11. Максимов Л.А., Полищук И.Я. Лекции по физической

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
________Ю.А. Самарский
26 декабря 2007 г.
ПРОГРАММА
по курсу ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
по направлению 511600
факультет ФОПФ
кафедра теоретической физики
курс IV
семестр 8
лекции – 32 часа
Экзамен – 8 семестр
практические (семинарские)
занятия – 32 часа
Зачет –
нет
лабораторные занятия – нет
Самостоятельная работа
– 2 часа в неделю
ВСЕГО ЧАСОВ – 64
Программу составил д.ф.-м.н., проф. Л.А. Максимов
Программа обсуждена на заседании
кафедры теоретической физики
17 ноября 2007 года
Заведующий кафедрой
Ю.М. Белоусов
ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА
А. Классическая теория
11. Кинетика газов
Кинетическое уравнение Больцмана для одноатомных газов.
Свойства
интеграла
столкновений.
Вывод
уравнений
гидродинамики и уравнений переноса из уравнения Больцмана.
Законы сохранения. Н-теорема. Равновесное и локальноравновесное
распределение.
Условие
применимости
гидродинамики.
Линеаризованное уравнение Больцмана. Метод моментов.
Вязкость и теплопроводность в -приближении.
II. Кинетика электронов
Кинетическое уравнение Больцмана для электронов в металле. приближение. Интеграл столкновений при рассеянии электронов
металла на примеси и Н-теорема. Вычисление остаточного
сопротивления.
Интеграл столкновений при рассеянии электронов металла на
фононах, роль процессов переброса и зависимость
электросопротивления от температуры.
III. Кинетика фононов
Кинетическое уравнение фононов. Ангармонизм и интеграл
столкновений при взаимодействии фононов друг с другом.
“Сверхтеплопроводность” и роль процессов переброса (парадокс
Пайерлса).
11. Квантовая кинетика
Неравновесная матрица плотности. Квантовое уравнение
Лиувилля. Теория линейного отклика Кубо.
Запаздывающая, причинная и опережающая функции Грина.
Вывод
кинетического
уравнения
для
электронов,
рассеивающихся на примесях.
Электронный парамагнитный резонанс. Уравнения Блоха.
Зависимость поглощения магнитной энергии от частоты.
2
Квантовый эффект Холла.
V. Кинетика зародышеобразования
Броуновское движение. Метод случайной силы Ланжевена.
Уравнение ФоккераПланка.
Фазовые переходы первого рода и зародыши новой фазы.
Кинетика образования зародышей в чистом веществе и
пересыщенном
растворе.
Уравнение
ФоккераПланка,
описывающее кинетику зародышей.
Теория коалесценции зародышей в растворе.
VI. Неупорядоченные среды
Классическая теория протекания. Квантовая теория протекания.
Критерий локализации Андерсона. Прыжковая проводимость
Мотта.
Диссипативные структуры.
VII. Неравновесные процессы в сверхпроводниках
Вычисление аномальных функций Грина. Квантовая теория
туннельного эффекта. Туннельный ток между сверхпроводником
и нормальным металлом. Микроскопическая теория эффекта
Джозефсона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., .Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч.1. 
М.: Наука, 1995.
2. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч.2. 
М.: Наука, 1978.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Физическая кинетика.  М.: Наука,
2001.
4. Абрикосов А.А. Основы теории металлов.  М.: Наука, 1987.
5. Кубо Р. Статистическая механика.  М.: Мир, 1967.
6. Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика.  М.:
Мир, 1964.
7. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая
механика.  М.: Мир, 1978.
3
8. Максимов Л.А., Ильин А.В. Лекции по физической кинетике:
Учеб. пос.  М.: МФТИ, 1973.
9. Горелкин В.Н., Минеев В.П. Введение в физическую
кинетику: Учеб. пос.  М.: МФТИ, 1989.
10. Горелкин В.Н., Минеев В.П. Дополнительные главы
физической кинетики: Учеб. пос.  М.: МФТИ, 1990.
11. Максимов Л.А., Полищук И.Я. Лекции по физической
кинетике. Учеб. пос.  М.: МФТИ, 2007.
Дополнительная литература
1.
2.
3.
Максимов Л.А., Полищук И.Я. Введение в термодинамику и
кинетику диэлектрических стекол: Учеб.-метод. пос. – М.:
МФТИ , 2005.
Максимов Л.А., Полищук И.Я. Введение в теорию фазовых
переходов первого рода: Учеб.-метод. пос. – М.: МФТИ,
2005.
Максимов Л.А., Полищук И.Я. Элементы теории кинетики
твердых тел.: Учеб.-метод. пос. – М.: МФТИ , 2005.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПОНЯТИЯ
I. Кинетика газа
Функция распределения f t , v, r  :
 f t , v, r  dv  nt , r   n ,  vf t , v, r dv  n v  nV  j .
Среднее любой одночастичной величины at , v, r 
 a t , v, r  f t , v, r dv
 a или
 f t , v, r dv
 at, v, r  f t, v, r dv  n a .
Тепловая скорость u  v  v  v  V .
4
Плотность внутренней энергии  E  nm
u2
,
2
потока тепла Qk  nm u 2 u k / 2 .
Тензор давлений  ik  nm ui uk .
Уравнение Больцмана:


f
f Fi f
Lf 
 vi

 I ст f ;
t
ri m vi

I f   W 1,2;1' ,2' f 1' f 2'  f 1 f 2dv 2 dv1' dv '2 ;


 na
 nvi a

 n La   aI ст fdv.
t
ri
Субстанциональная производная
d

  V .
dt t

ns  div vns  q s  0 ,
t

s   ln  f / e , q s    ln  f / e I ст fdv .
H-теорема:
Гидродинамическая форма законов сохранения



  
n
 n    div V
 div nV   0
 
t

d    1  ik Fi

 Vi    
  второй закон Ньютона
dt  2   nm rk
m
dE
dS
dV

T
p
.
 u   1 Qk  ik Vi  
dt
dt
dt
 2    nm r  mn r 
k
k 

Локально-равновесная функция распределения (ЛРР):
 m 
f 0  n

 2T 
3/ 2
 mv  V 2 
exp 
,
2T


5
u2
3
0
 T ,  ik
 nTik .
2
2
Линеаризованное уравнение Больцмана: f  f 0 1   ,

L ln f 0   1'  2'  1  2f 0 2 v12 ddv 2 ,
m
0
2

 ik 2  Vi 
m
5
 mu
 u T
,
L ln f 0  ui u k 
u 

  k
T
3
2
 rk 
 2
 T rk
в -приближении для однокомпонентного газа

f  f0
, f  f 0  Lf 0 ,

 V V
V 
2
 ik  nT ik   i  k  ik l  ,
ri 3
rl 
 rk
T
5 nT
Qi   
,   nT,  
.
2 m
ri
I ст f 
II. -приближение для легких частиц в тяжелом
газе

f  f 0  Lf 00 , где f 00  ЛРР при V  0 .

1

 nv tr  nv  1  cos  d .
0
Проводимость металлов
1
e 2 N tr  T , T   D
 
~
.
1
m
 5 , T   D
T
Теплопроводность металлов

 2 NT tr
3m
const,
~ 1
 T 2 ,
6
T   D
T   D
.
Закон ВидеманаФранца при T   D
  2T
.

 3e 2
III. Общий вид потоков в феноменологической
гидродинамике
 V V
V 
V
2
 ik  p ik   '  i  k   ik l    ' '  ik l ,
ri
3
rl 
rl
 rk
T
Qi   
, J  V .
ri
Скорость диссипации механической энергии:   Tq s ,
V
1
 ik  pik  i  Qk   1  .
T
rk
rk  T 
cp T
 p 
Звук в газе (жидкости):   ck , c 2    
,
   S cV M
qs  
2 
2  4
m
'' '
c p cv
c 3  3

.


IV. Уравнения ФоккераПланкаЛандау
f s

0,
t p
где для уравнения ФоккераПланка
s   A f 

B f ,
p 
A   q wp, q  dq, B 
для уравнения Ландау
7
1
q q wp, q  dq,
2

f p'
f p 
s     f a p  b
 f b p' a C dp' ,
p 
p'
b 



v  v' v  v'
1 

C  C   
2
2 
v  v'

.


В общем случае
C  C 
1 2
 q v  v' d .
2
Для кулоновского газа интеграл столкновений Ландау
определяется интегралом БалескуЛеннарда:

k k  dk
C  2ea eb 2  d     kv   kv'
k 4  l  , k 
 k kmax
V. Матрица плотности Вигнера  t , r1, r2 
r
r

nt , R, p    e  ipr  t , R  , R   dr ,
2
2

Np   nt , R, p dR ,
N t , R    nt , R, p  dp  t , R, R  .
VI. Квантовое кинетическое уравнение
G
G   
G

G   
,
G   

r, t; r ' , t '  i   r ' , t '  r, t  ,
G

r, t; r' , t '  i   r, t  r' , t ' ,
G
8
2
.



r, t; r', t '  t  t 'G
r, t; r' , t '  t 't G
r, t; r', t ' ,
G



r, t; r' , t '  t  t 'G
r, t; r' , t '  t 't G
r, t; r' , t ' .
G
d
,
2
r

r
 
G,p t , R    e i  ipr G,p  t  , R  ; t  , R   drd .
2
2
2
 2
nt , R, p   i  G,p t , R 
G 0,1
1
0
G
0
*



 
G1,2   z  4  X1  X 2    z 1,3G3,2 d 4 X 3 ,
0,2
1





G 1,2   z  4   X 1  X 2    G(1,3)(3,2) z d 4 X 3 ,
G 0,2  G 0 0,1
1
1
0
*
 1

 i   r  R  .
 t m

В отсутствие внешних полей и взаимодействий:

G0 p  
 
 
nF p
 1 nF p


    p  i    p  i

  2i 1  n F  p     p



  



.
nF p 



   p  i    p  i 
 
1  n F  p 
2in F  p     p

VII. Уравнения Максвелла для металла или
полупроводника
 
4
j,
c
1 A
1 A 

e   
, j     
,
c t
c t 

 
1
A 


 D   div
 , h  rot A .
t
t
c
t 

div e  4   2    , rot h 
9

Соотношение Эйнштейна:
 2 D  4 .
Формулы, предполагающиеся известными
из предшествующих курсов
1. "Золотое" правило Ферми:
dw fi 
2.


2
2
F fi  Ei  E j .

Формула Сохоцкого:
1
1
 P  i( z );   0,   0  .
z  i
z
3. Представление Гейзенберга:





 
dAt
At
iHt /   sh
 iHt / 
,  i
 i
 H t , At .
At  e
A t e
dt
t

4. Вторичное квантование бозе-частиц со спином 0.
Ненулевые матричные элементы:
 



... N p ... bp ... N p  1 ... 

 ... N p  1 ... bp ... N p ...  N p .

5.

 
Перестановочные соотношения:
b , b   b
b , b   


p
p'

 
 
p bp '  bp ' bp  bp , bp '  0,
p

p'
pp ' .
6. Вторичное квантование фермионов со спином 1/2.
Ненулевые матричные элементы:

..., np  1 ... a p ... np  0 ... 









 ... np  0 ... a p ... np  1 ...   1 p .
10

Здесь   ,  p 
t 1
 nk ,
где t  номер состояния
k 1
( p ), ( t1 )  номер состояния, предыдущего по счету.
Перестановочные соотношения:
a
a

 



 


 
p , a'p '  ap a'p '  a'p ' ap  ap , a'p '  0,

p , a'p'
, '  p, p' .
Операторы квантованного поля (нерелятивистское
приближение):
 



  r    ap   r  ,   r    ap * r  .

p
p
Перестановочные соотношения:
  r ,  ' r'   0 ,


 r  ,' r'   ' r  r' .

r ,   r' 
'
 0 ,
7. Взаимодействие электронов во вторичном квантовании.
Оператор числа частиц:

 
r   r  dr   a, p a, p .
N    

p,   
Гамильтониан невзаимодействующих электронов:




1
 
H0 
  pk   r  pk   r  dr 
2 m , k
p2   
a , p a , p .
p,  2 m
 
8. Нерелятивистское взаимодействие с внешним полем U r  :



U      r U r    r  dr 


1
 
 U pp '  a, p a, p' .
V p, p '

Нерелятивистское электрон-электронное
11
взаимодействие:
 1




V     1 r1  2 r 2  r1 r 2   2 r 2   1 r1 dr1dr2 
2  1 , 2

1
2V
 


 p 3  p1   a1 ,p1 a2 ,p2 a 2 ,p4 a 1 ,p3 .

p ,p ,p
1
2
3
,
p
 1 , 2
4
p1  p 2  p 3  p 4 ,
9. Гамильтониан БКШ:

  

V   g / V   ap a p a p ' ap ' .
p ,p '
10. Взаимодействие электронов с акустическими фононами
~):
( q  cl q  

U w 
p ,q ,






 q / 2V apq, ap, bq  bq .
ЗАДАНИЕ
1. Для однокомпонентного газа получить в -приближении
явное выражение для коэффициентов теплопроводности и
вязкости.
2. Вычислить время релаксации  при рассеянии электронов
на примеси в полупроводнике.
3. Для электронов в полупроводнике найти коэффициенты,
определяющие ток и поток энергии. Записать
коэффициент, определяющий поток тепла при отсутствии
тока заряда (закон ВидеманаФранца). Проверить
выполнение соотношений Онсагера. Считать, что
справедливы: -приближение, модель
свободных
электронов и больцмановская статистика и   Av k ( k =
0, 1).
4. Определить коэффициент диффузии тяжелой сферической
частицы в газе. Рассмотреть случаи: а) R >> , б) R << ,
где   длина свободного пробега молекулы газа.
5. Проверить, что равновесное распределение Ферми
является
стационарным
решением
кинетического
уравнения с парным взаимодействием.
12
6. Определить температурную зависимость времени жизни
электронных возбуждений в низкотемпературном пределе.
7. Вычислить затухание Ландау для горячей плазмы.
8. Вычислить электросопротивление и постоянную Холла в
-приближении.
9. Используя явный вид электрон-фононного интеграла
столкновений, определить явный вид температурной
зависимости электро- и теплопроводности. Фононы
считать равновесными.
10. Вычислить коэффициент теплопроводности фононов при
низких и высоких температурах.
11. С помощью уравнения Больцмана, записанного в
-приближении, найти комплексную проводимость   .
12. Используя
обобщённое
u-v-преобразование
с
произвольной фазой, вычислить ток через контакт между
двумя сверхпроводниками, между которыми отсутствует
разность потенциалов (эффект Джозефсона).
13. Описать эффект Мессбауэра.
14. Описать эффект спинового эха с помощью уравнения
Блоха.
15. Вычислить скорость образования стабильной фазы из
метастабильной фазы (формула Зельдовича).
16. Рассмотреть задачу о хищниках и жертвах.
Срок сдачи 1-го задания: 10.03 – 15.03 2008 года.
Срок сдачи 2-го задания: 05.05 – 10.05 2008 года.
Подписано в печать 26. 12. 2007.
Формат 6084 116. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л.1.0 Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 130 экз. Заказ N
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ
141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
13
14