Математическая теория рассеяния - Санкт

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«Математическая теория рассеяния»
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Математическая физика
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения: очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработали:
д. ф.-м. н., профессор, В. М. Бабич
д. ф.-м. н., профессор, М. И. Белишев
д. ф.-м. н., профессор, А. П. Киселев
Санкт-Петербург
2015
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью преподавания дисциплины является подготовка специалистов, владеющих
математическими методами теории рассеяния. В курсе уделяется внимание развитию
навыков самостоятельно анализировать с помощью математических методов явление
рассеяния в различных системах, изучаемых в математической физике.
Задачей дисциплины является изучение математического аппарата теории рассеяния. После
освоения курса аспиранты должны уметь применять признаки существования
волновых операторов для различных возмущений, получать формульные
представления для оператора и матрицы рассеяния.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых ориентировано
изучение дисциплины «Математическая теория рассеяния»:
Код
ПК-1
ПК-2
Результат обучения (компетенция) аспиранта
готовность применять асимптотические методы в задачах математики, механики и
математической физики
готовность применять методы математической теории рассеяния в теоретикоприкладных задачах математики и механики
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Математическая теория рассеяния» и еѐ вклад в формирование
результатов обучения (компетенций):
 знания основных фактов теории рассеяния: ее основных понятий и результатов;
 понимание современного состояния теории рассеяния и основных направлений ее
развития;
 умение ориентироваться в научной литературе, отечественной и зарубежной,
критически оценивать методы для решения задач;
 умение представить полученные результаты, подтвердить их достоверность,
представить полученные результаты устно;
 способность на основе целостного, системного научного мировоззрения
формулировать научные идеи, предлагать пути и методы реализации этих идей
с привлечение философских и мировоззренческих знаний.
По окончании изучения дисциплины аспиранты должны владеть:
 знаниями о современном состоянии науки в области теории рассеяния;
 иметь навыки участия в научной дискуссии, принятия независимых суждений и
самостоятельных решений, свободно ориентироваться в теоретической и методической
базе, отстаивать свою точку зрения;
 навыками изложения и обсуждения собственных результатов в виде научной статьи.
Результаты изучения дисциплины используются в ходе изучения таких дисциплин как
«Асимптотические методы в теории высокочастотных волновых явлений», «Введение в
обратные задачи», педагогической практики и научно-исследовательской работы и при
подготовке выпускной квалификационной работы аспиранта.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Дисциплина "Математическая теория рассеяния" изучается в пятом и шестом
семестрах 3 курса аспирантуры. Изучение дисциплины опирается на знания в области
физики, , математики, философии, специальных дисциплин направления подготовки
01.01.03, освоенных аспирантами на предшествующих этапах обучения.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ КОНТРОЛЯ
3.1. Виды учебной работы и формы контроля
Виды учебной работы
Лекции
Самостоятельная работа
Экзамен (подготовка, сдача)
Общая трудоемкость освоения
дисциплины
Трудоемкость
5 сем.
6 сем.
а.ч./нед а.ч./сем. а.ч./нед а.ч./сем.
2
18
2
18
4
36
4
36
В академических часах а.ч.
В зачетных единицах ЗЕ
Итого
а.ч.
36
72
1
108
3
3.2. Разделы дисциплины и виды учебной работы
Разделы дисциплины
К-во
часов
1
Волновые операторы и оператор рассеяния.
10
2
ВО и оператор рассеяния при возмущениях различных типов.
10
3
Рассеяние при относительно гладких возмущениях.
10
4
Стационарный подход.
20
5
Рассеяние при возмущениях ядерного типа.
10
6
Свойства матрицы рассеяния.
20
7
Функция спектрального сдвига и формула следа.
20
ВСЕГО
100
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
1
Волновые операторы и
оператор рассеяния.
Содержание разделов дисциплины
Волновые операторы (ВО), оператор и матрица
рассеяния. Различные модификации определения
ВО: слабые, локальные, абелевы. Полнота ВО.
Существование ВО: признак Кука, принцип
инвариантности Бирмана.
2
3
4
5
6
7
ВО и оператор рассеяния
при возмущениях
различных типов.
Рассеяние при
относительно гладких
возмущениях.
Рассеяние на мультипликативных возмущениях.
Возмущение граничным условием.
Гладкость по Като. Достаточные условия
гладкости. ВО при гладких возмущениях.
Абсолютно непрерывный и точечный спектры
возмущенного оператора. Модель ФридрихсаФаддеева.
Слабая гладкость. Формулы для волновых
операторов. Стационарные представления для
Стационарный подход.
оператора и матрицы рассеяния. Связь с
нестационарным подходом. Принцип
инвариантности. Рассеяние для относительно
компактных возмущений.
Рассеяние при возмущениях Слабая гладкость операторов Гильберта-Шмидта.
ядерного типа.
Теорема Като-Розенблюма. Одномерное
возмущение.
Теорема умножения для операторов и матриц
Свойства матрицы
рассеяния. Принцип инвариантности для матрицы
рассеяния.
рассеяния. Матрица рассеяния при гладких
возмущениях. Спектр матрицы рассеяния при
знакоопределенных возмущениях.
Определитель возмущения. Функция
Функция спектрального
спектрального сдвига в самосопряженном случае,
сдвига и формула следа.
ядерное возмущение. Формула следа М.Г.
Крейна. Связь с матрицей рассеяния, формула
Бирмана-Крейна.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В преподавании дисциплины «Математическая теория рассеяния» используются
преимущественно традиционные образовательные технологии:
- лекции;
- самостоятельная работа аспирантов направлена на подготовку к практическим
занятиям и включает различные интернет-технологии.
- в преподавании курса следует применять современные технологии, такие как
проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Сообщение, сделанное аспирантом, можно рассматривать и как решение
теоретической проблемы и как самостоятельную работу.
7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
7.1.Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины
«Асимптотические методы в теории высокочастотных волновых явлений» и еѐ вклад в
формирование результатов обучения (компетенций) выпускника следует считать
приобретение им:
 знаний о волновых операторах, их полноте, а также об операторе и матрице
рассеяния;







знания признака Кука и принципа инвариантности Бирмана;
представления о рассеяние на мультипликативных возмущениях, и о возмущение
граничным условием;
представления о гладкости по Като и достаточных условиях гладкости, о слабой
гладкости;
представления о модели Фридрихса-Фаддеева;
знаний о стационарных представлениях для оператора и матрицы рассеяния и
связи с нестационарным подходом;
знание принципа инвариантности и теоремы Като-Розенблюма;
знаний об определителе возмущения, функции спектрального сдвига, формуле
следа М.Г. Крейна.
7.2. Оценочные средства
Оценка успешности освоения аспирантом дисциплины «Математическая теория
рассеяния» включает посещение лекций, самостоятельную подготовку отдельных
разделов курса, успешную сдачу экзамена.
8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
8.1.Рекомендуемая литература
1. Д.Р. Яфаев, Математическая теория рассеяния. Изд-во СПбГУ, 1994.
2. Лакс П., Филлипс Р. Теория рассеяния.—М.: Мир, 1972.
3. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.
Т. 3.—М.: Мир, 1982
Дополнительная литература
1. Т. Като, Теория возмущенных линейных операторов. .—М.: Мир, 1972.
2. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве. Изд-во ЛГУ, 1980.
3.
Электронные и интернет-ресурсы:
http://www.oxfordjournals.org
http://www.springerlink.com
http://www.sciencedirect.com/science
9. МАТЕРИАЛЬНО - ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория математических проблем геофизики ПОМИ РАН, оснащенная необходимой
техникой, оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
«Математическая теория рассеяния»
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Математическая физика
Санкт-Петербург
2015
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью преподавания дисциплины является подготовка специалистов, владеющих
математическими методами теории рассеяния. В курсе уделяется внимание развитию
навыков самостоятельно анализировать с помощью математических методов явление
рассеяния в различных системах, изучаемых в математической физике.
Задачей дисциплины является изучение математического аппарата теории рассеяния. После
освоения курса аспиранты должны уметь применять признаки существования
волновых операторов для различных возмущений, получать формульные
представления для оператора и матрицы рассеяния.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых ориентировано
изучение дисциплины «Математическая теория рассеяния»:
Код
ПК-1
ПК-2
Результат обучения (компетенция) аспиранта
готовность применять асимптотические методы в задачах математики, механики и
математической физики
готовность применять методы математической теории рассеяния в теоретикоприкладных задачах математики и механики
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Математическая теория рассеяния» и еѐ вклад в формирование
результатов обучения (компетенций):
 знания основных фактов теории рассеяния: ее основных понятий и результатов;
 понимание современного состояния теории рассеяния и основных направлений ее
развития;
 умение ориентироваться в научной литературе, отечественной и зарубежной,
критически оценивать методы для решения задач;
 умение представить полученные результаты, подтвердить их достоверность,
представить полученные результаты устно;
 способность на основе целостного, системного научного мировоззрения
формулировать научные идеи, предлагать пути и методы реализации этих идей
с привлечение философских и мировоззренческих знаний.
По окончании изучения дисциплины аспиранты должны владеть:
 знаниями о современном состоянии науки в области теории рассеяния;
 иметь навыки участия в научной дискуссии, принятия независимых суждений и
самостоятельных решений, свободно ориентироваться в теоретической и методической
базе, отстаивать свою точку зрения;
 навыками изложения и обсуждения собственных результатов в виде научной статьи.
Результаты изучения дисциплины используются в ходе изучения таких дисциплин как
«Асимптотические методы в теории высокочастотных волновых явлений», «Введение в
обратные задачи», педагогической практики и научно-исследовательской работы и при
подготовке выпускной квалификационной работы аспиранта.
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
2.1.Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Математическая
теория рассеяния» и еѐ вклад в формирование результатов обучения - компетенций
выпускника следует считать приобретение им:
 знаний о волновых операторах, их полноте, а также об операторе и матрице
рассеяния;
 знания признака Кука и принципа инвариантности Бирмана;






представления о рассеяние на мультипликативных возмущениях, и о возмущение
граничным условием;
представления о гладкости по Като и достаточных условиях гладкости, о слабой
гладкости;
представления о модели Фридрихса-Фаддеева;
знаний о стационарных представлениях для оператора и матрицы рассеяния и
связи с нестационарным подходом;
знание принципа инвариантности и теоремы Като-Розенблюма;
знаний об определителе возмущения, функции спектрального сдвига, формуле
следа М.Г. Крейна.
2.2. Оценочные средства
Аттестация проводится в форме экзамена.
Вопросы экзамена:
1. Волновые операторы, оператор и матрица рассеяния.
2. Различные модификации определения волновых операторов: слабые, локальные,
абелевы.
3. Полнота волновых операторов.
4. Существование волновых операторов: признак Кука, принцип инвариантности Бирмана.
5. Рассеяние на мультипликативных возмущениях.
6. Возмущение граничным условием.
7. Гладкость по Като. Достаточные условия гладкости.
8. Волновые операторы при гладких возмущениях.
9. Абсолютно непрерывный и точечный спектры возмущенного оператора.
10. Модель Фридрихса-Фаддеева.
11. Слабая гладкость.
12. Формулы для волновых операторов.
13. Стационарные представления для оператора и матрицы рассеяния. Связь с
нестационарным подходом.
14. Принцип инвариантности.
15. Рассеяние для относительно компактных возмущений.
16. Слабая гладкость операторов Гильберта-Шмидта.
17. Теорема Като-Розенблюма.
18. Одномерное возмущение.
19. Теорема умножения для операторов и матриц рассеяния.
20. Принцип инвариантности для матрицы рассеяния.
21. Матрица рассеяния при гладких возмущениях.
22. Спектр матрицы рассеяния при знакоопределенных возмущениях.
23. Определитель возмущения.
24. Функция спектрального сдвига в самосопряженном случае, ядерное возмущение.
25. Формула следа М.Г. Крейна. Связь с матрицей рассеяния, формула Бирмана-Крейна.
Вопросы теста:
1. Является ли приводящим абсолютно непрерывное подпространство самосопряженного
оператора? да/нет/это зависит от дополнительных условий.
2. Какому разложению спектральной меры соответствует разбиение спектра
самосопряженного оператора на абсолютно непрерывную и сингулярно непрерывную
компоненты, Лебега или Хана?
3. Для установления существования волновых операторов применим принцип Кука, закон
Гука или метод Фока?
4. Матрица рассеяния и оператор рассеяния – это один и тот же объект?
5. Матрица рассеяния – это оператор в исходном или вспомогательном гильбертовом
пространстве?
6. Матрица рассеяния – это унитарный или самосопряженный оператор?
7. Следует ли из существования волновых операторов при больших положительных и
больших отрицательных временах существование матрицы рассеяния?
8. Существование волновых операторов означает, что среди асимптотических режимов
возмущенной системы есть все асимптотические режимы свободной системы или
наоборот?
9. Теорема Розенблюма-Като требует ядерности возмущения или разности резольвент?
10. Какую сходимость окаймленных резольвент использует стационарный подход в теории
рассеяния? слабую/сильную/обе
11. Являются ли слабо гладкими операторы класса Гильберта-Шмидта? да/нет/неизвестно
12. Являются ли слабо гладкими ядерные операторы? да/нет/неизвестно
13. Сформулируйте теорему Розенблюма-Като.
14. Сформулируйте теорему Пирсона.
15. Сформулируйте теорему Бирмана-Крейна.