О СИНТЕЗЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЗАКОНА ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ НА БАЗЕ

О СИНТЕЗЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЗАКОНА ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ НА БАЗЕ
ПРИНЦИПА МАКСИМУМА
Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Ашимов Ас.А.
Институт проблем информатики и управления Министерства
образования и науки Республики Казахстан, г. Алматы
E –mail: [email protected]
In this paper a synthesis of parametrical lows of the market economy mechanisms regulation based on a maximum principle is researched.
Развитие экономических процессов в рамках законодательно
(нормативно) установленных «правил игры», регулирующих отношения
(механизмы) между агентами (предприятиями, поставщиками ресурсов и
потребителями) [1], в значительной мере определяется значениями таких
экономических
параметров,
как
различные
налоговые
ставки,
государственный расход, учетная ставка, норма резервирования, кредитные
ставки, валютный курс и другие. В известной нам литературе отсутствуют
подходы к формированию
оптимальных
значений рассматриваемых
параметров. В данной работе на примере нормы резервирования, в рамках
математической модели [1], [2] рыночных механизмов воспроизводства, с
помощью принципа максимума [3] предлагается один из возможных
подходов к формированию оптимальных значений указанных параметров.
Рассматриваемая
модель
описывается
следующей
системой
дифференциальных уравнений:
 dM
 dt  f 1 ( M , D, p,  ),

 dD
 f 2 ( M , D, p,  ),

dt

 dp
 dt  f 3 ( M , D, p,  ).

1

s
kMf ( x d ( )) 
(1   ) D  M ;
Здесь t – время; f 1 
pb
p
pb
A
s
s
f 2  M ( p  k ) f ( x d ( ))  Msx d ( )   (1   ) D, f 3  , где
B
p
p
(1)

  s    1   
s 1  
A  sx d ( ) 
kMf  x d    
D  M  
p  pb
pb

  p 


  s 
s
  1    M  p  k  f  x d     sMx d     1   D  
 p
  p 



1
  p 



  s    1   
   s   1  
k  f  x d    
kMf  x d    
D  M ,
pb

   p    pb
  p 
1
  s  
1
B  Mf  x d      p 

  p  
  s   s  s

s 1
k  Mf  x d    x d   2  s 2 Mx d   2 .

 p p
  p   p  p
Здесь M(t) – суммарная производственная мощность, D(t) – объем
принятых депозитов, p(t) – уровень цен продуктов – являются неизвестными;
f(.), x d (.) – известные нелинейные функции..  (t) – норма резервирования –
регулируемый параметр. Постоянными в данной модели считаются  норма амортизации, k – доля резерва в производственном продукте, s - ставка
заработной платы, b - коэффициент приростной фондоёмкости. Значения
этих постоянных можно получить в результате параметрической
идентификации модели на основе статистических данных.
Система (1) решается на промежутке времени 0, T  с начальными
условиями
M (0)  M 0 ,

 D(0)  D0 ,
 p(0)  p
0

(2)
Значения M0, D0, p0 считаются заданными.
Рассматриваемая задача синтеза оптимального параметрического
закона регулирования рыночного механизма экономической системы
ставится в следующем виде. Найти на базе (1), (2) закон регулирования
   (t ) для t  0, T  , обеспечивающий минимум функционала среднего уровня
цен на промежутке 0, T 
1
T
T
,
 p(t )dt  min

0
(t )
(3)
с учетом ограничения
M (T )  M   0,09M  ,
(4)
где M*-заданное значение производственной мощности в момент времени Т.
Укажем вначале алгоритм решения поставленной задачи при
отсутствии ограничения (4). Эта задача является стандартной задачей
оптимального управления со свободным правым концом, и для её решения,
согласно принципа максимума [3], необходимо составить следующую
p
T
3 f
j
дополнительную систему (здесь f 0  ,  0  1 ).
 d 1
 
 j,

dt

M
j

0

 d
3 f
j
2
 
 j,

j  0 D
 dt
 d
3 f
 3   j  j .
 dt
j  0 p
(5)
Представим производные в правых частях уравнений системы (5) в
следующем виде
f 1 1  


kf ( x d 
M pb

s
)   ,
p 
2
f 1


(1   ),
D pb
 1  d  s  s
 d  s   d   s 

 2 f  x     3 f  x    x    2 1   D,
 p   p   p
  p    p  bp
  s 
f 2
s
  p  k  f  x d     sx d  ,
M
 p
  p 
f 2
   1   ,
D
  s 
  s     s  s 
f 2
s2  s 
 Mf  x d     M  p  k  f  x d    x d    2   M 2 x d   ,
p
p
 p
  p 
  p    p  p 
f 1
1
 kM
p
b
f 3
M
A
M
A
B
BA
M , где
 M
B2


  s 
 s  1    d  s  
 s 
 sx d   
kf  x         1    p  k  f  x d     sx d   
 p   pb
 p 
  p 
  p 



   s   1    d  s  
k  f  x d    
kf  x      ,

   p    pb   p  
  s  
B
1     d  s   d s  s
s2  s 
 f  x d      p 
k  f  x    x   2  2 x d  .
M
    p   p  p
p
 p
  p  
A
f 3 D

, где
D
B
 s   1   

1     d  s    1   
A
2
 sx d  
  2 1      p 
k  f  x   
.
D

 p  pb

   p   pb

1
  p 


A
B
BA
f 3 p
p

,
2
p
B
где
3

  s    1   
  s  s  1  
A
 sx d    2  
kMf  x d    
D  M  
p
pb
 p  p   pb
  p 

  s  1  
  s   s  s
 s  1  
 1    
 sx d    2 kMf  x d    
kMf  x d    x d   2 
D 
p 2b

 p   p b
  p   pb
  p   p  p
   s 
  s   s  s
 s  s 
  1    Mf  x d     M  p  k  f  x d    x d   2  sMx d   2  
 p  p 
  p   p  p
   p  

  s   1  
  s    1   D
 f  x d    
kMf  x d    
 M  
pb

  p    pb
  p 

1
  p 



  s   1   D
   s    s  s 1  
k  f  x d    x d    2 
kMf  x d    
 M  
pb
   p    p  p  pb
  p 


1
  p 


  s  1  
  s   s  s
   s   1  
 1   D 
k  f  x d     2 kMf  x d    
kMf  x d    x d    2 

p 2 b 
   p    p b
  p   pb
  p   p  p
  s    s  s 
B
1
 2Mf  x d    x d   2   p 
p

  p   p  p 

1
  p 


2
  s     s   s 2

k  Mf  x d    x d    4 

  p    p   p
  s    s  s 2 

1
k  Mf  x d    x d   4   p 


  p   p  p 
  s     s  2s

k  Mf  x d    x d   3 

  p   p  p
   s  s 
s 2 
 s 2 M  x d    4   x d   3 ,
 p p 
  p  p 
f 0 f 0
f
1

 0; 0  .
M D
p T
Подставив представленные выражения частных производных в (5),
получим следующую систему:
 d 1
 dt  g 1 M , D, p,  , 1 , 2 , 3 ,

 d 2
 g 2 M , D, p,  , 1 , 2 , 3 ,

dt

 d 3
 dt  g 3 M , D, p,  , 1 , 2 , 3 ,

(6)
где через g1, g2, g3 обозначены правые части уравнений (5) после указанной
подстановки. Конечные условия для системы (6) в случае свободного конца,
согласно [3], имеют вид
 1 T   0,

 2 T   0,
 T   0.
 3
Обозначим скалярное
 0 , 1 , 2 , 3  через Н:
произведение
(7)
векторов
 f 0 , f1 , f 2 , f 3 
и
4
H  f1 1  f 2 2  f 3 3 
p
,
T
(8)
где полученное скалярное произведение Н является функцией следующих
переменных: M , D, p, ,1, 2 , 3 .
Согласно принципа максимума для поставленной задачи со свободным
правым концом [3], её решение сводится к совместному решению систем
(1), (6) с начальными условиями (2), (7), где при каждом t значения ξ(t)
находятся из условия максимума по ξ функции H при фиксированных
значениях остальных переменных.
Рассмотрим алгоритм совместного численного решения с помощью
итерационного метода Ньютона [4]. Пусть численное решение систем (1),
(6) с условиями, (2) (7) для случая T=36 (месяцев) ищется для
и t  0,36, шаг времени h=1 (месяц), тогда
M t , Dt , pt ,t , 1t , 2t , 3t
соответствующая система разностных
уравнений
записывается в
следующем виде:
M t 1  M t  f 1 M t , Dt , p t ,  t ,
 D  D  f M , D , p ,  ,
t
2
t
t
t
t
 t 1
 p t 1  p t  f 3 M t , Dt , p t ,  t ,
(9)

1( t 1)   1t  g 1 M t , Dt , p t ,  t , 1t , 2 t , 3t ,

 2(t 1)   2t  g 2 M t , Dt , p t ,  t , 1t , 2t , 3t ,

 3(t 1)   3t  g 3 M t , Dt , p t ,  t , 1t , 2t , 3t ,
Здесь t  0,35 . В системе (9) известны M 0 , D0 , p0 и  1,36   2,36   3,36  0 .
Остальные 252 переменных неизвестны, их значения M t , Dt , pt , 1t , 2t , 2t
находятся из 216 уравнений (9).
Значения ξt – находятся из условия максимума функционала H:
(10)
H M t , Dt , pt ,  t , 1t , 2t , 3t   max H M t , Dt , pt ,  , 1t , 2t , 3t .

Можно указать следующую схему решения рассматриваемой задачи,
основанную на методе Ньютона.
Пусть


x  M 1 ,..., M 36 , D1 ,..., D36 , p1 ,..., p36 , 1,0 ,..., 1,35 , 2,0 ,..., 2,35 , 3,0 ,..., 3,35  ,    0 ,...,  35  ,
тогда система (9) может быть записана
в следующем
векторном виде

   
216
F x ,    0, где F  R .
(11)

Пусть первая итерация x 0 - вектор значений x , полученный, например, из
начальных и конечных значений соответствующих переменных;  k - вектор
значений регулируемого параметра полученный с помощью (10) из
x k k  0,1,... , тогда метод Ньютона для решения (9) принимает вид
следующей рекуррентной зависимости.

x k 1  x k  J 1  x k ,  k  F  x k ,  k  ,

 

(12)
5


где J  x k ,  k  - матрица Якоби по переменным x векторной функции F ,


найденная при известных x k и  k . Для начального приближения x 0 из (10)
определяется значение  0 , затем из (12) при k=0 находится x 1 и так далее.
Для заданной погрешности вычислений, выражения (10) совместно (12)
определяют значения M t , Dt , pt ,  t , дающие решение поставленной задачи со
свободным правым концом.
Рассмотрим теперь алгоритм решения системы (1) с начальными
условиями (2) и ограничениями,
(13)
M (T )  M *  0,09M *
полученными из (4) путем замены неравенства на равенство,
обеспечивающего минимум функционала (3). Эта задача аналогична
рассмотренной выше задаче со свободным концом и отличается от нее
записью условий (7), которые для этой задачи принимают вид [3]:
M (T )  M *  0,09 M * ,

 2 (T )  0,
 (T )  0
 3
или
M (T )  M *  0,09 M * ,

 2 (T )  0,
 (T )  0
 3
(14±)
Численное решение этой задачи сводится к решению системы (9),
используя соотношение (10), где известны M 0 , D0 , p 0 , M 36  0,91M * (или
M 36  1,09 M * ) и  2,36   3,36  0 рассмотренным выше методом Ньютона.
Окончательное решение задачи (1), (2), (3), (4) проводится в два этапа:
1) Решается задача (1),(2),(3) со свободным правым концом. Если
значение M(T) удовлетворяет условию (3), то задача (1)-(4) решена.
2) Если значение M(T) для решенной задачи не удовлетворяет
неравенству (4), то решаются две задачи (1), (2), (3), (14) и из двух решений
выбирается то, которое обеспечивает меньшее значение критерия (3). Оно и
будет являться решением исходной задачи (1)-(4).
Таким образом, данной работой показан один из методов синтеза
оптимального закона параметрического регулирования механизмов
рыночной экономики.
Литература
1) Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического
моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.
2) Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Волобуева О.П. Параметрическое
регулирование рыночных механизмов воспроизводства. Совместный выпуск
по материалам международной конференции «Вычислительные технологии и
математическое моделирование в науке, технике и образовании». ВТММ –
2002, 18-20.09.2002, Алматы, «Вычислительные технологии», 2002, том № 7;
Вестник КазНУ им.аль-Фараби: серия математика, механика, информатика,
2002, № 4(32), стр.282-285.
6
3) Гноенский А.С., Каменский Г.А., Эльсгольц А.Э. математические
основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.
4) Холодниок М., КличА., Кубичек М. и др. Методы анализа
нелинейных динамических моделей. М.: Мир, 1997.
7