Стержневая система называется статически неопределимой

Лекция №16
Расчет статически неопределимых систем.
16.1 Степень статической неопределимости
16.2 Примеры расчета статически неопределимых систем
16.1 Степень статической неопределимости
Стержневая система называется статически неопределимой если
уравнений статики недостаточно для определения опорных реакций и
внутренних усилий в стержневой системе.
На рис.16.1,а показана система, состоящая из абсолютно жесткой
балки, которая прикреплена при помощи трех стержней. Усилия в этих
стержнях можно определить, составив три уравнения равновесия. Усложним
систему, добавив еще один вертикальный стержень (рис.16.1,б). Число
уравнений осталось прежним – три, а число неизвестных усилий стало
четыре. Такая систему будет один раз статически неопределима. На рис. 16.1,
в показана два раза статически неопределимая система.
Разность между числом неизвестных и числом независимых уравнений
равновесия, которые можно составить для данной системы, называют
степенью статической неопределимости.
Рис. 16.1 Статически определимые и статически неопределимые системы
Неизвестные усилия в статически неопределимых системах могут быть
определены, если
уравнения равновесия дополнить условиями,
характеризующими
деформацию
данной
системы.
Число
этих
дополнительных условий (уравнений) равно степени статической
неопределимости системы. Такие
условия
называют уравнениями
перемещений (уравнениями совместности деформаций). Так для системы,
изображенной на рис.16.1,б, уравнения совместности деформаций
составляются из условия, что после удлинения стержней их нижние концы
должны располагаться на прямой, так как они связаны с жесткой балкой.
16.2 Примеры расчета статически неопределимых систем
Пример 16.1 Стержень переменного сечения жестко заделан с двух
концов и нагружен силой F =40 кН (рис. 16.2,а). Построить эпюры N и  .
Рис.16.2 К примеру 16.1
Решение. От действия силы F в заделках возникают опорные реакции
R A и RB . Примем их направление противоположным силе F .Составим
единственное уравнение равновесия:
F
0
F  R A  RB  0
(16.1)
Система один раз статически неопределима. Дополнительное уравнение
совместности деформаций можно записать в виде:
x
l  0 .
(16.2)
Условие (16.2) означает, что длина стержня не может измениться, так как
стержень жестко заделан с двух сторон. Удалим заделку справа, а действие ее
на стержень заменим неизвестной реакцией R A . В результате получим
статически определимую систему. Запишем условие l  wA  0 , используя
принцип независимости действия сил. Пусть на стержень действует только
сила F , приложенная к участку длиной a (площадь сечения участка -2A).
Абсолютное удлинение стержня (перемещение точки А w AF от действия силы
Fa
. Далее рассмотрим только действие силы R A ,
E (2 A)
приложенной ко всему стержню, имеющему два участка: длиной 2a и
площадь сечения 2A; длиной a площадью сечения A. Соответствующее
R a R 2a
перемещение будет равно: wAR  A  A . Учтем, что направление
EA E (2 A)
перемещений противоположны, но их сумма wAF  wAR  0 . В результате
F ) равно wAF 
A
A
получим:
2R A a
Fa
F 40

0,
RA  
 10 кН
(16.3)
E (2 A)
EA
4 4
Подставляем
(16.3)
в
уравнение
равновесия
(16.1)
получим:
F
R B  F  RA  F   40-10=30 кН. Реакции получены со знаком плюс, что
4
указывает на правильность выбранного направления.
wA  wAF  wAR 
A
Эпюра продольных сил N строиться обычным путем, с применением
метода сечений (см. рис 16.1,б,в: R A =10 кН). Нормальные напряжения
определяются по формуле   N / A на трех участках (рис 16.2,г).
При наличии зазора  (рис. 16.3), например между правым концом
стержня и заделкой, и условия, что зазор будет перекрыт при нагружении
стержня, уравнения равновесия остается таким же, а уравнение совместности
R a 2R A a
Fa
 A 
  .Далее решение
примет вид l  w A   или wA 
E (2 A) EA E (2 A)
выполняется в том же порядке, как показано выше.
Рис 16.3 Зазор между правым концом стержня и заделкой.
Пример 16.2 Нагрузка в виде силы F=900 кН должна передаваться
через жесткую балку на три железобетонных колонны с одинаковым
поперечным сечением площадью A=400 см2. При сборке системы было
обнаружено, что средняя колонна изготовлена короче крайних на  =0,15
см (рис.16.4). Определить усилия и напряжения в колоннах. Приведенный
модуль упругости E=20 ГПа.
Рис. 16.4 К примеру 16.2
Решение. Проверим, устраняется ли зазор после приложения нагрузки.
На крайние колонны передается усилие N  F / 2 =450кН, при этом колонны
укоротятся на длину
Nl
450  10 3  4


 0,225  10 2 м=0,225 см.
9
4
EA 20  10  400  10
Так как    =0,15 см, то при нагружении зазор будет перекрыт, и внешняя
нагрузка будет восприниматься тремя колоннами.
Можно составить два независимых уравнения равновесия, а неизвестных
усилий в колоннах - три. Уравнения равновесия имеют вид
F
y
0
N1  N 2  N 3  F  0
M
A
0
N1 a  N 3 a  0 , N 1  N 3
(16.4)
С учетом N 1  N 3 из первого уравнения получим:
(16.5)
F  2 N1  N 2 .
При нагружении сначала будут деформироваться крайние колонны. После
исчезновения зазора начнут деформироваться все три колонны. Таким
образом, деформация крайних колонн будет больше деформации средней
колонны на величину . Уравнение совместности деформаций примет вид:
N1l N 2l


EA EA
l1  l 2  
(16.5)
Отсюда получаем:
EA 0,15  10 2  20  10 9  400  10 4
N 1 N 2 

 300  1000  300 кН, или
l
4
N 1 N 2  300 . С учетом (16.5) получим: N 1  N 3  400 кН; N 2  100 кН.
Напряжения в колоннах будут следующие:
400  10 3
100  10 3
1   3  
 10 МПа;  2  
 2,5 МПа.
400  10 4
400  10 4
Если бы все стойки были изготовлены одной длины, то
300  10 3
1   2   3  
 7,5 МПа.
400  10 4
Таким образом, отклонение от проектных размеров средней колонны
привело к перегрузке крайних колонн на 33,3% и к разгрузке средней на
66,6%.
Пример16.3 Перекрытие цеха промышленного предприятия состоит из
железобетонных плит, уложенных на кирпичные стены при температуре
t0  10 0 C с зазором у одной из стен, равным   4 мм (рис.16.5,а).
Температура в цехе может повышаться до 900С.
Возникнут ли дополнительные температурные напряжения в плитах
перекрытия? Если эти напряжения возникнут, то чему они будут равны?
Силами трения между плитой и ее опорной частью пренебрегаем.
Рис. 16.5 К примеру 16.3
Толщина плиты h=20 см; коэффициент температурного расширения
1
железобетона   12  10 6 0 ; приведенный модуль упругости E=20 ГПа.
С
Решение. Найдем удлинение плиты при увеличении температуры на
t  90  (10)  100 0 C; l  t  l  12  10 6  100  5  6  10 3  6 мм.
Зазор между плитой и стеной   4 мм будет перекрыт, так как l  6
мм, и поэтому стена будет препятствовать свободному перемещению плиты.
R A , RB (рис 16.5,в). Из уравнения
Следовательно, возникнут реакции
равновесия получим:
F
(16.6)
 0,
R A  RB  0 ,
R A  RB .
Составим уравнение совместности деформаций. Отбросим правую заделку и
заменим ее действие на плиту реакцией RB . Уравнение совместности
x
деформаций имеет следующий смысл. Удлинение, вызванное изменением
температуры минус удлинение от силы RB должно равняться зазору:
(t  l  )  E
RB l l

 8МПа

l
EA E
Можно найти усилие, с которым плита будет давить на стену:
lt  l RB  
t  l   
(16.7)
q    h  8  10 6  0,2  1,6 МН/м=1600 Кн/м.
Пример16.4 Для стержневой системы, изображенной на рис.16.6 ,а,
определить силу F уп при которой в наиболее напряженном стержне
напряжения достигнут значения 240 МПа; l  2 м; A  10 см2;   60 0 .
Рис. 16.6 К примеру 16.4
Решение. Вырежем узел C , считая возникшие усилия в стержнях
растягивающими (рис. 16.6, б). Составим два уравнения равновесия: сумма
проекций всех сил на ось х:
F
 N 1sin(  )  N 3 sin(  )  0 ,
 0,
Сумма проекций всех сил на ось у:
x
F
y
 0,
N1  N 3 .
(16.8)
N 1cos( )  N 3 cos( )  N 2  F  0 . (16.9)
С учетом (16.8) уравнение (16.9) примет вид
F  2 N1 cos( )  N 2
(16.10)
Имеем одно уравнение и два неизвестных. Составим уравнение совместности
деформаций. Для этого представим систему в деформированном виде
(рис.16.7), новые положения стержней показаны пунктиром.
Рис. 16.7 Система в деформированном виде
Удлинения крайних стержней будут одинаковыми (отрезок B1C1)
(16.11)
Nl
EA
Отрезок СС1представляет собой удлинение второго стержня.
Вследствие малости удлинений стержней (по сравнению с их длиной ) угол
дуга может быть заменена
 практически не меняется и
перпендикуляром, опущенным из узла С на новое направление стержня.
Тогда из прямоугольного треугольника CB1C1 получим уравнение
совместности деформаций (уравнение перемещений)
l 1 l 3  l 
l 1 l 2 cos( ) .
(16.12)
Учитывая, что
N1l
N 2l
l
l1 
l2 
,
,
.
cos( )
EAcos( )
E (2 A)
Подставим абсолютные удлинения в уравнение (16.12)
l1 
(16.13)
N1l
N l  cos( )
2 N1
N
,
.
 2
N2 
N1  2 cos2 ( ) ,
(16.14)
2
EAcos( )
E (2 A)
cos
(

)
2
Выразим усилия N 1 через усилия F , подставив (16.14) в уравнение
равновесия (16.10):
2 N1
F
cos2 ( )
F  2 N1 cos( )  N 2  2 N1 cos( ) 
N1 

cos2 ( )
1  cos3 ( )
2
Аналогично выразим усилия N 2 через усилия F :
(16.15)
F
N2
N2 
(16.15)
cos3 ( )  N 2
1  cos3 ( )
2
Напряжения в крайних и среднем стержнях определим по формулам:
F  2
(16.16)
N2
F
1
N1
F
cos2 ( )





 1  3

2
2 A 1  cos3 ( ) 2 A
2A
A 1  cos3 ( )
Очевидно, что  2   1 и, следовательно, при увеличении силы F напряжения в
среднем стержне быстрее достигнут величины 240 МПа чем в крайних.
Поэтому, приняв напряжение  2  F найдем искомое значение силы:
F  240  10 6  2  10  10 4  (1  0.53 )  540 кН.