Оценка логистических показателей в условиях

Оценка логистических показателей в условиях ограниченной
информации
Россия, Санкт-Петербург
Алексанр А.Клавдиев
Январь 07.2010
[email protected]
Ключевые
слова:
логистический
показатель,
нормальный
закон
распределения, инвариантная статистика, стохастический супериндикатор.
Аннотация
В статье обоснован метод оценки логистических показателей в условиях
ограниченной информации о параметрах функционирования транспортной
системы
К настоящему времени накоплен известный опыт разработки и
применения отдельных математических приемов для обоснования решений
по выбору рациональных схем построения транспортных узлов (ТУ). Однако
до сих пор не сложилась единая методическая основа получения
дискриминационных функций. Задача осложняется тем, что решения
корректны только при условии учета совокупности характеристик, между
которыми возможна стохастическая связь. Связь эту необходимо не только
выявить и оценить, но и учесть в процессе решения задачи.
В общем случае грузопоток характеризуется рядом параметров
перемещаемых объектов: вес, габариты, период поступления и др.. В силу
того, что характер грузов не поддается строгому регулярному описанию,
имеет смысл воспользоваться для формализации элементами теории
вероятностей. Введя в рассмотрение случайный характер исследуемых
параметров
xi ,
можно применять известные приемы их формального
описания. Очевидно, что наиболее полную информацию о случайном
процессе несет плотность распределения его координат
f ( x1 , x2 ,..., xn ).
Однако сложность использования многомерных распределений заключается
в известных трудностях их идентификации и ограниченности форм явного
описания.
Так,
пожалуй,
единственным
обобщением
многомерного
распределения в явном виде является многомерная плотность нормального
закона
f ( x1 , x2 ,..., xn )  Ce  Q ( x a , x
1
1
2  a2 ,..., xn  an )
,
где
Q( x1 , x2 ,...xn )  nk ,l 1 qkl xk xl
-
положительно
определенная
квадратичная форма;
a1 , a2 ,..., an
-
математические
ожидания
случайных
величин
x1 , x2 ,..., xn ;
коэффициенты
С
и
qkl  qlk выражаются через дисперсии
 12 ,  22 ,..., n2 и коэффициенты корреляции  kl между X k и X l .
Нормальное распределение играет фундаментальную роль в теории
вероятности и математической статистике, т.к. основные положения этих
разделов математики основываются на предположении о нормальном
распределении
генеральной
совокупности.
Однако
информационная
ситуация, в условиях которой принимается решение, часто не позволяет
однозначно постулировать допущение о нормальном распределении.
Сложность
и
неоднородность
условий
реализации
грузопотока
обуславливает необходимость исследования, в основе которого необходимо
положить специфические методы статистического анализа. Опыт проведения
подобных исследований в различных областях науки и техники позволил
выявить ряд моментов, которые могут эффективно применяться для
исследования динамики процессов грузооборота]. Однако особенность
быстрого старения информации и ограниченного ее объема обуславливает
применение методов, использующих инвариантные статистики теории
стохастической индикации [1].
Сущность данного подхода заключается в том, что по малым выборкам,
представленным в виде вариационного ряда, практически всегда можно
найти такое преобразование, в результате которого получится статистика, не
зависящая
от
параметров
распределения
генеральной
совокупности.
Функцию распределения такой статистики представляется целесообразным
определять в результате статистического моделирования, если аналитическое
построение ее затруднено. То есть данный подход относится к классу
непараметрических методов проверки гипотез о виде закона распределения.
Основой построения преобразования, приводящего к формированию
инвариантной статистики, служит вариационный ряд
x1( m )  x 2( m )  ...  x m( m ) ,
составленный из выборки независимых случайных величин
Плотность
f ( x1 , x2 ,..., xm )
x1 , x 2 , . . .x,m .
совместного распределения членов
вариационного ряда определяется выражением
m
f ( x1 , x2 ,..., xm )  m! f i ( xi ) ,
i 1
где
f i ( xi ) - плотность распределения случайной величины xi ;
m – количество наблюдений в выборке.
Избавиться от параметров распределения генеральной совокупности
можно,
подвергнув
члены
вариационного
ряда
промежуточному
преобразованию. Так, например, для выборки случайных величин
xi
объемом m=2 из генеральной совокупности с экспоненциальным законом
распределения такое преобразование имеет вид

x1
,
x2
x1  x2 .
Действительно, применив обратное преобразование Н.В.Смирнова к
случайным величинам x1 и x2 , получим выражение

ln(1   1 )
,
ln(1   2 )
которое не зависит от параметров экспоненциального распределения, но
зависит только от случайных величин
1   2
распределенных с совместной плотностью вероятности
f (1 , 2 )  2!
, равномерно
Аналогично можно показать, что для выборки объемом
генеральной
совокупности
с
равномерным
законом
m=3 из
распределения
промежуточное преобразование имеет вид
x2( 3)  x1( 3)  2   1
  ( 3)

,
x3  x1( 3)  3   1
где
1   2  3 - упорядоченные случайные величины, равномерно
распределенные в интервале [0,1].
Для выборки того же объема из генеральной совокупности с нормальным
законом распределения
x 2( 3)  x1( 3)  2  1
  ( 3)

,
x3  x1( 3)  3  1
где
1  2  3 - упорядоченные случайные величины, распределенные
по стандартному нормальному закону.
Увеличение наблюдений в выборке позволяет строить совокупность
промежуточных преобразований по аналогичной схеме. Такая совокупность
характеризуется
интегральной
функцией
совместного
распределения
G (i , i  1, m  r ) , где r – число параметров распределения генеральной
совокупности. В силу неоднозначного расположения критических зон для
i , i  1, m  r
применить
при заданном значении G представляется целесообразным
метод
стохастической
индикации,
согласно
которому
G (i , i  1, m  r ) выступает в роли супериндикатора [1,2].
Стохастический супериндикатор
S
представляет собой вероятность
события, исход которого зависит от соотношения двух или нескольких
случайных величин. В нашем случае супериндикатор выступает в роли
непараметрического критерия согласия. Правомерность его использования
базируется на следующем утверждении.
Утверждение. Пусть требуется проверить гипотезу
H 0 : G(S )  G1 (S1 ),
где G1 ( x ) - функция гипотетического распределения случайной величины x .
Введем в рассмотрение случайные величины S  G (x) и S1  G1 ( x ) . Тогда,
если выполняется равенство
H 0 : F (S )  F1 (S1 ) , где
супериндикаторов
G ( x)  G1 ( x) , то справедливо выражение
F (S ) и
и
S
F1 ( S1 )
- функции распределения
S1 . Следовательно, проверка гипотезы
H0
равносильна проверке гипотезы H 0 .
Процесс формирования супериндикатора S, его функции распределения
F (S ) и основанного на нем непараметрического критерия согласия для
некоторых основных законов распределения генеральной совокупности, а
также исследование его мощности, подробно изложены в [1].
Заметим,
что
подобным
образом
могут
быть
сформированы
супериндикаторы для различных законов распределений. Однако получить
конечные аналитические зависимости не всегда представляется возможным.
В таких случаях задача может быть решена численными методами. Кроме
того, при наличии некоторых априорных данных о классе распределения
генеральной
совокупности,
например,
когда
известны
параметры
предполагаемого закона, проверить гипотезу можно, проведя преобразования
имеющихся
случайных
экспоненциальные.
величин
После
в
равномерные,
чего
достаточно
нормальные
или
воспользоваться
соответствующим супериндикатором для идентификации преобразованных
случайных величин.
Действительно [3,4], пусть дана выборка
X 1(n ) ... X (nn )
случайных
величин из генеральной совокупности с нормальным законом распределения
N(m,), где m - математическое ожидание;  - среднеквадратическое
отклонение.
Если последовательность случайных величин X 1(n) ... X (nn) представить в
виде вариационного ряда
X1(n ) ...  X(kn ) ...  X(nn ) ,
n 1
где X (kn ) 
X
i 1
k
( n)
i
и k=n-2,
тогда плотность совместного распределения отношения

X (kn )  X 1( n )
, [0,1] , n  3,... 
X (nn )  X 1( n )
имеет вид
k 1



 k

f () 
k 1  2
k  1
arctg k   2
   2

k 
k 
.
2
Доказательство.
В рассмотрение следует ввести случайные величины:
y1 
(kn )
k
(kn )
 1( n ) ; y 2 

k
(nn )
( n)
1
(kn )
; 
k
 1( n )
(nn )  1( n )
.
Тогда
 1 1

y1
1 1
.
1( n )  y 1 
  ,  (kn )  y 1 k  1 
  ,  (nn ) 
y 2 
y2
 y 2 

Следовательно
1 1

y2 
 1( n ) ,  (kn ) ,  (nn )  
1 1
 1 
  k
y 2 

 y 1 , y 2 ,
1
y2
Якобиан


y1
y 22
y1
2
y1
y1
y 21
k
k


k
.
y 22
2
y 222
y1
 2
0
y2
1 1

y2 

1
1 1
f  1( n ) ,  (kn ) ,  (nn )    1 
  k
Значит f  y 1 , y 2 , 
CH
y 2 

1
y2


3! e
3
y2
d
2
y 12 k
 2 2 y 222 C H
.


y1
y 22
y1
2
y1
y1
k
k 
2
y2
2
y1
 2
0
y2
f  y 2 , 
Поэтому
где d 
3
k
,
2 2
C H y 2 d d
y 22  k2  2k k  1  y 2  k2  2k k  1  k2  22
y 222
.
Далее вводятся обозначения: a  k2  2k k  1 ;
b  2 k2  2 k 2;
c  22  k2 ;
b 1  b a и c1  c a .
y 2 k
3
Тогда f  y 2 , 
.
C H a a ( y 22  b 1 y 2  C 1 ) y 22  b 1 y 2  C 1
Следовательно,
f () 
f () 
3 k 42 k2  2 k 2
C H a ( b 2  4ac)
b1 
3 k 
y 1  y 2 
2 
a aC H 
и
,
где b 2  4ac  42  22 k  2k (k  1) .
Значит f  
Учитывая,
получаем
3
C H
что
 k 1



 k

C H
k  1 2
k  1
  2
  2

k 
k 
.
2




6



F 
arctg

C H
k  1
 2  2


k 
окончательный
вид
и
CH 
6
arctg k ,

выражения
для
принадлежности
выборки
k1

k
f  
.
k  1
k1
 2
2
arctg k  2  2
 2  2

k 
k
arctg
Следовательно F 
Процедура
проверки

2  2
k 1
k
arctg k
гипотезы
о
.
генеральной совокупности заключается в следующем.
1. По выборке случайных величин X 1(n) ... X (nn) строится вариационный
ряд X1(n) ...  X(kn) ...  X(nn) ,
n 1
где X (kn ) 
X
i 1
( n)
i
k
и k=n-2 и вычисляется 
X (kn )  X 1( n )
.
X (nn )  X 1( n )
2. Рассчитывается значение супериндикатора

arctg
2  2
S P  F 
k 1
k
arctg k
.
3. Определяется критическое значение супериндикатора SKP =a, где а уровень значимости.
4. Сравниваются
расчетное
SP
и
критическое
SKP
значения
супериндикатора. При этом, если SP < SKP, то гипотеза о нормальном законе
распределения исходной выборки отвергается; если SP > SKP, то нет
оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу.
Литература
1. Мартыщенко Л.А., Воловик А.В., Клавдиев А.А. Идентификация
нормальных совокупностей малого объема. СПб: МО, 1990.
2. Клавдиев
А.А.,
Воловик
А.В.,
Гайфутдинов
В.А.
Метод
идентификации марковских процессов по ограниченной информации.
Журнал «Стандартизация военной техники», №2, Москва 1993 г.,- С.58-69.
3. Клавдиев А.А., Соскин А.В., Соскин С.В. Метод непараметрической
идентификации функций потребности и стоимости грузозахватных средств
транспортных
терминалов.
Труды
Российско-польской
конференции
«Анализ, прогнозирование и управление в сложных системах» (АPS-2006),
СПб, СПбГПУ, 2006, с.283.
4. Клавдиев А.А. и др. Устройство для идентификации выборки.
Патент на полезную модель № 65664 от 10.08.2007.
Klawdiew Aleksandr A.
Estimation of logistical indicators in the conditions of the limited
information
Keywords: a logistical indicator, the normal law of distribution, the invariant
statistics, the stochastic superindicator.
The abstract
In article the method of an estimation of logistical indicators in the conditions of
the limited information on parametres of functioning of transport system is proved.