Математический кружок Русановского лицея Сегодня мы с Вами

Математический кружок Русановского лицея
Сегодня мы с Вами продолжим рассматривать игровые задачи. В первую очередь,
попробуем постепенно систематизировать пройденный материал.
Схема решения игровой задачи:
1. Поиск какой-либо выигрышной стратегии для одного из игроков, затем, в случае ее
видимого отсутствия, поиск стратегии для другого игрока.
2. Формулировка найденной стратегии с подробным описанием действий игрока,
который должен выиграть. Доказательство её выигрышности (либо обоснование,
почему один из игроков выигрывает при любом раскладе).
3. Доказательство реализуемости описанной стратегии.
Обратите внимание, что на прошлой лекции мы уже говорили, что именно
доказательство реализуемости стратегии может сыграть роковую роль в Вашем решении.
В связи с этим, в этом доказательстве важно предусмотреть все возможные ходы
соперника, которые потенциально могут разрушить Вашу выигрышную стратегию.
Определение 1. В математических играх предполагается, что играют двое (иногда трое),
игроки делают ходы по очереди (ни один из игроков не может пропустить ход) и не
совершают тактических ошибок.
Таким образом, при решении игровых задач мы всегда считаем, что наш противник
приложит все усилия для своего выигрыша и, соответственно, нашего проигрыша. Одним
словом – противник никогда не бывает глуп!
Симметричные стратегии
(продолжение)
Вспомним, о чем идет речь, когда мы говорим о симметричных стратегиях.
Задача 1. Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий
ставит крестики, его соперник – нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется
строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов – это очки, набранные
первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше – очки второго. Тот
из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.
Решение. Выигрывает первый. Первым ходом он ставит крестик в центральную клетку. Затем
после каждого хода второго игрока первый ставит крестик в центрально-симметричную клетку.
Чаще всего, говоря о симметричной стратегии одного из игроков, мы имеем ввиду,
что его выигрышная стратегия заключается в том, что на каждом своем шаге он делает
ход, центрально-симметричный (либо осесимметричный) последнему ходу соперника.
Утверждение. При симметричной стратегии после каждого хода одного из игроков
позиция становится симметричной. Поэтому если возможен очередной ход другого
игрока, то возможет и симметричный ему ответный ход первого.
Вспомним, что на прошлой лекции мы встречались с понятием симметричной
стратегии, причем во всех задачах она имела ярко выраженный геометрический смысл.
7 класс
Лекция 11. Игры и стратегии
Математический кружок Русановского лицея
Оказывается, что симметричная стратегия вовсе не обязана иметь чисто геометрический
смысл. Своего рода симметричность вполне может прослеживаться, к примеру, в
количестве каких-либо предметов.
Задача 2. Имеется две кучки камней – по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое
количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.
Решение. В этой игре второй игрок побеждает при помощи симметричной стратегии: каждым
своим ходом он должен брать столько же камней, сколько предыдущим ходом взял первый игрок,
но из другой кучки. Таким образом, у второго игрока всегда есть ход.
Симметрия в этой задаче состоит в равенстве числа камней в кучках. Далее мы
рассмотрим еще несколько игр на ту же идею, где симметрия имеет скорее не
геометрический, а «логический» смысл.
Задача 3. Есть две кучки камней: в одной – 30, в другой – 20. За ход разрешается брать
любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.
Решение. Выигрывает первый. Первым ходом он уравнивает количество камней в кучках, взяв 10
камней из второй кучки. Затем играет, как в задаче 2.
Замечание. Обратите внимание, что нередко симметричная стратегия имеет применение
не только в тех задачах, где начальные условия в некотором смысле симметричны (будь
то, к примеру, симметричное игровое поле или одинаковое количество предметов в двух
кучках), а и в таких играх, где на некотором ходе к этой симметричности можно прийти.
К примеру, в задаче 3 первый игрок первым своим ходом сделал игровую ситуацию
симметричной, тем самым обеспечив себе выигрышную симметричную стратегию в
дальнейшем.
Задача 4. На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две
из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не
может сделать ход.
Решение. Выигрывает первый игрок. Первым своим ходом он может провести хорду, по обе
стороны от которой расположено одинаковое количество вершин – по 9. После этого, на каждый
ход второго он отвечает аналогичным «симметричным» ходом по другую сторону от этой хорды.
Использование симметричной стратегии в игровых задачах нередко оказывается
сильнейшим инструментом. Заметьте, что симметрия успешно приобретает не только и
даже не столько геометрический смысл, сколько смысл «логический».
Выигрышные позиции
Рассмотрим игру.
Задача 5. Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток
вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.
Решение. В этой игре побеждает второй игрок. Его стратегия очень проста: каждым своим ходом
он возвращает ладью на большую диагональ a1–h8. Объясним, почему, играя так, второй игрок
выигрывает. Дело в том, что первый игрок каждый раз вынужден будет уводить ладью с этой
7 класс
Лекция 11. Игры и стратегии
Математический кружок Русановского лицея
диагонали, а второй игрок после этого будет иметь возможность вернуть ладью на линию a1–h8.
Так как поле h8 принадлежит диагонали, то на него сумеет встать именно второй игрок.
Проанализируем это решение.
Нам удалось выделить класс выигрышных позиций (ладья стоит на одной из клеток
диагонали a1–h8), обладающих следующими свойствами:
1) завершающая позиция игры – выигрышная;
2) за ход из одной выигрышной позиции нельзя попасть в другую;
3) из любой невыигрышной (проигрышной) позиции за один ход можно попасть в
какую-то выигрышную.
Нахождение такого класса выигрышных позиций для игры равносильно ее решению.
Действительно, к победе ведет простая стратегия – ходи в выигрышную позицию.
Заметьте, что если исходная позиция выигрышная, то, как в разобранной задаче,
выигрывает второй. В противном случае выигрывает начинающий.
А теперь рассмотрим еще пару задач на выигрышные позиции.
Задача 6. Король стоит на поле a1. За один ход его можно передвинуть на одно поле
вправо, или на одно поле вверх, или на одно поле по диагонали «вправо-вверх».
Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8.
Решение. Выигрывает первый игрок. Занумеруем горизонтали и вертикали шахматной доски в
естественном порядке. Координаты поля a1 – (1, 1), поля h8 – (8, 8). Выигрышными являются
позиции, в которых король стоит на поле с четными координатами. Первый ход – на поле b2.
Задача 7. Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на
любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.
Решение. В этой игре выигрывает, очевидно, тот, кто получит единицу. Побеждает первый.
Выигрышными позициями для него являются нечетные числа.
Упражнение. Докажите, что предложенная в решении задачи 7 стратегия реализуема.
7 класс
Лекция 11. Игры и стратегии