Косинский Ю.И., «Распределение атомов газа по кинетической

Косинский Ю.И.
Распределение атомов газа по кинетической энергии
В физике элементарных частиц довольно широко применяется метод
разделения частиц по энергиям посредством поперечных электрических и
магнитных полей. Потенциальное поле отклоняет частицы на определенный
угол или расстояние, которые являются функциями скорости частицы или ее
кинетической энергии. Поместив диафрагму в определенном месте, можно
выделить часть частиц, с целью дальнейшего применения, из общего пучка,
которые имеют нужную кинетическую энергию. Если распределение частиц
по энергиям в пучке не известно, то путем определения плотности частиц по
угловому отклонению всегда можно определить энергетический спектр
частиц в исследуемом пучке.
Аналогично мы поступим в термодинамике. Любая термодинамическая
система, например газовая, имеет какое-то распределение частиц по
кинетической энергии. Это распределение обязано взаимодействию частиц
между собой через соударения и в какой-то степени зависит от свойств
самих частиц (размер, форма, масса и т.д.) и, вероятно, от плотности газа.
Распределение частиц по энергиям не должно зависеть от того, находится ли
газ в закрытом сосуде или в поле потенциальных сил. Также для этих двух
случаев в одинаковой степени выполняется соотношение между
потенциальной и кинетической энергией системы. Это соотношение в такой
же степени должно выполняться для спектральных составляющих
энергетического спектра частиц и кинетической энергии. Для закрытой
системы этот вывод вытекает из простой модели. Открытая же система ни
чем не отличается, исходя из общих принципов, от закрытой с той лишь
разницей, что для нее энергетический спектр потенциальной энергии легко
подсчитать теоретически, исходя из простых физических соображений, и
замерять экспериментально.
Выпишем соотношение (42)
p
Uz N 0
n0
hk

0
 1 n0

n0
mgh1 
mgh 
p0
  p0

 1
n0
mgdh .
p0
(43)
Здесь мы выделили значение полного числа частиц N .
Для наглядности сделаем преобразования:
p0 2
 E 0  2E 0 z ,
n0 3
U z кон
U z  N 2E 0 z

0
mgh  U z ,
Uz  1 Uz
1 
2E 0 z   2E 0 z



 1
d
Uz
2E 0 z
.
(44)
В соотношении (44) наглядно видно, как компонуется потенциальная энергия
со средней кинетической – один к двум.
Средняя потенциальная энергия, приходящаяся на одну частицу, равна
(согласно (40):
U 0z 

Uz

2E 0 z
N
 1
или 2 E 0 z 
 1
U 0z .

(44) можно еще записать так:
U z кон

Uz N
0

1 Uz
U z 1 
  1    1 U 0 z





 1
d
Uz
.
(45)
U 0z
(45) можно выразить через полную энергию.
ez кон
Uz N

0
где
ez  U z  Ez ,

2 
1 ez
e z 1 
3  1   1 e 0z



 1
d
ez
e0z
,
(46)
3
ez  U z .
2
2E z  U z ,
Вывод: принцип полной энергии не противоречит барометрическим
соотношениям и незримо присутствует в них.
Таким образом барометрическое соотношение для концентрации
можно записать в таком виде:
 1
 1 Uz 
 ,
(47)
n(U z )  n0 1 
  U 0z 
U 0 z - средняя потенциальная энергия, приходящаяся на одну
где U z  mgh,
частицу.
Концентрация частиц на определенной высоте n(U z ) или концентрация
частиц, имеющих потенциальную энергию U z , состоит из элементарных
концентраций dn Ez (U z ) частиц, различающихся по величине кинетической
энергии.
Найдем распределение частиц по кинетическим энергиям,
воспользовавшись принципом детального или спектрального равновесия,
введенного нами ранее. Распределение частиц по потенциальным энергиям
следующее (в единице объема):
nU z
dn(U z )
  1 n0

dU z  
dU z
 U 0z
 1 Uz
1 
  U 0z



 2
dU z .
(48)
Потенциальная энергия этого распределения или энергетический спектр:
U z nU z
  1 n0

 U 0z
 1 Uz
1 
  U 0z



 2
U z dU z .
(49)
Чтобы убедиться, что это действительно так, про интегрируем выражение
(49) вдоль всего интервала потенциальной энергии.
0
n0 U 0 z 
 U z nU z  
U z кон
  1 n0
 U 0z
0

U z кон
U z (1 
1 Uz
 U 0z
)  2 dU z .
Интеграл будем брать по частям с применением формул (35):
(50)
0
 1 Uz
 U z 1   U 0 z
U z кон



 2
dU z  
 U 0z
U 0z .
 1
Подставим значение интеграла в (50) и получим тождество:
(51)
n0 U 0 z  n0 U 0 z .
Частицы газа в единице объема имеют потенциальную энергию,
связанную не только с высотой расположения этого объема в поле
потенциальных сил, но и с принципом удержания кинетической энергии
этого объема. В любом элементарном объеме имеется распределение частиц
по потенциальной энергии (48), энергетический спектр потенциальной
энергии (49). Потенциальная энергия, приходящаяся на одну частицу в этом
объеме, равна удвоенной средней кинетической энергии.
U 0 z  2E 0 z .
Пользуясь этим соотношением и соотношением (48). Найдем распределение
частиц по кинетическим энергиям.
n Ez
где E z 
 1  1 E z 


n0 1 

  Ez 
 2
d
Ez
Ez
,
(52)
mv z2
.
2
Полученное распределение не требует формировки:
E z кон
 n Ez
0
Обозначим
 1

n0

Ez
Ez
 x,

0

E
1  z
 E
z





z
0
 2
 x
 1

n 0  1  


0
dE z
Ez
E z кон   E z ,

E z кон
 n E
E z кон
 n0 .
(53)
x кон   .
 2
dx 
Воспользуемся формулами (35)

 1

n0
 n0

 1
Следует отметить, что полученное нами распределение атомов по
кинетической энергии допускает, в общем случае, конечность максимальной
кинетической энергии, которую могут иметь частицы в термодинамической
системе.
E z кон   E z .
(54)
Для нахождения давления, оказываемого на стенку сосуда, нужно
вычислить полное изменение количества движения атомов газа,
испытывающих отражение от единицы поверхности объема в единицу
времени. Оно равно, очевидно, изменению импульса в одном соударении со
стенкой, умноженному на полное число ударов, приходящихся на единицу
поверхности за 1 секунду. Изменение импульса равно 2mv z . Умножив это
выражение на число ударов, приходящихся на единицу поверхности за 1
секунду, со стороны атомов, имеющих данную компоненту скорости v z , и
суммируя или, точнее, интегрируя это произведение по всем значениям
кинетической энергии, мы найдем полное давление.
2mv z  v z  4E z .
1
p
2
E z кон

4 E z n Ez
0
  1 n0

2
 Ez
E z кон

E z (1 
0
1 Ez
 Ez
)  2 dE z .
(55)
Точно такой интеграл на встречался в выражении (50). Значение интеграла
равно:
E z кон

0
 1 Ez 

E z 1 
  Ez 
 2
dE z 

 1
(E z ) 2 .
(56)
Подставив, найдем значение давления:
p  n0 2E z  n0
2
E,
3
а заодно и известное уравнение состояния для газа.
Среднее значение кинетической энергии газа на одну степень свободы
равно:
1
Ez 
n0
E z кон
 E z n E
0
z
E z кон
 1 1

 Ez
 1 Ez 
 E z 1   E z 
0
 2
dE z .
В силу (56), получим:
Ez  Ez .
Найденное распределение удовлетворяет всем требованиям усреднения.
Приведем еще один вывод формулы распределения атомов по
энергиям. Мы имеем формулу для концентрации атомов в поле
потенциальных сил.


mgh

n ( h )  n 0 1 
p
  0
n0







 1
.
Формулу можно записать в различных вариантах.

mgh
n(h)  n 0 1 
  U 0z






mgh
n ( h )  n 0 1 
2

  e 0z
3

 1
,






 1
(57)
,
где U 0 z и e 0 z - средние потенциальная и полная энергии у основания
открытой системы.
Концентрация частиц на высоте h представим как сумму элементарных
концентраций для различных кинетических энергий E z в интервале dE z .
E z кон
 f ( E z , mgh)dE z ,
n( h) 
(58)
0
где f - функция распределения частиц по кинетической энергии.
Под интегральная функция является функцией двух энергий- потенциальной
и кинетической. Энергия, вообще, является функцией аддитивной. Поэтому
потенциальная и кинетическая энергии должны быть связаны в функции f
аддитивной зависимостью. Такая зависимость нами уже найдена для
термодинамических систем:
(59)
e z  2E z  U z  2E z  mgh ,
где e z - полная энергия.
И так, мы вправе записать:
E z кон
n( h) 
 f (2E z  mgh)dE z .
(60)
0
Вспомним из математики теорему о первообразной функции F (x) .
C  F ( x)   f ( x)dx,
f ( x)  F ' ( x) .
На основании этой теоремы можем записать:
E z кон
n( h ) 

0
dn(2 E z  mgh)
dE z .
dE z
(61)
Найдем производную:
 2 E  mgh 

d 1  z


U
0z


dE z
 1
 2 E  mgh 

 1  z


U
0z


 2
 1 2
.
 U 0z
Теперь концентрация в поле потенциальных сил примет вид:
 1
n( h) 
n0

 E0z 

mgh
2 
0
Ez
1 
 E
0z

mgh 


 U 0 z 
 2
d
Ez
E 0z
,
(62)
где под интегральная функция представляет распределение частиц по
кинетической энергии для открытой термодинамической системы. При g  0
распределение (62) совпадает с распределением для закрытой системы (53).
Следует отметить, что конечная кинетическая энергия частиц, в общем
случае при конечной  , падает с высотой на величину
mgh
.
2
Найдем концентрацию n(h) . Для этого вычислим интеграл.
Сделаем замену.
Ez
E 0z
Интеграл примет вид:

mgh
U 0z
 x,
dx 
dE z
E 0z
.

 1 
 1
1  x 
n( h)  n 0

 mgh   
 2
dx .
(63)
U 0z
Сделаем еще одну замену:
1
1

x  y,
dy  
1

dx.
mgh
 U 0z

n(h)  n0 (  1)
1
y
 2
0

mgh
dy  n0 1 
  U 0z




 1
.
(64)
Мы вернулись к известному нам выражению.
Найдем давление на высоте h , воспользовавшись распределением (62)
Ez
  1 
mgh
n E z (h) 
n 0 1 


  E 0z  U 0z




 2
d
Ez
(64А)
E 0z
и соотношением (55).
E z кон
 1
p  2  E z n Ez (h)  2
n0 E 0 z

0
E z кон

0
Ez 
E
mgh
1  z 

E 0z   E 0z  U 0z




 2
d
Ez
E 0z
.
(65)
Приведем под интегральное выражение к виду (55):

 1
mgh
p2
n0 E z 1 

  U 0z




 1 Ez кон

0
Ez 
E
1  z

Ez   Ez




 2
d
Ez
Ez
.
(66)
Воспользуемся решением интеграла (56).

mgh
1 

 1   U 0z
p2
n0

Ez

где E z  E 0 z 1 

mgh 
,
 U 0 z 




 1

 1
(E z ) 2 ,
E z кон   E z .
(67)
В результате получим соотношение (31).

mgh
p (h)  2n 0 E 0 z 1 
  U 0z


 .


(68)
Теперь найдем среднюю кинетическую энергию на высоте h .
1
E z ( h) 
n( h)
E z кон
 E z n E
z
( h) .
(69)
0
Воспользуемся решениями интегралов (64) и (65).
E z ( h) 

mgh
n 0 E 0 z 1 
  U 0z

mgh
n0 1 
  U 0z









 1

mgh
 E 0 z 1 
  U 0z

.


(70)
Теперь можно указать причину понижения температуры или средней
кинетической энергии газа с высотой в открытой термодинамической
системе. Причина кроется в конечности максимальной кинетической
энергии, которую могут иметь частицы в газе. Эта максимальная или
конечная энергия выражается через среднее значение кинетической энергии
газа и параметр  .  можно назвать параметром газовой термодинамической
системы. Для различных газов он должен быть различным. Константа 
также оказывает существенное влияние на форму распределения атомов по
энергиям. Так как  может иметь численное значение, лежащее в очень
широком диапазоне – от бесконечности до, например, пяти (это то, что нам
известно для атмосферы Земли), то можно сказать, что существует
бесчисленное множество распределений, отличающиеся своей формой даже
в приведенном или нормированном виде.
Для газа в поле потенциальных сил распределение частиц по энергиям
зависит от высоты, на которой рассматривается данное распределение
(формула (62)). Поэтому представляет интерес получить распределение
частиц по энергии усредненное по всей высоте столба газа. Согласно (64а)
запишем:
 2
U z кон

Ez
Uz 
Uz
(71)
n Ez
 1   E 0 z   U 0 z  d U 0 z .


0
Здесь мы приняли во внимание, что mgh  U z потенциальная энергия частицы.
  1 dE z

n0

E 0z
При данном рассмотрении максимальная потенциальная энергия, которую
может иметь движущаяся, частица равна:
U z кон   U 0 z  2 E z ,
(72)
т.е. внутри любого объема газа, на любой высоте существует еще
потенциальная энергия, предназначенная для компенсации кинетической
энергии. Заимствуется эта потенциальная энергия из потенциальной энергии,
связанной с высотой расположения рассматриваемого объема. Интеграл (71)
по форме полностью совпадает с интегралом (62), поэтому мы можем сразу
записать результат.
n E z

Ez
 n 0 1 
  E 0z




 1
dE z
E 0z
.
(73)
С помощью этого распределения мы можем определять следующие
характеристики открытой термодинамической системы, усредненные по
всему объему газа: средняя плотность, среднее давление и средняя
кинетическая энергия.
Средняя плотность в этом представлении совпадает с плотностью n 0 .
 E0z
n  n0

0

E
1  z
 E
0z





 1
dE z
E 0z
 n0 .
(74)
Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень
свободы, равна:
1
E
n0
 E0z

 E0z
E z n Ez 
0

0

E
E z 1  z
  E 0z




 1
dE z
E 0z
.
(75)
Воспользуемся значением интеграла (35а).
E
 E 0 z 2 
1
E 0 z  (  1)

 1
E 0z .
(76)
Результат (76) совпадает с результатом (37).
Среднее давление равно:
 E0z
p2
 E z n E
0
z
 2n0 E 0 z

 1
 n0

2
.
E0
3
 1
Результат совпадает с соотношением (40).
(77)