Взаимодействие двух пробных зарядов в плазме

Гамильтониан взаимодействия зарядов в кристалле или плазме
через фононы и плазмоны
В этом параграфе будет показано, что гамильтониан частиц (обычно фермионов),
которые помимо прямого парного кулоновского взаимодействия могут
взаимодействовать с полем фононов или плазмонов, представим в виде,
соответствующем парному взаимодействию этих частиц. В представлении вторичного
квантования исходный гамильтониан:
H     q,  ak, ak ,      q  bq, bq ,  12 
(1.1)



q ,
k ,
k , k , q , , 
4  e 2
q2

ak q , ak q ,  ak ,  ak , 

i   F  q  ak q , ak , bq ,  ak q , ak , bq
k , q ,

В случае плазмонов гамильтониан взаимодействия пробной частицы с этими
возбуждениями был получен в разделе §, где вычислялись поляризационные потери.
V  r   izпр.   4qe  e V 
2
irq
q
(1.2)
F  q  
и
ne
2 m  q 

 bq  bq

ne
2 m  q 
4  e 2
q
Гамильтониан (1.1) содержит последнюю сумму, которая связана с взаимодействием с
бозонным полем. Наша задача представить ее в виде аналогичном парному
кулоновскому взаимодействию (предпоследняя сумма в (1.1)). Введем новые
операторы соотношениями, которые по виду аналогичны формулам () задачи 25
задания (параграфа §) для двух точечных классических зарядов в фиксированных
пространственных точках.
bq ,   q ,  cq , , bq,   q,  cq,
(1.3)
Однако, здесь cˆq , и cˆq, уже не числа, а операторы, которые, как мы увидим, будут
квадратичны по операторам частиц. Снова подставим (1.3) в (1.1) и потребуем
обращения в нуль коэффициентов перед линейными по ˆq , - операторам членами,
тогда:
(1.4)
cq ,  i
F *  q 
  q 
a
k , 

k   q ,  k , 
a
, cq,  i
F  q 
  q 
a
k ,

k ,
ak  q ,  i   q   ak q , ak , ,
F q
k ,
а сам гамильтониан (1.1) приобретает вид:
H     k,   ak , ak ,      q  q,q ,  12 
q ,
k ,
(1.5)


2
 4  e 2 

F  q 



 q2 ak  q , ak q ,ak ,ak ,    q  ak  q , ak , ak q ,ak , 


k , k , q ,  ,   
Два раза переставив, операторы частиц в последнем слагаемом, выражение в
фигурных скобках приобретает вид, соответствующий оператору парного
взаимодействия. Фурье - образ эффективного потенциала парного взаимодействия:

(1.6)

wef  q   4q2e  
2

F  q 
2
  q 
Не зависимо от вида коммутационных соотношений для операторов частиц,
гамильтониан (1.1) приводится к виду:
2

F q  
H      k,       q   ak , ak ,      q  q,q ,  12 
 ,q
q ,
k , 

(1.7)


  w ef  q  ak  q , ak q ,ak ,ak ,


k , k , q ,  ,  

Необходимо проверить, что новые фононные операторы ˆq , , ˆq , удовлетворяют
прежним бозевским коммутационным соотношениям и поэтому сделанное здесь
преобразование каноническое. Для этого достаточно убедиться, что операторы cˆq , и
cˆq, , действующие только на электронные переменные между собой коммутируют.




  ak  q,  ak ,  ,  ak  q , ak , 
k ,
 k , 





ak  q,  ak ,  ak  q , ak ,   ak  q , ak , ak  q,  ak ,  
 cq, , cq,  

(1.8)
k , , k , 



  q    q 
k , , k , 
a
k , , k , 

F *  q  F  q 
a
k , , k , 


k   q ,  k  q ,
a

k  q ,
a
ak ,  ak ,   ak q  q, ak , 
k ,
a ak ,    ak q q ,  ak ,   0

k   q ,  k ,
k , 
Аналогично проверяем, что:




  ak  q,  ak ,  ,  ak  q , ak , 
k ,
 k , 





ak  q,  ak ,  ak  q , ak ,   ak  q , ak , ak  q,  ak ,  
 cq, , cq ,  
(1.9)

k , , k , 


k , , k , 


k , , k , 
F

q
F  q 
  q    q 
k , , k , 
a


k   q ,  k  q ,
ak ,  ak ,   ak q  q, ak ,

k  q ,
a ak ,    ak q q ,  ak ,   0
a
a
a
k ,

k   q ,  k ,
k , 
Таким образом, новые коллективные возбуждения решетки и электронной плотности
имеют старый фононный спектр, а энергетический спектр электронов смещается вниз
на константу.
Вклад в эффективный потенциал плазменных колебаний в модели «желе» легко
записать, подставив в (1.6) выражение для частоты (G.5) и коэффициент из формулы
для поляризационного взаимодействия (Pint.5).
iq r  r
z 2 пр.e 2
4  e  1 2 
V  r1 , r2  
(1.10)
q 2 5 2
2

q
18
За счет плазменных волн взаимодействие экранируется на расстояниях порядка
дебаевского радиуса. ( Вероятно, появление коэффициента связано c b?????.)
6  e2  ne
2
1
rDe   и  
(1.11)

F
В металле для модели «желе» помимо плазменных колебаний, приводящих к
экранировке кулона (экранировка странная?), нужно учесть и ионный звук
0   l  k,    1   2 k 2    p2i  2  .
Взаимодействие электрона вырожденной плазмы со звуком в нейтральной среде
можно описать, как
V  r   i  
q
q
V  2  n  M  ci.s
соответственно F  q   
  e

i  rq ˆ
i  rq ˆ  
 bq  e
 bq 

q
, 
2  n  Mpi
2 F
, ci.s
3
pi

,
Фурье – образ эффективного потенциала
w ef  q  
e2
4
2  2 q2

2nMp2
2  2 5  q2
i
18
При q<< κ
4  e 2
3
V q  
 2
2
2  n  2 F
5
9
6  F
2 F
3
 2

,   1.265 F
3
2  n  2 F
5n
6  F F 1

число 3.6 ?**???
5n 3 n
Если эффективная константа взаимодействия  через «мягкую» фононную моду не
2F/3, как в ионном звуке, а больше 1.265F , то для всех q взаимодействие
соответствует притяжению. При =2F/3 притяжение только для q>0.7.
Эффективное притяжение между электронами, приводящее к сверхпроводимости,
может возникать в «плохих» проводниках, у которых больше , поскольку эта же
величина определяет в нормальном состоянии рассеяние на фононах.
9.1095  10
m
28 
( gm)
M at
1.66057  10
kB
4.8032  10
eq
n0
10 
19 
2.6868  10
h
1
cm
 pi
5

6.6262  10
2
 l( k   )
40  M at
13
 pi  2.813 10
V
1.3806  10
16  erg
K
sec
2
eV
 pi
1
c
8
v F  1.326 10
7
10 cm
2
k
1 2
2
 pi

2
1.6022  10
12 
erg
eq
8
10  cm
2
m
1
erg  sec
2
m
5  eV
27 
h

1
1
vF
( gm)
statcoul
3
 eV 
24 
cm sec
1
1
e q V
5
c  2.813 10
eV  1.602 10
cm sec
1
12
2
2
gm cm sec