Переменная ставка дисконтирования

А. Н. Фоменко
Использование переменной ставки дисконтирования при оценке
стоимости объектов недвижимости в рамках доходного подхода
Принято считать, что ставка доходности финансовых вложений характеризует
уровень риска инвестиций. При прочих равных условиях, чем более длительный срок
финансовых вложений, тем выше риск и тем выше ставка доходности, являющаяся
премией за этот риск. Такая же тенденция характерна и для так называемой «безрисковой
ставки», в качестве которой наиболее часто принимается доходность Еврооблигаций
Минфина. Так доходность Еврооблигаций с разным сроком погашения в каждый
фиксированный момент времени снижается с уменьшением времени оставшегося до их
погашения (исключение составляет Еврооблигация с наибольшим сроком погашения).
Тем не менее, все они являются безрисковыми в плане возврата инвестиций, однако в
соответствии с теорией наилучшей ликвидности [1], которая наиболее согласуется
эмпирическим данным, предполагается, что инвестиции в краткосрочные ценные бумаги
меньше подвержены риску существенного изменения процентной ставки. Поэтому
доходность Еврооблигаций с большим сроком погашения выше, что можно рассматривать
как премию за ликвидность.
Так, например, доходность Еврооблигаций на 6.06.05 составила [2]:
- 3,26% со сроком погашения 24.07.05,
- 4,38% со сроком погашения 26.06.07,
- 4,65% со сроком погашения 31.03.10,
- 5,74% со сроком погашения 24.07.18.
Средние темпы изменения (прироста) доходности (спот-ставок), по отношению к
уровню доходности по Еврооблигации с ближайшим сроком погашения (24.07.05)
составляют: 16,6 % в год, 7,9 % в год, 4,4% в год, соответственно. Следует отметить, что
существуют некоторые «высокочастотные» колебания значений ставок доходности по
Еврооблигациям во времени, которые наиболее существенны для ближайшего срока
погашения. Однако, несмотря на то, что амплитуда этих колебаний со временем
возрастает, ее величина остается существенно меньше разности между средними ставками
доходности Еврооблигаций с разными сроками погашения.
Более детально вопросы изменения ставки доходности по Еврооблигациям и
регрессионная зависимость, описывающая эти изменения, приведены в [3]. Используя
предложенную регрессионную зависимость, произведем оценку спот-ставок
Еврооблигаций для различных сроков погашения, а так же произведем расчет форвардных
ставок и среднегодовых темпов их прироста относительно базового уровня (спот-ставки
для срока погашения 1 год). Расчетные зависимости имеют вид [1, 3, 4]:
(1  s m 1 ) m 1
s m  3,116  0,4346m  0,0114m 2 ;
im 1 
;
(1  s m ) m
i1  s1 ;
t s  (m1
sm
 1)  100% ;
s1
t i  (m1
im
 1)  100% ;
s1
где:
sm – спот-ставка периода погашения m,
im – форвардная ставка периода погашения m,
ts – темп прироста спот-ставки (при фиксированной базе s1),
ti – темп прироста форвардной ставки (при фиксированной базе s1),
m – период погашения.
Результаты расчета представлены на рис.1.
Рис. 1. Зависимость спот-ставок, форвардных ставок, среднегодовых
темпов их прироста (относительно спот-ставки периода погашения 1
год) от периода погашения.
В соответствии с этой зависимостью, средний темп изменения ставки доходности,
например, Еврооблигации с 5-ти летним сроком погашения, по отношению сроку
погашения 1 год, составляет для спот-ставки - 9,4% в год, для форвардной ставки 13,5% в
год.
Доходный подход к оценке рыночной стоимости объектов недвижимости основан на
определении стоимости будущих доходов потенциального инвестора и, следовательно,
есть все основания полагать, что ставка доходности будет зависеть от длительности
вложения средств, так как с увеличением времени возрастают риски. Поэтому,
прогнозируя текущую стоимость будущих доходов целесообразно учесть возрастание
уровня риска изменением ставки доходности в течение прогнозного периода. По существу
это означает, что расчет методом дисконтирования денежных потоков (ДДП) может
осуществляться при переменной ставке дисконтирования в пределах прогнозного
периода.
В общем случае расчетная формула для определения текущей стоимости объекта
недвижимости при переменной ставке дисконтирования имеет вид:
Cn
C1
C2
M
;
(1)
PV 

 ... 

(1  i1 ) (1  i1 )(1  i2 )
(1  i1 )(1  i2 )...(1  in ) (1  i1 )(1  i2 )...(1  in )
C
M  n1 ;
r
где:
PV – текущая стоимость,
Cm – денежный поток прогнозного периода m = 1, 2, … ,n,
M – стоимость реверсии,
im – ставка дисконтирования прогнозного периода m = 1, 2, … ,n,
r – коэффициент капитализации,
m- текущий номер прогнозного периода,
n – количество прогнозных периодов.
При расчете рыночной стоимости объектов недвижимости с использованием
доходного подхода, величина ставки доходности (дисконтирования) обычно
рассчитывается кумулятивным методом [5]. При определении ее величины за основу
берется безрисковая ставка доходности, к которой прибавляются премии (надбавки) за
риск. Поскольку с увеличением периода прогнозирования риск финансовых вложений
возрастает, то инвестор в праве требовать увеличения премии за риск, что должно
приводить к росту ставки дисконтирования во времени.
Произведем сравнительный расчет стоимости объекта недвижимости в классической
постановке (с неизменной ставкой дисконтирования) и, в предположении, что ставка
дисконтирования изменяется (увеличивается) во времени с постоянным темпом прироста.
Исходные данные, принятые при проведении расчетов:
- чистый операционный доход (ЧОД) для 1-го периода - равен 1,
- коэффициент роста ЧОД в прогнозный, постпрогнозный периоды – 1,05 (5% в год),
- первоначальные капитальные вложения - равны 0,
- ставка дисконтирования (начальная для 1-го периода) - равна 15%,
- коэффициент роста ставки дисконтирования – 1,065 (6,5% в год),
- норма возврата капитала (по методу Ринга) – 2%.
Сравнительные расчеты проводились для разного количества прогнозных периодов
(горизонтов прогноза), от 1 до 10. При этом, для обеспечения сопоставимости
результатов, полученных для разного количества прогнозных периодов, норма возврата
капитала так же должна возрастать с переменным коэффициентом, величина которого
приблизительно равна 1,02 (предполагалось, что на дату оценки оставшийся срок
экономической жизни объекта недвижимости составляет 50 лет и уменьшается по мере
роста горизонта прогноза). Результаты расчетов представлены на рис 2.
Рис. 2. Зависимость стоимости объекта оценки от количества
периодов прогноза при постоянной и переменной ставках
дисконтирования.
Проведенные расчеты показывают, что стоимость объекта оценки, определенная с
применением постоянной ставки дисконтирования, существенно изменяется в
зависимости от выбранного горизонта прогноза (в 1,33 раза выше для 10-ти летнего, по
сравнению с 1-летним периодом). Стоимость объекта оценки, определенная с
применением переменной (возрастающей с постоянным темпом прироста) ставки
дисконтирования, практически не зависит (изменение менее 1%) от выбранного
количества периодов прогноза. Соотношение стоимостей объекта оценки, определенного
разными методами составляет, например, для горизонта прогноза 5 лет – 1,18.
Попробуем оценить, не связан ли «эффект нивелирования» стоимости объекта
оценки по отношению к горизонту прогноза при переменной ставке дисконтирования со
случайным выбором исходных данных. С этой целью, произведем расчеты с
использованием переменной ставки дисконтирования, варьируя в значительных пределах
по отдельности каждую из величин, входящих в уравнение (1).
Так, варьирование темпом прироста ставки дисконтирования показало, что для
принятых исходных данных «эффект нивелирования» проявляется (с точностью до 1%) в
узком диапазоне значений темпа прироста ставки дисконтирования: 6,5  0,4%.
Рис. 3. Зависимость стоимости объекта недвижимости от горизонта
прогноза при различных (0...10% в год) темпах прироста ставки
дисконтирования.
Расчеты так же показали, что изменение величины первоначальных капитальных
вложений в диапазоне 0…3 влияют только на абсолютную величину стоимости, которая
практически не зависят (изменение менее 1%) от горизонта прогноза.
Варьирование ставки дисконтирования в пределах 10…25% (при постоянном
коэффициенте роста 1,065) не нарушает «эффект нивелирования», за исключением
однолетнего горизонта прогноза (отклонение до 2,5%).
Изменение темпа прироста ЧОД в диапазоне 0…10% в год при фиксированном
темпе прироста ставки дисконтирования (6,5% в год), существенным образом влияет на
характер зависимости стоимости объекта оценки от горизонта прогноза (см. рис. 4.).
Изменение нормы возврата капитала в диапазоне 1…5% (оставшегося срока
экономической жизни объекта оценки - 100…20 лет) асимптотически стремится к
«нивелированному уровню» при горизонте прогноза более 10 лет (см. рис. 5.), что можно
объяснить снижением относительного вклада стоимости реверсии в стоимость объекта
недвижимости.
Следует отметить, что при изменении существенно влияющих параметров «эффект
нивелирования» может быть восстановлен путем соответствующего изменения темпа
прироста ставки дисконтирования относительно исходного уровня 6,5% в год. Степень
такого соответствия приведена в табл. 1 и 2.
Рис. 4. Зависимость стоимости объекта недвижимости от горизонта
прогноза при различных (0...10% в год) темпах прироста ЧОД.
Рис. 5. Зависимость стоимости объекта недвижимости от горизонта
прогноза при различной норме возврата капитала (1...5%) и
соответствующих темпах его прироста.
Табл. 1. Значения темпов прироста ставки дисконтирования,
обеспечивающих «эффект нивелирования» при изменении темпов
прироста ЧОД.
Значения темпов прироста ЧОД
0%
2%
5%
7%
10%
Значения темпов прироста ставки дисконтирования,
2,0% 4,0% 6,5% 8,0% 10,5%
обеспечивающих «эффект нивелирования»
Табл. 2. Значения темпов прироста ставки дисконтирования,
обеспечивающих «эффект нивелирования» при изменении величин
нормы возврата капитала.
Значения нормы возврата капитала
1%
2%
3%
4%
5%
Значения темпов прироста ставки дисконтирования,
5,5% 6,5% 7,5% 9,0% 10,5%
обеспечивающих «эффект нивелирования»
Возможным объяснением результатов приведенных в табл. 1, может быть
следующее. Увеличение темпа прироста ЧОД в какой-то области инвестиций, повышает
доходность вложения капитала, и как следствие увеличивает привлекательность для
инвестора. Ожидаемый приток количества инвесторов повышает риск насыщения рынка в
рассматриваемой области финансовых вложений. С увеличением периода прогноза этот
риск возрастает в большей степени. Повышение риска во времени должно
компенсироваться увеличением темпа прироста ставки дисконтирования. Результаты,
приведенные в табл. 2. можно объяснить следующим образом. Рост значения нормы
возврата капитала (уменьшение срока экономической жизни объекта оценки) снижает его
ликвидность (повышает риск невозможности перепродажи в будущем), что так же
приводит к увеличению темпа прироста ставки дисконтирования.
Следует отметить, что «нивелированный уровень» стоимости, полученный при
расчете с переменной ставкой дисконтирования, приблизительно (с погрешностью не
превышающей 5%) равен стоимости объекта недвижимости, определенной при горизонте
прогноза равном 1. Исходя из этого, можно записать следующее выражение[5]:
C1
C
M
PV 

;
M  2.
(1  i ) (1  i )
r
Учитывая, что:
r i f .
C1  ЧОД  ПК ;
C2  ЧОД  (1  t ) ;
После подстановки и преобразований получаем:
ЧОД
f t
ПК
;
(2)
PV 
(1 
)
r
1 i
(1  i )
где:
ЧОД – чистый операционный доход,
ПК – первоначальные капиталовложения,
t – темп прироста ЧОД,
f – норма возврата капитала.
По существу, полученное выражение представляет собой зависимость для метода
прямой капитализации с добавлением корректирующих составляющих на норму возврата
капитала, темп прироста ЧОД, первоначальные капиталовложения.
Обычно принято считать, что метод прямой капитализации в «классической
постановке», без корректирующих составляющих, может применяться в случае, если
величина ЧОД постоянна или возрастает умеренными темпами (см. например [5]). Вместе
с тем, анализ зависимостей приведенных на рис. 2 показывает, что при горизонте прогноза
равном 1 расчетные значения стоимостей, полученных при использовании постоянной и
переменной ставки дисконтирования совпадают. Поскольку зависимость (2) была
выведена из уравнения для расчета вышеуказанного значения стоимости, то можно
сделать вывод, что зависимость для метода прямой капитализации «в классической
постановке» дает систематически заниженный результат, по сравнению с методом ДДП с
постоянной ставкой дисконтирования при горизонте прогноза превышающем 1.
Произведем оценку величины этой погрешности.
Определим величину корректирующих составляющих в уравнении (2) исходя из
типичного уровня значений параметров для объектов недвижимости: f = (0,01…0,1) соответствует сроку экономической жизни 100…10 лет, t = (0,01…0,1), i = (0,10…0,25).
Подставляя приведенные значения в уравнение (2) при ПК = 0, получаем:
ЧОД
PV  (1  (0,016...0,18))
r
Следовательно, расчеты по методу прямой капитализации «в классической
постановке» занижают стоимость объектов недвижимости, по сравнению с методом ДДП
на единицы – десятки процентов.
Анализ уравнения (2) показывает, что при ПК = 0 и f + t = 0 оно принимает вид
«классического» уравнения метода прямой капитализации. Следовательно, полученный с
помощью него результат, соответствует результату полученному методом ДДП при
условии снижающегося ЧОД с темпом t = - f. Характерно, что «эффект нивелирования» в
этом случае достигается при темпе прироста ставки дисконтирования равном 0% в год, то
есть при расчете с постоянной ставкой дисконтирования.
В заключении следует отметить, что несмотря на то, что отправной точкой для
обоснования возможности использования переменной ставки дисконтирования явился
факт роста безрисковой ставки во времени, в дальнейшем при расчетах использовался
темп прироста ставки дисконтирования в целом, который, вообще говоря, не совпадал с
темпом прироста безрисковой ставки. Это позволяет, с одной стороны предположить, что
изменение надбавок (премий) за риск при кумулятивно построенной ставке
дисконтирования, происходит с различными темпами. С другой стороны, коэффициент
капитализации в уравнении (2) может быть определен, например, методом рыночной
выжимки [5]. В этом случае обеспечивается полное соответствие рыночных данных
результатам, полученным методом прямой капитализации и методом ДДП с переменной
ставкой дисконтирования. Кроме того коэффициент капитализации, полученный методом
рыночной выжимки, позволяет рассчитать начальное значение и темп прироста
переменной ставки дисконтирования, что позволяет косвенно оценить степень изменения
рисков во времени для кумулятивно построенной ставки дисконтирования.
Характерно, что уравнение (2), в случае использования метода рыночной выжимки
для определения коэффициента капитализации, позволяет использовать более широкий
круг объектов-аналогов, отличающихся от объекта оценки темпом изменения денежного
потока, сроком экономической жизни, величиной первоначальных капиталовложений.
Таким образом, использование переменной ставки дисконтирования в методе ДДП,
обеспечивающей независимость расчетной величины стоимости от горизонта прогноза,
позволило предложить корректирующие составляющие к методу прямой капитализации,
которые адекватно отражают характеристики монотонно изменяющегося денежного
потока при оценке недвижимости в рамках доходного подхода.
Вместе с тем, вопрос степени соответствия изменяющихся во времени рисков при
типичных финансовых вложениях, и темпов прироста ставки дисконтирования,
обеспечивающих «эффект нивелирования», требует дополнительного исследования.
Выводы.
1. Переменная ставка дисконтирования отражает реальность возрастания риска
финансовых вложений с увеличением срока этих вложений и может использоваться при
оценке стоимости объектов недвижимости в рамках доходного подхода.
2. Возможность обеспечения независимости результатов оценки от горизонта
прогноза при использовании переменной во времени ставки дисконтирования позволяет
снизить неопределенность в расчете стоимости объекта недвижимости, связанную с
субъективным выбором этого горизонта.
3. Использование переменной ставки дисконтирования позволило дополнить
зависимость для метода прямой капитализации корректирующими составляющими,
которые обеспечивают адекватную замену метода дисконтирования денежных потоков
при монотонном изменении потока доходов, что является менее жестким ограничением на
использование метода прямой капитализации по сравнению с существующими
ограничениями.
Источники информации.
1. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. Пер. с англ. М., ИНФРА-М, 1997
2. Газета «Коммерсантъ», от 7.06.05 №102
3. А. Мальцев. Численные методы анализа ставки дисконтирования. Рынок ценных
бумаг, №10 (289), 2005
4. Статистика. Учебное пособие. Под ред. М. Р. Ефимовой. М., ИНФРА-М, 2005
5. Оценка недвижимости. Под ред. А. Г. Грязновой, М. А. Федотовой. М., Финансы и
статистика, 2003
Опубликована в Информационно-аналитическом бюллетене Российской
Коллегии Оценщиков «Оценка в Российской федерации» №5-6 (13-14) сентябрь –
октябрь 2005 г.
От редакции:
Автор готов обсудить замечания, предложения, иные точки зрения по затронутым в
данной статье вопросам.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------От автора:
Автор так же приглашает желающих принять участие в обсуждении на гостевой
странице «Личного сайта».