
α2…α n. Говорят, что вектор а линейно выражается через вектора а1, а2, аn.
Рассмотрим случай, когда |a| = 0 , то есть α1а1+ α2а2+…+ αnan = 0.
Возможные случаи:
1. если все αi =0, то аi называется линейно независимыми.
2. если Е αi ≠0, то а1, а2 …аn - линейно зависимые.
Теорема о линейно зависимости вектора.
а1, а2 …аn - линейно зависимые  один из них линейно выражается через другой (без
доказательства).
Теорема:
Если на прямой задан не нулевой вектор е, то для любого вектора а, лежащего на этой
прямой существует единственное число α такое, что вектор а = α*е.
Теорема 1:
Любые два вектора линейно зависимы  когда они параллельны.
Предполагается хотя бы один из векторов не нулевой, например а.
Необходимость –
Пусть вектор а и b линейно зависимы, тогда по теореме о линейно зависимости
вектора один из этих векторов выражается через другой, то есть вектор b = α*а => по
определению произведения вектора на число => а//b.
Достаточность –
Пусть а//b. Приведем их к общему началу и они будут лежать на 1 прямой по
теореме о существования единственного α такого, что b = α*a, а это означает линейную
зависимость векторов a и b.
Теорема 3:
Три вектора a,b,c - линейно зависимы  когда они комлонарны. Если два вектора из трех
параллельны, то b = α*a.
Совмещая b и с к общему началу увидим, что они лежат в одной плоскости. Рассмотрим
случай среди векторов a, b, c нет параллельных, то есть векторы a, b, c – линейно
независимы.
Необходимость –
Пусть векторы a, b, c – линейно зависимы, тогда по теореме о линейной
зависимости с = α*a+β*b. Приведем векторы a, b, c к общему началу и построим
параллелограмм,
тогда вектор с = ОА+ОВ. Тогда ОА = α*a и ОВ = β*b и с = α*a+β*b => вектора a, b, c
комплонарные.
Достаточность –
Пусть вектора a, b, c – комплонарные, то есть лежат в одно йплоскости. Привидем
эт векторы к общему началу и построим параллелограмм.
Вектор с =ОА+ОВ = α*a+β*b => линейны зависимы a, b, c.
Теорема 4.
Любые четыре вектора в просторанстве линейно зависимы.
1. любые три комлонарны,
по предыдущей теореме они линейно зависимы, то есть α*a+β*b+γ*с = 0 (α ≠0 β≠0
γ≠0 )
или α*a+β*b+γ*с * d = 0, что означает линейную зависимость вектора a, b, c, d.
Рассмотрим случай когда среди векторов a, b, c, d нет комплонарных. Приведем векторы
a, b, c, d к общему началу.
Построим параллелепипед так, чтобы один из векторов d направлен по диагонали
параллепипеда.
ОМ = ОА+ОВ = α*a+β*b.
Рассмотрим параллелограмм ОМВС ОД=ОМ +ОС = d = α*a+β*b+γ*с => то есть линейно
выражаем через a, b, c , а это означает линейную зависимость вектора a, b, c.
Базисом в пространстве называют любую совокупность трех линейно независимых
векторов.
Базисом на плоскости называют любую пару не комлонарных векторов.
Базисом на прямой называют любой вектор на этой прямой.
Все эти базисы называются оформленными базисами.
Если базисные векторы взаимопенпердикулярны и длины равны единицы, то базисы декартовые.
Декартовые базисы в пространстве веторы пенпердикулярны i=j =k =1.
Декартовые координаты на плоскости пенпердикулярны i = j=1
Декартовые координаты на прямой |i| =1
Совокупность 0 и базиса – система координат. В случае аффиксного базиса – аффиксная
система координат; в случае декартового базиса – декартовая система координат (ДСК).
Теорема:
Любой вектор линейно выражается через базисные, любой вектор можно представить как
линейную комбинацию базисного вектора и при этом единственным образом.
Доказательство –
Пусть e1, e2, e3 - базисные векторы в пространстве и вектор а – произвольный вектор этого
пространства. Имеем в пространстве четыре вектора e1, e2, e3 и а, которые по теореме
всегда линейно зависимы, то есть α*a+ α1 * e1+ α2 * e2+ α3* e3 = 0, причем всегда α ≠0, так
как в противном случае α1 * e1+ α2 * e2+ α3* e3 = 0 и существует αi , что означает
линейную зависимость векторов e1 ,e2 ,e3 , а это противоречит условию, что векторы e1 ,e2,
e3 базисные.
а=

1

e1`  2 e2`  3 e3`



а = β1* e1 +β2* e2 +β3* e3,
то есть вектор а – линейная комбинация базисных векторов e1 ,e2 ,e3 .
Докажем единственность этого разложения. Предположим противное: существует другое
разложение по базису а = γ1* e1 + γ 2* e2 + γ 3* e3
Вычитая из одного разложение другое получим 0 = (β1 – γ1)*e1+(β2 – γ2)*e2+(β3 – γ3)*e3 так
как e1 ,e2 ,e3 - базисные, то они линейно независимы, тогда β1 – γ1= 0 β2 - γ2 =0 β3 – γ3 =0 =>
β1 =γ1 β2 =γ2 β3 =γ3.
Коэффициенты разложения вектора а по базисному минору e1 ,e2 ,e3 называется
координатами вектора относительно этого базиса и обозначается в пространстве а =
а1е1+а2е2+а3е3(разложение по базису) = {a1a2a3}(координаты вектора) .
a = a1i+a2j+a2k (разложение по декартовому базису)= {a1,a2,a3}(декартовые координаты
вектора).
На плоскости –
а = а1е1+а2е2 = {a1a2}
a = a1i+a2j = {a1a2}
На прямой –
a = a1i= {a1}
а = а1е1 = {a1}
Теорема (ОТВА)
Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциям над их
координатами.
Доказательство – в пространстве
Рассмотрим базис e1 ,e2 ,e3
Векторы а = {z1z2z3} =z1e1+z2e2+z3e3
a1 = {x1x2x3} = x1e1+x2e2+x3e3
a2 = {y1y2y3} = y1e1+y2e2+y3e3
Причем вектор а = λа1+βа2