Эволюционные уравнения для описания волн давления при

УДК 51(06) Проблемы современной математики
Н.А. КУДРЯШОВ, Д.И. СИНЕЛЬЩИКОВ, И.Л. ЧЕРНЯВСКИЙ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВОЛН
ДАВЛЕНИЯ ПРИ ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ В ВЯЗКОЭЛАСТИЧНОЙ ТРУБКЕ
Предложена математическая модель для описания пульсирующего течения
жидкости в вязкоэластичной трубке при малых числах Уомерсли, с учетом сил
вязкого сопротивления потоку. Получено семейство эволюционных уравнений для
описания распространения нелинейных волн давления. Обсуждаются особенности
волновых процессов.
При изучении нелинейных волновых процессов, в частности, пульсовых волн давления в кровотоке для артерий среднего и крупного калибра,
важно учитывать осцилляции средней по сечению скорости течения
вследствие периодической работе сердечной мышцы. Одним из возможных путей учета колебательной природы течения является рассмотрение
гармонической осциллирующей добавки в градиенте давления, отвечающей основной частоте сокращений левого желудочка  [1].
Течение вязкой несжимаемой жидкости в вязкоэластичной трубке,
усредненное по поперечному сечению в приближении длинных волн,
имеет вид:
R   R u
2
2
t
x
0
2 u
1
ut  u ( u )  2(1   )uRt   Px 
x
R r r  R
R
 h0
 h
P   w h0 tt  kh0  xx   h0 txx  t 
  2 20  2  Pe
R0
R0
где  ( x, t ) малое возмущение радиуса трубки ( R  R0   , 
(1)
R0 , где R0 -
равновесный радиус трубки), u ( x, t ) средняя по сечению осевая компонента скорости жидкости, P( x, t ) давление жидкости,   u 2 u 2 - корректирующий коэффициент.
Многие особенности течения жидкости в трубке определяются профилем осевых скоростей. Для градиента давления, имеющего осевую осциллирующую компоненту: P  c 1   cos(t )  , Дж. Р. Уомерсли полуx
чил профиль скоростей для установившегося течения в виде [2].
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
117
УДК 51(06) Проблемы современной математики
cR 2
u ( x, r , t ) 
4

  c eit
  r 2 
1      Re 
 i
  R  



 3 2 r 
 J0  i  R   
1   3 2   
J 0 (i  )  


 
(2)
Профиль (2) содержит усредненную, не зависящую от частоты, и осциллирующую компоненту. Первое слагаемое отвечает течению Пуазейля, а второе характеризует пульсации потока. Характерной безразмерной
величиной в пульсирующем потоке, помимо числа Рейнольдса, является
число Уомерсли   R   . Оно определяет соотношение между толщиной пограничного слоя и радиусом трубки.
Рассматривая случай малых чисел Уомерсли (α ~ 0.13), отвечающий
течению в артериях среднего калибра [1], и удерживая в степенных разложениях функций Бесселя в профиле скоростей (1) члены порядка не
выше  6 , получим выражения для средней по сечению мгновенной скорости , силы сопротивления и корректирующего коэффициента:
u
cR 2
sin(t  0 )
u 1   cos(t )
u
cos(t  0 ) , f  8 2
 2 2
,
8
R 1   cos(t  0 )
R 1   cos(t  0 )

4
 2 sin(t )

3 72(1   cos(t ))
(3)
Отметим, что средняя мгновенная скорость и поток запаздывают, относительно градиента давления, на фазу 0 = arctg(α2/6). Для чисел
Уомерсли порядка 2 приближенный закон сопротивления согласуется с
точным с относительной погрешностью менее 15 %.
Переходя далее к безразмерным переменным, с учетом соотношений
(3), и применяя, аналогично [3], метод асимптотических разложений в
длинноволновом приближении, получен набор нелинейных эволюционных уравнений с переменными коэффициентами для описания пульсовых
волн в осциллирующем потоке.
Работа выполнена при поддержке МНТЦ в рамках проекта В-1213.
Список литературы
1. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983.
2. Womersley J.R. Oscillatory flow in arteries: the constrained elastic tube as a model of
arterial flow and pulse transmissions // Phys. Med. Biol., 1957. V. 2. P. 178-187.
3. Синельщиков Д.И., Чернявский И.Л. Нелинейные эволюционные уравнения для
описания возмущений при течении жидкости в вязко-эластичной трубке с учетом сил сопротивления // Науч. сессия МИФИ-2006: Сб. науч. тр. В 16 т. М.: МИФИ, 2006. Т. 7. С. 126-127.
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
118