testovye_zadaniya

БАНК
Тестовых заданий по курсу «Квантовая механика»
(для всех групп факультета
Экспериментальной и теоретической физики МИФИ)
1 СЕМЕСТР
1. Математические основы квантовой механики: линейные пространства, операторы, матрицы,  -функция
1. Оператор Â , действующий в некотором линейном пространстве, является эрмитовым, если для
любых элементов  1 и  2 этого пространства имеет место равенство:

 

б. Aˆ 1 , 2

 

г. Aˆ 1 , 2
а. Aˆ 1 , 2   2 , Aˆ 1
в. Aˆ 1 , 2   1 , Aˆ 2

   , Aˆ 

   , Aˆ 
*
1
2
*
2
1
где ... , ... - скалярное произведение элементов пространства.
2. Какой из перечисленных операторов, действующих в линейном пространстве комплексных
функций одной переменной, является линейным?
а. комплексного сопряжения
б. взятия действительной части
в. возведения по модулю в квадрат
г. никакой из перечисленных
3. Операторы Â и B̂ , действующие в некотором линейном пространстве, коммутируют, если для
любого элемента этого пространства  имеет место равенство:
ˆ ˆ   BA
ˆ ˆ
а. AB

 
б. Aˆ  ,   , Bˆ 

в. Aˆ   Bˆ 
г. Aˆ   Bˆ 
где ... , ... - скалярное произведение элементов пространства.
4. Какая из четырех матриц является матрицей эрмитового оператора?
1 i 
а. 

i 2
1 1 
б. 

1 2  i 
1 i
в. 

 i 2 
1 2
г. 

3 4
5. Чему равен коммутатор операторов d / dx и умножения на функцию f ( x) ?
а. оператору d / dx ,
б. оператору умножения на функцию f ( x)
1
в. оператору умножения на функцию f ( x )
г. оператору d 2 / dx 2
6. Чему равен коммутатор операторов четности P̂ и умножения на функцию f ( x) ?
б. оператору f ( x ) Pˆ
а. оператору P̂
в. оператору f ( x) Pˆ
г. оператору [ f ( x)  f ( x)]Pˆ
7. Оператор id / dx , действующий в пространстве функций, заданных на интервале (, ) , в котором определено скалярное произведение, является
а. эрмитовым
б. унитарным
 
в. совпадающим со своим обратным
г. нелинейным

ˆˆ ?
8. Чему равен оператор AB
а. Aˆ  Bˆ 
б. Aˆ   Bˆ 
 
ˆˆ
9. Чему равен оператор AB
а. Aˆ 1 Bˆ 1
10. Чему равен интеграл

г. B̂  Aˆ 
в. Aˆ 1  Bˆ 1
г. B̂ 1 Aˆ 1
1
?
б. Aˆ 1  Bˆ 1

в. Aˆ   Bˆ 
f ( x) ( x 2  4)dx (где  (...) -  -функция, f ( x) - непрерывная функция

координаты)?
а. 4  f (2)  f (2) 
б. 4  f (2)  f (2) 
в.
2
1
 f (2)  f (2) 
4
г.
1
 f (2)  f (2) 
4
2. Математические основы квантовой механики: уравнения на собственные
значения и собственные функции
1. Привести матрицу оператора к диагональному виду значит
а. заменить элементы, находящиеся не на главной диагонали, нулями
б.
другой базис, в котором матрица оператора кратна единичной
зис, в котором матрица оператора равна единичной
выбрать
в. выбрать другой баг. выбрать другой базис, в
котором ненулевые элементы в матрице оператора находятся на главной диагонали.
2. Если в качестве базиса в линейном пространстве выбрать собственные функции некоторого эрмитового оператора, то его матрица
а. равна единичной
б. кратна единичной
в. диагональная
г. нулевая
3. Пусть f1 ( x) и f 2 ( x) - собственные функции некоторого оператора, отвечающие собственным
значениям a1 и a2 . Функция C1 f1 ( x)  C2 f 2 ( x) ( C1 и C2 - произвольные числа)
а. будет собственной функцией того же оператора
оператора только в том случае, когда a1  a2
же оператора
б. будет собственной функцией того же
в. никогда не будет собственной функцией того
г. зависит от функций f1 ( x) и f 2 ( x) .
4. Собственные значения унитарного оператора
а. действительны
б. чисто мнимы
в. квадраты из модулей равны 1
г. все равны 1
5. Собственные значения любого эрмитового оператора
а. положительны
б. отрицательны
в. вещественны
г. чисто мни-
мы
6. Спектр собственных значений оператора является дискретным. Это значит, что
а. оператор имеет бесконечное количество собственных значений
б.
бесконечное количество положительных собственных значений
в. собственные значе-
ния можно пересчитать, даже если их число бесконечно
оператор
г. собственным значением
является любое число из некоторого интервала значений.
7. Спектр собственных значений оператора является непрерывным. Это значит, что
3
имеет
а. оператор не имеет собственных значений
ственных значений
б. оператор имеет конечное число соб-
в. собственные значения можно пересчитать, даже если их чис-
ло бесконечно
г. собственным значением является любое число из некоторого интер-
вала значений.
 0 i
8. Чему равны собственные значения оператора, заданного матрицей 
?
 i 0 
а. +1 и –1
б. 0 и 1
в. 0 и –1
г. – i и + i
1 i
9. Сколько собственных значений имеет оператор, заданный матрицей 
?
 i 2 
а. одно
б. два
в. три
г. четыре
10. Собственное значение оператора вырождено, если
а. этому значению отвечает одна собственная функция
более линейно независимых собственных функции
значение не равно нулю
4
б. этому значению отвечает две или
в. это значение равно нулю
г. это
3. Основные принципы квантовой механики и их простейшие следствия
1. В некоторый момент времени нормированная волновая функция системы имеет вид
 ( x) 
1
2
 A1 ( x) 
 A3 ( x) , где  A1 ( x) и  A3 ( x) - нормированные собственные функции опе3
3
ратора физической величины Â , отвечающие собственным значениям A  1 и A  3 , соответственно. Среднее значение величины физической величины A в этот момент равно
а. 7 / 3
б. 2
в. 5/ 3
г. 4/ 3
2. Квантовая система описывается нормированной волновой функцией  ( x, t ) . Физической величине A отвечает квантово-механический оператор Â . По какой формуле – а., б., в. или г. –можно
вычислить среднее значение результатов многих измерений величины A над ансамблем тождественных квантовых систем?
а.  * ( x, t ) Aˆ ( x, t )dx
б.
 Aˆ | ( x, t ) |
2
dx
ˆ
| ( x, t ) |2 Adx
в.  
г. Aˆ  |  ( x, t ) |2 dx
3. Физическая величина A имеет в состоянии с волновой функцией  ( x, t ) определенное значение, если
а.  не зависит от времени
б.  ( x, t ) совпадает с одной из собственных функций
в.  ( x, t ) является собственной функцией
оператора этой физической величины Â ,
оператора Гамильтона системы
г.  не зависит от координат
4. Собственные значения и отвечающие им нормированные собственные функции оператора некоторой физической величины A равны: a1  1 и f1 ( x)  B sin( x / a) (первое собственное значение и
отвечающая ему собственная функция), a2  2 и f2 ( x)  B sin(2x / a) , a3  3 и f3 ( x)  B sin(3x / a ) ,
…. (где a и B - некоторые числа, одинаковые для всех функций). Волновая функция частицы в
некоторый момент времени равна  ( x)  C sin(2 x / a) cos(5 x / a) . Какие значения величины A
можно обнаружить при измерениях в этот момент времени?
а. 1 и 2
б. любое целое положительное число
в. 2 и 5
г. 3 и 7
5. Собственные значения и отвечающие им нормированные собственные функции оператора некоторой физической величины A равны: a1  1 и f1 ( x)  B sin( x / a) (первое собственное значение и
отвечающая ему собственная функция), a2  2 и f2 ( x)  B sin(2x / a) , a3  3 и f3 ( x)  B sin(3x / a) ,
5
…. (где a и B - некоторые числа, одинаковые для всех функций). Волновая функция частицы в
некоторый момент времени равна  ( x)  C sin(2 x / a) cos(5 x / a) . Чему равно среднее значение величины A в этот момент времени?
а. 5
б. 6
в. 7
г. 8
6. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектр собственных значений a и собственных функций f a ( x) . Какая из ниже перечисленных формул выражает собой разложение волновой функции частицы  ( x, t ) по собственным функциям?
А.  ( x, t )   C (a, t ) f a ( x) da
б.  ( x, t )   C ( x, t ) f a ( x)dx
в. f a ( x)   C ( x, t )  ( x, t )dt
г. f a (t )   C ( x) ( x, t )dx
7. Оператор физической величины A имеет непрерывный спектр собственных значений a и собственных функций f a ( x) ( f a ( x) нормированы на  -функцию от a ). Разложение волновой функции частицы  ( x, t ) по собственным функциям имеет вид  ( x, t )   C (a, t ) f a ( x) da , где C ( a ) коэффициенты разложения, причем функция C ( a ) конечна во всех точках. Чему равна вероятность того, что при измерении физической величины A будет получено некоторое значение из
малого интервала da вблизи значения a0 ?
А. | C (a0 ) |2
б. | C (a0 ) |2 da
в. нулю, так как интервал da - мал
г.  | f a0 ( x) |2 dx
8. Физическая величина A в некоторой квантовой системе может принимать два значения 1 и 4. В
результате проведения многократных измерений над ансамблем тождественных квантовых систем
оказалось, что A  2 ( A - среднее значение результатов этих экспериментов). Чему равны вероятности обнаружения возможных значений величины A в этом эксперименте?
А. w(1)  1/ 4, w(4)  3 / 4
б. w(1)  1/ 3, w(4)  2 / 3
в.
w(1)  3 / 4, w(4)  1/ 4
г. w(1)  2 / 3, w(4)  1/ 3
9. Физическая величина A в некоторой квантовой системе может принимать три значения 1, 4 и 5
с вероятностями w(1)  1/ 6, w(4)  1/ 3, w(5)  1/ 2 . Чему равно среднее значение результатов
многих измерений величина A ?
А. A  2
б. A  3
в. A  4
6
г. A  5
10. Волновая функция некоторой квантовой системы в некоторый момент времени совпадает с n ой собственной функцией оператора физической величина Â . При измерении физической величины A в этот момент времени будут получены
а. n  1-ое и n 1 -ое собственные значения с одинаковыми вероятностями
значение с единичной вероятностью
б. n -ое собственное
в. все собственные значения с равными вероятностями
г. все собственные значения с номерами, меньшими или равными n
7
4. Операторы координаты и импульса. Различные представления волновой
функции
1. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией  ( x, t ) , которая может
быть представлена в виде интеграла  ( x, t )   dp C ( p, t ) p ( x) , где  p ( x) - нормированная на  функцию от импульса собственная функция оператора импульса. Вероятность того, что в момент
времени t импульс частицы лежит в интервале p  p  dp , где dp - некоторый малый интервал
импульса, равна
а. нулю
2
в.  p ( x) dp
б. C ( p, t ) dp
2
г. C ( p, t ) dp
2. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией  ( x, t ) , которая может
быть представлена в виде интеграла  ( x, t )   dp C ( p, t ) p ( x) , где  p ( x) - нормированная на  функцию от импульса собственная функция оператора импульса. Вероятность того, что при измерении импульса частицы в момент времени t будет обнаружено некоторое значение p0 , равна
а.  p0 ( x )
б. C ( p0 , t )
в. нулю
г. C ( p0 , t )
2
3. Коммутатор операторов координаты и проекции импульса  xˆ , pˆ x  равен
а. pˆ x
б. x̂
в. i
г. нулю
4. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией  ( x)  Ax exp( x 2 / 2a 2 ) ,
где A и a - некоторые числа. Средний импульс частицы в этом состоянии равен
а. нулю
б. p  / a
в. p  / 2a
г. p  / 4a
5. Нормированная на  -функцию от координаты собственная функция оператора координаты, отвечающая собственному значению a , в координатном представлении равна
а. exp(ix / a )
б.  ( x - a) ,
в. sin( x / a )
г.  ( x / a)
6. Интеграл от квадрата собственной функции оператора координаты
а. сходится
б. расходится
в. зависит от собственного значения
г. равен нулю
7. Какова размерность нормированных на  -функцию от координаты собственных функций оператора координаты в координатном представлении
8
а. длина
б.
1
длина
в. длина 2
г.
1
длина 2
8. Состояние частицы описывается волновой функцией exp(ipx)  2 exp(2ipx) , где p - некоторое
действительное число. При измерении импульса частицы
a. с единичной вероятностью будет получено значение p
б. с единичной вероятностью будет
получено значение p
в. с вероятностью 1/5 будет получено значение p , с вероятно-
стью 4/5 – значение 2 p
г. с вероятностью 1/5 будет получено значение p , с вероятно-
стью 4/5 – значение 2 p
10. Какая из нижеперечисленных функций является общей собственной функцией операторов x̂ и
p̂ x ?
б.  ( x  a) exp(ibx)
А.  ( x  a ) sin bx
в.  ( x  a) exp(ibx)
г. такой функции не
существует (здесь a , b - произвольные действительные числа)
11. Оператор координаты x̂ в импульсном представлении – это
а. i

px
б. умножение на координату x
в. умножение на импульс px ,
г. i

px
12. Оператор импульса pˆ x в импульсном представлении – это
а. i

px
б. i

px
г. i
в. умножение на импульс px ,

x
13. Собственная функция f a ( p) оператора координаты, отвечающая собственному значению a , в
импульсном представлении равна
 pa 
а. exp  i



 pa 
в. cos 



б.   p  a 
 pa 
г. exp  i



14. Состояние частицы описывается волновой функцией  ( x, t ) . По какой из нижеперечисленных
формул можно найти волновую функцию этого состояния в импульсном представлении C ( p, t ) ?
А. C ( p, t )   ( p, t )
в. C ( p, t ) 
1
2
б. C ( p, t ) 
 px 
 dx

 ( x, t ) sin 
1
2

 ( x, t ) exp  i
г. C ( p, t ) 
9
px 
 dx

1
2
 px 
 dx

  ( x, t ) cos 
15. Дана волновая функция в импульсном представлении C ( p, t ) некоторого состояния частицы.
По какой из ниже перечисленных формул можно найти волновую функцию этого состояния в координатном представлении  ( x, t ) :
а.  ( x, t )  C ( x, t )
в.  ( x, t ) 
1
2
б.  ( x, t ) 
1
2
 px 
 dp

 C ( p, t ) exp  i
 px 
 dp

 C ( p, t ) cos 
г.  ( x, t ) 
10
1
2
 px 
 dp

 C ( p, t ) sin 
5. Временное уравнение Шредингера. Общее решение уравнения Шредингера в
случае стационарного гамильтониана. Стационарные состояния
1. Для однозначного нахождения решения временного уравнения Шредингера нужно задать:
а. волновую функцию во всех точках в начальный момент
б. волновую функцию и ее
первую производную по времени во всех точках в начальный момент
в.
волновую
цию, ее первую и вторую производные по времени во всех точках в начальный момент
функг. вол-
новую функцию, ее первую, вторую и третью производные по времени во всех точках в начальный момент
2. Гамильтониан некоторой квантовой системы не зависит от времени. Собственные функции  n и
собственные значения En этого гамильтониана известны. Какой из ниже перечисленных функций
определяется волновая функция n -го стационарного состояния системы?
 E t
А.  n ( x) exp  i n 


 E t
в. exp  i n 


б.  n ( x)
г.

 Cn n ( x) exp  i
n
Ent 


3. Потенциальная энергия частицы не зависит от времени. Волновая функция частицы в начальный момент времени  ( x, t  0) совпадает с одной из собственных функций оператора Гамильтона частицы. Как зависит от времени среднее значение координаты частицы?
А. растет
б. убывает
в. не зависит от времени
г. зависит от конк-
ретного вида потенциала
4. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Среднее значение физической величины в некотором состоянии зависит от времени. Какое из нижеприведенных утверждений является верным?
а. энергия системы имеет определенное значение
б. оператор этой физической вели-
чины не коммутирует с оператором Гамильтона в. оператор этой физической величины коммутирует с оператором Гамильтона убывают
г. такого быть не может
5. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Как зависят от времени вероятности
различных значений энергии системы?
А. растут
б. убывают
в. не зависят от времени
11
г. это зависит от состояния
6. Гамильтониан квантовой системы не зависит от времени. Частица находится в таком состоянии,
в котором среднее значение любой физической величины не зависит от времени. Измеряют энергию частицы. Что будет обнаружено в результате измерений
а. любое число из некоторого интервала значений
б. все собственные значения га-
мильтониана с равными вероятностями
в. некоторое собственное значение га-
мильтониана с единичной вероятностью
г. информации для ответа не достаточно
7. Энергия квантовой системы является интегралом движения, если
а. если оператор Гамильтона коммутирует с оператором импульса
мильтона коммутирует с оператором координаты
мутирует сам с собой
б. если оператор Га-
в. если оператор Гамильтона ком-
г. если оператор Гамильтона не зависит от времени
8. Частица движется в потенциале U ( x) , который является нечетной функцией координаты. Волновая функция частицы в начальный момент времени  ( x, t  0) является нечетной функцией координат. Волновая функция частицы в последующем будет:
а. нечетной функцией
б. четной функцией
в. обладать неопределенной четностью
г. четность зависит от конкретного вида потенциала
9. Средний импульс частицы в некотором состоянии не зависит от времени. Будет ли оператор
импульса коммутировать с оператором Гамильтона?
А. да
б. нет
в. зависит от оператора импульса
г. информации для ответа на
вопрос недостаточно
10. Если оператор некоторой физической величины не зависит от времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то
а. среднее значение этой величины в любом состоянии не зависит от времени
на имеет определенное значение в любом состоянии
б. эта величи-
в. эта величина есть энергия
г. среднее значение этой величины не зависит от времени только в стационарных состояниях
12
6. Сохранение вероятности в квантовой механике. Плотность потока вероятности
1. Гамильтониан частицы зависит от времени. Волновая функция частицы в начальный момент
времени нормирована на 2. Что можно сказать о нормировке волновой функции в последующие
моменты времени?
А. в любой момент нормирована на 2
вана на единицу
б. в любой момент (кроме начального) нормиро-
в. нормировка возрастает со временем
г. нормировка убывает со
временем
2. Закон сохранения вероятности есть следствие того, что
а. волновая функция не зависит от времени
б. оператор координаты не зависит от времени
в. нормировка волновой функции не зависит от времени
г. оператор Гамильтона не зависит
от времени
3. Закон сохранения вероятности говорит о том, что
а. волновая функция не зависит от времени
б. увеличение вероятности обнаружить частицу в
одной области пространства сопровождается уменьшением вероятности обнаружить ее в другом
в. оператор вероятности коммутирует с оператором Гамильтона
г. вероятность обнаружить
частицу в разных точках пространства не зависит от времени
4. Какая формула есть математическое выражение закона сохранения вероятности?
А. i
2

 
 
  U ( r , t ) 
t  2m

б.

2
 (r , t )  divJ (r , t )  0
t
в. i
2



t
2m
г. Ĥ   E 
5. Состояние частицы описывается волновой функцией  (r , t ) . Какой формулой определяется
плотность потока вероятности (с точностью до множителя)
а. J (r , t )
 (r , t ) * (r , t )   * (r , t ) (r , t )
б. J (r , t )
 (r , t ) * (r , t )   * (r , t )  (r , t )
в. J (r , t )
 (r , t )* (r , t )   * (r , t ) (r , t )
г. J (r , t )
 (r , t ) * (r , t )   * (r , t ) (r , t )
13
7. Общие свойства стационарных состояний одномерного движения для дискретного спектра. Квантование энергии в потенциале притяжения. Осцилляционная теорема.
1. Частица движется в некотором одномерном потенциале U ( x) . Оператор Гамильтона частицы –
это
2
2
2
d2
d2
d2
U
(
x
)
а. 
б.
в.
умножение
на
функцию
г.

U
(
x
)


U
(
x
)

2m dx 2
2m dx 2
2m dx 2
2. Потенциальная энергия стремится к  при x   (см. рисунок). Все
U ( x)
уровни энергии частицы в такой яме
а. не вырождены,
б. двукратно вырождены
рождена, часть двукратно вырождена
в. часть уровней не вы-
x
г. зависит от конкретного вида
потенциала
3. Дан график зависимости потенциальной энергии U ( x) от координа-
U ( x)
U2
ты x (см. рисунок). При каких энергиях существуют невырожденные
стационарные состояния непрерывного спектра
а. при E  U 2
б. при U1  E  U 2
в. при U 0  E  U1
г.
при
U1
a1
U0
a2
x
E  U0
4. Потенциальная энергия обращается в нуль при x   (см. рисунок).
Какова кратность вырождения собственных значений гамильтониана, от-
U ( x)
носящихся к непрерывному спектру?
А. не вырождены
x
б. двукратно вырождены
в. часть собствен-
ных значений не вырождена, часть двукратно вырождена
г. зависит от конкретного вида по-
тенциала
5. Частица движется в потенциале U ( x) , который стремится к некото-
U ( x)
U2
рым постоянным при x   (см. рисунок). Как ведут себя волновые
функции невырожденных состояний непрерывного спектра при
x   ?
А. растут
б. затухают
в. осциллируют
U1
a1
U0
a2
x
г. на одной бесконеч-
ности затухают, на другой осциллируют
6. Потенциальная энергия частицы U ( x) – четная функция координаты. Что можно сказать о коммутаторе операторов Гамильтона и четности  Hˆ , Pˆ  для такой частицы?
14
А. равен нулю
б. не равен нулю
в. зависит от конкретного вида потенциала
г. четность потенциала и коммутатор операторов Ĥ и P̂ никак не связаны друг с другом
7. На рисунке сплошной и пунктирной линией показаны графики двух
собственных функций одномерного оператора Гамильтона. Какая из этих
f ( x)
функция отвечает большему собственному значению?
А. «сплошная»
б. «пунктирная»
в. эти функции отве-
чают вырожденным по энергии состояниям
x
г. информации для ответа недостаточно
8. Потенциальная энергия частицы U ( x) – нечетная функция координаты. Что можно сказать о
волновых функциях стационарных состояний дискретного спектра?
А. все четные
б. все нечетные
в. не обладают определенной четностью
г. четность чередуется (четная-нечетная-четная и т.д.)
9. Потенциальная энергия частицы U ( x) – четная функция координаты. Что можно сказать о волновых функциях стационарных состояний непрерывного спектра?
А. все четные
б. все нечетные
в. можно выбрать так, чтобы одна была четная, вторая
нечетная
г. четность чередуется (четная-нечетная-четная и т.д.)
10. Потенциальная энергия частицы – четная функция координаты. Волновая функция третьего
возбужденного стационарного состояния дискретного спектра (четвертого по счету состояния в
порядке возрастания энергии) является
а. четной
б. нечетной
в. обладает неопределенной четностью
висит от конкретного вида потенциала
15
г. четность за-
8. Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма: спектр, разложения по собственным функциям
1. Какой формулой определяются энергии стационарных состояний частицы массой m в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a ?
А.
 2 2n
б.
2ma 2
 2 2 (n  1/ 2)
в.
2ma 2
 2 2n2
2ma 2
г.
 2 2 (n 2  1/ 2)
2ma 2
( n  1, 2,3,
)
2. Какой формулой определяются собственные функции гамильтониана частицы массой m в бесконечно глубокой потенциальной яме, расположенной между точками x  0 и x  a ?
А. A sin
 nx
б. A cos
a
 nx
  nx 
в. A exp  i

 a 
a
  nx 
г. A exp  i
 ( n  1, 2,3,
a 

, A -
постоянная).
3. Какова кратность вырождения 100-го уровня энергии частицы в бесконечно глубокой яме?
А. 1
б. 2
в. 3
г. 100
4. Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме, расположенной между точками
x  a / 2 и x  a / 2 . Какие из перечисленных величин являются интегралами движения?
А. координата
б. импульс
в. четность
в. потенциальная энергия
5. Частица находится в n -ом стационарном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме.
Как среднее значение координаты частицы зависит от n ?
А. возрастает с ростом n
б. убывает с ростом n
в. не зависит от n
г. сначала воз-
растает, потом убывает с ростом n
6. Частица находится в n -ом стационарном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме,
расположенной между точками x  a / 2 и x  a / 2 . Как средний квадрат координаты зависит от
квантового числа n этого состояния?
А. растет с ростом n
б. убывает с ростом n
в. не зависит от n
г. зави-
сит от ширины ямы
7. Волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый момент
2 x 
 x
 sin
времени имеет вид A  sin
 , где a - ширина ямы, A - постоянная. Будет ли это состоa
a 

яние стационарным?
16
А. да
б. нет
в. зависит от A
г. зависит от времени
8. Волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый момент
2 x 
 x 1
 sin
времени имеет вид A  sin
 , где a - ширина ямы, A - постоянная. Чему равна средa 2
a 

няя энергия частицы в этом состоянии?
А. E 
2
2
5ma 2
б. E 
2 2 2
5ma 2
в. E 
3 2 2
5ma 2
г. E 
4 2 2
5ma 2
9. Волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый момент
2 x 
 x
 sin
времени имеет вид A  sin
 , где a - ширина ямы, A - постоянная. Как средняя четa
a 

ность в этом состоянии зависит от времени?
а. всегда растет
б. всегда убывает
в. не зависит от времени
г. осциллирует
10. Волновая функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в некоторый момент
2 x 
 x
 sin
времени имеет вид A  sin
 , где a - ширина ямы, A - постоянная. Как средний имa
a 

пульс в этом состоянии зависит от времени?
а. всегда растет
б. всегда убывает
в. не зависит от времени
17
г. осциллирует
9. Одномерный гармонический осциллятор: спектр, разложения по собственным состояниям, вычисления с осцилляторными функциями
1. Какой формулой определяются собственные функции гамильтониана гармонического осциллятора массой m и частотой  ( x 

/ m - безразмерная координата осциллятора)?


А. Pn ( x) exp  x 2 / 2 ( Pn - полиномы Лежандра)


в. Pn ( x) exp  x 2 / 2 ( Pn
m
герра)

m
б. Ln ( x) exp  x 2 / 2

( Ln - полиномы Ла-
- присоединенные полиномы Лежандра)

г. H n ( x) exp  x 2 / 2 ( H n - полиномы Эрмита), ( n  0,1, 2,3,
).
2. Какой формулой определяются собственные функции гамильтониана гармонического осциллятора массой m и частотой  ( x 

А. H n ( x) exp  x 2 / 2

/ m - безразмерная координата осциллятора)?

б. H n ( x) exp  x 4 / 2

 
г. H n ( x) exp  x 2 ( H n - полиномы Эрмита, n  0,1, 2,3,
в. H n ( x) exp   x / 2 
).
3. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид
(1  2 x) exp(- x 2 / 2) ( x 
/ m - безразмерная координата осциллятора). Какие значения энергии
осциллятора могут быть обнаружены при измерениях?
А.  / 2 и 3  / 2
б. 3  / 2 и 5  / 2
в. только 3  / 2
г. только  / 2
4. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени является четной
функцией координаты. Можно ли при измерениях энергии осциллятора в этом состоянии обнаружить значение 3  / 2 ?
А. да
б. нет
в. зависит от способа измерения
г.
зависит
от
волновой
функции
5. При измерении энергии осциллятора были обнаружены два значения  / 2 с вероятностью ¼ и
3  / 2 с вероятностью ¾. Средняя энергия осциллятора в этом состоянии равна
а. E  5  / 2
б. E  5  / 4
в. E  5  / 3
г. E  5  / 6
6. Осциллятор находится в таком состоянии, в котором его средняя четность равна P  3/ 4 . Какие
значения энергии осциллятора можно обнаружить при измерениях в этом состоянии?
а.  / 2 и 3  / 2
б. 3  / 2 и 5  / 2
в. 5  / 2 и 7  / 2
г. мало информации, чтобы ответить
18
7. Осциллятор находится в 2007 стационарном состоянии (основное состояние – 0-ое). Чему равна
вероятность обнаружить осциллятор в бесконечно малом интервале dx вблизи точки x  0 ?
А. dw 
1
dx
2007
б. dw 
1
dx
2007 2
в. dw  2007 dx
г. 0
8. Волновая функция осциллятора в момент времени t  0 имеет вид  ( x, t  0)  Ax exp( x 4 / 2) ,
где x 
/ m - безразмерная координата осциллятора, A - постоянная. Какие значения энергии
осциллятора можно обнаружить при измерениях?
А. 3  / 2
б. все нечетные собственные значения
значения
г. все собственные значения
в. все четные собственные
9. Осциллятор находится в состоянии, в котором его энергия может принимать второе и восьмое
собственные значения (основное состояние – нулевое). Будет ли четность осциллятора иметь в
этом состоянии определенное значение?
а. да, P  1
б. да, P  1
в. нет
зависит от состояния

10. Для каких значений индексов n и m отличен от нуля интеграл

f n ( x) xˆ 2 f m ( x)dx , где f n ( x) и

f m ( x) собственные функции осциллятора, x̂ - оператор координаты?
А. только если индексы n и m совпадают
ности
б. если индексы n и m - числа одной чет-
в. если индексы n и m совпадают или отличаются на 2
г. только если
индексы n и m отличаются на 2

11. Для каких значений индексов n и m отличен от нуля интеграл

2
f n ( x) pˆ x f m ( x)dx , где f n ( x)

и f m ( x) собственные функции осциллятора, pˆ x - оператор импульса?
А. только если индексы n и m совпадают
на 2
б. только если индексы n и m отличаются
в. если индексы n и m совпадают или отличаются на 2
г. если индексы n и m -
числа одной четности
12. Волновая функция осциллятора в момент времени t  0 равна
а. (1  x) exp( x 2 / 2)
б. (1  x 2 ) exp( x 2 / 2)
в. x3 exp(  x 2 / 2)
г. x 2 exp(  x 2 / 2)
В каком из этих состояний средняя координата осциллятора зависит от времени?
19
13.
Волновая
функция
осциллятора
 ( x, t  0)  A(1  x) exp(- x 2 / 2) , где x 
в
момент
времени
t 0
имеет
вид
/ m - безразмерная координата осциллятора, A - по-
стоянная. Как будет зависеть от времени средняя энергия осциллятора в этом состоянии?
А. не будет меняться
б. будет возрастать
в. будет убывать
г. будет осциллировать
14. Какие из перечисленных величин будут интегралами движения для гармонического осциллятора?
а. координата
б. импульс
в. четность
г. никакие из перечисленных
15. Энергия осциллятора может принимать нулевое и второе собственные значения. Как средний
импульс осциллятора зависит от времени в рассматриваемом состоянии?
а. растет
б. убывает
в. осциллирует
20
г. не зависит от времени
10. Непрерывный спектр. Прохождение через потенциальные барьеры
1. Потенциальная энергия частицы равна нулю при x  0 и бесконечности при x  0 (см. рисунок). Какой из нижеследующих формул
U ( x)
определяются собственные функции гамильтониана, отвечающие
собственному значению E ( A - постоянная, k  2mE /
2
x
, m - мас-
са частицы):
а. f ( x)  A exp(ikx)
б. f ( x)  A cos kx
в. f ( x)  A exp(ikx)
г. f ( x)  A sin kx
2. В каком из перечисленных состояний свободной частицы ( U ( x)  0 ) энергия частицы имеет
определенное значение, а импульс нет?
б. eikx  eikx
А. eikx
в. таких состояний не существует
г. eikx
3. В каком из перечисленных состояний свободной частицы ( U ( x)  0 ) импульс частицы имеет
определенное значение, а энергия нет?
б. eikx  ei 2kx
А. eikx
в. таких состояний не существует
г. eikx
4. Потенциальная энергия частицы отлична от нуля в конечной области. Волновая функция при
x   в некоторый момент времени имеет вид eikx  2eikx , где k - некоторое число. Измеряют
энергию частицы. Какие значения можно получить и с какими вероятностями?
А. E 
2
б. E 
k 2 / 2m с единичной вероятностью
ковыми вероятностями
в. E 
2
2
k 2 / 2m и E   2 k 2 / 2m с одина-
k 2 / 2m с вероятностью 1/5 и E   2 k 2 / 2m с вероят-
ностью 4/5
г. информации недостаточно, чтобы ответить на этот вопрос
5. В некоторый момент времени свободная частица находится в состоянии с определенным значением координаты x  a . Является ли это состояние стационарным?
А. да
б. нет
в. зависит от a
г. зависит от энергии
6. Волновая функция свободных частиц имеет вид 5eikx  3eikx , где k - некоторое число. Чему
равна плотность потока частиц в этом состоянии (в единицах k / m , где m - масса частиц)?
А. | 5  3 |2  4
б. 52  32  16
в. | 5  3 |2  64
21
г. 52  32  34
7. Потенциальная энергия частицы отлична от нуля в конечной области. Волновая функция при
x   имеет вид 4ieikx , где k - некоторое число. Может ли волновая функция при x   быть
равной 3eikx  5eikx ?
А. да
б. нет
в. зависит от энергии
г. зависит от потенциала
8. Могут ли коэффициенты прохождения и отражения частиц от некоторого потенциала быть равными R  0.125, T  0.885 ?
а. да
б. нет
в. зависит от потенциала
г. зависит от энергии
9. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая функция
стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие асимптотики
( k  2mE /
2
, m - масса частицы): при x   - eikx , при x   -
1  ikx i 3 ikx
e 
e . Чему равны
2
2
коэффициенты отражения R и прохождения T ?
А. R  1/ 4, T  3 / 4
б. R  3 / 4, T  1/ 4
в. R  1/ 3, T  2 / 3
г.
такие
асимптотики волновая функция иметь не может
10. Потенциальная энергия частицы U ( x) отлична от нуля в конечной области. Волновая функция
стационарного состояния частицы в некоторый момент времени имеет следующие асимптотики
( k  2mE /
2
, m - масса частицы): при x   -
1 ikx i 10 ikx
e 
e , при x   - eikx . Чему равны
3
3
коэффициенты отражения R и прохождения T ?
А. R  1/10, T  9 /10
б. R  1/ 9, T  8 / 9
в. R  9 /10, T  1/10
асимптотики волновая функция иметь не может
22
г.
такие
11. Момент импульса: операторы, коммутационные соотношения, общие свойства решений уравнений на собственные значения
1. Размерность момента импульса
а. совпадает с размерностью постоянной Планка
стоянной Планка
б. совпадает с размерностью квадрата по-
в. совпадает с размерностью квадратного корня из постоянной Планка
г.
совпадает с размерностью обратной постоянной Планка
2. Частица находится в состоянии, в котором квадрат орбитального момента имеет определенное
значение. Какие из ниже перечисленных величин имеют в этом состоянии определенное значение?
А. только Lx
б. только L y
в. только Lz
г. это зависит от состояния
3. Частица находится в состоянии, в котором проекция орбитального момента на ось z имеет
определенное значение. Будет ли эта функция собственной функцией оператора квадрата момента?
А. да
б. нет
в. зависит от состояния
г. зависит от оператора Гамильтона
4. Частица находится в состоянии, в котором проекция орбитального момента на ось z имеет
определенное значение, а квадрат момента может принимать два значения. Волновая функция этого состояния
а. будет собственной функцией операторов L̂2 и Lˆ z
L̂2 и не будет собственной функцией Lˆ z
будет собственной функцией L̂2
б. будет собственной функцией оператора
в. будет собственной функцией оператора Lˆ z и не
г. информации для ответа на вопрос недостаточно
5. Пусть lz - собственное значение оператора Lˆ z . Какие утверждения относительно числа lz справедливы?
А. это число будет также собственным значением оператора L̂2
также собственным значением оператора Lˆ y
б. это число будет
в. это число чисто мнимо
г.
это
число имеет размерность квадрата постоянной Планка
6. Пусть f - общая собственная функция операторов L̂2 и Lˆ z , отвечающая ненулевым собственным значениям. Какое из нижеследующих утверждений относительно этой функции справедливо?
23
А. эта функция является также собственной функцией оператора Lˆx 2
б. эта функция явля-
2
ется также собственной функцией оператора Lˆ y в. эта функция является также собственной функ2
2
цией оператора Lˆx  Lˆ y
г. эта функция является также собственной функцией оператора
2
2
Lˆx  Lˆ y
7. Частица находится в состоянии с определенным значением проекции орбитального момента на
ось z . Будет ли проекция момента на ось x в этом состоянии иметь определенное значение?
А. да
б. нет
в. зависит от состояния
г. зависит от проекции на ось z
8. Какие утверждения относительно свойств оператора, повышающего проекцию орбитального
момента L̂ справедливы?
А. он эрмитов
пряжен оператору L̂
б. он является обратным для оператора L̂
в. он эрмитово со-
г. он коммутирует с оператором L̂
9. Пусть f - общая собственная функция операторов L̂2 и Lˆ z . Будет ли она собственной для оператора Lˆ Lˆ ?
а. да
б. нет
в. зависит от функции
г. зависит от собственных значений
L̂2 и Lˆ z
340. Какое из перечисленных равенств правильное
5
а.  Lˆ4 , Lˆx   Lˆ y
4
б.  Lˆ4 , Lˆx   i Lˆ y
3
в.  Lˆ4 , Lˆx    2 Lˆ y
(где L̂4 - оператор четвертой степени момента)
24
г.  Lˆ4 , Lˆx   0
12. Момент импульса: решение уравнений на собственные значения, разложение по сферическим функциям
1. Частица находится в состоянии с определенной проекцией орбитального момента на ось y :
Ly  4 . Измеряют квадрат момента импульса. Какое из перечисленных значений не могло быть
при этом получено?
А. 24
б. 30
2
в. 42
2
2
а. 20
2
2. Частица находится в состоянии с волновой функцией (  - полярный угол,  - азимутальный):
б. exp( i )
а. sin 
в. exp( i )
г. sin 
В каких из этих состояний результат измерения проекции орбитального момента на ось z не имеет определенного значения?
3. Какая из нижеследующих функций является общей собственной функцией операторов pˆ z и Lˆ y
( k - некоторое действительное число,  - азимутальный угол)?
А. ei eiky
б. ei eiky
в. e  i e  iky
г. такой функции не существует
4. Частица находится в состоянии с волновой функцией cos  (  - азимутальный угол). Измеряют
проекцию орбитального момента на ось z . Какие значения могут быть получены и с какими вероятностями?
А.
и 2 с вероятностями ½
вероятностями 1/3
б.
г.  , 0 ,
и  с вероятностями ½
в. 0 ,
и 2
с
с вероятностями 1/3
5. Частица находится в состоянии с волновой функцией sin  cos  (  - полярный угол,  - азимутальный). Будут ли орбитальный момент и его проекция на ось z иметь определенные значения?
А. проекция – да, момент – нет
б. проекция – нет, момент – да
в. и проекция, и момент
г. ни момент, ни проекция.
6. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией C1Y54 ( ,  )  C2Y53 ( ,  ) ,
где C1 и C2 - числа. Какие значения орбитального момента можно обнаружить в этом состоянии и
с какими вероятностями?
25
А. l  5 с единичной вероятностью
стью | C1 |2
б. l  3 с вероятностью | C2 |2 и l  4 с вероятно-
в. l  5 с вероятностью | C1 |2  | C2 |2 , l  3 с вероятностью | C2 |2 и l  4 с вег. l  3 и l  4 с одинаковыми вероятностями
роятностью | C1 |2
6. Частица находится в состоянии с нормированной волновой функцией C1Y54 ( ,  )  C2Y53 ( ,  ) ,
где C1 и C2 - числа. Какие значения проекции орбитального момента на ось z можно обнаружить
в этом состоянии и с какими вероятностями?
А. m  5 с единичной вероятностью
ностью | C1 |2
б. m  3 с вероятностью | C2 |2 и m  4 с вероят-
в. m  5 с вероятностью | C1 |2  | C2 |2 , m  3 с вероятностью | C2 |2 и m  4 с
г. m  3 и m  4 с одинаковыми вероятностями
вероятностью | C1 |2
7. Как сферическая функция Ylm ( ,  ) зависит от угла азимутального 
а. как sin m
б. как cos m
в. как eim
г. как eim
8. Частица находится в состоянии с определенными значениями орбитального момента l  3 и его
проекции на ось x lx  1 . Чему равно среднее значение проекции орбитального момента на ось z ?
А. l z  1
б. l z  3
в. lz  3 / 2
г. lz  0
9. Какая функция получится в результате действия оператора L̂ на функцию Y55 ( ,  ) (с точностью до множителя):
а. LˆY55 (,  ) Y56 (,  )
б. функция LˆY55 (,  ) тождественно равна нулю
в. LˆY55 (,  ) Y65 (,  )
г. LˆY55 (,  ) Y66 (,  )
10. Какой формулой определяется сферическая функция Y12 (,  ) (  - полярный угол,  - азимутальный)?
а. cos  e2i
б. cos  e2i
в. sin  e2i
26
г. такой функции не существует
13.
Общие свойства состояний дискретного спектра в центрально-
симметричном поле
1. Будет ли гамильтониан частицы, движущейся в центральном поле, коммутировать с оператором
проекции момента на ось x ?
А. да
б. нет
в. зависит от поля
г. зависит от состояния, в котором
находится частица
2. Что можно сказать о зависимости волновой функции стационарных состояний частицы от полярного  и азимутального  углов в некотором центрально-симметричном поле.
А. не зависят от углов  и 
б. зависимость от углов  и  всегда сводится к неко-
торой сферической функции
в. эти функции можно выбрать так, что их зависимость
от углов  и  сводится к некоторой сферической функции

3. Что можно сказать об интеграле
  (r )
1
2
г. это зависит от вида поля
(r )dr , где 1 (r ) и  2 (r ) - радиальные волновые функ-
0
ции (  (r )  rR(r ) ) стационарных состояний дискретного спектра
а. он равен нулю, если эти функции отвечают разным радиальным квантовым числам и разным
моментам
б. он равен нулю, если эти функции отвечают разным радиальным квантовым
числам, но одинаковому моменту
в. он равен нулю, если эти функции отвечают одинако-
вым радиальным квантовым числам, но разным моментам
г. он равен нулю, если эти
функции отвечают одинаковым радиальным квантовым числам и одинаковым моментам
4. Что такое вырождение уровней энергии частицы в центрально-симметричном поле по проекции
момента?
А. совпадение проекций момента у состояний с разными энергиями
ций у состояний с разными моментами
проекциями
б. совпадение проек-
в. совпадение моментов у состояний с разными
г. совпадение энергий у состояний с разными проекциями момента
5. Что такое «случайное» вырождение уровней энергии в центрально-симметричном поле?
А. Совпадение энергий у частиц, движущихся в разных потенциалах
у состояний с разными моментами
одинаковые энергии
б. совпадение энергий
в. случайное столкновение частиц, имеющих
г. совпадение моментов у состояний с разными энергиями
27
. Кратность вырождения уровня энергии частицы, находящейся в центральном поле, равна 6. Существует ли «случайное» вырождение в этом поле?
А. да
б. нет
в. кратность вырождения, равная 6, и существование «случайного»
вырождения никак не связаны между собой
г. зависит от поля
7. Радиальное квантовое число нумерует
а. Состояния с определенным моментом в порядке возрастания энергии
в порядке возрастания энергии
б. Все уровни
в. Состояния с определенной проекцией момента на ось
z в порядке возрастания их энергии
г. Состояния с определенной энергией в порядке
возрастания их момента
8. Радиальное квантовое число и момент состояния частицы в центральном поле фиксированы.
Как изменяется энергия при увеличении проекции момента на ось z ?
А. растет
б. убывает
в. не меняется
г. зависит от поля
9. Какой не может быть кратность вырождения первого возбужденного уровня энергии частицы в
центрально-симметричном поле?
А. 1
б. 2
в. 3
г. 4
10. Уровень энергии частицы в центральном поле невырожден. Какие значения орбитального момента можно обнаружить при измерениях над частицей, находящейся на этом уровне и с какими
вероятностями?
А. l  1 с единичной вероятностью
с равными вероятностями
б. l  0 с единичной вероятностью
г. данной информации недостаточно для ответа
28
в. l  0 и l  1
14. Атом водорода, сферический осциллятор, сферическая яма
1. Электрон находится в водородоподобном ионе с зарядом ядра Z . Как боровский радиус зависит
от Z ?
А. как Z
б. как
1
Z
в. как
Z
1
Z
г. как
2. Боровский радиус – это (  - масса электрона, e - его заряд, c - скорость света)
2
а.
б.
c2
e2

2
2
в.
2
г.
e2c 2
 e2
3. Для электрона в атоме водорода сравнить Enr 0l 3 и Enr 1l  4 .
А. 
в. 
б. 
г. зависит от m
4. Электрон в атоме водорода находится в состоянии с квантовыми числами nr  4, l  6, m  2
(нумерация nr начинается с нуля). Сколько узлов имеет радиальная волновая функция (без учета
узла при r  0 )
а. 4
б. 6
в. 2
г. 12
5. Сферический осциллятор находится на втором возбужденном уровне энергии. Перечислить все
значения момента импульса, которые можно обнаружить при измерениях
а. l  1 и l  2
б. l  0 и l  1
в. l  0 и l  2
г. l  2
6. Сферический осциллятор находится на первом возбужденном уровне энергии. Какой формулой
не может описываться зависимость его волновой функции от полярного и азимутального углов

и:
б. cos
а. sin  sin 
в. sin  exp( i )
г. cos  cos 
7. Сферический осциллятор находится на первом возбужденном уровне энергии. Какова вероятность того, что проекция момента осциллятора на ось z равна m  1?
а. 1/3
б. 2/3
в. 0
г. зависит от состояния
29
8. Сферический осциллятор находится в состоянии с «декартовыми» квантовыми числами
nx  0, n y  1, nz  0 . Какие значения проекции момента импульса на ось z можно получить при
измерениях?
А. m  0
б. m  1
в. m  1 и m  1
г. m  2 и m  2
9. Какой формулой определяются энергии s -состояний частицы массой  в сферической бесконечно глубокой потенциальной яме радиуса a ( n  1, 2,3... )?
А.
 2 2 n2
2 (2a) 2
б.
 2 2 n2
2 a 2
в.
 2 2n
2 a 2
г.
 2 2n
2 (2a) 2
10. Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме находится в состоянии с квантовыми числами nr  2 , l  3 , m  2 . Какова кратность вырождения этого уровня энергии?
А. 5
б. 7
в. 9
г. 11
30
2 СЕМЕСТР
15 Сложение моментов
1. Коэффициенты Клебша-Гордана это:
а. коэффициенты разложения волновой функции двух частиц по собственным функциям оператора импульса
б. коэффициенты разложения волновой функции двух частиц с
определенными значениями моментов и проекций по собственным функциям оператора гамильтона
в. коэффициенты разложения волновой функции с определенными значения-
ми импульсов частиц по собственным функциям операторов суммарного момента и его проекции
на ось z
г. коэффициенты разложения волновой функции двух частиц с опре-
деленными значениями моментов импульсов и их проекций на ось z по собственным функциям
операторов суммарного момента и его проекции на ось
2. Две частицы находятся в состоянии, в котором моменты и проекции моментов импульса частиц
имеют определенные значения: l1  3 , m1  1, l2  4 , m2  3 . Какие значения принимает проекция
суммарного момента на ось z и с какими вероятностями?
А. M  7 с единичной вероятностью
стями
б. от M  7 до M  1 с одинаковыми вероятно-
в. M  2 с единичной вероятностью
г. от M  7 до M  1 с одинаковы-
ми вероятностями
3. Две частицы находятся в состоянии, в котором моменты и проекции моментов импульса частиц
имеют определенные значения: l1  3 , m1  3 , l2  4 , m2  4 . Какие значения принимает суммарный момент и с какими вероятностями?
А. J  7 с единичной вероятностью
ми
б. от J  7 до J  1 с одинаковыми вероятностя-
в. J  1 с единичной вероятностью
г. такого состояния быть не может
4. Две частицы находятся в состоянии, в котором моменты и проекции моментов импульса частиц
имеют определенные значения: l1  3 , m1  3 , l2  4 , m2  3 . Какие значения принимает суммарный момент?
А. J  7
б. от J  7 до J  1
в. J  7 и J  6
быть не может
31
г. такого состояния
5. Две частицы находятся в состоянии, в котором суммарный момент и его проекция имеют определенные значения: J  4 , M  2 . Какие значения принимают в этом состоянии моменты импульса частиц?
А. l1  3 , l2  4
б. l1  99 , l2  96
в. l1  4 , l2  0
для ответа на вопрос недостаточно
32
г. информации
16. Спин: спиновые функции, спиновые операторы, разложения по спиновым
функциям, сложение спинов
1. Спин частицы равен 3/4. Какие значения может принимать проекция ее спина на ось z ?
а. +3/4 и –3/4
б. +3/4, 3/2, -3/2 и –3/4
в. 3/2 и –3/2
г. спин таким быть не может
2. В результате многократных измерений, выполненных над ансамблем тождественных квантовых
систем, были обнаружены следующие вероятности различных проекций спина частицы на ось y :
w( s y  1)  1/ 4 , w( s y  0)  1/ 4 , w( s y  1)  1/ 2 . Чему равен спин частицы?
А. 1
б. 2
в. 3
г. информации для ответа недоста-
точно
3. Спиновая волновая функция частицы равна
 1/ 2 


0 

 ( sz ) 
.
i 3 / 2


 0 
Чему равен спин такой частицы?
а. 1
б. 3/2
в. 2
г. 5/2
4. В каком из перечисленных состояний частица имеет определенную проекцию спина на ось z ?
1
а.  ( sz )   
0
б.  ( sz ) 
1  1
 
2  1
в.  ( sz ) 
1 i
 
2 i
г. ни в одном
0
5. Чему равно среднее значение проекции спина на ось z в состоянии  ( sz )    ?
1
а. sz  1/ 2
б. sz  1/ 2
в. sz  1/ 4
г. sz  0
 1/ 2 
6. Какая из четырех функций ортогональна функции 
?
i 3 / 2
 1/ 2 
а. 

i 3 / 2
 3 / 2
б. 

 1/ 2 
i 3 / 2
в. 

 1/ 2 
33
i 3 / 2
г. 

 1/ 2 
 3i / 11 
7. Частица находится в состоянии с волновой функцией  ( sz )  
 . Будет ли квадрат про 2 /11 


екции спина на ось z иметь определенное значение в этом состоянии?
а. да
б. нет
в. зависит от способа измерений
г. недостаточно информации
8. Спин частицы равен ½. Чему равны собственные значения оператора проекции спина на ось y ?
а. 1 и 1
б. 1/ 2 и 1/ 2
в. 1 , 0 и 1
г. 3/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 и 3/ 2
9. Какая матрица (матрицы) отвечает эрмитовому оператору?
 i 0
А. 

0 i 
 0 i
б. 

 i 0 
i 0 
в. 

 0 i 
0 i 
г. 

 i 0
10. Две частицы находятся в состоянии с волновой функцией
 1
1
  sz1 , sz 2    0   
 0   0 2
 1
Какие значения может принимать суммарный спин в этом состоянии?
А. определенное значение S 
S
5
2
3
с определенными вероятностями
2
б. определенное значение S 
3
2
в.
S
5
2
и
г. от S  2 до S  0 с определенными вероятно-
стями
34
17. Квазиклассическое приближение
1. Квазиклассическое приближение это
а. метод перехода от квантовой механики к механике классической
тором оператор импульса заменяется на импульс
б. приближение, в ко-
в. метод приближенного решения стацио-
нарного уравнения Шредингера, основанный на «плавности» потенциала как функции координаты
г. метод приближенного решения временного уравнения Шредингера, основанный на «плавности»
волновой функции системы как функции времени
2. Какова размерность параметра квазиклассичности | k ( x) / k 2 ( x) |
а. длина
б.
1
длина
в.
1
длина 2
г. безразмерный
3. График потенциальной энергии частицы имеет вид, показанный
U ( x)
на рисунке. Уравнение Шредингера решается при двух энергиях -
E2
E1 и E2 (показаны на рисунке) При какой энергии лучше работает
E1
x
квазиклассическое приближение?
А. лучше при энергии E1
лично
б. лучше при энергии E2
в.
безраз-
г. от энергии точность квазиклассического приближения не зависит
4. Решают уравнение Шредингера при энергии
E U ( x)
U ( x)
E в потенциалах, изображенных на рисунках
(энергия отложена черточкой на оси потенциа-
x
x
E
лов). Для какого случая можно ожидать лучшей
работы квазиклассического приближения?
а. для левого
б. для правого
в. одинаково
г. мало информации чтобы
ответить
5. Рассматриваем решение стационарного уравнения Шредингера для частицы массой m в потенциале U ( x) при энергии E . Квазиклассическое приближение несправедливо при таких значениях
координат, которые находятся из нижеследующего уравнения
а. E  U ( x)
б.
2m
2
E 3 / 2  U ( x)
в. E  U ( x)
2
г.
2m
E 3 / 2  U ( x)
6. Квазиклассическое приближение работает, если действие S , которое имела бы частица, если бы
она двигалась по законам классической механики, было
35
а. S
б. S
в. S
г. S
m
E
где m - масса частицы, E - ее энергия
7. Из квазиклассических решений уравнения Шредингера следует, что решение при E  U ( x) является:
а. растущей или затухающей функцией
б. осциллирующей функцией
в. постоянной
г. зависит от E
8. Для каких уровней энергии выше точность квазиклассического правила квантования
а. с маленькими квантовыми числами
б. с большими квантовыми числами
энергия которых много больше постоянной Планка
в. для уровней,
г. для уровней, энергия которых много
меньше постоянной Планка
b
9. Квазиклассическое правило квантования
 k ( x)dx
 n (где k ( x)  2m  E  U ( x)  /
2
, a и b -
a
классические точки поворота) является уравнением, из которого можно найти собственные значения оператора энергии. В какие из нижеследующих величин входят искомые собственные значения? (считать, что график зависимости потенциальной энергии не имеет «вертикальных» стенок)
А. в k ( x)
б. в k ( x) и a
в. в k ( x) , a и b
г. ни в одну из перечисленных ве-
личин
10. Чему равно значение параметра квазиклассичности при таких значениях координаты, где
E  U ( x) ( E - энергия, при которой решается уравнение Шредингера в потенциале U ( x) )?
А. 0
б. 1
в. 
г. -1
36
18. Теория возмущений при отсутствии вырождения
1. Теория возмущений позволяет вычислить:
а. оператор возмущения, если известно классическое выражение для возмущающего систему потенциала
б. поправки к энергиям стационарных состояний непрерывного спектра
в. поправки к энергиям стационарных состояний дискретного спектра
г. поправки к волно-
вым функциям стационарных состояний дискретного спектра
2
2. Какая из двух формул Ei
(2)

2
V
V
  ik  или Ei (2)    ki  для поправки к энергии i -го
k ( k i ) i
k ( k i ) i
k
k
стационарного состояния правильна?
А. первая
б. вторая
в. обе, поскольку приводят к одинаковому результату
г. зависит от невозмущенной системы
3. На некоторую квантовую систему накладывают малое возмущение Vˆ , причем известно, что
диагональный матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными функциями основного состояния равен нулю. Увеличится или уменьшится при этом энергия основного состояния
системы?
А. увеличится
б. уменьшится
в. не изменится
г. мало информации для от-
вета
4. Какой формулой – а, б, в или г - определяется условие применимости теории возмущений?
2
Vki
а.
i   k
1
Vki
б.
i   k
в. Vki
1
г.
1
Vki
( i   k )2
1
5. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме, наложили возмущение
 ( x  a / 2) , где a - размер ямы. Какой формулой определяются поправки первого порядка к
энергиям состояний с нечетными квантовыми числами (основное состояние - n  1 )
а. Ei
(1)


2a
б. Ei
(1)

2
a
в. Ei
(1)

2
a
г. Ei
(1)


2a
6. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a , наложили
малое возмущение V ( x)  V0 ( x  a / 2) ( V0  0 ). Как изменятся энергии стационарных состояний в
первом порядке теории возмущений по сравнению с невозмущенной задачей?
37
А. увеличатся
б. уменьшатся
в. не изменятся
г. зависит от размера
ямы
7. На одномерный гармонический осциллятор наложили малое возмущение Vˆ ( x)   ( x) . Как изменятся энергии нечетных уровней осциллятора (уровень с самой маленькой энергией – нулевой)?
А. увеличатся
б. уменьшатся
в. не изменятся
г. зависит от уровня
8. На одномерный гармонический осциллятор наложили возмущение Vˆ ( x)   ( x) . При каких
значениях параметра  это возмущение можно считать малым?
А. 
a
б. 
a
в. 

a
г. 

a
(здесь a 
m
)
9. На атом водорода накладывают однородное электрическое поле с напряженностью E . Чему равен сдвиг энергии основного состояния электрона в первом порядке теории возмущений
а. E (1) 
E 2
me2
б. E (1)  
E 2
me 2
в. E (1)  0
г. E (1) 
2E 2
me2
10. На атом водорода накладывают малое возмущение Vˆ = a cos . Какие значения момента импульса электрона и его проекции на ось z можно обнаружить в основном состоянии атома? Ответ
дать в первом порядке теории возмущений для волновой функции.
А. l  0 , lz  0
б. l  0, 1 , lz  0,  1
в. l  0, 2 , lz  0,  2
lz  0
38
г.
l  0, 1 ,
19. Теория возмущений при наличии вырождения
1. Правильные функции нулевого приближения являются
а. точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана
собственными функциями возмущенного гамильтониана
мущенного временного уравнения Шредингера
б.
точными
в. точными решениями воз-
г. приближенными собственными функци-
ями невозмущенного гамильтониана
2. Некоторая квантовая система имеет двукратно вырожденный уровень, которому отвечают невозмущенные волновые функции 1 ( x) и 2 ( x) . На систему накладывают возмущение Vˆ . Известно, что матричные элементы оператора возмущения с правильными функциями нулевого приближения одинаковы. Будет ли сниматься вырождения уровня в первом порядке теории возмущений?
а. да
б. нет
в. информации для ответа недостаточно
г. зависит от величи-
ны возмущения
3. Некоторая квантовая система имеет вырожденный уровень, которому отвечают собственные
функции 1 ,  2 , …,  s . На систему накладывают возмущение, недиагональные матричные элементы которого с функциями i равны нулю, диагональные – все различны. Будет ли сниматься
вырождение уровня?
а. только частично
б. полностью
в. нет
г. информации для ответа недоста-
точно
4. Некоторая квантовая система имеет вырожденный уровень. На систему накладывают возмущение, которое полностью снимает вырождение этого уровня. Будут ли правильные функции нулевого приближения, отвечающие этому уровню, ортогональны?
А. да
б. нет
в. их можно выбрать так, чтобы были ортогональны
г. информации для ответа недостаточно
5. Некоторая квантовая система имеет вырожденный уровень. На систему накладывают возмущение. Будет ли выбор правильных функции нулевого приближения однозначным?
А. да
б. нет
в. да, если вырождение снимается полностью
г. да, если вы-
рождение снимается хотя бы частично
6. Пятый возбужденный уровень (шестой по счету в порядке возрастания энергии) некоторой
трехмерной квантовой системы является четырехкратно вырожденным. На систему накладывается
39
малое возмущение Vˆ . Какой размерности систему уравнений надо решать, чтобы определить
расщепление этого уровня под действием возмущения Vˆ ?
А. 3
б. 4
в. 5
г. 6
7. Заряженная частица находится в центральном поле со случайным вырождением. Имеется уровень энергии с вырождением состояний с l  0 и l  2 . На частицу накладывают однородное электрическое поле. Произойдет ли расщепление этого вырожденного уровня энергии в первом порядке теории возмущений?
А. да
б. нет
в. зависит от величины поля
г. зависит от ради-
альных квантовых чисел вырожденных состояний
8. На бесспиновую заряженную частицу, находящуюся в центральном поле (без случайного вырождения), накладывают магнитное поле. На сколько подуровней расщепится уровень энергии с
моментом l ?
А. не расщепится
б. на l
в. на 2l  1
г. на 2l  2
9. На частицу, находящуюся в центральном поле без случайного вырождения, накладывается возмущение, оператор которого зависит только от модуля радиуса-вектора. Будет ли «сниматься» вырождение уровней энергии в первом порядке теории возмущений?
А. да
б. нет
в. его и не было, так как по условию вырождение отсутствовало
г. будет сниматься частично
10. На частицу, находящуюся в центрально-симметричном поле, в котором отсутствует случайное
вырождение, накладывается возмущение Vˆ  A cos2  . На сколько подуровней расщепится уровень с моментом l ?
А. на 2l  1
в. на l  1
б. расщепления не будет
40
г. на l
20. Квантовые переходы: теория нестационарных возмущений, переходы под
действием периодических и внезапных возмущений
1. Теория нестационарных возмущений представляет собой приближенный метод решения
а. стационарного уравнения Шредингера
непрерывности
б. временного уравнения Шредингера
в. уравнения
г. уравнения на собственные значения оператора импульса
2. На квантовую систему накладывают зависящее от времени возмущение Vˆ ( x, t ) , где  - некоторое число. Как вероятности переходов под действием этого возмущения, вычисленные в первом
порядке нестационарной теории возмущений, зависят от  ?
а. как 
б. как  2
в. как  3
г. как  4
3. На частицу, находящуюся в 5-ом стационарном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a , расположенной между точками x  0 и x  a , накладывают возмущение
x
Vˆ ( x, t )  V0 cos
f (t ) , где f (t ) - некоторая функция времени. В какие стационарные состояния
a
возможны переходы (в первом порядке теории нестационарных возмущений)?
А. в 4-ое стационарное состояние
стационарные состояния
б. в 6-ое стационарное состояние
в. в 4-ое и 6-ое
г. только в основное
4. На частицу, находящуюся в первом возбужденном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a , расположенной между точками x  0 и x  a , накладывают возмущение
Vˆ ( x, t )   ( x  a / 2) f (t ) , где f (t ) - некоторая функция времени. В какие стационарные состояния
возможен переход (основное состояние - первое)?
А. в основное, второе возбужденное, четвертое возбужденное и т.д.
в пятое возбужденное, в седьмое возбужденное и т.д.
б. в третье возбужденное,
в. во все
г. только в основное
5. На одномерный гармонический осциллятор, находящийся в первом возбужденном состоянии,
действует зависящее от времени малое возмущение Vˆ ( x, t ) = xV (t ) . Чему равно отношение вероятностей перехода осциллятора в основное и второе возбужденное состояния? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений.
А.
w10
 2,
w1 2
б.
w10 1

w12 2
в.
w10
1
w12
г.
w10 2

w12 3
Указание: Матричные элементы оператора координаты с осцилляторными функциями равны:
41
xnk 
n
(n  1)
 k ,n1 
 k ,n1
2m
2m
6. На заряженный трехмерный гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии,
действует малое однородное периодическое электрическое поле E (t )  E0 cos t . Частота поля
равна частоте осциллятора. В какие состояния осциллятор будет совершать переходы? Ответ дать
в первом порядке теории нестационарных возмущений
А. в первое возбужденное
б. во второе возбужденное
в. в третье возбужденное
г. ни в какие
Указание. Кратность вырождения первого возбужденного состояния осциллятора равна 3, второго
возбужденного – 6.
7. На трехмерный гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, действует малое возмущение Vˆ (r , t )  Vˆ (r ) cos  t , где оператор Vˆ ( r ) зависит только от модуля радиус-вектора,
а частота возмущения равна частоте осциллятора. Может ли осциллятор совершить переход в первое возбужденное состояние?
А. да
б. нет
в. зависит от оператора Vˆ ( r )
г. это зависит от массы осциллятора
Указание. Кратность вырождения первого возбужденного состояния осциллятора равна 3.
8. На атом водорода, находящийся в основном состоянии действует малое возмущение
Vˆ (r , t )  Y20 (,  )cos t , где Y20 - сферическая функция. При какой минимальной частоте возмущения возможен переход? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений
а.  
e2
8a
б.  
2e 2
8a
в.  
3e 2
8a
г.  
4e 2
8a
здесь e - заряд электрона, a - боровский радиус. Указание. Кратность вырождения уровней энергии электрона в атоме равна n 2 , энергии - e2 / 2n2a , n  1, 2,...
9. На одномерную квантовую систему с гамильтонианом Ĥ 0 внезапно накладывают возмущение
Vˆ ( x ) . Какой формулой описываются вероятности переходов из n -ого состояния в k -ое?
*
А. wnk    n ( x)Vˆ ( x) k ( x)dx
2
*
б. wnk   n ( x)Vˆ ( x) k ( x)dx
2
2
*
в. wnk    n ( x)Vˆ ( x) k ( x)dx
*
г. wnk    n ( x) k ( x)dx , где  и  - собственные функции гамильтониана Ĥ 0 и Hˆ 0  Vˆ
42
2
10. Трехмерный осциллятор находится на втором возбужденном уровне энергии. Внезапно на осциллятор накладывается возмущение, зависящее только от модуля радиус-вектора. Может ли осциллятор совершить переход в основное состояние?
А. да
б. нет
в. зависит от величины возмущения
г. мало информации для ответа
Указание. Кратность вырождения второго возбужденного уровня трехмерного осциллятора – 6.
43
21. Системы тождественных частиц: перестановочная симметрия волновой
функции
1. Выбрать правильное утверждение
а. фермионы – это частицы с четным спином
в. спин всех бозонов равен 2
б. бозоны имеют полуцелый спин
г. если частица имеет спин, равный 1/2, то это фермион
2. Что такое определитель Слэттера?
а. это определитель секулярного уравнения
б. волновая функция тождественных бозонов
в. волновая функция тождественных фермионов
г. определитель матриц Паули
3. Имеется система тождественных невзаимодействующих фермионов со спином s  99/ 2 каждый. Какое максимальное количество частиц могут находиться в одинаковом пространственном
состоянии?
а. 99
б. 100
в. 101
г. любое
4. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:

i (r1 ) k (r2 )   k (r1 )i (r2 )  i (r1 ) n (r2 )   n (r1 )i (r2 ) , где i, k , n - квантовые числа одночастичных
состояний. Сколько частиц входят в систему?
а. одна
б. две
в. три
г. эта система с неопределенным числом частиц
5. Гамильтониан системы тождественных фермионов
а. симметричен относительно перестановок координат частиц, так как это фермионы
симметричен относительно перестановок координат, так это фермионы
сительно перестановок координат частиц, так как частицы тождественные
б. анти-
в. симметричен отног. антисиммет-
ричен относительно перестановок координат частиц, так как частицы тождественные
6. Два тождественных невзаимодействующих бозона со спином s  0 каждый находятся в потенциале одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго возбужденного уровня энергии системы?
а. 1
б. 2
в. 3
г. 4
7. Десять тождественных невзаимодействующих фермионов со спином s  3/ 2 находятся в потенциале одномерного гармонического осциллятора с частотой  . Какова энергия основного состояния системы?
44
а. 10 
б. 11 
в. 12 
г. 13 
8. Два тождественных невзаимодействующих фермиона со спином s  1/ 2 каждый находятся в
потенциале одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго
возбужденного уровня энергии системы?
а. 3
б. 4
в. 5
г. 6
9. Два тождественных фермиона со спином s  3/ 2 каждый находятся в состоянии с определенным суммарным спином S . Будет ли пространственная часть волновой функции системы обладать определенной симметрией по отношению к перестановкам
а. да
б. нет
в. будет, если S  3 или S  1
г. будет, если S  2 или S  0
10. Система из двух тождественных фермионов со спином s  1/ 2 каждый находится в состоянии,
в котором суммарный спин не имеет определенного значения. Будет ли пространственная часть
волновой функции системы обладать определенной симметрией по отношению к перестановкам
а. да
б. нет
в. зависит от состояния
45
г. зависит от проекции суммарного спина
22. Системы тождественных частиц: метод вторичного квантования
1. Метод вторичного квантования дает возможность
а. проквантовать пространство («первичное») и время («вторичное» квантование)
б. нахо-
дить собственные значения и собственные функции гамильтониана системы тождественных частиц
в. вычислять матричные элементы различных возмущений с волновыми функциями
систем тождественных частиц
г. находить решения временного уравнения Шредингера
для систем тождественных частиц
2. Что такое числа заполнения одночастичных состояний?
а. это квантовые числа этих состояний
б. это количество «мест» для частиц в этих состо-
яниях в. это число частиц, которые находятся в этих состояниях
г. это доля заполне-
ния этих «мест» в этих состояниях частицами
3. Система шести тождественных невзаимодействующих фермионов находится в состоянии, в котором числа заполнения состояний одночастичного гамильтониана имеют следующие значения:
ni  3 , nk  2 , nm  1 . Будет ли это состояние собственным для оператора Гамильтона системы и
если да, то какому собственному значению оно отвечает?
а. да, собственному значению 3 i  2 k   m
6 i  4 k  2 m
б. нет
в.
да,
собственному
значению
г. только, если состояния i, k , m вырождены
(  i ,  k ,  m - энергии одночастичных состояний)
4. Сравнить энергию основных состояний системы невзаимодействующих тождественных бозонов
Eb и системы невзаимодействующих тождественных фермионов E f , если число частиц в систе-
мах и одночастичные гамильтонианы одинаковы
а. Eb  E f
б. Eb  E f
в. Eb  E f
г. сравнить эти энергии невозможно
5. Пусть разложение волновой функции системы тождественных частиц (r1 , r2 ,...) по состояниям, в которых числа заполнения имеют определенные значения  n1 ,n2 ,... (r1 , r2 ,...) , где n1 , n2 ,... - числа
заполнения одночастичных состояний 1, 2, имеет вид (r1 , r2 ,...) 
C
 n ,n ,... (r1 , r2 ,...) , где
n1 , n2 ,..
1
2
n1 , n2 ,..
Cn1 ,n2 ,.. - коэффициенты разложения. Какая величина в этом равенстве представляет собой волно-
вую функцию рассматриваемого состояния в представлении чисел заполнения?
а. (r1 , r2 ,...)
б.  n1 ,n2 ,... (r1 , r2 ,...)
в. Cn1 ,n2 ,...
46
г. ни одна из этих величин
6. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:

C1 i ( x1 )  k ( x1 ) C2 i ( x1 )  n ( x1 )
, где  i ( x) ,  k ( x) и  n ( x) - собственные функции одно
2 i ( x2 )  k ( x2 ) 2 i ( x2 )  n ( x2 )
частичного гамильтониана, i, k , n - одночастичные квантовые числа, x1 и x2 включают в себя как
пространственные, так и спиновые переменные, C1 и C2 числа. Среднее значение числа заполнения одночастичного состояния n равно
а. nn  1
в. nn  C1
б. nn  0
г. nn  C2
2
2
7. Какое из приведенных ниже перестановочных соотношений операторов рождения и уничтожения для фермионов является правильным?


а. aˆi aˆk  aˆk aˆi   ik


б. aˆi aˆk  aˆk aˆi   ik


 
в. aˆi aˆk  aˆk aˆi   ik
г. aˆi aˆk  aˆk aˆi   ik
8. Каковы перестановочные соотношения операторов рождения и уничтожения для бозонов


а. aˆi aˆk  aˆk aˆi   ik


б. aˆi aˆk  aˆk aˆi   ik


 
в. aˆi aˆk  aˆk aˆi   ik
г. aˆi aˆk  aˆk aˆi   ik
9. Оператор числа заполнения одночастичного состояния Nˆ i в представлении чисел заполнения
равен

а. Nˆ i  aˆi aˆi

б. Nˆ i  aˆi aˆi

в. Nˆ i  aˆi aˆi  1

г. Nˆ i  aˆi aˆi  1
10. Какой из нижеследующих формул определяется оператор Гамильтона системы тождественных
невзаимодействующих частиц в представлении чисел заполнения?
2 
а. Hˆ    i aˆi aˆi
i

б. Hˆ    i aˆi aˆi
i

в. Hˆ    i aˆi aˆi
i
47
2

г. Hˆ    i aˆi aˆi
i
23. Задача рассеяния: постановка задачи, граничное условие, амплитуда рассеяния. Борновское приближение в задаче рассеяния
1. Какова кратность вырождения собственных состояний свободного трехмерного уравнения
Шредингера?
а. 1
в. 2l  1
б. 2
г. 
2. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Какие из перечисленных функций будут решениями стационарного уравнения Шредингера при энергии E ( k  2mE /
б. e ikr
а. e ikr
2
, m - масса частицы)
г. e  ikr / r 2 , r  0
в. eikr / r , r  0
3. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Какие из нижеперечисленных функций будут приближенными решениями стационарного уравнения Шредингера при r   ?
а. sin  reikr
в. ei e kr / r
б. cos  sin  sin kr / r
г. никакая из перечисленных
4. Потенциальная энергия частицы не равна нулю, но обращается в нуль при r   . На  по
оси z расположен источник частиц, который излучает частицы с определенной энергией E в
направлении начала координат. Какой волновой функцией описывается поток этих частиц в области r   ( k  2mE /
2
, f ( ) - некоторая функция  )?
в. eikz  f ( )eikr / r
б. eikz  f ( )eikr / r
а. e ikz
г. eikz  f ( )eikr / r
5. Потенциальная энергия частицы не равна нулю, но обращается в нуль при r   . Рассмотрим
решение
стационарного
уравнения
Шредингера,
которое
имеет
асимптотику
Aeikz  Beikx  f ( ,  )eikr / r ( A , B и k - числа, f ( ,  ) - некоторая функция углов). Что в этом вы-
ражении есть амплитуда рассеяния?
а. A
в. f ( ,  )
б. B
г. ничего
6. Как дифференциальное сечение рассеяния выражается через амплитуду рассеяния f ( ) ?
А.
d
 f ( )
d
б.
d
2
 f ( )
d
в.
d
2
 1  f ( )
d
г.
d
1

2
d
f ( )
7. Частицы рассеиваются некоторым потенциалом. Что можно сказать о знаке мнимой части амплитуды рассеяния вперед Im f (  0) ?
48
А. всегда «+»
б. всегда «-»
в. зависит от потенциала
г. бессмысленный вопрос
8. Частицы рассеиваются на потенциале U (r ) . Какая из нижеследующих формул определяет амплитуду рассеяния в борновском приближении?
А. f ( )
 U (r )dr
б. f ( )
 U ( r )e
 ikr
в. f ( )
dr
 U ( r )e
 ik r
dr
г. f ( )
 U ( r )e
 iqr
dr
(где k - волновой вектор падающих частиц, k  - волновой вектор рассеянных частиц, q  k   k переданный импульс)
9. Частицы рассеиваются на потенциале U (r ) . Чтобы борновское приближение работало, потенциал U (r ) должен быть
а. «большим»
б. «маленьким»
в. резким
г. осциллирующим
10. Частицы рассеиваются на некотором потенциале U (r ) , радиус действия которого равен a ,.
Частицы очень быстрые ka
1 . Какое утверждение относительности зависимости амплитуды от
угла рассеяния справедливо?
А. является резко возрастающей функцией угла
б. является резко убывающей функцией
угла
г. это зависит от потенциала
в. не зависит от угла рассеяния
49
24. Задача рассеяния: фазовая теория, фазы рассеяния, матрица рассеяния
1. Фазовая теория рассеяния – это разложение волновой функции задачи рассеяния по состояниям
а. с определенным импульсом
б. с определенной энергией
в. с определенным моментом
г. с определенной координатой
2. Поток свободных частиц описывается волновой функцией e ikz . Измеряют проекцию момента
импульса частиц. Какие значения можно при этом получить?
а. единственное значение m  0
б. положительные и отрицательные четные значения
в. положительные и отрицательные нечетные значения
г. все целые значения
3. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Какие из нижеперечисленных функций будут приближенными решениями стационарного уравнения Шредингера при r   и будут описывать состояния с определенным моментом и проекцией?
а.
1 
l
sin  kr 
r
2


 Ylm ( ,  )

г.
1
l

cos  kr 
r
2


 Ylm ( ,  )

б.
1 
l
sin  kr 
r
2


 Ylm ( ,  )

в.
1
l

cos  kr 
r
2


 Ylm ( ,  )

4. Частицы рассеиваются некоторым потенциалом. Фазы рассеяния  0 и 1 известны. Какой формулой определяется асимптотика радиальной волновой функции с моментом l  0 при r   ?
А.
1
sin  kr   0 
r
б.
1 


sin  kr    0 
r
2


в.
1
sin  kr   1 
r
г.
1 


sin  kr    1 
r
2


5. Частицы рассеиваются некоторым потенциалом. Фазы рассеяния  0 и 1 известны. Какой формулой определяется асимптотика радиальной волновой функции с моментом l  1 при r   ?
А.
1
sin  kr   0 
r
б.
1 


sin  kr    0 
r
2


в.
1
sin  kr   1 
r
г.
1 


sin  kr    1 
r
2


6. Что такое фазы рассеяния?
А. фазовые множители в волновой функции задачи рассеяния
б. сдвиг аргумента (фазы)
амплитуды рассеяния по сравнению со случаем нулевого потенциала
(начальная фаза, собственно рассеяние и конечная фаза) процесса рассеяния
в. отдельные этапы
г. сдвиг аргу-
мента (фазы) синуса, описывающего асимптотику радиальной части волновой функции задачи
рассеяния с определенным моментом по сравнению со случаем нулевого потенциала
50
7. Какой формулой определяется полное сечение упругого рассеяния?
А. 
 (2l  1)sin
2
l
б. 
l
г. 
 (2l  1)ctg 
 (2l  1) cos
2
l
в. 
l
 (2l  1)tg 
2
l
l
2
l
l
8. Как фаза рассеяния зависит от угла рассеяния?
А. растет
б. убывает
в. не зависит
г. это зависит от потенциала
9. Частицы рассеиваются на некотором потенциале. Известно, что фаза рассеяния  0 не равна нулю, все остальные фазы рассеяния равны нулю. Как зависит от угла рассеяния  дифференциальное сечение рассеяния?
а. не зависит
б. как cos
в. как 1/ cos
г. как A  B cos ( A и B - постоянные)
10. Частицы рассеиваются на некотором потенциале U (r ) , радиус действия которого равен a ,.
Частицы – медленные ka
1 . Как ведут себя фазы рассеяния  l в зависимости от l ?
А. растут с ростом l
б. убывают с ростом l
потенциала
51
в. не зависят от l
г. зависит от