E) Правильного ответа нет.

Учебно-методический комплекс дисциплины
«Молекулярная физика»
для студентов 1 курса специальности
5В060400 «Физика»
г.Семей
2014 г.
Содержание
1. Силлабус
2. Глоссарий по дисциплине
3. Краткий конспект лекций
4. Методические указания для проведения практических занятий
5. Методические указания для проведения лабораторных занятий
6. Методические рекомендации по СРСП
7. Методические рекомендации по СРС
8. Контрольно-измерительные средства
2
4
11
13
80
104
106
107
108
2. ГЛОССАРИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Жидкость-тело, обладающее несжимаемостью, текучестью и подвижностью;
способное изменять свою форму под воздействием внешних сил и температурных
изменений
Агрегатные состояния вещества - состояния одного и того же вещества в
различных интервалах температур и давлений.
Вода - устойчивое в обычных условиях химическое соединение водорода и
кислорода, существующее в жидком, твердом и газообразном состояниях.
Термодинамические параметры - температура, плотность, давление, объем,
удельное электрическое сопротивление и другие физические величины,
однозначно определяющие термодинамическое состояние системы; не
учитывающие молекулярное строение тел и описывающие их макроскопическое
строение.
Абсолютная температура - температура, измеренная по шкале Кельвина и
отсчитываемая от абсолютного нуля.
Термодинамическое равновесие термодинамической системы - состояние
термодинамической системы, в котором все макроскопические параметры
системы с течением времени не меняются и в системе отсутствуют стационарные
потоки теплоты, вещества и др.
Вязкость - свойство жидкостей и газов оказывать сопротивление перемещению
одной их части относительно другой.
Поверхностные явления - совокупность явлений обусловленных тем, что силы
взаимодействия между частицами, составляющими тело, не скомпенсированы на
его поверхности.
Адсорбция - явление поглощение газов и паров, а также растворенных веществ
поверхностным слоем (пористых) тел (адсорбентов).
Капилляр - в физике - трубка с узким внутренним каналом
Капиллярные явления - явления, вызываемые влиянием сил межмолекулярного
взаимодействия на равновесие и движение
Капля - небольшой объем жидкости, ограниченный в состоянии равновесия
поверхностью вращения.
3
Коэффициент поверхностного натяжения - работа, необходимая для
изотермического увеличения площади поверхности жидкости на 1 кв.м.
Краевой угол - угол между поверхностью твердого тела и мениском в точках их
пересечения.
Мениск - часть поверхности жидкости у границы раздела жидкости и твердого
тела.
Радиометрический эффект - эффект возникновения силы, действующей на
пластинку, помещенную в разреженный газ, при освещении одной из ее
поверхностей.
Сверхтекучесть - явление снижения до нуля вязкости гелия при температуре
ниже 2.17 K.
Сила поверхностного натяжения - сила, обусловленная взаимным притяжением
молекул жидкости, направленная по касательной к ее поверхности.
Смачивание - явление, возникающее при взаимодействии жидкости с
поверхностью твердого тела при их контакте, обусловленное силами притяжения
и отталкивания молекул жидкости и твердого тела.
Число степеней свободы - наименьшее число линейно независимых координат,
которые полностью определяют положение тела в пространстве.
барометрической формулой – математически выраженная зависимость давления
атмосферы от высоты над уровнем моря при постоянной температуре называют
внутренняя энергия термодинамической системы - совокупность всех видов
энергии, которыми она обладает, за вычетом энергии поступательного движения
ее как целой и потенциальной энергии системы во внешнем поле.
3. КРАТКИЕ КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ
Тема: Основные положения молекулярно- кинетической теории газов
1. Идеальный газ. Параметры состояния идеального газа.
Примером простейшей системы, изучаемой в молекулярной физике,
является газ. Согласно статистическому подходу газы рассматриваются как
системы, состоящие из очень большого числа частиц (до 1026м3), находящихся в
постоянном беспорядочном движении.
В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализированной моделью
идеального газа, согласно которой считают, что:
1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом
сосуда;
2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;
3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно
упругие.
Оценим расстояния между молекулами в газе. При нормальных условиях
(н.у.) число молекул в единице объема: n  2,7  1025 м 3 . Тогда средний объем,
приходящийся на одну молекулу:
молекулами:
l~3 V; l~
V~
1
10 24 3

(м ) .
2,7  10 25
27
1
 10 8  3  10 9 (м ).
3
Среднее расстояние между
Средний диаметр молекулы: d3.10-10 м.
Собственные размеры молекулы малы по сравнению с расстоянием между ними
4
(в 10 раз). Следовательно, частицы (молекулы) настолько малы, что их можно
уподобить материальным точкам.
В газе молекулы большую часть времени находятся так далеко друг от друга, что
силы взаимодействия между ними практически равны нулю. Можно считать, что
кинетическая энергия молекул газа много больше потенциальной, поэтому
последней можно пренебречь.
Скорости частиц, как по модулю, так и по направлению могут быть любыми,
изменение их происходит непрерывно.
Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов, так
как они в условиях, близких к нормальным (например, кислород водород, азот,
углекислый газ, пары воды, гелий), а также при низких давлениях и высоких
температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся
поправки, учитывающие собственный объем молекул газа и действующие
молекулярные силы, можно перейти к теории реальных газов.
В молекулярной физике и термодинамике состояние газа характеризуется
совокупностью трех макропараметров р, V, Т , которые называются параметрами
состояния.
Температура — одно из основных понятий, играющих важную роль не
только в термодинамике, но и в физике в целом. Температура — физическая
величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия
макроскопической системы. В соответствии с решением XI Генеральной
конференции по мерам и весам (1960) в настоящее время можно применять
только две температурные шкалы — термодинамическую и Международную
практическую, градуированные соответственно в кельвинах (К) и в градусах
Цельсия (°С). В Международной практической шкале температура замерзания и
кипения воды при давлении 1,013·10s Па соответственно 0 и 100°С (реперные
точки).
Давление в системе СИ измеряется в Па (паскаль): 1Н/м2=1 Па. Часто пользуются
и внесистемными единицами давления: 1 мм рт. ст.=133,3 Па; техническая
атмосфера 1 ат =750 мм рт. ст.  105Па; нормальная (физическая) атмосфера:
1атм=760мм рт.ст.1,013. 105Па.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.
Температура. Закон Дальтона.
При переходе к равновесию от одной части газа к другой передается
энергия. Выравнивается не энергия всего газа как целого, а средняя кинетическая
энергия, отнесенная к одной молекуле. Температура газа пропорциональна
средней кинетической энергии его молекул: Т  E. Средняя кинетическая
энергия поступательного движения молекулы

E = 3 kT ,
2
(1)
где k - постоянная Больцмана, выражающая соотношение между единицей
энергии и единицей температуры. k=1,38.10-23 Дж/К,
Т – температура,
выраженная в кельвинах.
Все молекулы при данной температуре Т имеют одну и ту же среднюю энергию
независимо от их сорта. Из формулы (1) следует, что абсолютная температура
5
является мерой средней кинетической энергии поступательного хаотического
движения молекул. При Т=0 замирает тепловое движение, но остаются другие, не
тепловые формы движения в веществе, например, движение электронов в атоме.
Это движение нельзя прекратить, охлаждая вещество. Выразим теперь vкв через
абсолютную температуру Т. Приравнивая правые части в формулах E = 3 kT и E
2
2

m0 v
получим:
2
vкв=
3kT
m0
.
Введем понятие универсальной газовой постоянной R, которая связана с
постоянной Больцмана соотношением R  kN A ,
где NA=6.1023моль-1–число
Авогадро (число молекул в одном моле вещества), и молярной массы = Nam0–
массы одного моля газа. Тогда среднюю квадратичную скорость поступательного
движения молекул можно выразить формулой:
vкв=
3RT

.
Подставляя в основное уравнение кинетической теории газов это выражение,
получим, что давление идеального газа связано с температурой соотношением:
p  nkT .
Давление определяется только концентрацией (при постоянной температуре) и не
зависит от сорта молекул.
Если имеем смесь нескольких газов, концентрация молекул которых n1, n2, ..., ni и
p  n1 kT + n2 kT+...+ni kT .
n   ni , то
i
Давления p1  n1 kT, p2  n2 kT,... pi  ni kT
называют парциальными давлениями.
Например, р1 – парциальное давление соответствует давлению, которое оказывал
бы первый газ, входящий в состав смеси, если бы он занимал весь объем.
Согласно закону Дальтона в случае идеальных газов p   pi
i
Таким образом, давление, оказываемое на стенки сосуда смесью газов, равно
сумме парциальных давлений отдельных компонентов смеси.
Распределение энергии по степеням свободы.
Средняя энергия (из вывода основного уравнения кинетической теории газов),
приходящаяся на одну молекулу E

3
kT .
2
Если считать молекулу шариком (как в
одноатомном газе), то средняя энергия такой частицы определяется средней
кинетической энергией ее поступательного движения. Энергию эту можно
представить как сумму трех слагаемых – кинетических энергий движения
молекулы по трем взаимно перпендикулярным направлениям:
2
m0 v2 m0 v2x m0 v y m0 v2z



2
2
2
2
,
где vx, vy, vz – составляющие скорости молекул по трем осям координат. Из-за
хаотичности молекулярного движения можно считать, что средние значения
кинетических энергий по трем направлениям равны друг другу:
6
2
m0 v2x m0 v y m0 v2z 1 m0 v2



2
2
2
3 2
.
(*)
Так как согласно основному уравнению кинетической теории:
m0 v2 3
 kT ,
2
2
то каждое из трех слагаемых равенства (*) равно kT/2.
Разделение кинетической энергии частицы на три независимые составляющие
связано с тем, что частица рассматривается как свободная материальная точка,
обладающая тремя степенями свободы.
Число степеней свободы - наименьшее число линейно независимых
координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве.
Значит, на каждую степень свободы одноатомной молекулы приходится энергия,
равная kT/2.
Естественно было предположить, что если бы молекула газа обладала еще
какими-нибудь степенями свободы, то и на каждую их них пришлась бы
кинетическая энергия kT/2. Действительно, в классической статистической физике
такая теорема доказывается (Больцман): в совокупности большого числа молекул,
находящемся в тепловом равновесии при температуре Т средняя кинетическая
энергия равномерно распределена между всеми степенями свободы и для каждой
степени свободы молекулы она равна kT/2.
Эта теорема называется законом равномерного распределения кинетической
энергии по степеням свободы, или, законом равнораспределения.
Двух- и многоатомные газы отличаются от одноатомных числом степеней
свободы.
Рассмотрим двухатомную молекулу. Ее можно представить себе в виде
системы, состоящей из двух атомов, расположенных на некотором
z
y
расстоянии друг от друга. Будем считать, что это жесткая молекула,
то есть расстояние между атомами не меняется.
x
Вообще говоря, такая система имеет шесть степеней свободы:
три степени свободы приходится на поступательное движение центра масс, и три
– возможные вращательные движения вокруг осей 0х, 0у и 0z. Однако, вращение
молекулы вокруг оси 0х не вносит изменения в кинетическую энергию. Поэтому
для описания возможных вращений достаточно двух координат. Следовательно,
число степеней свободы жесткой двухатомной молекулы равно 5, из них три
поступательные и две вращательные степени свободы. Но атомы в молекуле не
всегда жестко связаны друг с другом. Об этом подробнее будет идти речь при
изучении теплоемкости идеального газа. Трехатомный газ имеет 6 степеней
свободы.
Если молекула состоит из n атомов, не жестко связанных, то она имеет 3n
степеней свободы (каждый атом имеет три степени свободы). Из этого числа три
степени свободы поступательные и три вращательные, за исключением случая,
когда атомы расположены на одной прямой, – тогда вращательных степени
свободы только две. Остальные (3n-6) степени свободы являются
колебательными.
Основное уравнение кинетической теории газов.
7
Основным уравнением кинетической теории газов называется
соотношение, связывающее давление (величину, измеряемую на
опыте) со скоростью или кинетической энергией молекулы газа.
v t
Рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что
молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между
молекулами газа очень мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а
соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке
сосуда элементарную площадку s (cм. рис.) и вычислим давление, оказываемое
на эту площадку. При каждом соударении, молекула, движущаяся
перпендикулярно площадке, передает ей импульс т0 v–(–m0 v) = 2 т0 v, где т0 —
масса молекулы, v – ее скорость. За время t площадки s достигнут только те
молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием s и высотой vt.
Число этих молекул равно ns vt, где п — концентрация молекул. Но
необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадке под разными
углами и имеют различные скорости.
Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением
вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, тик что в любой момент
времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина из них
(1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в
противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном
направлении, о площадку s будет 1 nst . При столкновении с площадкой эти
s
6
молекулы передадут ей импульс:
Тогда давление газа на
1
1
P  2m0 v  nst  m0 v 2 nst P  2m0 v .
6
3
F
P
1
стенку сосуда:
p

 m0 v 2 n
s s t 3
(1)
Если газ и объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v1, v2., то
учитывают среднюю квадратичную скорость:
v кв  v 2 
1
N
N
 v 2i
(2)
i 1
характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (1) с учетом (2)
1
р nm0 v2
3
примет вид
.
(3)
Данное выражение называется основным уравнением молекулярно-кинетической
теории идеальных газов. Это уравнение как раз и устанавливает связь между
давлением и скоростью, вернее среднеквадратичной скоростью.
m0 v2
Введем E 
– среднюю кинетическую энергию хаотического поступательного
2
движения одной молекулы, тогда основное уравнение запишется как:
р
2 m 0 v2
n
3
2
или
р
8
2
n E
3
В данном уравнении давление связано со средней энергией поступательного
движения молекул. Давление газа численно равно 2/3 средней кинетической
энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.
Температура. Закон Дальтона.
При переходе к равновесию от одной части газа к другой передается
энергия. Выравнивается не энергия всего газа как целого, а средняя кинетическая
энергия, отнесенная к одной молекуле. Температура газа пропорциональна
средней кинетической энергии его молекул: Т  E. Средняя кинетическая
энергия поступательного движения молекулы
E = 3 kT ,

2
(1)
где k - постоянная Больцмана, выражающая соотношение между единицей
энергии и единицей температуры. k=1,38.10-23 Дж/К,
Т – температура,
выраженная в кельвинах.
Все молекулы при данной температуре Т имеют одну и ту же среднюю энергию
независимо от их сорта. Из формулы (1) следует, что абсолютная температура
является мерой средней кинетической энергии поступательного хаотического
движения молекул. При Т=0 замирает тепловое движение, но остаются другие, не
тепловые формы движения в веществе, например, движение электронов в атоме.
Это движение нельзя прекратить, охлаждая вещество. Выразим теперь vкв через
абсолютную температуру Т. Приравнивая правые части в формулах E = 3 kT и E
2
2

m0 v
получим:
2
vкв=
3kT
m0
.
Введем понятие универсальной газовой постоянной R, которая связана с
постоянной Больцмана соотношением R  kN A ,
где NA=6.1023моль-1–число
Авогадро (число молекул в одном моле вещества), и молярной массы = Nam0–
массы одного моля газа. Тогда среднюю квадратичную скорость поступательного
движения молекул можно выразить формулой:
vкв=
3RT

.
Подставляя в основное уравнение кинетической теории газов это выражение,
получим, что давление идеального газа связано с температурой соотношением:
p  nkT .
Давление определяется только концентрацией (при постоянной температуре) и не
зависит от сорта молекул.
Если имеем смесь нескольких газов, концентрация молекул которых n1, n2, ..., ni и
p  n1 kT + n2 kT+...+ni kT .
n   ni , то
i
Давления p1  n1 kT, p2  n2 kT,... pi  ni kT
называют парциальными давлениями.
Например, р1 – парциальное давление соответствует давлению, которое оказывал
бы первый газ, входящий в состав смеси, если бы он занимал весь объем.
9
Согласно закону Дальтона в случае идеальных газов
p   pi
i
Таким образом, давление, оказываемое на стенки сосуда смесью газов, равно
сумме парциальных давлений отдельных компонентов смеси.
Распределение энергии по степеням свободы.
Средняя энергия (из вывода основного уравнения кинетической теории газов),
приходящаяся на одну молекулу E

3
kT .
2
Если считать молекулу шариком (как в
одноатомном газе), то средняя энергия такой частицы определяется средней
кинетической энергией ее поступательного движения. Энергию эту можно
представить как сумму трех слагаемых – кинетических энергий движения
молекулы по трем взаимно перпендикулярным направлениям:
2
m0 v2 m0 v2x m0 v y m0 v2z



2
2
2
2
,
где vx, vy, vz – составляющие скорости молекул по трем осям координат. Из-за
хаотичности молекулярного движения можно считать, что средние значения
кинетических энергий по трем направлениям равны друг другу:
2
m0 v2x m0 v y m0 v2z 1 m0 v2



2
2
2
3 2
.
(*)
Так как согласно основному уравнению кинетической теории:
m0 v2 3
 kT ,
2
2
то каждое из трех слагаемых равенства (*) равно kT/2.
Разделение кинетической энергии частицы на три независимые составляющие
связано с тем, что частица рассматривается как свободная материальная точка,
обладающая тремя степенями свободы.
Число степеней свободы - наименьшее число линейно независимых
координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве.
Значит, на каждую степень свободы одноатомной молекулы приходится энергия,
равная kT/2.
Естественно было предположить, что если бы молекула газа обладала еще
какими-нибудь степенями свободы, то и на каждую их них пришлась бы
кинетическая энергия kT/2. Действительно, в классической статистической физике
такая теорема доказывается (Больцман): в совокупности большого числа молекул,
находящемся в тепловом равновесии при температуре Т средняя кинетическая
энергия равномерно распределена между всеми степенями свободы и для каждой
степени свободы молекулы она равна kT/2.
Эта теорема называется законом равномерного распределения кинетической
энергии по степеням свободы, или, законом равнораспределения.
Двух- и многоатомные газы отличаются от одноатомных числом степеней
свободы.
Рассмотрим двухатомную молекулу. Ее можно представить себе в виде
системы, состоящей из двух атомов, расположенных на некотором
z
y
расстоянии друг от друга. Будем считать, что это жесткая молекула,
то есть расстояние между атомами не меняется.
x
10
Вообще говоря, такая система имеет шесть степеней свободы: три степени
свободы приходится на поступательное движение центра масс, и три – возможные
вращательные движения вокруг осей 0х, 0у и 0z. Однако, вращение молекулы
вокруг оси 0х не вносит изменения в кинетическую энергию. Поэтому для
описания возможных вращений достаточно двух координат. Следовательно,
число степеней свободы жесткой двухатомной молекулы равно 5, из них три
поступательные и две вращательные степени свободы. Но атомы в молекуле не
всегда жестко связаны друг с другом. Об этом подробнее будет идти речь при
изучении теплоемкости идеального газа. Трехатомный газ имеет 6 степеней
свободы.
Если молекула состоит из n атомов, не жестко связанных, то она имеет 3n
степеней свободы (каждый атом имеет три степени свободы). Из этого числа три
степени свободы поступательные и три вращательные, за исключением случая,
когда атомы расположены на одной прямой, – тогда вращательных степени
свободы только две. Остальные (3n-6) степени свободы являются
колебательными.
Газовые законы. Уравнение Менделеева-Клапейрона.
Экспериментальное исследование свойств газов, проведенное в ХVII-XVIII вв.
Бойлем, Мариоттом, Гей-Люссаком, Шарлем, привело к формулировке газовых
законов:
1. Изотермический процесс – Т=const.
р
Т >T
Закон Бойля-Мариотта: pV=const – уравнение изотермы.
T
График зависимости p от V приведен. Чем выше изотерма,
T
тем более высокой температуре она соответствует, T2>T1.
V
2
1
2
1
2. Изобарный процесс– p= const.
Закон Гей-Люссака:
V
 const – уравнение изобары. График зависимости V от T
T
приведен на рисунке. Чем ниже к оси температуры наклонена изобара, тем
большему давлению она соответствует, р2 > p1.
3. Изохорический процесс– V=const. Закон Шарля:
p
 const – уравнение
T
изохоры. График зависимости р от Т изображен на рисунке. Чем ниже к оси
температуры наклонена изохора, тем большему объему она соответствует, V2 > V1.
V
p
p2>p1
V2>v1
p1
V1
p2
0
V2
T
0
T
Комбинируя выражения газовых законов, получим уравнение, связывающее р,
pV
 const .
T
V, Т (объединенный газовый закон):
11
Постоянная в этом уравнении определяется экспериментально. Для 1 моль газа
она оказалась равной R=8,31
Дж
и была названа универсальной газовой
моль  К
постоянной.
1 моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же
структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012
кг. Число молекул (структурных единиц) в 1 моле равно числу Авогадро:
NA=6,02.1023моль-1.
Для R справедливо соотношение: R=k NA
Итак, для одного моля: pV  RT .
Для произвольного количества газа  = m/ (уравнение Менделеева-Клапейрона):
pV 
m

RT ,
где  - молярная масса газа.
Установим связь между уравнение кинетической теории газов и уравнением
Менделеева-Клапейрона.
р
2
n E nk T, p  nk T.
3
Так как n=N/V, то pV  N k T .
Для количества вещества справедливо соотношение:
m


N
NA
, а для постоянной
Больцмана: k = R /NA, поэтому последнее уравнение можно записать в виде:
pV  N
R
m
T или pV  RT .
NA

ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
1. Уравнение состояния. Температура.
Одно из ценных замечаний относится к роли идеи о молекулярной структуре
вещества. Рекомендуется найти соответствующую цитату. Доказать правильность
этой идеи удалось не так давно. Сейчас отдельные молекулы и атомы видно под
микроскопом (хотя и не оптическим). Простейшую среду – идеальный газ –
можно для начала понимать как набор невзаимодействующих молекул. Сами
молекулы, тоже для начала, будем считать материальными точками,
находящимися в непрерывном движении. Это хорошо согласуется с легкой
сжимаемостью газа. Попробуем установить количественные свойства газа.
Введем плотность, или концентрацию, молекул n [1/м3 ], то есть число молекул
в единице объема. Каждая молекула может иметь свою скорость v. Скорости
молекул направлены хаотически (случайно). Если нет направленного течения, то
средняя скорость молекул в достаточно большом объеме E = 0. Мы по
отдельности не чувствуем m, n, v, но можем измерить ρ = mn, а также давление
газа P . Ударяясь о стенки сосуда, молекулы отскакивают и, таким образом,
оказывают давление. При упругом ударе молекула передает стенке импульс p =
2mvx . За время t к участку стенки площадью S подлетит nSvx t/2 молекул. Это
просто половина числа молекул в объеме Svx t; другая половина удаляется от
стенки. Полный переданный импульс будет 2mvx nSvx t/2, сила равна mnSvx , а
давление P = mnvx . Мы тут считали vx заданной. На самом деле молекулы можно
разбить на группы с различными vx . Тогда давление будет зависеть от среднего
значения: P = mn vx .
12
2. Уравнение состояния. Температура.
Здесь использовано равенство vx = vy = vz = v 2 /3, означающее, что все
направления равноправны и что стенка не вносит несимметрии в распределение
скоростей молекул. ε = m v 2 /2 – это средняя кинетическая энергия молекул газа.
Умножив обе части на объем V , получим
PV = 3/2(N ε) .
(2.1)
где N = nV – полное число молекул в объеме.
При контакте двух газов (скажем, через подвижный поршень) в системе
выравниваются давления и, значит, произведения n1 ε1 = n2 ε2 . Покажем, что в
равновесии равны и по отдельности множители. Рассмотрим газ в двух половинах
сосуда, разделенных подвижным поршнем массы M. Поршень под ударами
«левых» молекул может приобретать скорость и передавать энергию газу в
правой половине, и наоборот. Пусть в некоторый момент скорость поршня была
U, и по нему ударяет молекула со скоростью v вдоль оси x. После упругого удара,
как известно из механики,
U = 2m (v − U) + M +m U .
Поскольку скорости v и U случайные, среднее произведение vU = 0. Тогда
m v2 + (M +m) U 2 = mv 2 .
Видим, что в равновесии средние кинетические энергии поршня и молекулы
левого газа равны (для молекулы берется часть энергии, связанная с движением
по оси x). Но можно провести те же рассуждения и для газа в правой секции.
Значит, средняя кинетическая энергия правой молекулы будет точно такая же. Не
обязательно связывать разные газы должен поршень. Это просто средство
установления равновесия между двумя газами, которые в нашей ограниченной
модели материальных точек по-другому взаимодействовать не умеют. Можно
взять крупинку вещества и рассмотреть удары молекул об нее. Таким образом, у
любых газов в равновесии равны средние кинетические энергии:
ε1 = ε2 .
Поскольку с обеих сторон поршня равны и давления, а P ∼ nε, то будут
одинаковы и концентрации (плотности); массы молекул газов и массовые
плотности при этом вполне могут отличаться.
Равенство средних энергий
сильно напоминает известное каждому равенство температур при контакте тел.
Естественно связать среднюю кинетическую энергию молекул с температурой.
Сопоставим уравнение (2.1) и полученное независимо как обобщение
эмпирических газовых законов уравнение Клапейрона–Менделеева:
PV =
M/ µ RT или P V = νRT .
(2.2)
Ясно, что N ∼ M – массе газа, или N ∼ M/µ. Отсюда опять видно, что ε ∼ T .
Температура измеряется в градусах, поэтому нужен коэффициент перевода. По
определению
ε = 3/2kT ,
13
где k = 1,38 · 10
эрг/град – постоянная Больцмана. Откуда взять это значение,
мы узнаем в конце курса. ν = M/µ – это число молекул в особых единицах –
молях. В 1 моле вещества содержится NA = 6,02 · 1023 молекул, или штук на
моль [1/моль]; тоже пока постулируется. Газовая постоянная R = Nk = 8,3144·107
эрг/моль поддается непосредственному определению.
В физике вместо (2.2) удобнее эквивалентные формы:
P V = NkT , P = nkT ,
(2.3)
называемые уравнением состояния газа.
Исторически температура не сразу идентифицировалась с энергией молекул,
тем более что существование последних было под вопросом. Понимая ее как
«степень нагретости», что явно содержит тавтологию, тем не менее пытались эту
степень измерить. Видимо, первые удачные термометры основывались на
тепловом расширении жидкости (воды, ртути). Появились температурные шкалы.
Бытовая шкала Цельсия определяется по точкам замерзания (0 ◦ C) и кипения
воды (100 ◦ C). Довольно быстро было замечено, что 50 ◦ C по ртутной шкале не
соответствуют 50 ◦ C по спиртовой. Теперь это можно объяснить как
непостоянство коэффициента теплового расширения. Возник вопрос, какая шкала
будет правильной? Теория дает нам абсолютную температурную шкалу:
правильная температура пропорциональна кинетической энергии молекул.
Измерять эту энергию, в принципе, можно. Но уравнение состояния дает
возможность построить газовый термометр, в простейшем варианте – постоянный
объем с выходящей наружу трубкой, перекрытой легким поршнем. При
постоянном давлении объем V ∼ T , и положение поршня на линейной шкале
укажет температуру. Или можно присоединить к трубке ртутный манометр.
Разность уровней ртути в коленах даст нам превышение давления внутри колбы;
если трубка очень тонкая, то с хорошей точностью температура газа в колбе
пропорциональна давлению.
Строя зависимости V (T , ◦ C) при разных давлениях, для разных газов, можно
убедиться, что получаются прямые, с точностью до ошибок эксперимента
пересекающиеся в одной точке, при V = 0, правда в недоступной области, где газы
уже не существуют (сжижаются). Это подтверждает выводы молекулярной
теории и позволяет определить абсолютную температурную шкалу с началом в
этой самой точке. В ней ε = 0, что и дает естественное начало шкалы, не связанное
с конкретным веществом.
По последним измерениям, 0◦C соответствует 273,15 K (абсолютной шкалы
Кельвина). Именно абсолютная температура и входит в уравнение состояния. Не
надо думать, что настоящий газовый термометр так прост. Надо среди прочего
добиться постоянства температуры газа, объем сосуда не должен сам меняться, и
т.д. По международному соглашению 1968 г. были приняты 12 основных
реперных точек, в том числе: плавления льда1 0 ◦ C, кипения воды 100 ◦ C,
кипения серы2 444,6 ◦ C, плавления серебра 960,8 ◦ C и плавления золота 1063 ◦ C.
Эти температуры измеряются эталонными термометрами (газовыми для нижней
части шкалы и пирометрами, фиксирующими тепловое излучение – для верхней)
и затем применяются для градуировки промежуточных, более удобных приборов:
термометров сопротивления, жидкостных, термопар и т.д.
14
Приведем пример затруднений, возникающих при измерениях температуры.
Точка плавления алюминия – около 660 ◦ C. По температурной шкале 1927 г.
ниже этой температуры применялся платиновый термометр сопротивления, а
выше – термопара. Сшивание их показаний осуществлялось при точке плавления
сурьмы 630,5 ◦ C, но шкала термометра сопротивления, как более удобного,
продлялась до «алюминиевой» точки. Но когда был получен достаточно чистый
алюминий, его точка плавления по термометру сопротивления оказалась
несколько выше 660 ◦ C, а по эталонной термопаре, наоборот, ниже. Поэтому до
1948 г. алюминий вообще не имел определенной температуры плавления. В 1948
г. постановили, что употребление термометра сопротивления выше 630,5 ◦ C для
метрологических целей прекращается, что обеспечило однозначность шкалы 1.
Точнее, тройная точка воды 0,01 ◦ C. Сейчас действует международная шкала
МТШ-90, имеющая следующие реперные
точки и интервалы:
Вещество Тип точки/способ T, К
T , ◦C
He
Ps (T ) 0,65 − 5
H2
т.т.
13,8033
−259,3467
H2 , He Ps (T ) или г.т. 17
−256,15
H2 , He Ps (T ) или г.т. 20,3
−252,85
Ne
т.т.
24,5561
−248,5939
O2
т.т.
54,3584
−218,7916
Ar
т.т.
83,8058
−189,3442
Hg
т.т. 234,3156
−38,8344
H2 O
т.т.
273,16
0,01
Ga
Плавление
302,9146
29,7646
In
Затвердевание 429,7485
156,5985
Sn
Затвердевание 505,078
231,928
Zn
Затвердевание 692,677
419,527
Al
Затвердевание 933,473
660,323
Ag
Затвердевание 1234,93
961,78
Здесь Ps (T ) означает давление паров, т.т. – тройную точку, г.т. – газовый
термометр. Как видно, со временем некоторые точки слегка смещаются (см. Ag).
Ниже 0,65 К могут применяться приборы, основанные на магнитных свойствах
веществ, а выше 1234,93 К хорошо работают пирометры теплового излучения.
Молекулярная теория придает температуре точный смысл, но выражает ее через
плохо наблюдаемую величину. Поэтому способы измерения температуры
остаются косвенными. Через некоторое время мы обсудим абсолютную
термодинамическую шкалу, использующую энергетический смысл температуры.
Оценим характерную, или тепловую, скорость молекул v 2 = vT = 3kT /m.
Масса молекулы кислорода 32/NA = 5,3 · 10−23 г. Получаем vT ≈ 5 · 104 см/с, или
500 м/с, при «комнатной» T = 300 К. Молекула водорода имеет скорость в 4 раза
больше – 2 км/с, а микроб (или крупинка размером в 1 микрон = 10−4 см с
плотностью воды и массой 10−12 г) будет двигаться со скоростью порядка 0,3
см/с. Мы тоже подвержены тепловому движению с еще меньшими скоростями.
15
Интересно еще число ударов молекул о стенку. На 1 см2 в 1 с приходится
порядка P/(2mvT ) ∼ 106 /(2 · 5,3 · 10−23 · 5 · 104) ≈ 2 · 1023 ударов в секунду.
Плотность для воздуха n = P/kT ∼ 2,7 · 1019 1/см3 .
Мы предполагали упругое, или «зеркальное» отражение молекул от стенок. На
самом деле это не так: молекула сначала обычно прилипает к стенке. Просидев на
ней малое, но для ее масштабов долгое время, она отскакивает в случайном
направлении и с другой скоростью. Но это не влияет на вывод, если молекулы
отскакивают так, что не нарушается равновесие. Разумеется, можно сделать
такую стенку, что молекулы просто не будут отскакивать. Например, на
поверхности, охлаждаемой жидким гелием, вымерзают все газы, кроме гелия. Но
при равенстве температур стенки и газа случаи, когда молекула отскакивает с
меньшей скоростью, чем положено, компенсируются обратными процессами.
Надо помнить, что стенка тоже состоит из движущихся молекул. Из уравнения
состояния (2.3) следуют известные газовые законы: P V = const при T = const
(Бойля–Мариотта), P/T = const при V = const (Шарля), V /T = const при P = const
(Гей-Люссака). Исторически эти законы установлены раньше уравнения
состояния, а последнее было из них скомбинировано.
Наконец, обсудим применимость модели идеального газа. В жидком и твердом
состоянии все вещества плохо сжимаемы. Можно полагать, что молекулы при
этом практически соприкасаются. В 1 см3 жидкой воды имеется n = 6 · 1023 /18 =
3 · 1022 молекул. Если разместить молекулы в центрах кубиков, то на каждую
придется объем 1/n, а сторона кубика будет n−1/3 ≈ 3 · 10−8 см. Действительно,
характерные размеры атомов и простых молекул порядка 10−8 см, или 1 A
˚(ангстрем).
Воздух примерно в 103 раз менее плотен, чем вода (n ≈ 3 · 1019 ) и,
следовательно, расстояния между молекулами примерно в 10 раз больше их
размеров. Неожиданная в этих условиях точность модели идеального газа,
которая заведомо лучше 10%, связана с быстрым убыванием взаимодействия
молекул при удалении. Позднее мы оценим степень неидеальности более
определенно.
Наш «вывод» уравнения состояния, кроме алгебраических преобразований,
содержал еще более важную часть – отнесение измеряемых макроскопических
параметров с микроскопическими. Приведенные рассуждения, конечно, нельзя
считать строгим доказательством правильности отнесения и вообще
молекулярной модели. Какой-нибудь скептик мог бы сказать, что сходство
теоретических и эмпирических уравнений случайно, а давление газа
обеспечивается совсем другими причинами. Подтвердить правильность теории
может только согласие со всей практикой.
Допустим, вы изобрели газ не из малых, почти невзаимодействующих молекул,
а из соприкасающихся «мягких» частиц. Давление можно связать с упругостью
этих «деталей». Но тогда трудно будет объяснить, каким образом из двух литров
водорода и одного литра кислорода при 100 ◦ C и 1 атм получается два литра
водяного пара при тех же условиях, а при охлаждении до комнатной температуры
всего-то выходит капля воды в 1,16 см3 . Или кто-то додумался, что газ состоит
вообще не из материальных частиц, а из более тонких сущностей вроде лучей
16
света, вывел уравнения фотонного газа (см. ниже п. 2.4) и решился объяснить все
свойства газов действием не молекул, а одних только фотонов. Очень скоро он
наткнулся бы на противоречия. Уже давно надежно установлено, что
молекулярная теория работает и имеет под собой реальную почву. Сейчас атомы
можно наблюдать прямо под микроскопом.
Внутренняя энергия газа. Теплоемкость при постоянном объеме.
Степени свободы
Средняя кинетическая энергия идеального газа mvT /2 = 3kT /2 на одну
молекулу, на N будет E = 3NkT /2. Непосредственно энергия измеряется плохо,
так как трудно задать нулевой уровень. Легче измерить изменения энергии, с
которыми мы имеем дело на практике. Теплоемкостью при постоянном объеме
называется отношение
CV = ∆E / ∆T ,
показывающее сколько надо добавить энергии для нагрева тела на 1 К. По нашей
Теории получается CV = 3Nk/2. Размерность теплоемкости эрг/К. Удельной
теплоемкостью cV называется теплоемкость единицы вещества. Если взять за
единицу одну молекулу, следует ожидать cV = 3k/2 эрг/К – это довольно малая
величина. Для одного моля (N = NA ) получается cV = 3R/2 эрг/(моль·К); для
грамма 3R/2µ эрг/(г·К). Характерный масштаб – теплоемкость жидкой воды,
равная 4,1868 Дж/(г·К) ≡ 1 кал/(г·К). Кроме грамма, вода дает эталон для энергии
и для теплоемкости. Сейчас в школе калорию пытаются искоренить, но мы не
следуем этой моде. У большинства веществ удельная теплоемкость на единицу
массы меньше, чем у воды. Не всегда было ясно, что тепло – это энергия. Сам
факт и переводной коэффициент тепловой энергии – калории в механическую
установлен Джоулем в опытах с переводом работы в тепло. Это было не так
просто во времена, когда единицей энергии была (лошадиная сила × час), причем
лошадиная сила понималась еще буквально. Удобно использовать молярные
теплоемкости, как величины разумного порядка и заданные для фиксированного
числа молекул (все вещества будут в равных условиях). Еще полезно перевести
газовую постоянную в калории, R = 8,3144 Дж/(моль·К)/4,1868 Дж/кал = 1,986
кал/(моль·К). Это почти 2, и теплоемкость идеального газа в таких единицах
должна быть около 3 – целого числа. На практике выходит не совсем так. В
таблице показаны теплоемкости различных газов при разных температурах.
Ar,He,Kr H2 N2 O2 CO2 SO2 H2 O
◦
0C
2,98 4,87 4,97 5,02 6,62 7,32 5,99
300 ◦ C 2,98 5,02 5,17 5,62 9,24 9,54 6,57
1000 ◦ C 2,98 5,50 6,15 6,60 11,61 11,26 8,59
Только для одноатомных газов наши предположения хорошо согласуются с
экспериментом. Действительно, теплоемкость не зависит от температуры,
молекулярного веса и примерно равна 3. У двухатомных газов при нормальных
условиях ближе к 5 и притом растет в температурой и с массой молекулы. У более
сложных молекул вообще какая-то дробная и большая.
Можно истолковать среднюю энергию молекулы газа 3kT /2 как происходящую
от трех независимых движений, то есть скоростей vx , vy , vz . Говорят, что
17
молекула имеет три поступательных степени свободы. На каждую степень
свободы приходится средняя энергия kT /2. Вообще число механических степеней
свободы – это число независимых координат, которые нужно задать для
определения состояния тела. Для одного атома это три декартовых координаты. В
п. 2.1 мы показали, что поступательная энергия не зависит от рода газа вообще,
хоть бы даже молекулы имели вид велосипедов. Для двухатомных и более
сложных молекул имеются еще вращательные и колебательные степени свободы.
Как правило, столкновения молекул нецентральные, и если молекулы вначале и
не вращались, вскоре они завертятся. Точно так же от ударов возникнут и
колебания атомов относительно общего центра масс. Это значит, что кроме
поступательного движения, всякий не одноатомный газ имеет дополнительную
энергию. Отсюда и появляется дополнительная теплоемкость у сложных молекул.
Естественно полагать, что в равновесии средние вращательные и колебательные
энергии будут того же порядка, как поступательные. При сильном превышении
энергии в каком-то виде движения она после пары столкновений перейдет к
другим видам. Более точное утверждение, которое мы докажем позднее3 –
теорема о равнораспределении:
В равновесии любой вид энергии молекулы в среднем дает вклад kT /2 в полную
энергию, если а)выполняется классическая механика; б) энергия этого вида
квадратично зависит от координат либо скоростей.
Если теорема выполняется, то в таблице теплоемкостей благодаря удачным
единицам мы просто должны иметь число степеней свободы. Вначале рассмотрим
двухатомную молекулу. Центр масс может двигаться в любом из трех
направлений, что дает три поступательных степени свободы, энергия mvi 2 /2 =
3kT /2.
Кроме того, молекула может вращаться вокруг центра масс. Вообще,
тело имеет три оси вращения, что дает три степени свободы. Но для двухатомной
молекулы нет смысла говорить о вращении вокруг продольной оси. Молекула
имеет практически точечные ядра, в которых сосредоточена почти вся масса, а
электроны, определяющие размер молекулы, имеют пренебрежимую массу.
Поэтому при повороте молекулы вокруг продольной оси вроде как ничего не
происходит, и такой степени свободы все равно что нет (более аккуратно мы
разберем это ниже). Остаются две вращательных степени свободы вокруг двух
осей, перпендикулярных продольной. Координатами будут углы поворота ϕ
вокруг этих осей. Вращательная энергия 2 · I ϕ2 /2 = 2 · kT /2.
Мы уже насчитали 5 степеней свободы. Две материальные точки – ядра атомов
–имеют вместе 6 степеней свободы. Мы сейчас просто разделяем их по другому
принципу. Остается, следовательно, одна колебательная степень свободы. Но при
колебаниях 3. Обе они квадратичные и поэтому дают одинаковые вклады,
поэтому колебательная энергия будет 2·kT /2. В механическом смысле
колебательная степень одна, но в термодинамике говорят о двух колебательных
степенях свободы, подразумевая два вида энергии, или учитывают колебательную
степень дважды, чтобы на каждую степень приходилось ровно kT /2).
Следовательно, в рамках применимости нашей теоремы энергия двухатомного
газа должна быть 7kT /2, а теплоемкость cV = cпост + cвр + cкол = 3Nk/2 + 2Nk/2
18
+ 2Nk/2, или 7 кал/(моль·К) – единиц таблицы. Опять получается несогласие, хотя
и не такое резкое; на этот раз теплоемкость преувеличена. Значит, не совсем
можно полагаться на теорему о равнораспределении.
Вымораживание степеней свободы
Нарушаться теорема может при невыполнении условий а) или б). Условие б)
может нарушаться, если колебания молекулы не гармонические. Если
потенциальная яма не параболическая, а прямоугольная, то средняя
потенциальная энергия просто равна нулю, и вклад kT /2 просто выпадет. Но
эксперимент не согласуется с таким предположением, да и трудно представить
себе молекулу с такими свойствами. При малых смещениях, каковые нас
интересуют, сила пропорциональна смещению. С повышением температуры и
амплитуды колебаний ангармоничность должна влиять сильнее, мы же видим
приближение к 7 степеням с повышением температуры, особенно для тяжелых
молекул. На самом деле не выполняется условие а). Молекула – это малая
частица, и она ведет себя не как классическая гантель, а как квантовый объект.
Разумеется, не зная квантовой механики, мы можем обсудить вопрос только
качественно. Похоже, что при низкой температуре некоторые степени свободы не
«работают». Об этом явлении говорят, как о вымораживании степеней свободы.
Около 1900 года в физике появилась постоянная Планка: = 1,054 · 10−27 эрг·сек.
Употребляется также h = 2π = 6,626 · 10−27 . Можно сказать, что когда величина,
характеризующая движение и имеющая подходящую размерность, становится
порядка, классическая механика перестает работать. Поскольку мало, мы редко
замечаем такие явления. Парадокс теплоемкости газов – это как раз одно из
первых успешных применений квантовой механики. В случае вращения нужную
размерность имеет момент импульса L (импульс×длину= сила×время×длину =
энергия×время). При L ∼ вращение должно изменять свой характер. Суть
квантовой механики, грубо говоря, в том, что изменения происходят не
непрерывно, а порциями – квантами. Таким квантом момента импульса будет , а
характерной величиной вращательной энергии L2 /(2I) – соответственно 2 /(2I), µ
– приведенная масса молекулы, x – колебательная координата (изменение
расстояния между атомами).
Вращательная энергия может быть нулевой, может быть равна некоторым целым
кратным5/2,но не может равняться 0,27 · 2 /(2I).
Если сравнить с kT , можно оценить температуру, при которой тепловая
энергия станет порядка этого кванта. Получаем «вращательную» температуру Tвр
≈ 50 К. При более низкой температуре теплового движения в среднем не хватает,
чтобы возбудить вращение молекулы. Большинство молекул не будут вращаться
совсем. При более высокой температуре kT(2I), при каждом соударении может
передаваться много квантов, и вращательное движение будет классическим. Вот
тогда вращательная теплоемкость и будет равна R на моль. Подобные же
рассуждения проясняют, почему молекулы не вращаются вокруг продольной оси:
момент инерции при таком вращении настолько мал, что для возбуждения
вращения не хватит никакой достижимой температуры: раньше разрушится
молекула и составляющие ее атомы. Кстати, по той же причине и одноатомные
газы не имеют вращательной теплоемкости. Судя по таблице теплоемкостей, у
19
водорода заметны следы частичного вымораживания вращения при 0 ◦ C. Другие
газы имеют гораздо большие моменты инерции и соответственно малые
вращательные температуры. У них практически всегда вращение полностью
возбуждено, и теплоемкость содержит полностью вклад 2 · Nk/2. Как видно из
данных для Ar, He, Kr, поступательные степени не вымораживаются вообще. В
сумме поступательные и вращательные степени дают 5, и как раз близкую
величину мы наблюдаем в таблице.
Похоже, что колебательные степени дают малый вклад. Для колебаний
величина с размерностью – это E · t или E/ω (вспомним широко известную
формулу E = ω). Частота колебаний молекулы водорода k/m, а характерный
коэффициент упругости найдем из kd2 ∼ D – энергии диссоциации молекулы.
Тогда ω ∼ D/(md2). Энергия диссоциации D ≈ 5 электронвольт (эВ) = 5·1,6·10−12
эрг, а ω ≈ 3·1014 1/с. Энергия ω ≈ 3 · 10−13 эрг – примерно на порядок больше
характерной вращательной. Характерная колебательная температура Tкол будет
порядка 1000 К.
В самом деле, у водорода между 300 и 1000 ◦ C начинается
включение колебаний. У других газов заметно отличается только масса, так что
Tкол ∼ 1/ m, для кислорода – в 4 раза меньше. Действительно, теплоемкость
кислорода с ростом T приближается к классической величине 7. У более сложных
молекул больше и число степеней свободы, например у трехатомной нелинейной
H2 O (3пост + 3вр + 2·3кол ) = 12. Чем тяжелее молекула и чем выше
температура, тем большая доля этих степеней работает. Число колебательных
степеней – это разность 3N − (3пост + 3вр ), умноженная на 2 для учета
кинетической и потенциальной энергии; здесь N = 3 – число атомов в молекуле. У
линейной молекулы вращательных степеней 2. Поэтому при низкой температуре
теплоемкость линейной молекулы CO2 меньше, чем нелинейной SO2 . Зато у нее
больше колебательных степеней: 3N − (3пост + 2вр ), и при высокой температуре
все наоборот. Практически колебательные степени не успевают полностью
возбудиться, так как при высоких температурах происходит диссоциация
молекулы.
Фотонный газ
Уравнение состояния идеального газа молекул для других сред может и не
выполняться. Для примера рассмотрим тоже идеальный фотонный газ. Фотоны –
это световые кванты, которые уж точно не взаимодействуют. Но свойства у них
другие, и это влияет на уравнение состояния. Скорость фотонов в направлении x
обозначим cx , чтобы подчеркнуть, что скорость c по величине задана (скорость
света, 3 · 1010 см/с). Импульс по оси x: p = p · cx /c. Фотон, отскочив от стенки,
передает импульс ∆px = 2px . За время ∆t к участку стенки площадью ∆S подлетит
n∆Scx ∆t/2 фотонов, как было и с молекулами. Полный переданный импульс
будет 2p(cx /c)·n∆Sc∆t/2, сила равна pn∆Sc2 /c, а давление P = pnc2 /c.
При усреднении по всем направлениям P = cpn/3, так как все координаты
равноправны, c2 = c2 = c2 = c2 /3. По существу такая же формула была у газа
молекул: P = vpn/3.
Остается усреднить по импульсам. Фотон не имеет массы, и у него зависимость
энергии e от импульса, хотя на вид странная, но даже более простая: e = cp,
откуда P = nε/3, где ε = e – средняя энергия фотонов. У молекул было 2nε/3. К
20
сожалению, манометры не показывают давления фотонного газа. Скорее, его
измерение представляет проблему (опыты Лебедева, 1900). Даже на ярком солнце
мы не замечаем давления лучей, хотя хорошо чувствуем поток энергии. Как раз
этот поток – легко измеряемая величина. Попробуем его выразить через энергию.
Количество фотонов, попадающих на площадку ∆S, равно n∆Scx ∆t/2, каждый
приносит энергию ε. Поток энергии, то есть энергия, приходящая на единицу
площади в секунду, q = (ncε/2) · cx /c .
Напомним, что усреднение по направлениям производится среди фотонов с
положительными cx (летящих к стенке), так что cx /c > 0. Ясно, что cx /c < 1. Этот
коэффициент в то же время больше 1/3 = (cx /c)2 , так как при возведении в
квадрат число, меньшее 1, уменьшается. Аккуратное вычисление6 дает cx /c = 1/2.
Тогда q = ncε/4. Это та самая величина, которую мы ощущаем как тепло от
горячей печки. Собственно, точный коэффициент 1/4 не так важен: энергия nε на
см3 летит на стенку со скоростью порядка c. Входит то же произведение nε, что и
в давление. Оказывается, поток энергии
q = σT 4 , что мы
можем рассматривать как экспериментальный факт. Постоянная СтефанаБольцмана σ = 5,67 · 10−5 эрг/(см2 ·K4 ). Оба выражения можно назвать
уравнением состояния фотонного газа. Интересно, что давление не зависит от
объема! Это из-за того, что число фотонов не сохраняется. Фотоны, ударившись в
стенку, поглощаются, а из стенки вылезают новые. Поэтому сжатие
фотонного газа не приводит к росту давления. Фотонов всегда столько, сколько
дают стенки. Энергия одного фотона ε по-прежнему порядка kT , давление
пропорционально плотности энергии nε, откуда плотность фотонов n ∼ T 3 .
Давление делится на большую величину c, почему мы его и не чувствуем, в то
время как поток энергии σT 4 – величина вполне заметная. Например, Солнце
нагревает бак с водой объемом 1 м3 за день примерно на 10 К. Тогда поглощенная
энергия Q = 106 ·10 = 107 кал, мощность 107 /3 · 104 = 300 кал/с, поток энергии
300/104 = 0,03 кал/(см2 ·с) = 106 эрг/(см2 ·с). (Точно 2 кал/(см2 ·мин) = 0,14 · 107
эрг/(см2 ·с)). Давление же световых лучей P ∼ q/c ∼ 10−5 дин/см2 для
«солнечной» температуры 6000 К. Если увеличить температуру в 1000 раз, будет
1 атм.
Тема: Распределение скоростей молекул по Максвеллу.
Молекулы идеального газа совершают беспорядочное тепловое движение.
Ввиду полной беспорядочности движения молекул и огромного их числа нет
возможности судить о скорости каждой молекулы в любой момент времени.
Возможно определить лишь число молекул, скорости которых лежат в
определенном интервале скоростей.
Теоретически задачу о распределении молекул идеального газа по скоростям
поступательного движения решил Максвелл. Он показал, что число молекул,
имеющих малые скорости и большие скорости относительно мало. Оказывается,
что скорости большинства молекул лежат в окрестности некоторой средней
скорости. С помощью теории вероятностей (1859) Максвеллу удалось вывести
формулу для относительной частоты, с которой в газе при данной температуре
встречаются молекулы со скоростями в определенном интервале значений.
21
Если N - общее число молекул газа, dN - число молекул, скорости которых
заключены в интервале от v до v+dv, то закон распределения Максвелла
запишется в виде:
3
По определению плотности
m0 v 2
dN
 m  2 
 4  0  e 2 kT v2 dv
 2kT 
N
вероятности f ( v)  dN , поэтому
N dv
3
здесь
2
mv
 m  2 
f ( v)  4  0  e 2 kT v 2
 2kT 
0
(1)
(2)
– функция распределения. Она указывает долю молекул dN/N, обладающих
скоростями, лежащими в интервале dv около значения скорости v. Из этой
формулы видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (m0) и от
параметров состояния (Т).
График функции распределения приведен на рисунке.
dN
N
vв v v+dv

v
m0 v 2
2 kT
Так как при возрастании v множитель e
уменьшается быстрее, чем растет
2
множитель v , то функция f ( v) , начинаясь от нуля, достигает максимума при vв и
затем асимптотически стремится к нулю. Положение максимума характеризует
наиболее часто встречающуюся скорость, которую называют наиболее вероятной
скоростью vв. Скорости, превышающие vв, встречаются чаще, чем меньшие
скорости. Кривая асимметрична относительно vв. Относительное число молекул,
скорости которых находятся в интервале от v до v+dv, находится как площадь
заштрихованной полоски. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью
абсцисс, равна единице. Это означает, что f(v) удовлетворяет условию
нормировки:

 f (v)dv  1 .
0
Значение наиболее вероятной скорости vв находят, исследуя f(v) на экстремум:
2
2
mv
 m v2  m v
df ( v) d  2 kT 2
e
v  2 v 1 - 0  e 2 kT  0 .

dv
dv
 2 kT 
0
0
Значения v=0 и v= соответствуют минимумам распределения (1), а значение v,
при котором выражение в скобках равно нулю, и есть наиболее вероятная
скорость:
vв=
2 kT

m0
2 RT

.
Из полученной формулы видно, что с повышением температуры газа
максимум кривой распределения смещается в сторону больших скоростей.
Однако площадь, ограниченная кривой остается неизменной, поэтому при
повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет
22
растягиваться и понижаться, то есть наиболее вероятная скорость возрастает, а
доля молекул, обладающих этой скоростью, уменьшается.
Если выразить скорости молекул не в обычных
f(v)
единицах, а в относительных, приняв за единицу скорости
T1
T2>T1
наиболее вероятную скорость молекул, то распределение
Максвелла принимает вид:
T
2
dN
4 u 2

e u du ,
N

2
v
где u=v/vи – относительная скорость молекул.
Средняя скорость молекулы v (средняя арифметическая
определяется из условия:
v=
скорость)

1 
v dN ( v)   v f ( v) dv .

N 0
0
Подставляя сюда f(v) и интегрируя, получаем:
8kT
8 RT

m0

v=
Итак, различают следующие характерные скорости молекул газа:
1) наиболее вероятная скорость vв =
2)
2 RT

средняя арифметическая скорость v =
3) средняя квадратичная скорость vкв=
 1,41
8 RT

3RT

RT

 1,60
 1,73
;
RT

RT

;
.
dN
N
vв v vкв
v
Последовательность расположения указанных выше скоростей представлена
на графике.
Идеальный газ в силовом поле.
Барометрическая формула. Закон распределения Больцмана.
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов
предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому
молекулы равномерно распределены по объему. Если газ находится в силовом
23
поле, то существуют силы, которые сообщают хаотически движущимся
молекулам направленное движение.
Молекулы газа, находящиеся в поле тяготения, участвуют в тепловом
движении и испытывают действие силы тяжести. Тяготение и тепловое движение
приводят к состоянию газа, при котором наблюдается убыль концентрации и
давления газа с возрастанием высоты над землей.
Запишем закон изменения давления с высотой, предполагая, что
h+dh
p-dp
поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех
p
молекул одинакова и равна m0.
Атмосферное давление на некоторую площадку S обусловлено
0
p0
весом столба воздуха над этой площадкой (т.е. действием силы
тяжести). Пусть на высоте h – давление р, а при h=0 p=p0.
Рассмотрим изменение давления элемента “столба” высотой dh, в
пределах которого концентрацию можно считать постоянной. Убыль давления в
dp   nm0 g dh .
пределах dh:
Но p  n k T , или n 
p
, поэтому:
kT
m0 g
dh .
kT
dp
mg
  0 dh ,
p
kT
Произведя разделение переменных:
получим:
Если учесть, что
dp   p
p  p0 e
m0 / k  m0 N A /( kN A )   / R ,
m gh
 0
kT
.
тогда
p  p0 e

gh
æT
.
Зависимость давления атмосферы от высоты над уровнем моря при
постоянной температуре называют барометрической формулой.
m gh
 0
kT
Пользуясь барометрической формулой p  p0 e
, можно получить закон
изменения концентрации с высотой. Приняв во внимание n  p / k T и n0  p 0 / k T ,
где n и n0 – концентрация молекул на высоте h и h0=0 и подставляя р и р0 в
барометрическую формулу, получим закон распределения концентраций по

m0 gh
высоте:
n  n0e kT ,
Полученное распределение Больцмана справедливо для поля тяготения, для
которого U  m0gh – потенциальная энергия на высоте h (на разной высоте
молекула обладает различным запасом потенциальной энергии). Однако оно
справедливо и для идеального газа, находящегося в любом другом потенциальном

U
поле:
n  n0e kT
распределение Больцмана в поле с потенциальной энергией U .
При Т , nn0, то есть происходит выравнивание концентрации газа по
всему объему, занимаемому газом. При Т 0, n 0, то есть все молекулы
опустятся на поверхность Земли (если речь идет об атмосфере).
Тема: Первое начало термодинамики.
Основные термодинамические понятия.
Внутренняя энергия термодинамической системы.
24
Термодинамика изучает количественные закономерности превращения
энергии, обусловленные тепловым движением молекул. Основу термодинамики
составляют
два
фундаментальных
закона,
являющиеся
обобщением
многовекового опыта человеческой деятельности и называемых началами
термодинамики. Первое начало описывает количественную и качественную
стороны процессов превращения энергии; второе начало позволяет судить о
направлении этих процессов.
Рассмотрим некоторые из основных понятий термодинамики.
Термодинамическая система – макроскопическое тело (или группа тел),
которому свойственны процессы, сопровождающиеся переходом теплоты в
другие виды энергии. Примером термодинамической системы может служить газ,
заключенный в цилиндре под поршнем.
Состояние термодинамической системы однозначно определяется тремя
параметрами: давлением, температурой и объемом, которые называются
параметрами состояния.
Равновесное состояние термодинамической системы (или состояние
термодинамического равновесия) – это состояние, при котором параметры
состояния остаются неизменными сколь угодно долго при неизменных внешних
условиях. Равновесное состояние на графике состояний описывается точкой.
Однако случается, что состояние системы не может быть определено каким-то
одним значением параметра, например: неравномерно нагретое тело не может
быть определено одним значением температуры. Состояния системы, которые не
могут быть охарактеризованы одним каким-либо определенным значением
параметра, являются неравновесными. Неравновесное состояние – состояние, при
котором термодинамические параметры в различных точках различны.
Стационарное состояние термодинамической системы – состояние, при
котором параметры состояния системы остаются постоянными во времени и во
всех частях системы.
Термодинамический процесс – изменение состояния системы. Графическое
изображение равновесного процесса называется диаграммой состояний.
Равновесный
процесс
–
процесс,
состоящий
из
непрерывной
последовательности равновесных состояний. Равновесным может быть только
бесконечно медленный обратимый процесс. Процессы, не удовлетворяющие этим
требованиям, – неравновесные. Графически можно изображать только
равновесные процессы – процессы, состоящие из последовательности
равновесных состояний.
Все реальные процессы неравновесны (они протекают с конечной скоростью),
но в ряде случаев неравновесностью реальных процессов можно пренебречь (чем
медленнее процесс протекает, тем он ближе к равновесному). В дальнейшем
рассматриваемые процессы будем считать равновесными.
25
Внутренней энергией термодинамической системы называется совокупность
всех видов энергии, которыми она обладает, за вычетом энергии поступательного
движения ее как целой и потенциальной энергии системы во внешнем поле. Под
внутренней энергией U в термодинамике будем понимать энергию теплового
движения частиц, образующих систему, и потенциальную энергию их взаимного
положения.
Для идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул
считается равной нулю. Поэтому внутренняя энергия одного моля идеального газа
равна:
U  N A 
i
i
kTN A  RT .
2
2
(1)
Из формулы (1) видим, что внутренняя энергия идеального газа
пропорциональна абсолютная температуре.
Внутренняя энергия обладает следующими свойствами:
– в состоянии теплового равновесия частицы системы движутся так, что их
полная энергия все время равна внутренней энергии;
– внутренняя энергия – величина аддитивная, т.е. внутренняя энергия системы
тел равна сумме внутренних энергий образующих систему тел;
– внутренняя анергия системы является однозначной функцией ее состояния,
т.е. каждому состоянию системы присуще только одно значение энергии; это
означает, что изменение внутренней энергии при переходе из одного состояния в
другое не зависит от пути перехода. Величина, изменение которой не зависит от
пути перехода в термодинамике называется функцией состояния: U=U2-U1 не
2
зависит от вида процесса. или  dU  U 2  U1 , где U2 и U1 – значения внутренней
1
энергии в состояниях 1 и 2. Здесь dU – полный дифференциал.
Изменение внутренней энергии системы может произойти, если:
– система получает извне или отдает окружающим телам некоторую энергию
в какой-нибудь форме;
– система совершает работу против действующих на нее внешних сил.
Первое начало термодинамики.
Работа, совершаемая газом при изменениях объема.
Первое начало термодинамики выражает закон сохранения энергии для тех
макроскопических явлений, в которых одним из существенных параметров,
определяющих состояние тел, является температура.
Теплота, сообщенная системе в процессе изменения ее состояния, расходуется
на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы против внешних
сил.
Q=U + А
(1)
Внутренняя энергия может и увеличиваться и уменьшаться при передаче
теплоты системе. Если энергия убывает (U=U2–U1<0), то согласно (2) А>Q, т.е.
26
система совершает работу как за счет получаемой теплоты Q, так и за счет запаса
внутренней энергии, убыль которой равна (U1–U2). В формуле (1) величины Q и А
являются алгебраическими. Q < 0 означает, что система в действительности не
получает теплоту, а отдает.
Из выражения (1) следует, что количество теплоты Q можно измерить в тех же
единицах, что и работу или энергию. В СИ единицей количества теплоты служит
джоуль.
Часто приходится разбивать рассматриваемый процесс на ряд элементарных
процессов, каждый из которых соответствует весьма малому изменению
параметров системы. Запишем уравнение (1) для элементарного процесса в
дифференциальном виде:
dQ=dU+dA,
(2)
где dU — малое изменение внутренней энергии; dQ — элементарное количество
теплоты; dА — элементарная работа.
Между dU и dQ,, dА есть принципиальное отличие. Внутренняя энергия
является функцией состояния тела. Поэтому ее изменение зависит только от
начального и конечного состояний тела. Работа и количество теплоты зависят не
только от этих состояний, но и от способа проведения процесса. Они не являются
функциями состояния, а являются функциями теплового процесса. По отношению
к работе и теплоте не может быть поставлен вопрос: какова теплота системы в
данном состоянии?. Теплота характеризует процесс передачи внутренней энергии
от одной системы к другой в форме тепла, то есть теплота характеризует не запас,
а процесс. Поэтому в уравнении (2) dU представляет собой полный
дифференциал, a dQ и dA не являются полными дифференциалами, а
представляют собой лишь малые величины.
Из уравнений (1) и (2) видно, что если процесс круговой, т.е. в результате него
система возвращается в исходное состояние, то U = 0 и, следовательно, Q=А. В
круговом процессе все тепло, полученное системой, идет на производство
внешней работы.
Если U1=U2 и Q =А, то А = О. Это значит, что невозможен процесс,
единственным результатом которого является, производство работы без каких бы
то ни было изменений в других телах, т.е. невозможен перпетуум мобиле –
вечный двигатель – первого рода.
Рассмотрим процесс расширения газа. Пусть в цилиндрическом
р
сосуде заключен газ, закрытый подвижным поршнем Предположим,
S
что газ расширяется. Он будет перемещать поршень и совершать
Dx
над ним работу. При малом смещении dx газ совершит работу
dA=F•dx, где F –сила, с которой газ действует на поршень, р —
27
давление газа в начале пути dx. Следовательно dQ = pSdx = pdV, где dV — малое
изменение объема газа. Работа, совершаемая при конечных изменениях объема,
должна вычисляться путем интегрирования. Полная работа расширения:
V2
A   pdV
.
V1
На графике (р,V) работа равна площади фигуры, ограниченной двумя
ординатами и функцией p(V).
Предположим, система переходит из одного состояния в другое,
p
I
совершая работу по расширению, но двумя различными путями I и
II
II: p1(V) и p2(V).
V1
V2
V
AI 
V2

p dV ;
I
AII 
V1
V2
 pII dV
V1
AI численно равна площади фигуры, ограниченной кривой I, АII – площади
фигуры, ограниченной кривой II: AI АII. Работа различна, следовательно, работа
не является функцией состояния. Тогда dA следует рассматривать просто как
бесконечно малую работу, а не полный дифференциал. Можно доказать, что и
теплота, ее изменение зависит от пути перехода, а поэтому она не является
функцией состояния. Поэтому под dQ понимаем бесконечно малое количество
теплоты.
Учитывая выражение (4), уравнение первого начала термодинамики можно
записать следующим образом:
dQ=dU+pdV.
Первое начало термодинамики в изопроцессах.
Для равновесных изопроцессов в газах уравнение первого начала
m
термодинамики (dQ = dU + dА) может быть записано в виде:
CdT  dU  pdV .

 Первое начало термодинамики при изохорическом процессе (V=const):
dQ  dU 
m

CV dT , Q  U 
m

CV T
здесь Т=Т2–Т1 – разность температур конечного и начального состояний.
При этом работа не совершается: dA  pdV  0
 Первое начало термодинамики при изобарическом процессе (p=const):
m
m
dQ  CV dT  pdV , Q  U  A  Cp dT .


График изобарического процесса изображается в виде:
p
1
V1
28
2
V2
V
Работа изобарного расширения равна площади фигуры, заштрихованной на
рисунке и имеет значение:
m
A  p (V2  V1 )  R ( T2  T1 ) .

Здесь же можно вывести уравнение Майера и сформулировать физический смысл
универсальной газовой постоянной.
m
m
C p dT  CV dT  pdV .


Для изобарического процесса (с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона):
m
pdV  RdT .

m
Поэтому

Cp dT 
m

CV dT 
m

RdT ,
или
Cp  CV  R
(уравнение Майера)
Универсальная газовая постоянная численно равна работе, которую
необходимо совершить, чтобы нагреть 1 моль вещества на 1 К при постоянном
давлении.
 Первое начало термодинамики при изотермическом процессе (Т=const):
dQ  dA  pdV , – теплота, сообщаемая системе при изотермическом процессе, идет на
работу против внешних сил.
V2
A
V2
m RT
 pdV    V
V1
V1
dV 
m

RT ln
V2 m
p
 RT ln 2
V1 
p1
Итак, работа при изотермическом процессе:
V2
A
m
V2
 pdV   RT ln V .
V1
1
Т.к. изменение внутренней энергии dU=0, то теплоемкость системы равна
бесконечности.
р 1
V1
2
V2
V
Если газ изотермически расширяется (V2>V1), то к нему подводится тепло и он
совершает
положительную
работу,
которая
измеряется
площадью,
заштрихованной на рисунке фигуры. Если же газ изотермически сжимается
(V2<V1), то он совершает отрицательную работу (то есть над ним совершают
работу внешние силы).
Адиабатный процесс.
Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней
средой:
dQ=0,
Q=0
29
Чтобы процесс был адиабатным, необходимо, чтобы система была отделена от
окружающих тел теплонепроницаемой перегородкой, либо процесс должен быть
очень быстро протекающим, причем настолько быстро, чтобы не успел
установиться теплообмен.
Из первого закона термодинамики: dA=-dU, то есть работа при
адиабатическом процессе совершается за счет убыли внутренней энергии.
Для получения уравнений адиабатного процесса рассмотрим один моль газа, для
которого:
dA=pdV, dU=CVdT.  pdV =CVdT
Учтем, что p=RT/V (из уравнения Менделеева-Клапейрона для 1 моля газа), тогда:
dV
R dV
dT
RT
  CV dT , или

V
CV V
Т
Из уравнения Майера: R=Cp – CV,
Cp  CV
R

   1,
CV
CV
dV
dT
(  1)

V
Т
тогда:
где 

Cp
CV
.
Пусть произошел адиабатный процесс из состояния с параметрами (V 1,T1) в
состояние с (V2,T2).
Проведем интегрирование с соответствующими пределами::
T2
V2
dV
dT
(  1)

V
Т
V1
T


V 
ln 2 
 V1 

,
1
 1
 ln
T1
T2
,
 1
TV
 T2V2 1 .
1 1
Итак, для адиабатного процесса уравнение состояния:
TV  1  const
(1)
Из уравнения Менделеева-Клапейрона: T=pV/R.
pV  1
TV  1 
V
= pV   const ; т.е.
R
рV   const
(2)
Из уравнения Менделеева-Клапейрона: V=RT/p.

 RT 
R T 
pV  p    1  const ;
 p
p
T
 const
р  1

(3)
Уравнения (1), (2) и (3) – уравнения адиабатного процесса, названы уравнениями
Пуассона.
Работа адиабатического расширения:
2
A
мы
учли
T2
m
m R
 pdV   dU     C dT     1 (T  T )
V
1
Здесь
2
полученное
R
R
   1, откуда
CV 
.
CV
 1
m R
(T  T ) .
процессе: A 
  1 1 2
1
нами
1
2
T1
из
уравнения
Майера соотношение:
Итак, работа по расширению при адиабатном
При сопоставлении адиабатного и изотермического процессов видно, что
адиабата проходит более круто, чем изотерма: для изотермы – pV=const, для
адиабаты pV   const , а >1, то есть давление при адиабатическом процессе
зависит сильнее. Объяснение этого факта с молекулярно-кинетической точи
30
зрения: давление газа обусловлено ударами молекул о стенки сосуда. При
изотермическом процессе изменяется число ударов
p
молекул в единицу времени на единицу площади, а
1
2
средняя сила ударов не изменяется.
Т=const
При адиабатном процессе изменяется и среднее число
ударов в единицу времени, и средняя сила ударов.
2 Адиаб.
V2
V
V1
Адиабата и изотерма (сравнение).
Поскольку в системе координат (P,V) график адиабаты спадает быстрее (γ>1), чем
изотерма, то адиабата пересекает семейство изотерм, построенных для разных
температур.
Сравнение изотермы и адиабаты:
P
Р адиаб
2
адиабата
Р изотерм
2
P0
изотерма
Р1изотерм
Р1адиаб
V2
V0
V1
V
На рисунке видно, что при адиабатическом расширении от V0 до V1 газ
совершает меньшую работу, чем при изотермическом расширении; при
адиабатическом сжатии газа от V0 до V2 внешние силы совершают большую
работу, чем при изотермическом сжатии.
Политропический процесс
Политропическими процессами называются процессы, происходящие при
постоянной теплоемкости. Следовательно, при этих процессах газ, кроме
уравнения состояния, подчиняется дополнительному условию
С = const,
31
где С – молярная теплоемкость.
Чтобы найти уравнение политропического процесса для идеального газа, надо
подставить в уравнение, выражающее первое начало термодинамики вместо δQ
выражение:
m

 C  dT 
m

 CV  dT  P  dV
или
m

  C  CV   R  dT  R  P  dV .
Из уравнения следует, что d  P V  
Или
V  dP  P  dV 
m

m

 R  dT
 R  dT .
После небольших преобразований получим
C  CV    P  dV  V  dP   R  P  dV
Тогда, с учетом уравнения Майера:
 C  CP  
Введем величину
n
dV
dP
  C  CV  
0.
V
P
C  CP
, называемую показателем политропы.
C  CV
Тогда уравнение политропического процесса может быть записано в виде
PV n  const .
Все рассмотренные выше изопроцессы, так же, как и рассмотренный
адиабатический процесс, являются политропическими.
В таблице представлены значения С для различных политропических процессов.
Процесс
Изобарический
Изотермический
Изохорический
Адиабатический
n
0
1
∞
γ
C
СP
∞
СV
0
Теплоемкость газов. Уравнение Майера.
Теплоемкость идеального двухатомного газа.
Теплоемкостью системы тел (тела) называется физическая величина, равная
отношению количества теплоты dQ, которое нужно затратить для нагревания
системы тел (тела), к изменению температуры dТ, характеризующей это
нагревание:
dQ
.
C
dT
[C]=Дж/К.
Удельной теплоемкостью вещества с называется скалярная величина, равная
отношению теплоемкости однородного тела С к его массе:
32
c
C 1 dQ

m m dT
.
[c]= Дж/(кг.К)
Молярной теплоемкостью называется физическая величина, численно равная
отношению теплоемкости системы С к количеству вещества , содержащегося в
ней:
C  dQ
.
[Cm]=Дж/(моль.К)
Cm  

m dT
Различают молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном
давлении:
1) V=const,
dV=0, dA=pdV=0  CV    dQ    dU ;
m  dT  V
m dT
где CV – теплоемкость при постоянном объеме.
2) р=const: Cp    dQ  .
m  dT  p
Уравнение связывающее теплоемкости при постоянном давлении и
постоянном объеме имеет вид (уравнение Майера):
Cp – CV= R.
Подробно это уравнение, его вывод мы обсудим в следующем параграфе.
Учитывая распределение энергии по степеням свободы и уравнение Майера,
получим распределение теплоемкостей Cp и CV по степеням свободы:
 dU i
i
i2 .
mi
 R,
C  R. C 
R
dU 
RdT ; CV 
m dT
2
2
V
p
2
2
При рассмотрении термодинамических процессов удобно пользоваться
Cp
соотношением:
CV
 
i2
.
i
Величина  определяется числом и характером степеней свободы молекулы.
Молекула
Характер
Число степеней
связи между
поступ
вращат.
атомами
свободы
i
Одно-атомная
–
3
-
3
Двухатомная
жесткая
3
2
5
Трехатомная
жесткая
3
3
6
CV

Cp
3
R
2
5
R
2
5
R
2
1,67
7
R
2
1,40
3R
4R
1,33
Обратимся к двухатомной молекуле. Если связь между атомами жесткая, то
число степеней свободы равна 5 (три поступательных и две вращательных).
Теперь предположим, что связь упругая, то есть атомы могут совершать
колебания друг относительно друга. Тогда требуется еще одна координата для
определения конфигурации молекулы, это расстояние между атомами.
Следовательно, у двухатомной молекулы в общем случае шесть степеней
свободы. Во многих случаях колебательное движение атомов не возбуждается. Но
если колебания совершаются и их амплитуды малы (по сравнению с расстоянием
между атомами), то такие колебания можно считать гармоническими. Атомы в
этом случае являются гармоническими осцилляторами.
33
Но осциллятор обладает как кинетической, так и потенциальной энергией. Для
гармонического осциллятора, как известно из механики, средние значения
кинетической и потенциальной энергии равны между собой. Тогда по закону
равнораспределения на каждую колебательную степень свободы приходится kT/2
в виде кинетической энергии и kT/2 в виде потенциальной энергии. Энергия,
приходящаяся на одну колебательную степень свободы равна не kT/2, а 2. kT/2=
kT. Поэтому при подсчете степеней свободы надо число колебательных степеней
свободы удвоить. Для двухатомного газа
i
7
CV  R  (i•  i‰ ð  2i •) R  R ,
2
2
причем СV не зависит от температуры. Что же наблюдалось на опыте?
Трудности классической теории теплоемкости
Опыт показал (см.приведенный ниже график), что в определенном интервале
температур эта теплоемкость составляет всего (5/2)R, при очень низких
температурах она уменьшалась до (3/2)R, а при высоких становится больше 3R.
Это означает, что при низких температурах молекулы участвуют только в
поступательном движении. По мере повышения Т молекулы начинают совершать
и вращательные движения. И лишь при высоких температурах она совершает все
три вида движения (добавляется колебательное).
Согласно приведенным формулам, теплоемкость идеального газа должна быть
числом кратным R/2 и не зависеть от температуры. Однако эксперимент
показывает, что достаточно хорошее совпадение экспериментальных данных с
теоретическими выводами наблюдается лишь в случае одноатомных газов. Для
многоатомных газов теплоемкость оказывается функцией температуры.
Экспериментальная зависимость Сv от T для двухатомных газов
Из рисунка видно, что теплоемкость двухатомных молекул ступенчато растет с
ростом температуры, как если бы степени свободы молекулы «включались» при
разных температурах. В широком диапазоне температур (от нескольких кельвин
34
5
2
до тысяч кельвин) теплоемкость соответствует уравнению CV  R - молекула
7
2
ведет себя, как молекула с жесткой связью. Значение теплоемкости CV  R для
большинства газов нельзя достичь экспериментально, так как при столь высоких
температурах происходит диссоциация молекул - молекулы распадаются на
атомы.
Объяснить такую температурную зависимость теплоемкости газов можно лишь на
основе квантовых представлений. В соответствии с этими представлениями,
энергия вращательного Eвр и колебательного Eкол движений может принимать
строго определенный, причем дискретный набор значений. Для того, чтобы
молекула начала вращаться, или для того, чтобы возникли колебания ее атомов,
молекуле необходимо сообщить энергию, превышающую, соответственно,
значение Eвр или Eкол . Такая энергия может быть получена молекулой при
столкновении с другой молекулой, если кинетическая энергия последней
достаточно велика. Кинетическая энергия молекулы ~ kT , следовательно, для
возникновения вращения необходимо, чтобы T 
Eвр
 Tвр , для возникновения
k
E
колебаний - T  кол  Tкол . Значения Твращ и Ткол для различных газов
k
приведены в таблице
Газ
О2
СО
N2
Конечно,
Т кол ,К
Т вращ ,К
2300
3050
3400
2,1
2,8
2,9
при любой температуре газа в нем есть молекулы с достаточно
5
2
высокими энергиями. Но для того, чтобы теплоемкость приняла значение CV  R
7
2
или CV  R , во вращательном и колебательном движениях должны участвовать
большинство молекул. Поэтому реальные значения температур, при которых
теплоемкость достигает соответствующих значений, превышают те, что
приведены в таблице.
Таким образом, температурная зависимость теплоемкости газов – это проявление
квантовых законов движения и взаимодействия молекул.
Тема: Второе начало термодинамики.
Обратимые и необратимые процессы.
Из ранее приведенных формул видно, что к.п.д. тепловой машины меньше
единицы. Наилучшей была бы машина, с к.п.д., равным единице. Такая машина
35
могла бы полностью превращать в работу всю полученную от некоторого тела
теплоту, ничего не отдавая холодильнику. Многочисленные опыты показали
невозможность создания подобной машины. К такому выводу впервые пришел
Сади Карно в 1824 г. Изучив условия работы тепловых машин, он доказал, что
для производства работы тепловой машиной нужно не менее двух источников
теплоты с различными температурами. В дальнейшем это детально было изучено
Р.Клаузиусом (1850 г.) и В.Кельвином (1852 г.), которые сформулировали второго
начала термодинамики.
Формулировка Клаузиуса (1850г.): Тепло не может самопроизвольно
переходить от менее нагретого к более нагретому телу без каких-либо изменений
в системе. То есть невозможен процесс, единственным конечным результатом
которого является передача энергии в форме теплоты от менее нагретого тела к
более нагретому.
Из этого определения не вытекает, что тепло не может передаваться от менее
нагретого к более нагретому телу. Тепло передается от менее нагретого к более
нагретому телу в любых холодильных установках, но передача тепла здесь не
является конечным результатом, так как при этом совершается работа.
Формулировка Томсона (Кельвина) (1851г.): Невозможно преобразовать в
работу всю теплоту, взятую от тела с однородной температурой, не производя
никаких других изменений в состоянии системы. То есть невозможен процесс,
единственным конечным результатом которого является превращение всей
теплоты, полученной от некоторого тела, в эквивалентную ей работу.
Здесь не вытекает, что теплота не может быть полностью обращена в работу.
Например, при изотермическом процессе (dU=0) теплота полностью обращается в
работу, но этот результат не является единственным, конечным, так как здесь еще
происходит расширение газа.
Видно, что приведенные формулировки эквивалентны.
Второе начало термодинамики был окончательно сформулирован тогда, когда
окончились неудачей все попытки создать двигатель, который бы обращал в
работу всю полученную им теплоту, не вызывая при этом никаких других
изменений состояния система - вечный двигатель второго рода. Это двигатель,
имеющий к.п.д. 100% Поэтому другая формулировка второго начала
термодинамики: невозможен перпетуум мобиле второго рода, т.е. такой
периодически действующий двигатель, который получал бы тепло от одного
резервуара и превращал эту теплоту полностью в работу.
Второе начало термодинамики позволяет разделить все термодинамические
процессы на обратимые и необратимые. Если в результате какого-либо процесса
система переходит из состояния А в другое состояние В и если возможно вернуть
ее хотя бы одним способом в исходное состояние А и притом так, чтобы во всех
остальных телах не произошло никаких изменений, то этот процесс называется
обратимым. Если же это сделать невозможно, то процесс называется
необратимым. Обратимый процесс можно было бы осуществить в том случае,
если прямое и обратное направления его протекания были бы одинаково
возможны и равноценны.
Обратимыми процессами являются процессы, протекающие с очень малой
скоростью, в идеальном случае бесконечно медленно. В реальных условиях
36
процессы протекают с конечной скоростью, и поэтому их можно считать
обратимыми только с определенной точностью. Наоборот, необратимость
является характерным свойством, вытекающим из самой природы тепловых
процессов. Примером необратимых процессов являются все процессы,
сопровождающиеся трением, процессы теплообмена при конечной разности
температур, процессы растворения и диффузии. Эти все процессы в одном
направлении протекают самопроизвольно, "сами собой", а для совершения
каждого из этих процессов в обратном направлении необходимо, чтобы
параллельно происходил какой-то другой, компенсирующий процесс.
Следовательно, в земных условиях у событий имеется естественный ход,
естественное направление.
Второе начало термодинамики определяет направление протекания
термодинамических процессов и тем самым дает ответ на вопрос, какие процессы
в природе могут протекать самопроизвольно. Оно указывает на необратимость
процесса передачи одной формы энергии – работы в другую – теплоту. Работа –
форма передачи энергии упорядоченного движения тела как целого; теплота –
форма передачи энергии неупорядоченного хаотического движения.
Упорядоченное
движение
может
переходить
в
неупорядоченное
самопроизвольно. Обратный переход возможен лишь при условии совершения
работы внешними силами.
Круговой процесс. Тепловая машина.
Первое начало термодинамики не дает никаких указаний относительно
направления, в котором могут происходить процессы в природе. С точки зрения
первого начала любой мыслимый процесс, не противоречащий закону сохранения
и превращения энергии, может быть реализован в природе. Например, если
имеются два тела, температуры которых различны, то по первому началу
термодинамики не противоречил бы переход теплоты от тела с более низкой
температурой к телу с температурой более высокой. Единственным
ограничением, налагаемым первым началом на этот процесс, является требование,
чтобы количество теплоты, отданной одним телом, было равно количеству
теплоты, полученной вторым.
О направлении процессов, происходящих в действительности, позволяет
судить второе начало термодинамики. Оно совместно с первым началом
позволяет также установить множество точных количественных соотношений
между различными макроскопическими параметрами тел в состоянии
термодинамического
равновесия.
Основоположником
второго
начала
термодинамики считается французский инженер и физик Сади Карно. Он
исследовал условия превращения теплоты в работу.
Чтобы прийти к формулировке второго начала термодинамики, рассмотрим
схематически работу тепловой машины. В процессе работы она совершает
многократный круговой процесс (цикл).
Круговой процесс – это совокупность термодинамических процессов, в
результате которых система возвращается в исходное состояние. На диаграммах
состояния круговые процессы изображаются замкнутыми линиями.
Изменение внутренней энергии равно 0:  dU  0 .
Первое начало для круговых процессов имеет вид:  dQ   dA .
37
Прямым циклом называется круговой процесс, в котором система совершает
положительную работу A   pdV  0 . Замкнутая кривая на диаграмме,
изображающая прямой цикл, описывается по часовой стрелке. Для того, чтобы
система совершала за цикл положительную работу, надо, чтобы расширение
происходило при более высоких давлениях, чем сжатие.
p
Q
Пусть Q1 – количество теплоты, которое система получила при
U
расширении (см. рис); Q2 – система отдала при сжатии; U1–
U
внутренняя энергия при системы в первом состоянии, U2 –
Q
внутренняя энергия системы во втором состоянии.
V
При расширении рабочее вещество получает от нагревателя
теплоту Q1 и совершает положительную работу A1.
Согласно первому началу термодинамики
Q1=U2–U1 + A1.
При сжатии над рабочим веществом совершается работа А2 и при этом оно отдает
холодильнику количество теплоты Q2:
– Q2=U1–U2 – A2
В результате:
Q1– Q2=A1–A2
Таким образом, тепловая машина совершила прямой круговой цикл, в результате
которого нагреватель отдал теплоту Q1, холодильник получил теплоту Q2.
Теплота Q= Q1 – Q2 пошла на выполнение работы А=A1–A2.
В тепловой машине не вся получаемая извне теплота Q1 используется для
совершения полезной работы. Поэтому тепловая машина характеризуется
коэффициентом полезного действия.
1
1
2
2
К.п.д.() — это отношение совершаемой за цикл работы А к получаемой за
цикл теплоте:

A Q1  Q2

Q1
Q1
(1)
Если при круговом процессе газ, расширяясь, совершает меньшую работу, чем
та, которую производят внешние силы при его сжатии, т.е. А1<A2, то такой цикл
носит название обратного. Он может совершаться в том случае, когда расширение
газа происходит при более низкой температуре, чем сжатие. При этом газ отдает
больше теплоты, чем получает при расширении.
Т
Т
Машины, работающие по обратному циклу, носят
Q
Q
название холодильных. В холодильных машинах
Тепловой
А
Холодильная
A
двигатель
машина
процесс переноса теплоты от холодного тела к
Q
Q
более горячему требует затраты работы внешних
T
Т
сил (А2–А1). На диаграмме обратный цикл
изображается замкнутой кривой, проходимой
против часовой стрелки. На рисунке схематически представлены принципы
действия теплового двигателя и холодильной машины.
Цикл Карно.
Анализируя работу тепловых двигателей, Карно пришел к выводу, что
наивыгоднейшим процессом является обратимый круговой процесс, состоящий из
1
1
1
1
2
2
2
2
38
двух изотерм и двух адиабат, так как он характеризуется наибольшим
коэффициентом полезного действия. Такой цикл получил название цикла Карно.
Цикл Карно – прямой круговой процесс, при котором выполненная системой
работа максимальна. Цикл состоит из двух изотермических (12 и 34) и двух
адиабатических расширений и сжатий (23 и 41). Машина, совершающая цикл
Карно, называется идеальной тепловой машиной.
p
(p1V1)
1
Q1
2
(p2V2)
4
Q2
(p4V4)
3
(p3V3)
V
Работа, совершаемая при изотермическом расширении:
A1 
m

RT1 ln
V2
V1
А1=Q1.
;
(1)
При адиабатическом расширении работа совершается за счет убыли внутренней
энергии системы, т.к. Q’=0:
A'   U 
m

CV (T1  T2 ) .
Работа, совершаемая над системой при изотермическом сжатии:
A1 
m

RT2 ln
V3
V4
А2=Q2.
;
(2)
Работа при адиабатическом сжатии:
А’’=–U = m СV(Т2–Т1).

Подсчитаем КПД идеальной тепловой машины.

Q  Q2
Q1
m


V2 m
V
 RT2 ln 3
V1 
V4
V
m
RT1 ln 2

V1
RT1 ln
Запишем уравнения Пуассона для двух адиабатических процессов:
Взяв их отношение, получим:
Выразив в формуле (3)
V3
V4
 1
TV
 T2V4 1 ;
1 1
V2 V3
.

V1 V4
через

V2
V1
 1
TV
 T2V3 1
1 2
и сократив на ln
T1  T2
T
1 2
T1
T1
39
.
V2
, получим:
V1
(3)
Отсюда сформулируем первую теорему Карно: коэффициент полезного
действия обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и
является функцией только абсолютных температур нагревателя и холодильника.
Вторая теорема Карно: любая тепловая машина, работающая при данных
значениях температур нагревателя и холодильника, не может иметь большего
КПД, чем машина, работающая по обратимому циклу Карно при тех же значениях
температур нагревателя и холодильника.

Q1  Q2 T1  T2

T1
Q1
.
Термический КПД произвольного обратимого цикла:
об р 
Т max  Т min
Т max
,
где Тmax и Tmin – экстремальные значения температуры нагревателя и
холодильника, участвующих в осуществлении рассматриваемого цикла.
Энтропия. Приведенная теплота.
Понятие энтропии впервые было введено Р.Клаузиусом в 1862 году. Для
выяснения физического содержания этого понятия рассматривают отношение
теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе , к температуре Т
теплоотдающего тела, называемое приведенным количеством теплоты: Q*= Q .
Для
Q*= 
произвольного
процесса
приведенное
количество
теплоты
T
равно:
dQ
,
T
где dQ – количество теплоты, сообщенное системе на элементарном участке
процесса теплоотдающим телом, температура которого Т.
Строгий теоретический анализ показывает. что приведенное количество
теплоты, сообщаемое системе в любом обратимом круговом процессе, равно
нулю (равенство Клаузиуса):

dQ
 0.
T
(1)
Подынтегральное (1) выражение является полным дифференциалом, то есть
суммарная приведенная теплота не зависит от пути перехода, а зависит лишь от
состояния, следовательно, она является функцией состояния. Функция состояния
S, дифференциал которой:
dS 
dQ
T
(2)
называется энтропией. Здесь dQ –бесконечно малое количество теплоты,
сообщенное системе в элементарном обратимом процессе, Т – абсолютная
температура системы. Интегрируя выражение (2), получим
2

1
dQ
 S 2  S1  S
T
,
где S1 и S2 – значения энтропии в состояниях 1 и 2, S – изменение энтропии в
течение обратимого процесса. Изменение энтропии в любом обратимом процессе,
40
переводящем систему из состояния 1 в состояние 2, равно приведенному
количеству теплоты, переданному системе в этом процессе.
Каждому состоянию тела соответствует одно определенное значение
энтропии. Поэтому энтропия является однозначной функцией состояния.
Физический смысл имеет не сама энтропия, а лишь разность энтропий.
Клаузиусом были получены следующие важные положения, которые
сформулируем без доказательства:
1. Энтропия является аддитивной величиной: энтропия системы из нескольких
тел является суммой энтропий всех тел.
2. Энтропия определяется только с точностью до произвольной постоянной.
3. Если в изолированной системе происходят обратимые процессы, то ее
энтропия остается неизменной: S 2  S1  S  0; S  const .
4. Энтропия изолированной системы при протекании необратимого процесса
возрастает. Энтропия изолированной системы не может уменьшаться ни при
каких процессах.
Математически эти положения можно записать в виде неравенства
S 2  S1  0
называемого неравенством Клаузиуса:
(3)
5. Энтропия системы, находящейся в равновесном состоянии, максимальна.
В природе все реальные процессы являются необратимыми. Поэтому можно
утверждать, что все процессы в конечной изолированной системе ведут к
увеличению энтропии. Это принцип возрастания энтропии. Основываясь на
вышеизложенном, можно так сформулировать второе начало термодинамики: в
изолированных системах возможны лишь такие процессы, при которых энтропия
не убывает. Она постоянна, если процессы обратимы, и возрастает, если процессы
необратимы.
Если система не изолирована, то ее энтропия может вести себя произвольным
образом. Если система отдает тепло (Q<0), то ее энтропия убывает. Если такая
система совершает замкнутый цикл, то энтропия в конце цикла буде равна
исходному значению, то есть ее изменение равно нулю. Однако на разных этапах
энтропия может и убывать, и возрастать, но так, что сумма всех изменений
энтропии равно нулю.
Неравенство Клаузиуса.
Для необратимых процессов в изолированных системах  Q  0 изменение
энтропии за цикл описывается выражением
∆S = 
Q
>0.
T
(4)
Следовательно, энтропия изолированной системы может либо возрастать (в
случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых
процессов) :
S 

Q
0
T
(5)
Неравенство (5) называется неравенством Клаузиуса.
Примечание. Если процесс протекает в изолированной системе (адиабатический
процесс), то Q  0  S  0  S  const .
Поэтому адиабатический процесс часто называют изэнтропическим процессом.
Статистический (вероятностный) смысл энтропии. Формула Больцмана.
41
Неравенство Клаузиуса (5) говорит о том, что энтропия изолированной
системы не может убывать. С другой стороны, если систему предоставить самой
себе, то она будет переходить из состояний менее вероятных в состояния более
вероятные. Попав в наиболее вероятное состояние, система будет пребывать в
нем наиболее долго. Если у нескольких состояний системы вероятность
одинаково максимальная, то система будет переходить из одного максимально
вероятного состояния в другое максимально вероятное состояние и обратно.
Следовательно, энтропия и вероятность ведут себя сходным образом: они либо
возрастают, либо остаются неизменными. Можно предположить, что между
энтропией и вероятностью существует определенная связь. Больцман установил
(«принцип Больцмана»), что энтропия равна
(6)
S  k  ln  ,
где k – постоянная Больцмана, Ω – термодинамическая вероятность состояния
системы – число способов, которыми может быть реализовано данное состояние
макросистемы (число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние,
или статистический вес данного макросостояния).
Термодинамическая вероятность Ω  1, в отличие от математической вероятности,
которая меньше или равна 1.
Рассмотрим систему, состоящую из четырех молекул, находящихся в сосуде.
Мысленно разделим сосуд пополам. Рассмотрим различные состояния,
отличающиеся друг от друга числом молекул в левой и правой частях сосуда.
Если молекул мало (например, четыре), то вероятность того, что все молекулы
соберутся в одной половине сосуда, достаточно велика и равна
2
16

1
8
 0,125 .
При увеличении числа молекул до 10 вероятность того, что все молекулы
соберутся в одной половине сосуда уменьшается до
1
1

 0, 00098  0, 001 .
10 1024
2
В реальных газах в 1 см3 число молекул приближается к 1020. Следовательно,
вероятность того, что все молекулы окажутся в одной половине сосуда, равна
1
 0, 00...006  0 .
1020
70
2
Рассмотрим обратную ситуацию. Пусть газ находится в одной половине сосуда.
Уберем перегородку. Газ распространится на весь сосуд. Возможен ли обратный
процесс (собрать весь газ в одной половине сосуда)? Да! Но вероятность этого
события близка к нулю. Следовательно, необратимый процесс – это процесс,
обратный которому - крайне маловероятен.
Изменение энтропии при некоторых процессах.
По первому закону термодинамики: dQ = dU + dА.
Известно, что для обратимых процессов: dS 
dQ
, поэтому dQ=T dS. Применим
T
эти формулы к идеальному газу: T dS = dU + dА
42
или
T dS 
m
C dT  p dV
 V
.
m RT
.
 V
m
m
dV
T dS  CV dT  RT


V
Из уравнения Менделеева-Клапейрона:
p
.
Произведя разделение переменных, получим:
dS 
m dT m dV
C
 R
 V T  V
..
Изменение энтропии при термодинамических процессах в идеальном газе:
m
T
V 
S  S2  S1   CV ln 2  R ln 2  .

T1
V1 
Уравнение Менделеева-Клапейрона позволяет выразить изменение энтропии
через другие параметры состояния идеального газа:
m
p
V  m
T
p 
S  S2  S1   CV ln 2  Cp ln 2    Cp ln 2  R ln 2  .

V1 
p1

p1 
T1
При переходе идеального газа из состояния 1 в состояние 2 изменение энтропии
не зависит от типа процесса перехода.
m
V
а) Обратимся к изотермическому процессу (Т1=Т2):
S  R ln .
2

Т
Т1
Т2
V1
Первый закон термодинамики:
T dS = dU + dА
dА =T dS - dU=– d(U – T S)= – dF
F= U – T S – третья функция состояния, которая называется свободной
энергией.
Свободная энергия – это та часть энергии, которая при обратимом
изотермическом процессе может быть полностью обращена в тепло (в работу, так
dQ=dA).
б) Для адиабатного процесса: dQ=0, следовательно dS=0, то есть при
адиабатных процессах энтропия не изменяет своего значения.
1
2
Поэтому обратимый адиабатный процесс называют также
изэнтропическим, а адиабату изэнтропией.
4
3
Рассмотрим теперь цикл Карно в переменных не (р, V), а (Т,S).
S
S S
Q12=T1(S2-S1); Q34=T2(S1-S2)=– T2(S2-S1)
Q=(T1– T2)(S2-S1)
Мы получили работу идеальной тепловой машины за цикл.
в) При изохорном процессе (V1=V2) S  S2  S1  m CV ln T2
1
2

T1
г) При изобарном процессе: dQ = dU + pdV
dQ = d(U + pV)=dH,
T dS = dH
H= U + pV – четвертая функция состояния – энтальпия.
Изменение энтальпии равно количеству теплоты, которое сообщают системе или
отводят от нее при постоянном давлении. Н характеризует тепловые эффекты
фазовых переходов, химических реакций и других процессов при постоянном
давлении.
43
Тема: Явления переноса в газах.
Средняя длина свободного пробега, эффективный диаметр молекул.
Равновесное состояние газа в молекулярно-кинетической теории
рассматривается как состояние полной хаотичности движения молекул,
распределение которых по скоростям подчиняется закону Максвелла.
Любое неравновесное состояние газа всегда связано с нарушением полной
хаотичности движения и максвелловского распределения молекул по скоростям.
Основной особенностью неравновесных состояний является стремление газа
самопроизвольно переходить к равновесному состоянию. Это обусловлено
хаотическим тепловым движением молекул с непрерывными столкновениями их
друг с другом, которое и приводит к постоянному перемешиванию молекул,
изменению их скоростей и энергии. Установление в газе максвелловского
распределения молекул по скоростям при переходе его в равновесное состояние
всегда связано с направленным переносом массы, импульса и энергии. Процессы
переноса массы, импульса и энергии в газе называют явлениями переноса.
Молекулярно-кинетическая теория имеет дело с равновесными состояниями и
обратимыми процессами, то есть процессами, при которых система проходит
через последовательность равновесных состояний). Наука, изучающая процессы,
возникающие при нарушениях равновесия, носит название физической кинетики.
Нарушение равновесия сопровождается переносом массы (диффузия),
импульса (внутреннее трение) или энергии (теплопроводность). Эти процессы
называются явлениями переноса. Они возникают самопроизвольно вследствие
теплового движения при отклонении вещества от равновесного состояния и
являются необратимыми.
Явления переноса протекают медленно, несмотря на то, что все они
происходят благодаря быстрому движению молекул. Свободному движению
молекул препятствуют их взаимные столкновения. Молекулы газа, находясь в
тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Под столкновением
молекул подразумевается процесс взаимодействия между молекулами, в
результате которого молекулы изменяют направление своего движения.
Столкновения молекул представляют как раз тот механизм, который приводит
систему в равновесное состояние. В идеальном газе эти столкновения происходят
только между двумя молекулами, а одновременными столкновениями между
тремя и большим числом молекул можно пренебречь.
Расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными
столкновениями, называется длиной свободного пробега молекулы. Так как
молекул в газе чрезвычайно много, то вводят понятие средней длины свободного
пробега молекул. Средней длиной свободного пробега молекул  называется
среднее расстояние, которое молекула проходит без столкновений.
При столкновении молекулы сближаются до некоторого наименьшего
расстояния, которое условно считается суммой радиусов взаимодействующих
молекул. Молекулы в этом случае можно представить как упругие сферы
диаметров d1 и d2.
Столкновение между молекулами может произойти только в том случае, если
их центры сблизятся на расстояние, меньшее и равное диаметру d, или
44
столкновение произойдет только в том случае, если центр молекулы окажется
внутри круга, имеющего площадь:  = d2.
Величина  называется сечением рассеяния, или эффективным
сечением, d - эффективный диаметр. Эффективный диаметр
d
молекулы – минимальное расстояние, на которое сближаются
d
центры двух молекул при столкновении.
Число столкновений, испытываемых молекулой в единицу
времени, может быть различным. Поэтому следует говорить о среднем значении
этой величины.
Средняя длина свободного пробега  и среднее число столкновений в
единицу времени z являются главными характеристиками процесса
столкновений газовых молекул. Эти величины связаны между собой:
 =
v
,
z
где v - средняя арифметическая скорость.
Можно показать, что z = 2d 2 nv .
Для простоты вначале примем, что все молекулы, кроме
рассматриваемой, неподвижны. Молекула испытает соударение с
теми молекулами, которые располагаются от линии перемещения
центра молекулы на расстоянии, меньшем, чем d. За время 1 с
1 2
молекула пройдет по коленчатому цилиндру, объем которого:
d 2 v . Тогда число ударов в единицу времени:  d 2 n v . Тогда 
v
z
= =
1
d 2 n
. Однако, окружающие молекулы также движутся, тогда в формулу для
z должна входить не абсолютная относительно стенок скорость, а относительная
 =
скорость: vотн= 2 v . Следовательно:
1
2 d 2 n
.
(1)
При нормальных условиях для молекул воздуха (азота)
z=9.109 с-1,
10-7 м.
Это очень малое расстояние, однако d <<, и время пребывания молекул под
взаимным воздействием в /d, то есть в 1000 раз меньше времени их свободного
движения. Следовательно. подавляющую часть времени молекулы движутся
свободно.
При постоянной температуре концентрация газа пропорциональна его
давлению (р=nkT) и средняя длина свободного пробега молекул:
 =
kT
2d 2 p
.
(2)
С уменьшением давления длина свободного пробега молекул возрастает в той
же мере, в какой падает давление. (  1/р). При определенном значения
давления она станет равной размерам сосуда.
45
В каждом конкретном случае явления переноса определяются теми отклонениями
от максвелловского распределения молекул по скоростям, которые имеют место в
данном неравновесном состоянии.
Строгие методы расчета явления переноса довольно сложны, поэтому в
дальнейшем можно ограничиться лишь приближенным расчетом этих явлений,
позволяющим
выявить
основные
присущие
им
закономерности.
К явлениям переноса относят внутреннее трение, или вязкость, теплопроводность
и диффузию газов. Вязкость обусловлена переносом импульс, теплопроводность
—
кинетической
энергии
и
диффузия
—
массы
молекул.
Вначале эти три явления исследовались опытным путем. При этом удалось, не
вникая
в
молекулярный
механизм
явлений
переноса,
установить
экспериментальные законы, которым они подчиняются.
Рассмотрим последовательно явления вязкости, теплопроводности и диффузии в
газе.
Вязкость.
Предположим, что поток газа движется параллельно неподвижной плоскости
ХОУ в направлении оси ОХ (рис.1). При ламинарном движении скорость течения
и газа будет меняться от слоя к слою. При этом на границе между двумя
смежными слоями возникает сила внутреннего трения
f 
du
S
dz
(1)
где η -коэффициент внутреннего трения (динамической вязкости или просто
вязкости), Па  с;
du
 grad u -градиент скорости течения газа в направлении оси z.
dz
В текущем газе на хаотическое тепловое движение молекул накладывается
упорядоченное движение газа с различными скоростями. Поэтому импульс
каждой молекулы можно разложить на две составляющие, одна из которых
обусловлена участием молекулы в хаотическом, а другая в упорядоченном
движении. Если температура газа всюду одинакова, то при переходе молекул из
одного слоя в другой составляющая импульса, обусловленная участием в
хаотическом движении в среднем не изменяется. Иначе обстоит дело с другой
составляющей. Выделим в газе на границе двух слоев площадку S, имеющую
координату z. Пролетающие через нее молекулы из слоя с большей скоростью
молекул в слой с меньшей скоростью имеют значительную составляющую
импульса, обусловленную участием молекул в упорядоченном движении газа.
Попав в более медленный слой, они при столкновениях с другими молекулами
этого слоя передадут им избыток своего импульса и тем самым увеличат их
скорость движения.- Наоборот молекулы, попадающие из слоя с меньшей
скоростью движения в слой с большей скоростью, будут увеличивать в нем свой
импульс за счет молекул этого слоя и тем самым начнут тормозить его движение.
Переносимая через площадку составляющая импульса определяется значением
скорости течения газа в том месте, где произошло ее последнее соударение с
другой молекулой. В среднем оно происходит на расстоянии от площадки S,
46
равном средней длине свободного пробега молекул  . Поэтому молекулам,
пролетающим площадку S снизу вверх, нужно приписать значение скорости
течения газа в сечении с координатой (z-  ), а молекулам, пролетающим сверху
вниз, с координатой (z+  ) (рис.1).
z
u
du
 
dz

u
z

S
u
du
 
dz
0
y
x
Рис. 1
Тогда вверх через площадку S из нижнего слоя одной молекулой в среднем
переносится составляющая импульса
du


m u 
  
dz


а обратно - (-mu).Соответственно, из верхнего слоя вниз переносится
составляющая импульса
du


m u 
  ,
dz


а обратно - (ти).
Разность этих величин, равная
2m 
du
  ,
dz
представляет собой изменение импульса слоя, рассчитанное на одну молекулу,
перелетающую из слоя в слой. Чтобы найти полное изменение импульса слоя,
нужно эту величину умножить на число молекул, пролетающих через площадку
за время Δt.
Это число можно упрощенно подсчитать следующим образом. Рассмотрим
прямой параллелепипед с основанием S и высотой, равной средней скорости v
теплового движения молекул. Из всех находящихся в нем молекул за единицу
времени пролетят через площадку S только те, скорость которых направлена к
площадке S. Поскольку все направления движения молекул равновероятны, то
можно считать, что в вертикальном направлении движется (1/З) всех молекул, из
них половина движется сверху вниз и половина - снизу вверх. Если плотность
газа всюду одинакова и в единице объема газа содержится п молекул, то число их
в объеме параллелепипеда равно (n·S) Следовательно, через площадку S в
единицу времени пролетит
1
n  v  S молекул, а
6
47
за время Δt число молекул,
пролетающих через площадку S, будет равно
1
n  v  S  t . Таким образом, полное
6
изменение импульса равно
dp= 2m  n
du
1
    v  S  dt
dz
6
(2)
Так как изменение импульса в единицу времени равно силе, то
f 
dp 1
du
 mn  v   S
dt 3
dz
(3)
Уравнение (3) представляет собой закон Ньютона.
Сравнивая полученное уравнение с эмпирической формулой , нетрудно найти, что
вязкость должна быть равна
1
3
1
3
  mn v      v  
(4)
где   m  n - плотность газа.
В векторной форме уравнение закона Ньютона может быть записано следующим
образом:
(5)
jP    grad u ,
где jP - вектор плотности потока импульса. Модуль этого вектора равен
jP 
dp
.
dt  S
Знак « - » показывает, что импульс переносится в направлении
убывания скорости.
Необходимо отметить, что при подсчете числа молекул, пролетающих через
площадку S, фактически были приняты во внимание только те молекулы, которые
движутся по нормали к ней. Действительное число молекул, пролетающих за
единицу времени через площадку S, должно быть не
1
1
n v S , а
n v S . С
6
4
учетом этого для вязкости нетрудно получить более точное значение

1
 v  
2
(6)
Так как плотность ρ газа пропорциональна его давлению P, а средняя длина
свободного пробега  молекул обратно пропорциональна ρ, то произведение
(ρ·  ), а следовательно, и вязкость η не зависят от давления газа. Объясняется
это тем, что при понижении давления уменьшается число молекул в единице
объема газа, а следовательно, и число молекул, участвующих в переносе
импульса между слоями. Одновременно с этим возрастает средняя длина
свободного пробега молекул, а, значит, увеличивается различие в импульсе,
переносимом в противоположных направлениях. Оба эффекта взаимно
компенсируются и в итоге импульс, переносимый молекулами из слоя в слой,
оказывается не зависящим от давления.
Зависимость вязкости от температуры определяется тем, что входящая в
выражение (6) средняя скорость теплового движения молекул пропорциональна
корню квадратному из абсолютной температуры. В действительности, вязкость
газа, как показывает опыт, возрастает несколько быстрее, чем T . Связано это с
48
тем, что при повышении темпёратуры увеличивается не только средняя скорость
V теплового движения молекул, но и уменьшается эффективное поперечное
сечения соударения молекул σ. Поэтому средняя длина свободного пробега
молекул возрастает. Таким образом, при повышении температуры газа вязкость
увеличивается с возрастанием V и  . Это и приводит к тому, что вязкость
возрастает быстрее, чем T .
Теплопроводность.
Если слои газа имеют разную температуру, то в газе возникает перенос тепла от
более нагретого слоя к менее нагретому, т. е. имеет место явление
теплопроводности. Предположим, что температура газа изменяется только в
направлении оси z (рис.2).
z
T 
dT
 
dz

z
Т

S
T
dT
 
dz
0
y
x
Рис. 2
Экспериментально установлено, что в этом случае теплопроводность газа
определяется формулой Фурье
dQ   
dT
 S  dt
dz
(7)
где dQ — количество теплоты, переносимое за время dt через площадку S,
расположенную перпендикулярно оси z;
dT
 gradT - градиент температуры газа;
dz
χ - коэффициент пропорциональности, называемый теплопроводностью. Он
зависит от свойств газа и тех условий, при которых находится газ.
В слое с большой температурой молекулы газа имеют б o льшую среднюю
кинетическую энергию, чем в слое с меньшей температурой. Попадая при
хаотическом движении в этот слой, они при столкновениях с другими молекулами
слоя передают им избыток своей энергии и тем самым увеличивают его
температуру. Наоборот, молекулы, попадающие из слоя с меньшей температурой
в слой с большей температурой, будут увеличивать в нем свою энергию за счет
других молекул слоя и тем самым будут понижать его температуру. Поэтому в
молекулярно-кинетической теории перенос количества теплоты dQ через
площадку S рассматривается, как перенос через эту площадку средней
кинетической энергии хаотического движения молекул.
49
Из тех же соображений, что и при вычислении вязкости газа, молекулам,
пролетающим площадку S снизу вверх, нужно приписать среднюю энергию,
соответствующую температуре  T     , в плоскости  z    , а молекулам,
dz 

dT
dT
летящим сверху вниз, значение энергии, определяемое температурой  T     ,

dz 
в плоскости  z    .
Средняя кинетическая энергия молекулы газа связана с его температурой
соотношением:
3
2
 к   k T .
Поэтому вверх через площадку S из нижнего слоя одной молекулой в среднем
переносится энергия
3
dT 

 k T   
 , а обратно
2
dz 

 3

   k T  .
 2

Соответственно из верхнего более горячего слоя вниз переносится энергия
3
dT 

3

 k T   
 , а обратно   k  T  .
2
dz 

2

Разность этих величин, равная
3k 
dT
  ,
dz
представляет собой среднюю энергию, переносимую одной молекулой,
перелетающей из слоя в слой.
При небольшой разнице в температуре слоев газа можно считать, что
произведение числа n молекул в единице объема газа на среднюю скорость V
молекул для обоих слоев приблизительно одинаково. Тогда, как и при
вычислении вязкости газа, число молекул, пролетающих в одном направлении
через площадку S в единицу времени, равно
1
n v S .
6
Таким образом, количество средней кинетической энергии хаотического
движения молекул, переносимое через площадку S за время dt, т. е. переносимое
тепло равно
dQ  3k 
dT
1
    n  v  S  dt
dz
6
(8)
Уравнение (8) представляет собой закон Фурье.
Сравнивая полученное выражение с эмпирической формулой (4.2.30), нетрудно
найти, что теплопрoводность равна:
1
2
  k n v  
(9)
Это выражение можно преобразовать, введя удельную теплоемкость сV.
3
2
Поскольку ( k  T  n ) есть, очевидно, средняя энергия молекул в единице объема
газа, то количество теплоты, необходимое для нагревания единицы объема газа на
50
3
2
один градус при постоянном объеме, равно ( k  n ). Так как масса единицы объема
газа равна его плотности ρ, то удельная теплоемкость газа
3
1
cV  k  n  ,
2

откуда k  n 
2cV 
3
Подставив это выражение в формулу (9), получим
1
3
    v    cV
(10)
В векторной форме уравнение закона Фурье может быть записано следующим
образом:
(11)
jQ     gradT ,
где jQ - вектор плотности теплового потока. Модуль этого вектора равен
jQ 
dQ
.
dt  S
Знак « - »
показывает, что теплота переносится в направлении
убывания температуры.
Теплопроводность χ не зависит от давления газа по той же самой причине, по
которой не зависит от давления вязкость η. Кроме того, ее зависимость от
температуры такая же, как и у η, т. е. χ возрастает с температурой несколько
быстрее, чем T .
Диффузия.
Когда в смеси газов концентрация какого-либо газа распределена неравномерно,
то возникает перенос этого газа в места с меньшей концентрацией (диффузия).
Если в сосуде находится только один газ, плотность которого в занимаемом им
объеме неодинакова, то происходит диффузия молекул газа в среде того же
самого газа, т. е. самодиффузия.
Предположим, что плотность газа изменяется только в направлении
оси z (рис.3).
z

d
 
dz

z
ρ

S

d
 
dz
0
y
x
Рис. 3
Экспериментально установлено, что в этом случае диффузия газа
определяется формулой
51
dM  D 
d
 S  dt
dz
(12)
где dМ — масса газа, переносимого за время dt через площадку S,
расположенную перпендикулярно оси z;
d
— градиент плотности газа; D dz
коэффициент диффузии. Он зависит не только от природы диффундирующего
газа и условий, при которых находится, но и от природы среды и условий, при
которых находится эта среда.
Рассмотрим наиболее простой случай диффузии — самодиффузию газа и
вычислим коэффициент диффузии, основываясь на кинетической теории газа.
Обозначим через n1, n и n2 — среднее число молекул, содержащихся в единице
объема газа соответственно в сечениях  z    и  z    .
Очевидно,
n1  n 
dn
dn
  , a n2  n   
dz
dz
Как и в предыдущих случаях, можно считать, что в единицу времени
1
1
n1  v  S молекул и обратно n  v  S
6
6
1
молекул. Из верхнего слоя вниз через площадку пролетает n2  v  S молекул и
6
1
обратно n  v  S молекул.
6
через площадку S снизу вверх пролетает
Разность этих величин дает число dN молекул, пролетающих через эту площадку
в единицу времени в направлении от слоя  z    к слою  z    :
dN 
1
1
dn
v  S   n2  n1   v  S   
6
3
dz
Умножая dN на массу m одной молекулы и на время dt, найдем
массу dM газа, переносимого за время dt через площадку S:
dM  m  dN  dt 
Так как
m
1
dn
v  S  m     dt
3
dz
dn d  m  n 

, а m  n   , то
dz
dz
1
d
dM  v 
   S  dt
3
dz
(13)
Уравнение (13) представляет собой закон Фика.
Сравнивая полученное выражение с. эмпирической формулой нетрудно найти,
что коэффициент диффузии должен быть равен
D
1
v   (4.2.35)
3
В векторной форме уравнение закона Фика может быть записано следующим
образом:
jM   D  grad  ,
(14)
где jM - вектор плотности массы. Модуль этого вектора равен jM 
dM
. Знак « dt  S
» показывает, что теплота переносится в направлении убывания плотности.
52
При постоянной температуре, но изменяющемся давлении газа
средняя скорость v теплового движения молекул остается постоянной, а средняя
длина свободного пробега  изменяется обратно
пропорционально давлению Р. Поэтому при постоянной температуре
коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению Р, т.е. D ~ 1/ρ/
Зависимость от температуры у коэффициента диффузии та же, что у
теплопроводности χ:
D~ T /
Таблица 2.
Явление
Переносимая Уравнение
Формула
для
величина
переноса
коэффициента
переноса
d
1
Диффузия
Масса
dM  D 
 S  dt
D v  
Вязкость
Импульс
Теплопроводность Энергия
в
форме тепла
dz
du
dp     S  dt
dz
dT
dQ   
 S  dt
dz
3
1
   v  
3
1
    v    cV
3
Сравнивая выражения для коэффициентов переноса (см. таблицу2), получим
следующие соотношения между ними:
  D
и
  cV 
Все три коэффициента (вязкости, теплопроводности и диффузии)
зависят от средней длины свободного пробега молекул газа. Поэтому из опытов
по диффузии, теплопроводности или вязкости газа можно вычислить  и по
приведенным выше формулам рассчитать эффективное поперечное сечение
соударения молекул σ.
Тема: Реальный газ. Изотермы реального газа.
Уравнения состояния реального газа
Известно, что при изучении тех или иных явлений природы физики на
основе данных опыта и измерений устанавливают количественные соотношения
между величинами, характеризующими изучаемое явление. Такие соотношения
часто имеют приближенный характер и справедливы в определенных пределах
переменных величин. В этом смысле универсальными являются законы
сохранения энергии и импульса (для замкнутых систем).
Изученное ранее уравнение Клапейрона-Менделеева также является
приближенным, и справедливо только при достаточно малых давлениях, когда
газ мы считаем идеальным. При повышении давления наблюдаются отклонения
от записанных ранее газовых законов. Приведенные в таблице данные (для азота)
демонстрируют отклонение поведения реального газа от законов, записанных для
идеального газа.
Р, атм
V  10 4 , м 3
pV  10 4 , атм  м 3
53
Р, атм
V  10 4 , м 3
pV  10 4 , атм  м 3
1
100
300
500
224
2,4
0,85
0,625
224
240
255
322
700
900
1000
0,532
0,483
0,460
372
437
461
В таблице приведены полученные на опыте значения объема V одного моля азота
N2 при различных давлениях p и температуре 273 К (00С), а также значения
произведения pV.
Видно, что с увеличением р значения V все больше отличаются от теоретически
вычисленных по уравнению Клапейрона, аналогичное можно сказать о
произведении pV. Произведение pV непрерывно растет с увеличением р, все
более отклоняясь от значения, требуемого уравнением Клапейрона. Указанное
несоответствие данных опыта уравнению состояния идеального газа носит не
только количественный характер, но связан и с важными качественными
изменениями
при достаточно высоких давлениях и соответствующих
температурах.
Известно, что при определенных значениях давления и
температуры газ конденсируется, т.е. переходит в жидкое состояние. Этот
процесс
можно исследовать экспериментально в установке, схематически
представленной на рис.1
Пусть исследуемый газ помещен в сосуд, закрытый подвижным
М
поршнем. Будем поддерживать температуру постоянной, но ниже
характерного для каждого газа значения. Перемещая поршень
вверх, уменьшают объем и увеличивают тем самым давление
газа, которое измеряется манометром М. При этом давление
растет непрерывно, причем сначала обратно пропорционально V,
а потом все медленнее. Затем достигает некоторой предельной
величины и дальше не изменяется, хотя поршень продолжает
подниматься. В это время на стенках сосуда и поверхности поршня появляются
капельки жидкости. Дальнейшее продвижение поршня вверх сопровождается
увеличением
количества жидкости под поршнем и, соответственно,
уменьшением количества газа (пара) над жидкостью, при этом манометр
показывает неизменное давление, которое остается постоянным до тех пор, пока
весь объем между поршнем и стенками сосуда не окажется заполненным
жидкостью. Если продолжить подъем поршня, т.е. сжимать жидкость, то даже
самое незначительное уменьшение объема вещества приводит к значительным
(очень большим) увеличениям давления, т.е. сжимаемость жидкости очень мала.
Вместо поршня часто применяется жидкостный «поршень» - пресс Кальете.
В этом случае под действием внешнего давления
перемещается столбик ртути, над которым находится
исследуемый газ.
Ниже представлена схема описываемого пресса,
выполненная
студентом
Р.Рыспековым
при
подготовке обучающей программы по теме
«Реальный газ».
54
(Далее включается демонстрационная компьютерная модель установки).
Графически описанный процесс изображается изотермой (рис. 2)
p
V
0 V2
V1
рис.2
Начало процесса конденсации происходит при значении объема V1 и
продолжается до значения объема V2, когда газ полностью переходит в жидкое
состояние. После чего происходит уже сжатие жидкости. На участке между V1 и
V2 часть сосуда занята жидкостью, часть – газом, который в этом случае
называется насыщенным паром.
Давление насыщенного пара (упругость насыщенного пара) не зависит от объема
V, зависит лишь от температуры Т.
Примечание: чтобы представить порядок величин, характеризующих
конденсацию, можно привести численные данные, относящиеся к воде (водяному
пару). Так, при 200 С рнас= 17,5 мм.рт.ст. Молярный объем водяного пара,
вычисленный из уравнения состояния идеального газа, Vм= 1,04 м3/моль.
Молярный объем жидкости (воды) равен приблизительно 1,8ּ10-5м3.
Т.е. соотношение
V1
V
 60000 . Даже при 1000С 1  1700
V2
V2
Поэтому представить эту изотерму для воды в реальном масштабе (удобном!)
невозможно.
Можно эти результаты сравнивать, используя понятие «плотность», т.е.
1 
М1
V1
- для пара;
2 
М2
V2
- для воды
Нагляднее картина изменения названных величин представлена в таблице
«Плотность воды и ее насыщенного пара при различных Т и р»:
Т, К
р, 105 Па
273,15
0,006
323,15
0,122
373,15
1,013
423,15
4,750
473,15 15,54
523,15 39,76
573,15 85,88
623,15 165,34
647,25 217,72
 пар, кг/м3
 вода, кг/м3
0,004
0,083
0,6
2,5
8,0
19,9
46,2
113,6
329,0
999,9
988,0
958,0
917,0
863,0
799,0
712,0
575,0
329,0
55
Из таблицы видно, что при Т=647,3К
1  2
(плотность воды и насыщенного
пара равны). Т.е. при этой температуре Т стирается граница между жидкостью и
ее насыщенным паром.
При Т> 647,3К вода ведет себя как обычные газ, т.е. при повышении р ее объем V
уменьшается. Вместо двух агрегатных состояний (жидкого и газообразного),
существующих одновременно, остается только одно – газообразное, хотя при
достаточно высоком давлении плотность такого газа может стать равной
плотности жидкости и превысить ее.
Все изложенное относится не только к воде, но и к любому веществу.
Для каждого вещества существует некоторая температура, при которой исчезает
различие между паром и жидкостью, и выше которой вещество может быть
только однородным при любом сжатии. Эту температуру называют критической
температурой, для разных веществ она различна:
Тк, К
Вода
647,3
Азот
126,0
Кислород 154,3
Не3
3,35 (-269,800С)
Для углекислоты экспериментальное исследование уравнения состояния при
высоких
давлениях
впервые
провел
Эндрьюс. Полученные изотермы приведены
на рис.3
Изотермы соответствуют разным Т. По
мере увеличения Т горизонтальный участок
становится все короче, т.к. удельный объем
жидкости и пара сближаются. Наконец, при
31,40С горизонтальный участок исчезает,
вырождаясь в точку перегиба К, - удельные
объемы
жидкости
и
пара
становятся
равными.
Эту
изотерму,
соответствующую
Тк,
называют
критической изотермой.
При Т < Тк образование жидкости ни при каких р невозможно. Увеличение р
вызывает только увеличение плотности (уменьшение объема).
При Т > Тк изотермы качественно выглядят так же, как изотермы идеального
газа.
Ещё одной иллюстрацией описанного служит график, полученный по данным
опыта изучения зависимости плотности жидкого азота и его насыщенного пара от
температуры Т.
56
Здесь можно видеть, как плотность жидкого азота с повышением Т уменьшается,
а плотность паров растет, пока при Тк=-147,10С обе плотности не достигнут
одинакового значения. Соответствующие объем и давление называют
критическими:  к , Тк, Vк – параметры критического состояния.
Они различные для различных веществ и обычно приведены в таблице (см. при
решении задач!)
Итак, при соответствующем изменении параметров состояния вещество
испытывает фазовый переход (например, газ- жидкость).
Особенности поведения газов при повышенных давлениях и фазовый
переход газ- жидкость не описываются уравнением состояния идеального газа
(уравнением Клапейрона).
Для уточнения уравнения состояния, видимо, надо отказаться от представления о
молекулах как материальных точках, а также от предположения, что отсутствует
взаимодействие между молекулами. Т.е. считать газ реальным.
Такие поправки о конечных размерах молекул, о наличии сил
взаимодействия между ними были предложены в 1873 г. Ван-дер-Ваальсом,
соответствующее уравнение состояния названо его именем.
Предложенное уравнение состояния реального газа, как и другие (их более
200 разных уравнений), тоже приближенные. Еще и потому, что не существует
пока способа точного вычисления сил взаимодействия между молекулами.
Положим, имеется 1 моль газа ( = 1 моль).
В уравнении: pV  RT подразумевается, что V – объем сосуда с газом.
Но не весь объем сосуда находится в распоряжении молекул, т.к. каждая
молекула сама занимает определенную часть объема сосуда, и эта часть объема
недоступна для остальных молекул. Т.е. можно внести поправку и записать :
pV  b  RT
Здесь b – предельный объем, который занял бы газ при бесконечно большом
давлении. Расчеты показывают: величина b  4V0 - учетверенному объему всех N
4
3
молекул газа ( b  4    r 3  N A ), где r-радиус молекулы – «сферы».
« b » учитывает таким образом действие сил отталкивания (молекула «сохраняет
свой размер»).
57
Кроме сил отталкивания между молекулами действуют силы притяжения,
которые приводят к тому, что давление молекул газа на любую площадку (стенки
сосуда) будет при прочих равных условиях меньше, чем в случае идеального газа.
Ведь любая молекула, находящаяся вблизи стенки сосуда, с одной стороны имеет
больше «соседей», чем с другой, и поэтому испытывает результирующую силу со
стороны остальных молекул, направленную внутрь газа. Т.О. давление на стенку
сосуда станет меньше на величину р :
p
RT
 p
V b
или
p  p 
RT
V b
Силы притяжения между молекулами стремятся «сблизить» их между собой. Но
точно так же действует и внешнее давление р.
Давление, которое испытывает пристенный слой со стороны молекул газа, равно
силе, действующей на все молекулы на единице поверхности слоя. Очевидно, эта
сила пропорциональна плотности размещения (концентрации) молекул n. С
другой стороны, число молекул в пристенном слое, испытывающих силу
притяжения, тоже пропорционально n.
Следовательно,
p  n 2 ,
а так как n 
занимаемому молем газа), то
p 
a
Vь2
1
(обратно пропорционально объему,
V
,
здесь Vм – морлярный объем газа, а – коэффициент пропорциональности (зависит
от характера сил притяжения между молекулами).
Поправка
a
- учитывает действие сил притяжения между молекулами.
V ь2
Итак, уравнение можно переписать:
a 

 p  2 Vм b RT
 Vм 
(1)
(1) - уравнение Ван-дер-Ваальса для 1 моля реального газа
Для произвольного количества газа (имея в виду:

2 a 
 p  2 Vм bRT ,
Vм 

иметь вид:
где

m
M
,
Vм 
V

) уравнение будет
m – масса газа, М – молярная масса газа, V – объем,
занимаемый газом; а, b – поправки Ван-дер-Ваальса, приведены в справочных
таблицах (а, Нּм4/моль2; b, м3/моль).
Уравнение Ван-дер-Ваальса можно переписать в виде:
58
pV 3  bp  RT V 2  aV  ab  0
или
 RT  2 a
ab
V 3   b
V  V   0
p 
p
p

Уравнение имеет три корня, т.е. при одном и том же р,Т могут быть три
значения объема, либо три значения плотности.
Для выяснения смысла корней уравнения удобно рассмотреть изотермы
(изотермы Ван-дер-Ваальса), т.е зависимость р(V) при Т=const и сравнить их с
опытными изотермами. Значению
р
p1
0
V
V1
V2
V3
Значению V1 соответствует жидкое состояние, V3 – газообразное. Смысл V2 надо
выяснить.
р
4
2
а
b
c
1
3
V
Участки 3с и а4 изотермы Ван-дер-Ваальса совпадают
(качественно!) с
участками опытной изотермы. При этом 3с – газ, а4 – жидкость.
Состояния, отвечающие участку 1b2 не могут существовать, т.к. с увеличением р
не может V уменьшаться, такие «странные» свойства должны быть, по меньшей
мере, крайне неустойчивыми.
Состояния, соответствующие участкам с2 и а1, могут реализовываться при
особых условиях, хотя они менее устойчивы, чем состояния участка abc.
Состояние вещества, соответствующее кривой с2, газообразное, т.к. с2 является
продолжением ветви изотермы 3с. Но давление газа (пара) в любом из этих
состояний выше рн при той же температуре, что противоестественно. Это
59
своеобразное состояние вещества может наблюдаться при быстром охлаждении
закрытого сосуда, например, с воздухом, содержащим водяные пары. Только
воздух должен быть тщательно очищен от следов пыли, от электрических зарядов
(т.е. любой «грязи»). При этих условиях, несмотря на охлаждение, т.е.
уменьшение упругости насыщенных паров воды, пар длительное время не
конденсируется. Это состояние пересыщенного (переохлажденного)пара. В конце
концов на стенках сосуда все-таки появятся капли воды, т.е. пересыщенный пар
распадается на воду и насыщенный пар при данной более низкой температуре.
Состояния участка а1 практически ещё труднее реализовать из-за их малой
устойчивости. Эти состояния называют перегретой жидкостью (но эта жидкость
в закрытом! сосуде)
Состояния участков с2 и а1. в отличие от нестабильных состояний участка 1b2,
называются метастабильными.
Итак, состояния, отвечающие V2, не наблюдаются в опыте из-за их
нестабильности.
Участок изотермы abc – это состояние пара, находящегося в равновесии с
жидкостью, т.е. двухфазное состояние.
С увеличением Т положение изотерм изменяется (они располагаются выше), при
этом максимумы и минимумы сближаются (по вертикали и по горизонтали).
Наконец, при определенной температуре Т сливаются и вырождаются в точку
перегиба. Т.е. при повышении Т уменьшается различие между тремя корнями
уравнения Ван-дер-Ваальса.
При Т=Тк все три значения V «сливаются». Из уравнения Ван-дер-Ваальса можно
получить значения критических параметров через константы «а» и «b»:
pk 
8a
a
; Vr  3b ; Tr 
.
2
27 Rb
27b
Уравнение Ван-дер-Ваальса является лишь приближенно верным, оно пригодно
лишь для довольно грубых количественных оценок соотношений между
параметрами, определяющими состояние реального вещества. Лучшее совпадение
с опытом достигается в них введением большего числа постоянных. Хотя
физический смысл их не столь ясен, как в уравнении Ван-дер-Ваальса.
Примеры уравнений состояния реального газа:
Уравнение Ван-дер-Ваальса (1873г.):
Уравнение Клаузиуса (1880г.):
a 

 P  2 V b  RT
 V 
a


 P 
V b  RT
2

 T V C  
60
 aT 
 P  2 V b RT
 V 
Уравнение Бертелло (1900г.):



a
RTV ,
Уравнения Дитеричи:
I. P V b  RT  e
уравнение записано в предположении, что распределение молекул описывается
законом распределения Больцмана: n  n0 e



II.  P 


kT
a 
 V b RT ,
5 
V 3
при записи уравнения учитывалась поверхностная плотность молекул в
пристенном слое.
Уравнение Валя (1914г.):
P
RT aF (T ) cФ(T )


,
3
V b V V b V
здесь первое слагаемое определяет термическое давление;
второе – определяется силами притяжения;
третье - определяется силами отталкивания.
В заключение предлагается ознакомиться с демонстрационным экспериментом на
электронных носителях (CD-дисках и программами моделирования реального
газа, подготовленными студентами третьего курса).
Внутренняя энергия реального газа.
В идеальном газе отсутствуют молекулярные взаимодействия, поэтому его
внутренняя энергия, поскольку в нем представляет собой кинетическую энергию
теплового движения молекул, которая зависит от температуры газа, но не зависит
от занимаемого газом объема. В реальных газах нельзя пренебрегать
взаимодействием молекул, и потому внутренняя энергия реального газа находится
суммированием кинетической энергии движения молекул Ек и потенциальной
U т .д .  Ѓ ж  Ѓ т
энергии их взаимодействия Ер:
Выразим Ек и Ер. через макроскопические характеристики системы. Как и для
идеального газа, кинетическая энергия молекул реального газа по определению
пропорциональна его температуре, и для 1 моль
ЕК 
i
RT  СV T
2
Потенциальная энергия молекулярного взаимодействия зависит от взаимного
расположения молекул и потому должна изменяться при изменении объема газа.
Потенциальную энергию взаимодействия можно определить, если учесть, что
элементарная работа сил взаимодействия при Т=соnst равна:
61
dA   pi dV  
a
dV .
V2
Эта работа связана с изменением потенциальной энергии взаимодействия
молекул:
dA   dE P ,
то
потенциальную энергию
есть
dЕ Р 
a
dV
V2
. Поэтому
ЕР  
a
 Е0 .
V
Приняв
при V   равной нулю, получим для внутренней
энергии реального газа следующее выражение:
U Р . Г .  СV T 
a
V
.
В отличие от идеального газа температура реального газа может изменяться
даже в том случае, если его внутренняя энергия остается постоянной, так как она
зависит не только от температуры, но и от объема.
Если исключить обмен энергией между газом и внешней средой, то сумма
присущей молекулам газа кинетической и потенциальной энергией должна
оставаться постоянной. Следовательно, изменение одного из видов энергии
должно компенсироваться противоположным изменением второго вида энергии:
Е Р   Е К .
Рассмотрим явление адиабатического расширения газа в вакуум. Представим
себе сосуд, разделенный на две части перегородкой. В одной части находится газ,
в другой - вакуум. Если убрать перегородку, то газ устремится в пустую часть
сосуда. Так как работа против внешних сил в рассматриваемом случае
отсутствует и, по условию, теплообмена нет, то внутренняя энергия газа до и
после расширения газа должна быть одинаковой:
СV T1 
Изменение температуры:
a
a
 СV T2 
V1
V2
T2  T 
.
а  1
1
  
СV  V2 V1  1
Так как V2>V1, то Т2<T1 (при расширении в пустоту газ Ван-дер-Ваальса
охлаждается).
Тема: Жидкости. Свойства жидкого состояния вещества.
Жидкость занимает по свойствам и строению промежуточное положение
между газами и твердыми кристаллическими веществами. Поэтому обладает
свойствами как газообразных, так и твердых веществ.
В молекулярно-кинетической теории различные агрегатные состояния
вещества связывают с различной степенью упорядоченности молекул. Для
твердых тел наблюдается так называемый дальний порядок в расположении
частиц, т.е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на больших
расстояниях. В жидкостях имеет место так называемый ближний порядок в
расположении частиц, т. е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на
расстояниях, сравнимы с межатомными. При температурах, близких к
температуре кристаллизации, структура жидкости близка к твердому телу. При
высоких температурах, близких к температуре кипения, структура жидкости
соответствует газообразному состоянию – практически все молекулы участвуют в
хаотическом тепловом движении.
Жидкости, подобно твердым телам, обладают определенным объемом,
подобно газам, принимают форму сосуда, в котором они находятся. Молекулы
газа практически не связаны между собой силами межмолекулярного
62
взаимодействия, и в данном случае средняя энергия теплового движения молекул
газа гораздо больше средней потенциальной энергии, обусловленной силами
притяжения между ними, поэтому молекулы газа разлетаются в разные стороны и
газ занимает предоставленный ему объем. В твердых и жидких телах силы
притяжения между молекулами уже существенны и удерживают молекулы на
определенном расстоянии друг от друга. Средней энергии теплового движения
молекул недостаточно для преодоления сил притяжения между молекулами,
поэтому твердые тела и жидкости имеют определенный объем. Давление в
жидкостях с увеличением температуры и уменьшением объема возрастает весьма
резко. Объемное расширение жидкостей гораздо меньше, чем паров и газов, так
как более значительны силы, связывающие молекулы в жидкости; то же
замечание касается теплового расширения.
Теория жидкости до настоящего времени полностью не развита. Разработка
ряда проблем в исследовании сложных свойств жидкости принадлежит Я.И.
Френкелю (1894 – 1952). Тепловое движение в жидкости он объяснял тем, что
каждая молекула в течение некоторого времени колеблется около определенного
положения равновесия, после чего скачком переходит в новое положение,
отстоящее от исходного на расстоянии порядка межатомного. Таким образом,
молекулы жидкости довольно медленно перемещаются по всей массе жидкости. С
повышением температуры жидкости частота колебательного движения резко
увеличивается, возрастает подвижность молекул.
Характерной особенностью жидкости является ее способность иметь свободную
поверхность (не ограниченную твердыми стенками).
Поверхностный слой. Поверхностная энергия. Поверхностное натяжение.
Поверхность жидкости, соприкасающейся с другой средой, например, с ее
собственным паром, с какой-либо другой жидкостью или с твердым телом (в
частности, со стенками сосуда, в котором она содержится), находится в особых
условиях по сравнению с остальной массой жидкости. Возникают эти особые
условия потому, что молекулы пограничного слоя жидкости окружены
молекулами той же жидкости не со всех сторон.
Рассмотрим две молекулы внутри жидкости (см. рис.).
2
r
Пусть r – расстояние, при котором рассматриваемая молекула
взаимодействует с соседней молекулой. Если молекула
1
находится на расстоянии, большем чем r, то взаимодействия
нет. Такой радиус называют радиусом молекулярного
взаимодействия, а сфера этого радиуса – сферой
молекулярного действия. Величина r имеет порядок
нескольких молекулярных диаметров (~10-9м). В сфере
молекулярного действия молекулы в глубине заполнены равномерно.
Для второй, поверхностной, молекулы часть соседей – это частицы второй среды.
В случае, если жидкость граничит со своим собственным паром (насыщенным), то
есть в случае, когда мы имеем дело с одним веществом, сила, испытываемая
молекулами поверхностного слоя, направлена внутрь жидкости. Это объясняется
тем, что плотность молекул в жидкости много больше, чем в насыщенном паре
над жидкостью. Поэтому сила притяжения, испытываемая молекулой
63
поверхностного слоя со стороны жидкости больше, чем со стороны молекул пара.
Действием молекул в выступающей части сферы молекулярного действия (в
поверхностном слое) можно пренебречь. Но тогда будет действовать некоторая
равнодействующая, направленная вглубь жидкости. Таким образом,
результирующие силы всех молекул поверхностного слоя оказывают на жидкость
давление, называемое молекулярным (или внутренним).
Под действием силы, стремящейся втянуть молекулу внутрь жидкости,
происходит непрерывное перемещение одних молекул внутрь и выход других,
более энергичных молекул наружу. Если молекула движется из глубины в
поверхностный слой, то должна совершаться работа (за счет убыли энергии
теплового движения молекул).
Пусть по тем или иным причинам поверхность жидкости увеличивается. Это
значит, что некоторое количество молекул переходит из объема жидкости в
поверхностный слой. Для этого надо затратить внешнюю работу. Если при
постоянной температуре обратимым путем изменить поверхность жидкости на
малую величину dS, то необходимая для этого работа:
dA  dS .
Знак минус указывает на то, что увеличение поверхности сопровождается
отрицательной работой.
Коэффициент  является основной величиной, характеризующей свойства
поверхности жидкости, и называется коэффициентом поверхностного натяжения.
Следовательно, коэффициент поверхностного натяжения измеряется работой,
необходимой для увеличения площади поверхности жидкости при постоянной
температуре на единицу. []=Дж/м2.
Поскольку была совершена работа против сил, то, следовательно, молекула
обладает дополнительной потенциальной энергией. Следовательно, и весь
поверхностный слой обладает дополнительной энергией, которая входит
составной частью во внутреннюю энергию системы. Обозначим ее Us. Поскольку
она обязана своим происхождением наличию поверхности жидкости, то она
должна быть площади поверхности жидкости:
Us=S .
Тогда изменение площади поверхности dS влечет за собой изменение
потенциальной энергии
dUs= dS,
которое сопровождается работой: dA  dU s  dS .
Если изменение поверхности осуществляется изотермически, то, как известно,
необходимая для этого работа равна изменению свободной энергии:
dA   dFs .
(Если изменение поверхности жидкости происходит адиабатно, то ее
температура изменится.) Значит, избыточная потенциальная энергия поверхности
жидкости является свободной энергией поверхности и, следовательно,
  Fs / S ,
то есть коэффициент поверхностного натяжения жидкости можно определить как
свободную энергию единицы площади этой поверхности.
64
Большинство жидкостей при температуре 300К имеет поверхностное
натяжение порядка 10-2-10-1 Н/м. Поверхностное натяжение с повышением
температуры уменьшается, так как увеличиваются средние расстояния между
молекулами жидкости.
Поверхностное натяжение существенным образом зависит от примесей,
имеющихся в жидкостях. Вещества, ослабляющие поверхностное натяжение
жидкости,
называются
поверхностно-активными.
Наиболее
известным
поверхностно-активным веществом отношению к воде является мыло. Оно
сильно уменьшает ее поверхностное натяжение (примерно с 7,3.10 -2 до 4,5.102
Н/м). Поверхностно-активными веществами, понижающими поверхностное
натяжение воды, являются также спирты, эфиры, нефть и др.
Явления на границе жидкости и твердого тела.
Из опыта известно, что капля воды растекается на стекле и принимает форму,
изображенную на рисунке, в то время как ртуть на
а)
б)
той же поверхности превращаете в несколько
сплюснутую каплю
В первом случае говорят, что жидкость


смачивает твердую поверхность, во втором – не
тг>тж
тг<тж
смачивает ее. Смачивание зависит от характера
сил,
действующих
между
молекулами
поверхностных слоев соприкасающихся сред. Для
смачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и
твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, и жидкость
стремится увеличить поверхность соприкосновения с твердым телом. Для
несмачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и
твердого тела меньше, чем между молекулами жидкости, и жидкость стремится
уменьшить поверхность своего соприкосновения с твердым телом.
Когда две среды, твердая и жидкая, находятся в соприкосновении, то
молекулы поверхностных слоев взаимодействуют между собой. В этом случае
сила поверхностного натяжения не только обусловлена свойствами жидкого и
твердого тела, но эти силы оказывают влияние и на взаимодействие жидкого и
твердого тела. Поэтому имеет смысл говорить об относительной силе
взаимодействия F12 и относительном коэффициенте поверхностного натяжения 
12. (на границе элемента контура l : F12  12 l ).
Пусть в соприкосновении находятся три среды: твердая, жидкая и
газообразная:
65
F жг
Газ
F тг
 Fтж
Элемент контура
длиной l
Жидкость
Тв. тело.
Вся система примет конфигурацию, соответствующую минимуму суммарной
энергии (поверхностной, в поле силы тяжести и т.п.). Вдоль контура,
ограничивающего жидкость на твердом
теле, имеет место уравновешивание
трех


сил поверхностных натяжений: Fтг – на границе твердое тело - газ, Fтж – на




границе твердое тело -жидкость, Fгж – на границе газ - жидкость: Fтг  Fтж  Fгж  0 .
Из рисунка следует, что условие равновесия элемента контура длиной
l запишется следующим образом:
(1),
l  тг  l  тж  l  жг cos 
где  ,  и  - коэффициенты поверхностного натяжения на границах: твердое
тело - газ, твердое тело -жидкость и жидкость - газ,  - краевой угол. Краевой угол
- это отсчитываемый внутри жидкости угол между касательными к поверхности
твердого тела и к поверхности жидкости. В соответствии с (1):
тг
тж
жг
cos 
 тг   тж
.
 жг
Для этого выражения должно выполняться условие:
|  тг   тж |
 1.
 жг
Это условие не выполняется в двух случаях:
1)  тг   тж   жг
жидкость неограниченно растекается по поверхности
твердого тела – имеет место полное смачивание. При полном смачивании краевой
угол равен нулю.
2)  тж   жг   тг
поверхность, по которой жидкость граничит с твердым
телом, стягивается в точку, жидкость отделяется от твердой поверхности – имеет
место полное несмачивание. При полном несмачивании краевой угол равен .
При соблюдении условия (2) краевой угол может оказаться острым или
тупым. Если  тг   тж , то cos  0 и краевой угол острый. В этом случае имеет
место частичное смачивание. Если  тг   тж , cos  0 и краевой угол тупой. В этом
случае имеет место частичное несмачивание. (см. рис.26.1б). Смачивание или
несмачивание жидкостью твердого тела приводит к тому, что вблизи стенок
сосуда наблюдается искривление поверхности жидкости. В узкой трубке
(капилляре) или в узком зазоре между двумя стенками искривленной оказывается
вся поверхность. Если жидкость смачивает стенки, поверхность имеет вогнутую
форму, если не смачивает - выпуклую. Такого рода поверхности называют
менисками.
Давление под искривленной поверхностью жидкости. Капиллярность.
Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокращению
приведет к возникновению давления, дополнительного к тому, которое
испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой поверхности
66
это дополнительное давление положительно, в случае вогнутой поверхности отрицательно.
Вычислим добавочное давление р для сферической
поверхности
жидкости.
Рассечем
мысленно
R
сферическую
каплю
жидкости
диаметральной
плоскостью на два полушария. Из-за поверхностного
натяжения оба полушария притягиваются с силой,
равной:
F  l  2R .
Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности S  R 2 и,
следовательно, обусловливает дополнительное давление:
p 
F 2R 2


.
S
R 2
R
Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяется радиусом
сферы R. Чем меньше R, тем больше кривизна поверхности. Для сферической
поверхности кривизна Н=1/R.
Если форма поверхности несферическая, то р выражается через среднюю
кривизну нормального сечения. Нормальным сечением поверхности называется
линия пересечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль в данной
точке. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны:
H
1 1
1
( 
)
2 R1 R2
для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и то
же значение. Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке.
Радиусы R1 и R2 в формуле – алгебраические величины. Если центр кривизны
нормального сечения находится под данной поверхностью, соответствующий
радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью,
радиус кривизны отрицателен. Неплоская поверхность может иметь среднюю
кривизну, равную нулю. Для этого нужно, чтобы радиусы кривизны R1 и R2 были
одинаковы по величине
и противоположны по знаку.
R2<0
R1>0
р 2Н .
Для сферы Н=1/R, поэтому:
Лаплас доказал, что эта формула справедлива для поверхности любой формы,
если под Н понимать среднюю кривизну поверхности в той точке, под которой
определяется дополнительное давление. Подставив сюда выражение для средней
кривизны, получим формулу для добавочного давления под произвольной
поверхностью:
67
р (
1
1
 ).
R1 R2
Это формула Лапласа. Для сферической искривленной поверхности (R1=R2=R) это
выражение переходит в p  2 , для цилиндрической (R1=R, R2=) – избыточное
давление
p 

R
R
. В случае плоской поверхности (R1=R2=) силы поверхностного
натяжения избыточного давления не создают.
Добавочное давление обуславливает изменение уровня жидкости в узких
трубках (капилляр), вследствие чего оно еще называется капиллярным давлением.
Изменение высоты уровня жидкости в узких трубках или зазорах получило
название капиллярности. (Лат. capillus) означает волос. Капилляр – «трубка,
тонкая, как волос»).
R
Если опустить капилляр в смачиваемую жидкость,
r
то под действием лапласовского давления жидкость
в нем поднимается. Между жидкостью в капилляре
 h
и широком сосуде устанавливается разность
h уровней h, при которой капиллярное (добавочное)
давление уравновешивается гидростатическим:

2
 gh .
R
здесь R – радиус мениска. Выразим его через краевой угол  и радиус
капилляра r: R  r / cos .
Тогда высота поднятия жидкости в капилляре:
h
2 cos
gr
.
Смачивающая жидкость (</2, cos >0) поднимается по капилляру, и эта
формула дает положительное значение h, а несмачивающая жидкость (>/2, cos
<0) опускается по капилляру, и формула дает отрицательные значения h. Из
полученного выражения видно, что высота поднятия (опускания) жидкости в
капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жидкость
поднимается достаточно высоко.
Рассмотрим поднятие смачивающей жидкости между двумя пластинами,
разделенными узким зазором d. Если пластины параллельны, то мениск имеет
цилиндрическую форму. Высота капиллярного подъема в этом случае также
определяется из условия равенства лапласовского и гидростатического давлений.
Для цилиндрической поверхности R1=R - радиус цилиндра, R2=, поэтому
избыточное давление за счет искривления поверхности:
капиллярного подъема в этом случае:
p 
h

R

2
d
, тогда высота
2 cos 
.
gd
Капиллярные явления имеют большое значение в природе и технике.
Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия
воды по тончайшим капиллярам. В капилляре переменного сечения капля
смачиваемой жидкости под воздействием разности лапласовских давлений
втягивается в сторону его утончения. Этим объясняется т.н. расклинивающее
68
действие смачивающих жидкостей: жидкости, проникая в микротрещины,
увеличивают их и тем самым понижают прочность твердых тел. На
капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т.д.
Тема: Фазовые превращения.
Равновесие фаз. Фазовые переходы. Диаграмма состояния.
Фазой называется часть системы, однородная по физическим и химическим
свойствам. Одно и то же по химическому составу вещество может находиться в
разных фазах. Если в воде находится лед, то система состоит из трех фаз: льда,
воды и паров воды в воздухе. При определенных условиях (равенство давлений,
температур, химических потенциалов) фазы могут находиться в равновесии друг
с другом. Состояния равновесия двух фаз изобразятся на диаграмме (р,Т) линией
р=f(Т).
Три фазы одного и того же вещества могут находиться в равновесии только
при единственных значениях температуры и давления, которым на диаграмме
(р,Т) соответствует тройная точка. Эта точка лежит на пересечении кривых
равновесия фаз, взятых попарно.
Переход из одной фазы в другую – фазовый переход – всегда связан с
качественными изменениями свойств вещества. Примером фазового перехода
могут служит изменения агрегатного состояния вещества или переходы,
связанные с изменением в составе, строении и свойствах вещества (например,
переход кристаллического вещества из одной модификации в другую).
Различают фазовые переходы двух родов. Фазовый переход I рода (например,
плавление, кристаллизация и т. д.) сопровождается поглощением ищи выделением
теплоты, называемой теплотой фазового перехода. Фазовые переходы I рода
характеризуются постоянством температуры, изменениями энтропии и
объяснение этому можно дать следующим образом. Например, при плавлении
телу можно сообщить некоторое количество теплоты, чтобы вызвать разрушение
кристаллической решетки. Подводимая при плавлении теплота идет не на нагрев
тела, а на разрыв межатомных связей, поэтому плавление протекает при
постоянной температуре. В подобных переходах – из более упорядоченного
кристаллического состояния в менее упорядоченное жидкое состояние — степень
беспорядка увеличивается, то есть, согласно второму началу термодинамики, этот
процесс связан с возрастанием энтропии системы. Если переход происходит в
обратном направлении (кристаллизация), то система теплоту выделяет.
Фазовые переходы, не связанные с поглощением или выделением тепла и
изменением объема, называются фазовыми переходами П рода. Эти переходы
характеризуются постоянством объема и энтропии, но скачкообразным
изменением теплоемкости. Общая трактовка фазовых переходов II рода
предложена академиком Л. Д. Ландау (1908—1968). Согласно этой трактовке,
фазовые переходы II рода связаны изменением симметрии: выше точки перехода
система, как правило, обладает более высокой симметрией, чем ниже точки
перехода. Примерами фазовых переходов II рода являются: переход
ферромагнитных веществ (железа, никеля) при определенном давлении и
температуре в парамагнитное состояние; переход металлов и некоторых сплавов
69
при температуре, близкой к 0 К, в сверхпроводящее состояние,
характеризующееся
скачкообразным
уменьшением
электрического
сопротивления до нуля; превращение обыкновенного жидкого гелия (гелия I) при
Т=2,9К в другую жидкую модификацию (гелий II), обладающую свойствами
сверхтекучести.
Для наглядности изображения фазовых превращений используется диаграмма
состояния. На приведенном ниже рисунке изображена примерная диаграмма
состояний некоторого вещества.
p
a)
А
Т
Ж
б)
p
Кр
Г
Т
Тр
Ж
Кр
Г
Тр
В
ТТр
Т
Т
Линиями АTтр (кривая плавления), ВТтр (кривая сублимации), КТтр (кривая
испарения) поле диаграммы делится на три области, соответствующие условиям
существования твердой, жидкой и газообразной фаз. Точка Ттр – тройная точка.
По фазовой диаграмме легко определить, в каком состоянии находится данное
вещество при заданных условиях (р и Т). Точка К на кривой равновесия жидкой и
газообразной фаз – критическая точка.
Термодинамика дает метод расчета кривой равновесия двух фаз одного и того
же вещества.
Согласно уравнению Клапейрона-Клаузиуса, производная от равновесного
давления по температуре равна:
dp
q

dT (V2 'V1 ' )Т
,
где q – удельная теплота фазового перехода, (V2 'V1 ' ) – изменение удельного
объема вещества при переходе его из первой фазы во вторую, Т– температура
перехода.
Уравнение Клапейрона-Клаузиуса позволяет определить наклоны кривых
равновесия. Поскольку q и Т –положительны, наклон задается знаком (V2 'V1 ' ) .
При испарении жидкостей и сублимации твердых тел объем вещества всегда
возрастает, поэтому
dp
 0;
dT
следовательно, увеличение давления приводит к
повышению температуры плавления
70
7
p
1
8
2 3
5
6
Кр
4
T
Для некоторых же веществ (вода, германий, чугун, висмут и др.) объем
жидкой фазы меньше объема твердой фазы, то есть
dp
0;
dT
следовательно,
увеличение давления сопровождается понижением температуры плавления.
На диаграмме удобно изображать также процессы изменения состояния
вещества. Проследим изобарическое (р=const) нагревание вещества, находящемся
в твердом состоянии 1 (см. рис.). При температуре, соответствующей точке 2,
тело начинает плавиться, при температуре, соответствующей точке 3, –
испаряться. При дальнейшем повышении температуры целиком переходит в
газообразное состояние. Если же вещество находится в твердом состоянии, то при
изобарном нагревании (штриховая прямая 5-6), кристалл превращается в газ
минуя жидкую фазу. Из состояния 7 при изотермическом сжатии вещество
проходит следующие три состояния: газ–жидкость–кристаллическое состояние.
Возможен также непрерывный переход вещества из жидкого состояния в
газообразное и обратно в обход критической точки, без пересечения кривой
испарения (переход 4-8), то есть такой переход, который не сопровождается
фазовыми превращениями. Это возможно благодаря тому, что различие между
газом и жидкостью является чисто количественным (оба эти состояния, например,
являются
изотропными).
Переход
же
кристаллического
состояния
(характеризуется анизотропией) в жидкое или газообразное может быть только
скачкообразным (в результате фазового перехода), поэтому кривые плавления и
сублимации не могут обрываться, как это имеет место для кривой испарения в
критической точке. Кривая плавления уходит в бесконечность, а кривая
сублимации идет в точку, где р=0 и Т=0 К.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ
ЗАНЯТИЙ
Целью проведения практических занятий является помощь в освоении
теоретического материала и приобретение определенных навыков в решении
задач.
При решении задач рекомендуется определенная последовательность.
Приступая к решению задачи необходимо:
- изучить теоретический материал по теме;
- начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только
физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения,
71
которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи,
обязательно сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи.
- условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в
единицах СИ;
- недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц;
- решение задачи сопровождать пояснительным текстом;
- решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности
отдельных членов формулы;
-выполнить числовые расчеты;
- получив числовой ответ, оценить его правдоподобность.
Практические занятия
Тема: Применение основного уравнения МКТ
Цель занятия: закрепление основных понятий кинетической теории идеального
газа. Добиться понимания физического смысла формул, позволяющих определить
характеристики движения молекул, состояния газа в целом.
Повторите теоретический материал по теме занятия и ответьте на следующие
вопросы:
- При каком условии при решении задачи можно считать газ идеальным?
- Какие допущения делаются относительно движения молекул газа при расчете
давления идеального газа?
- Как связаны микропараметры, характеризующие движение молекул, с
макропараметрами, характеризующими состояние газа в целом?
- При движении сосуда с газом относительно некоторой системы отсчета
средняя скорость движения молекул газа относительно этой системы отсчета
будет больше, чем в случае, когда сосуд неподвижен. Не повлечет ли за собой
движение сосуда увеличения температуры газа?
- Если имеется смесь нескольких газов, концентрации каждого из которых
известны, то, как можно рассчитать давление этой смеси?
- Что означают слова: «давление имеет статистический характер»?
- Газ находится в сосуде, температура стенок которого отличается от
температуры самого газа. В каком случае давление газа на стенки сосуда будет
больше: когда температура стенок выше темпе5ратуры газа, или, когда она
будет ниже температуры газа?
Рассмотрите примеры решения задач:
Задача 1. Найдите число атомов N и их концентрацию n в медной монете массой
m =5 г. Оцените размер d атома меди. Плотность меди  =8600 кг/м3.
Решение.
Число атомов меди N найдем по формуле
N
m
N , где  – молярная масса
 А
меди, которую определим по таблице Менделеева ~ относительная атомная
масса. Поскольку в твердых телах атомы плотно примыкают друг к другу, размер
атома d примерно равен расстоянию между атомами, следовательно
d 3
1
.
n
72
Проверим размерность величины d :
m
 кг  моль
 N  кг  моль
NA  
 1 ;  n   A   3
 м 3 ;

 кг  моль
   м  моль
N   
 1 3 3
 м м
n


d    3
Представим размерность исходных данных задачи в системе СИ и проведем
расчет:
m  5г  5 103 кг ,   8600 кг/м3 ,   64 103 кг/моль .
N
5 103  6, 02 1023
8600  6, 02 1023
 4, 7 1022 , n 
 8,11028 м3 ;

3

3
64 10
64 10
d 3
1
8,1 1028
 0,5 1010 м .
Задача 2. Найдите молярную массу газовой смеси, состоящей из одной части (по
массе) водорода и восьми частей кислорода.
Решение.
Обозначим массы водорода и кислорода m1 и m2 , молярные массы соответственно
- 1 и  2 . Молярная масса смеси равна
m1  m2
, где  - количество смеси ( в молях).

m m
Количество смеси равно   1  2 ,
1  2

тогда - с учетом записанного - для молярной массы получим выражение

m1  m2
.
m1 m2

1  2
Учтем, что по условию, m2  8m1 , тогда окончательно получим следующее
выражение для 

91 2
81   2
Проверим размерность молярной массы μ :
 912  кг  кг  моль
=кг/моль .

кг  моль2
 1  2 
   
Представим размерность молярных масс в системе СИ и проведем расчет.
1  2 103 кг/моль , 2  32 103 кг/моль

9  2 103  32 103
 12 103 кг/моль.
3
3
8  2 10  32 10
Рассмотреть решение задач (Сборник задач по курсу общей физики под ред.
М.С.Цедрика вып.1989г.) № № 11-3,13,15
73
Тема: Распределение Максвелла и Больцмана
Цель занятия: уточнение физического смысла распределения Максвелла
применительно к условиям конкретной задачи, физического смысла
распределения молекул в поле силы тяжести. Проанализировать зависимость
распределения концентрации молекул от напряженности силового поля,
температуры, природы газа. Научить определять по графику распределение
вероятностей обладать скоростью в заданном интервале значений.
Повторить теоретический материал по теме занятия и ответьте на следующие
вопросы:
- какова вероятность того, что компоненты V x , V y , V z скорости V молекул газа
находятся соответственно между (V x  V x  dV x ), (V y  V y  dV y ), (V z  V z  dV z ) ?
- какова вероятность события, что модуль скорости лежит между V  V  dV ?
- изобразите график функции распределения молекул F(V) по модулям
скоростей. Как изменится вид этого графика для больших значений
температуры газа? Каков физический смысл площади, ограниченной графиком
функции распределения и осью абсцисс?
- Как распределились бы значения скоростей одной молекулы, если бы их
измерили через равные промежутки времени?
- Как математически записывается функция распределения Максвелла для
скоростей молекул газа?
- Какие характерные скорости молекул газа используются для описания
движения их? Каково соотношение между этими скоростями?
- возможно ли применить метод Больцмана для изучения систем, состоящих из
сильно взаимодействующих частиц?
- Приведите примеры макроскопических систем с аддитивной энергией
- Покажите, что равновесное распределение частиц по энергиям является
предельным случаем любых возможных распределений.
- Из какого соотношения можно сделать вывод о том, что вероятность
положения молекулы не зависит от ее импульса?
- Как можно подтвердить расчетами, что вес столба газа определяется разностью
давлений на дно и крышку сосуда?
- Оцените характеристическую длину распределения молекул кислорода в
однородном поле силы тяжести с напряженностью 9,81 Н/кг при комнатной
температуре
- Каково распределение молекул по скоростям на различных высотах при
постоянной температуре Т?
- Как объяснить явление рассеяния атмосферы планет в космическое
пространство?
Рассмотрите примеры решения задач:
Задача 1. Найдите для кислорода при температуре Т  300К наиболее вероятную,
среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул. Определить относительное
число молекул
N
, скорости которых отличаются от наиболее вероятной не более,
N
чем на 1%.
74
Решение.
Наиболее вероятная скорость ,средняя скорость, средняя квадратичная скорость –
могут быть найдены с использованием ранее приведенных формул
Проведем расчет.
vвер 
2  8,31 300
8  8,31 300
 395 м / с , v 
 445 м / с ,
32 103
 32 103
vср.кв. 
3  8,31 300
 483 м / с .
32 103
Определим теперь относительное число молекул, скорости которых, отличаются
от vвер не более чем на 1%. Поскольку интервал значений скорости:
v  (vвер  0, 01 vвер )  (vвер -0,01  vвер )  0,02  v вер  v вер ,
то искомое число молекул равно
N
 F (vвер )  v 
N
3/2
2
m0 vвер
 m0 
4 1
2
 4vвер  
 exp(
)  0, 02  vвер 
e  0, 02  0, 017

 2kT 
2
kT



Задача 2. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое
давление р=79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h1 полета неизменной.
Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t1 =
=5 °С до t2=1 °С. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик?
Давление P0 у поверхности Земли считайте нормальным.
Решение.
Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой. Барометр может
показывать неизменное давление р при различных температурах Т1и Т2 за бортом
только в том случае, если самолет находится не на высоте h1 (которую летчик
считает неизменной), а на некоторой другой высоте h2.
Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев:
 gh1 
 gh2 
(1)
p  p0  exp  
 ; p  p0  exp  

 RT1 
 RT2 
Найдем отношение p0 p и обе части полученных равенств прологарифмируем:
p
p
gh1
gh2
n 0 
; n 0 
.
(2)
p
RT1
p
RT2
Из полученных соотношений выразим высоты h2 и h1 и найдем их разность:
h  h2  h1 
p 
R
 n  0   T2  T1  .
g
 p
(3)
Подставим в выражение (3) значения физических величин и получим
h = —28,5м.
Знак " " означает, что h2  h1 и, следовательно, самолет снизился на 28,5 м по
сравнению с предполагаемой высотой.
Рассмотреть решение задач (Сборник задач по курсу общей физики под ред.
М.С.Цедрика вып.1989г.) № № 11-50,54,55,58
75
Тема: Первое начало термодинамики
Цель занятия: Выработка навыков и умений применения первого закона
термодинамики к расчету параметров состояния газа, расчета работы, внутренней
энергии, количества теплоты через параметры состояния для различных
изопроцессов. Рассмотреть условия, при которых процесс в газе можно считать
адиабатическим, выработать навыки расчета параметров состояния газа в
адиабатическом процессе. Показать, что известные изопроцессы являются
частными случаями политропного процесса с разными значениями показателя
политропы.
Повторите теоретический материал по теме занятия и ответьте на следующие
вопросы:
- В чем суть первого закона термодинамики? Приведите математическую запись
его.
- Как запишется первый закон термодинамики для изотермического,
изобарического, изохорического процессов?
- Почему в задачах термодинамики предлагается чаще рассматривать процессы,
как протекающие бесконечно медленно, хотя реальные процессы протекают с
конечной скоростью?
- Какая из физических величин, входящих в формулу, выражающую I закон
термодинамики, является функцией состояния, функцией процесса? Что это
означает?
- при каком условии процесс в идеальном газе называют адиабатическим?
- Запишите уравнение адиабатического процесса
- При каком условии реально протекающие процессы можно считать
адиабатическими?
- Как рассчитывается работа при адиабатическом процессе?
- Как записывается первый закон термодинамики
применительно к
адиабатическому процессу?
- Как изменяется температура газа при адиабатическом
сжатии? при
адиабатическом
- расширении?
- Какова теплоемкость газа в адиабатическом процессе?
- Какой процесс (при каком условии) называют политропным?
- Как определяется показатель политропы?
- Каков показатель политропы, если процесс в газе по своим свойствам близок к:
а) адиабатному; б) изотермическому; в) изохорному; г) изобарному?
- При каких значениях показателя политропы расширение двухатомного
идеального газа осуществляется: а) с подводом тепла; б) с отводом тепла?
- Как найти удельную теплоемкость кислорода в политропном процессе?
Рассмотрите примеры решения задач:
Задача 1. Идеальный газ сжимают адиабатически. Получить для этого случая
зависимость от давления средней длины свободного пробега и среднего числа
соударений в единицу времени.
Решение
76
Используем выражение для средней длины свободного пробега:  
1
2   d 2n
и
уравнение состояния идеального газа в виде: p  nkT , тогда получаем:

из уравнения адиабаты:
kT
2   d 2 p
T  const  P

1
1

, где  
Cp
Cv
1
В итоге получается:   const  P  .
1
Аналогично, зная: z 
V

,
где V 
8kT
,
  m0
получим:
z  const  P
1

2
Задача 2 Для газовой смеси, состоящей из кислорода массой m1=1г и гелия
массой m2=8г при температуре t = 27 0 C найдите внутреннюю энергию U.
Решение.
Кислород – двухатомный газ, при температуре t = 27 0 C колебательные степени
свободы не возбуждаются, поэтому число степеней свободы для кислорода i1=5.
Гелий – одноатомный газ, число степеней свободы i2=3. Полная внутренняя
энергия всего количества смеси равна в соответствии с формулой (4.1.37):
U
 m
m 
1
RT   5  1  3  2  .
 
2
2 

1
Проверка размерность внутренней энергии:
1
 m
m2   Дж  К  кг  моль
1


 
U

RT

5


3

 Дж
 
 


моль

К

кг
 2

1
2 
Представим размерность данных задачи в системе СИ и проведем расчет:
m1  1г  103 кг, m2  8 г  8 103 кг, Т  27С  273  300К .
8,31 300 
103
8 103 
  7670Дж  7,67кДж
U
5
 3
3 
 32 103
2
4

10


Задача 3. Кислород занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением P1 =200
кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м 3 , а затем
при постоянном объеме до давления P3 =500 кПа. Постройте график процесса и
найдите: 1) изменение  U внутренней энергии газа; 2) совершенную газом работу
А; 3) количество теплоты Q, переданное газу.
Решение.
Построим график процесса (рис.1). На графике точками 1, 2, 3 обозначены
состояния газа, характеризуемые параметрами  P1,V1, T1  ,  P1,V2 , T2  ,  P3 ,V2 , T3 .
77
3
Рис. 1
Изменение внутренней энергии газа при переходе его из состояния 1 в состояние
3 выражается формулой
 U= сVмол ∙ ΔT,
(1)
мол
где сV — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; m — масса газа;
ΔT — разность температур, соответствующих конечному З и начальному
1 состояниям, т. е. T  T3  T1.
i
R,
2
Так как
сVмол 
То
i m
U    сVмол  T31   R T3  T1  .
2 
(2)
(3)
Температуры T1 и T3 выразим из уравнения Менделеева— Клапейрона:
T1 
PV
PV
1 1
; T3  2 2 .
mR
mR
(4)
С учетом (4.4.2.4) выражение (4.4.2.3) принимает вид:
i
U     PV
3 2  PV
1 1 .
2
(5)
Подставим в (5) значения величин, учитывая,
что для кислорода, как
двухатомного газа, i =5, и, произведя вычисления, получим:
U =3,25 МДж.
Полная работа, совершаемая газом, равна А= A1  A2 , где A1 — работа на участке
1—2; A2 — работа на участке 2—3.
На участке 1—2 давление постоянно (P=const). Работа в этом случае выражается
формулой A1  P1V  P1 V2  V1  .На участке 2—3 объем газа не изменяется и,
следовательно, работа газа на этом участке равна нулю ( A2 =0). Таким образом,
A= A1  P1 V2  V1  .(4.4.2.6)
Подставив в формулу (6) численные значения физических величин и произведя
вычисления, получим:
А=0,4 МДж.
78
Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Q, переданное
газу, будет равно
Q= A  U =3,65 МДж.
Задача 4. В цилиндре под поршнем находится водород массой m =0,02 кг при
температуре Т = З00 К. Водород начал расширяться адиабатически, увеличив свой
объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился
в пять раз. Найдите температуру Т2 в конце адиабатического расширения и
работу А, совершенную газом. Изобразите процесс графически.
Решение.
Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны
между собой соотношением
T2  V1 
 
T1  V2 
1
(1)
где  — показатель адиабаты (для водорода как двухатомного газа  =1,4).
Отсюда получаем выражение для конечной температуры Т2:
V 
T2  T1  1 
 V2 
1
(2)
.
Подставляя численные значения заданных величин в (2), найдём
1,4 1
1
T2  3001  
5
 157 K.
Работа А газа при адиабатическом расширении определяется в соответствии с
известными формулами: A1  U 
m i
 R T1  T2  .
 2
Подставив в (3) численные значения величин, получим
A1 
0, 02 5
  8,31  300  157   29,8 кДж.
2 103 2
Работа А2 газа при изотермическом сжатии выражается формулой
A2  RT2
m
ln V3 V2  . (4.4.3.4)

Произведя вычисления по формуле (4), найдем
А2= - 21 кДж.
79
(3)
Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершена внешними силами.
Общая работа, совершенная газом при рассмотренных выше процессах, равна
A  A1  A2  29,8 + (— 21) = 8,8 кДж.
Решите задачи: (Сборник задач по курсу общей физики под ред. М.С.Цедрика
вып.1989г) №13-2,4,5,23,25,27,31,33
Тема: Второе начало термодинамики
Цель занятия: Научить расчету изменения энтропии в различных процессах в
газе. Отработать навыки расчета КПД тепловых машин, работающих по разным
циклам. Дать сравнительную оценку КПД машин. Закрепление основных понятий
Повторить теоретический материал по теме занятия и ответьте на следующие
вопросы:
- что называют циклическим процессом?
- как рассчитывается работа, совершаемая газом за цикл?
- что называют тепловой машиной?
- как рассчитать кпд тепловой машины?
- из каких процессов составлен цикл карно?
- в чем суть теорем Карно?
- изобразите и объясните принципиальную схему охлаждения воздуха в камере
домашнего холодильника.
- какие циклы тепловых машин вам известны, из каких процессов они
составлены?
- что называют энтропией? Как её рассчитать?
- поясните следующее определение энтропии: «Энтропия есть мера
неупорядоченности системы»
- каковы границы применимости первого и второго законов термодинамики?
-какими значениями свободной энергии
и энтропии характеризуется
термодинамическая система в равновесном состоянии?
- как можно доказать, что абсолютный нуль температуры недостижим?
- как изменяется энтропия в обратимых и необратимых процессах?
- в чем физический смысл неравенства Клаузиуса?
- как связаны энтропия системы и термодинамическая вероятность?
- что называют термодинамической вероятностью? как она определяется?
Рассмотрите примеры решения задач:
Задача 1. Найдите изменение  S энтропии при нагревании воды массой m  100 г
от температуры t1 =0 °С до температуры t2= 100 °С и последующем превращении
воды в пар той же температуры. Удельная теплоемкость воды равна 4200
Дж/(К∙кг). Удельная теплота парообразования для воды равна 2,25∙106 Дж/кг.
Решение.
Найдем отдельно изменение энтропии S  при нагревании воды и изменение
энтропии S  при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится
суммой S  и S  .
Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой
80
Q
.
T
1
2
S  S2  S1  
(1)
При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела
затрачивается количество теплоты δQ=mc•dT, где m - масса тела; с — его
удельная теплоемкость. После подстановки величины δQ в формулу для S ,
получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:
T2
mcdT
.
T
T1
S   
(2)
Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование,
тогда получим
(3)
S   mc  ln T2 T1  .
После подстановки численных значений и вычислений найдем
S  = 132 Дж/К.
При вычислении изменения энтропии во время превращения воды в пар той же
температуры (фазовый переход первого рода есть изотермический процесс)
можно вынести за знак интеграла постоянную температуpу T. Тогда, вычислив
интеграл, найдем
S  
2
1
Q
Q  ,

T1
T
(4)
где Q — количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар
той же температуры.
Подставив в формулу (4) выражение для количества теплоты, необходимое для
фазового перехода I рода (превращение воды в пар),
Q= m ,
(5)
где  — удельная теплота парообразования, получим
S  
m
.
T
(6)
Произведя вычисления по формуле (6), найдем: S   605 Дж/К.
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении
ее в пар равно S  S   S  =737 Дж/К.
Задача 2. Определите изменение S энтропии при изотермическом расширении
кислорода массой m =10 г от объема V1 =25 л до объема V2 = 100 л.
Решение.
Так как процесс изотермический, то в общем выражении (4.5.17) для изменения
энтропии
Q
T
1
2
S  S2  S1  
(1)
температуру выносим за знак интеграла. Выполнив это, получим соотношение
S 
1
Q
Q  .

T
T
(2)
81
Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по уравнению первого начала
термодинамики. Поскольку для изотермического процесса U  0, то Q=A,
а работа А для этого процесса определяется по формуле:
A
m
RT  ln V2 V1  .

(3)
С учетом (3) формула (2) примет вид:
S 
m
R  ln V2 V1  .

Подставив сюда численные значения и произведя вычисления, получим
S  10 103  32 103    8,31 ln 100 103 /  25 103   =3,60Дж/К.
Задача 3. Найдите выражение для КПД карбюраторного четырехтактного
двигателя внутреннего сгорания, работающего по циклу Отто, состоящему из
двух адиабатических и двух изохорических процессов. Параметром цикла
является величина  
V1
V2
- степень сжатия горючей смеси, которую можно
считать идеальным газом.
Решение.
На диаграмме (P,V) цикл Отто представлен двумя изохорами и двумя
адиабатами. Этот цикл используется в карбюраторном двигателе, так как
топливо в нем сгорает при практически постоянном объеме.
Р
2
3
1
4
0
V1
V3
V
Коэффициент полезного действия цикла рассчитывается по формуле:
 1
Q2
Q1
(1.1)
здесь Q1 – количество теплоты, получаемое рабочим телом (газом) от нагревателя,
Q2 - количество теплоты, передаваемое рабочим телом (газом) холодильнику.
Энергию от нагревателя рабочее тело получает на участке изохорического
нагревания (1-2):
Q1    CV (T2  T1 )
(1.2)
Энергия от газа отводится на участке изохорического охлаждения (3-4):
Q2    CV (T3  T4 )
(1.3)
где  - количество вещества,
СV - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, которая рассчитывается
по формуле:
CV 
i
R,
2
(1.4)
Т1, Т2,Т3,Т4 – температура газа в состояниях 1,2,3,4 соответственно,
i – число степеней свободы молекулы.
82
Подставив (1.2), (1.3) в (1.1), получим:
 1
T3  T4
T2  T1
(1.5)
Далее используем уравнение адиабаты в форме:
T  V  1  const
(1.6)
и применим его к процессам адиабатического перехода 2-3 и 4-1:
T1  V1 1  T4  V3 1
(1.7)
 1
 1
T2  V1  T3  V3 ,
(1.8)
здесь учли, что V1=V2, V3 = V4.
С учетом условия задачи перепишем (1.7) и (1.8) соответственно в виде:
T1  V3 
 
T4  V1 
 1
T2  V3 
 
T3  V1 
 1
   1 ,
(1.9)
   1
(1.10)
Сравнив (1.7) и (1.8), получаем:
T1 T4

T2 T3
(1.11)
Перепишем выражение для КПД с учетом (1.11), (1.10) в виде:
 T 
T3  1  4 
T
1
 T3 
 1
 1  3  1   1
T2

 T 
T2  1  1 
 T2 
где  
(1.12)
СP
,
CV
здесь СР – молярная теплоемкость при постоянном давлении, которая
рассчитывается по формуле:
СP 
i2
R
2
(1.13)
R – универсальная газовая постоянная (R = 8,31 Дж/мольК)
С учетом (1.4) и (1.13) для показателя адиабаты получается:

i2
i
(1.14)
Из полученного выражения (1.12) следует, что КПД цикла Отто зависит
от степени сжатия горючей смеси  и показателя адиабаты  , т.е. состава и
качества топлива. Однако, значительно повышать степень сжатия не
рекомендуется, предельное ее значение должно быть порядка 10-12. Связано
это с тем, что в результате увеличения температуры в конце такта сжатия
может наступить преждевременное самовоспламенение рабочей смеси, т.е.
раньше, чем поршень достигнет верхней мертвой точки (в.м.т.). На
преодоление этого давления затрачивается часть мощности, что снижает
технико-экономические показатели двигателя.
ответ:   1   1 .
83
Задача 4. Цикл четырехтактного двигателя Дизеля состоит из следующих
процессов: а) всасывание в цилиндр воздуха; б) адиабатическое сжатие воздуха до
давления Р2, в конце сжатия впрыскивается топливо; в) сгорание топлива с
расширением при постоянном давлении; г) адиабатическое расширение
продуктов горения; д) изохорический отвод тепла из цилиндра – выхлоп. Найдите
коэффициент полезного действия этого цикла в зависимости от степени сжатия

V
V1
и   3 - степени предварительного расширения.
V2
V2
Решение:
Изобразим цикл Дизеля в координатах (Р,V):
Р
Р2
Р4
Р1
0
2
3
4
1
V2
V3
V1
V
здесь процессы 1-2, 3-4 – адиабатические; процесс 2-3 – изобарный; процесс 4-1 –
изохорный;
Коэффициент полезного действия определяется:
 1
Q2
,
Q1
(2.1)
где Q1 – количество теплоты, полученное системой (газом) на участке 2-3
изобарного расширения:
Q1    C p (T3  T2 );
(2.2)
здесь СР - молярная теплоемкость при постоянном давлении, С P 
i2
R,
2
Q2 - количество теплоты, отданное системой на участке 4-1 изохорного
понижения давления:
Q2    C v (T4  T1 );
(2.3)
i
2
здесь СV - молярная теплоемкость при постоянном объеме, CV   R ,
i – число степеней свободы молекулы газа,
R – универсальная газовая (молярная) постоянная (R = 8,31 Дж/мольК)
 - количество молей вещества,
Т1, Т2, Т3, Т4 – температура соответствующих состояний.
(2.1) можно переписать с учетом (2.2) и (2.3) в виде:
 1
C v (T4  T1 )
T  T1
1   4
.
C p (T3  T2 )
T3  T2
(2.4)
Запишем уравнение адиабатического процесса через Т и V для участков
перехода из состояния 1-2:
T1V1 1  T2V2 1
(2.5)
84
из состояния 3-4:
T3V3 1  T4V1 1 .
(2.6)
Из (2.5) имеем:
 V1

 V2



 1
   1 
T2
T1
(2.7)
Разделив (2.5) на (2.6), получим:
T1V1 1 T2V2 1

T4V1 1 T3V3 1
(2.8)
или
T1 T2

T4 T3
V
  2
 V3



 1

T2
1
  1
T3 
(2.9)
либо с учетом данных задачи можно записать:
T1
T
   1  2
T4
T3
T3  1 T2
 
T4
T1
 1
T3 

T4   1
далее:
и
(2.10)
(2.11)
Записывая уравнение изобарного процесса для участка перехода 2-3:
V3 T3


V2 T2
(2.12)
получаем:
T4   
 
T3   
 1
(2.13)
и соответственно:
T4   1    

  1 ,
T2
  1

T1 T2
1
1
   1  
T4 T3 

(2.14)
Подставляя полученные выражения в (2.4) и выполнив небольшие
преобразования, находим для коэффициента полезного действия цикла Дизеля:
T1
1
1 
T4
(    1)
1
1
1

 1 
 1    1
 1    1
 T3 T2
 
   (   1)
  1

 
 1
T4 T4


1
(2.15)
Полученное выражение показывает, что основным фактором,
определяющим экономичность двигателей, работающих по циклу Дизеля,
является степень сжатия горючей смеси  , с увеличением которой КПД
возрастает. Также имеет значение степень предварительного расширения  ,
уменьшение её приводит к повышению КПД цикла. Величина показателя
адиабаты зависит от состава и качества топлива.
 1
ответ:   1    1
.
   (   1)
1
85
Рассмотрите решение задач (Сборник задач по курсу общей физики под ред.
М.С.Цедрика вып.1989г) № 14-2,4,6,8,10
Тема: Процессы переноса
Цель занятия: Закрепление навыков расчета характеристик явлений переноса,
коэффициентов переноса
Повторите теоретический материал по теме занятия и ответьте на следующие
вопросы:
- почему коэффициент теплопроводности не зависит от давления в случае, когда
средняя длина свободного пробега значительно меньше линейных размеров
сосуда?
- какая связь существует между коэффициентами теплопроводности и
внутреннего трения?
- при каком разрежении газа коэффициент внутреннего трения убывает обратно
пропорционально концентрации молекул газа?
- получите выражение для коэффициента диффузии и найдите его связь с другими
коэффициентами переноса для нейтрального газа.
- как меняются коэффициенты переноса при изменении давления, если газ
находится: а) в состоянии, далеком от технического вакуума; б) в состоянии
технического вакуума?
- как изменяются коэффициенты переноса при изменении температуры, если газ
находится: а) в состоянии, далеком от технического вакуума; б) в состоянии
технического вакуума?
Рассмотреть решение задач (Сборник задач по курсу общей физики под ред.
М.С.Цедрика вып.1989г.) № 12-3,8,13,16;
Тема: Реальные газы
Цель занятия: Закрепление основных понятий, сравнение характеристик газа для
случая: газ идеальный, газ реальный. проанализировать структурные особенности
явления переноса. Отработать навыки расчета характеристик явлений переноса в
газе.
Повторить теоретический материал по теме занятия и ответьте на следующие
вопросы:
- при каком условии происходят явления переноса? как записывается в общем
виде уравнение переноса?
- чем объяснить то, что все явления переноса протекают медленно, хотя все они
происходят благодаря быстрым движениям молекул?
- что называют градиентом некоторой физической величины?
- как можно рассчитать коэффициенты переноса?
- что такое технический вакуум?
- почему коэффициент теплопроводности не зависит от давления в случае, когда
средняя длина свободного пробега значительно меньше линейных размеров
сосуда?
- какая связь существует между коэффициентами теплопроводности и
внутреннего трения?
- при каком разрежении газа коэффициент внутреннего трения убывает обратно
пропорционально концентрации молекул газа?
86
- получите выражение для коэффициента диффузии и найдите его связь с другими
коэффициентами переноса для нейтрального газа.
- как меняются коэффициенты переноса при изменении давления, если газ
находится: а) в состоянии, далеком от технического вакуума; б) в состоянии
технического вакуума?
- как изменяются коэффициенты переноса при изменении температуры, если газ
находится: а) в состоянии, далеком от технического вакуума; б) в состоянии
технического вакуума?
- как может быть рассчитана внутренняя энергия реального газа?
- чем определяется внутренняя энергия молекул реального газа?
Чем объясняется
то, что в процессе дросселирования
при комнатной
температуре водород нагревается, а кислород охлаждается?
- каков в опыте Джоуля-Томсона знак приращения внутренней энергии газа?
энтропии? энтальпии (тепловой функции)?
- расширение 1 моль газа в опыте производится от начального состояния,
характеризуемого параметрами T0, V0, до сильно разреженного состояния, в
котором газ можно считать идеальным. График изменения состояния газа
изображается в плоскости (T, V) кривой, которая делит эту плоскость на две
области: в одной области ΔТ<0 (газ охлаждается), в другой – ΔТ> 0 (газ
нагревается). Каков физический смысл отмеченных на рисунке температуры Т1,
объема V1? Как меняется температура газа при дросселировании, если в
начальном состоянии газ имеет: а)параметры точки 1; б)параметры точки 2?
Т
Т1
0
V1
V
Рассмотрите примеры решения задач:
Задача 1.. В сосуде объемом 200 л находится 300 моль водорода при нормальном
давлении. Во сколько раз надо увеличить температуру, чтобы давление
увеличилось в 3 раза? Сравнить с результатами для идеального газа.
Дано: V=0,2 м3, =300 моль, =2.10-3кг/моль, р1105Па, р2=3р1
Найти: Т2/Т1 - ?
Решение. Учитывая, что объем сосуда не изменяется при повышении
температуры, запишем уравнения Ван-дер-Ваальса для первого и второго
состояний реального газа:

2 a 
 p1  
 V  b  RT1 ;

V2

2 a 
 p2  
 V  b  RT2 .

V2
Разделив второе уравнение на первое, получим:
T2
p  a 2 V 2
 2
T1
p1  a 2 V 2
.
После вычислений получим Т2/Т12,3.
Если считать газ идеальным, то уравнения состояний можно записать так:
р1V=RT1; р2V=RT2 .
87
Разделив эти равенства почленно, получим Т2/Т1=р2/р2=3.
Сравнивая полученные числовые результаты, замечаем, что идеальный газ
нагревается в этих условиях до более высокой температуры, чем реальный.
Задача 2. В баллоне емкостью 8 л находится 300 г кислорода при температуре
27оС. Найти, какую часть объема составляет собственный объем молекул.
Определить отношение внутреннего давления р’ к давлению газа р на стенки
сосуда.
Дано: V=8.10-3м3, m=0,3 кг, =32.10-3кг/моль, Т=300К, а=0,137Дж.м3/моль2,
b=3.10-5 м3/моль.
Найти: х1=V’/V - ? x2=p’/p - ?
Решение.
Поправка b в уравнении Ван-дер-Ваальса равна учетверенному собственному
объему молекул одного моля газа: (m/)b=4V’; V’=bm/(4).
Этот объем занимает долю объема газа:
x1=3.10-5.0,03/(4.32.10-3. 8.10-3) 9.10-3=0,8%
х1= bm/(4V).
Для ответа на второй вопрос задачи надо найти отношение
x2=p’/p, где p’- внутреннее, а p - внешнее давления:
p’=(m/)2a/V2 ;
p’1,86.105 Па.
Давление р, производимое газом на стенки сосуда, найдем из уравнения Ван-дерm
Ваальса:
p
RT
2
 m a
 
m
  V2
V b

2,79.106(Па).

Отсюда x2=p’/p=1,86.10 /2,79.106=0,066=6,6%.
Задача 3. В цилиндре под поршнем находится один моль азота при нормальных
условиях. Какую часть объема сосуда занимают при этом молекулы азота? Газ
расширяется до объема, вдвое большего первоначального, при постоянной
температуре. Найти изменение внутренней энергии газа и совершенную работу.
Каково было бы значение этих величин, если бы газ был идеальным?
Дано: =1 моль, =28.10-3кг/моль, Т=273К, р=105 Па, V2=2V1, а=0,136Дж.м3/моль2,
b=4.10-5 м3/моль.
Найти: U - ? A -? x - ?
5
Решение. Поправка Ван-дер-Ваальса b равна учетверенному собственному
объему молекул: b= 4 V, откуда V= b/4= 10-5 м3/моль, что составляет
х= b/4Vм=10-5/22,4.10-3=4,4.10-4 часть объема , занимаемого при нормальных
условиях.
V2
U= 
V1
a
V2
dV 
a a
a


 0,136
V1 2V1 2V1
V2
2V1
V1
V1
A   pdV  
/2.22,4.10-33 (Дж/моль)
2V1
2(V1  b)
RT
a
a
a
dV   2 dV  RT ln

 RT ln 2 
V b
V

b
2
V
2
V
V
V1
1
1
1
A8,314.273.2,3.ln2-0,136 /2.22,4.10-31,56.103-31,56.103 (Дж)
88
При идеальном процессе изменение внутренней энергии U=0, а работа
А=1,56.103Дж/моль.
Рассмотреть примеры решения задач (Сборник задач по курсу общей физики под
ред. М.С.Цедрика вып.1989г.) № 15-5,7,10,13,19
Тема: Жидкости. Поверхностное натяжение. Капиллярные явления
Цель занятия: Дать анализ особенностей жидкого состояния, достичь понимания
явлений в поверхностном слое жидкости; капиллярных явлений и его следствий.
Закрепление основных понятий.
Повторить теоретический материал по теме занятия и ответьте на следующие
вопросы:
- молекулы жидкости, подобно частицам твердого тела, совершают колебания
около некоторых положений равновесия. в чем отличие в поведении молекул
жидких тел от поведения молекул газа, твердых тел?
- в чем причина малой сжимаемости жидкостей и особых свойств поверхностного
слоя?
- если концы s-образной картонной пластинки потереть мылом и положить на
поверхность воды, то пластинка начинает вращаться. почему? проверьте
результат на опыте.
- почему струйка воды, вытекающая из водопроводного крана, постепенно
делается тоньше и наконец распадается на отдельные капли?
- вертикальная капиллярная стеклянная трубка подвешена к коромыслу весов и
уравновешена гирьками. что произойдет с весами, если под капиллярную трубку
осторожно поднести сосуд с водой так, чтобы кончик капилляра коснулся ее
поверхности?
- воду, находившуюся в стакане, вылили на пол. как при этом изменилась
энтропия воды?
- мыльную пленку адиабатически растягивают (увеличивают ее поверхность). как
при этом меняется ее температура?
Рассмотрите примеры решения задач:
Задача 1. Из конца стеклянной капиллярной трубки, опущенной в воду, выдули
пузырек воздуха радиусом 0,02 см. При этом давление воздуха в пузырьке
превышало атмосферное на 984 Па. На какую глубину опущена трубка.
Дано: r=2.10-4м, р-ро=984 Па, =103кг/м3, =0,07 Н/м.
Найти: h-?
Решение.
На глубине давление внутри пузырька складывается из атмосферного (над водой),
гидростатического (слоя воды над пузырьком) и лапласовского:
р=ро+gh+2/r,
или
р- ро=gh+2/r,
откуда
h=(р– рo–2/r)/(g) = 0,028 м.
Задача 2. Определить изменение свободной энергии поверхности мыльного
пузыря при изотермическом увеличении его объема от 10 см 3 до 20 см3. Считать
для мыльного раствора =0,04 Н/м.
89
Дано: V1 =10-5м3, V2=2. 10-5м3, =0,04 Н/м.
Найти: Е - ?
Решение.
Свободная энергия поверхности жидкости пропорциональна площади этой
поверхности: Е=S. У мыльного пузыря имеются две поверхности - внешняя и
внутренняя, площади которых практически равны из-за малой толщины мыльной
пленки. Поэтому свободная энергия поверхности (внешней и внутренней вместе)
мыльного пузыря Е=2S.
Так как, по условию задачи, процесс изотермический, то поверхностное
натяжение, являющееся для данной жидкости функцией только температуры,
остается постоянным. Следовательно, изменение свободной энергии: Е=2S,
где S - изменение поверхности пузыря (одной - внутренней или внешней).
Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы, найдем S:
S=4r22 - 4r12, где r1 и r2 - радиусы сфер, соответствующие V1 и V2:
r1=(3V1/4)1/3, r1=(3V1/4)1/3.
Тогда

S= 4  3V2 

4
2
3
 3V 
 1 
 4 
2
3
.


Учитывая, что V2=2V1, получим: S=4(3V1/4)2/3(22/3-1). Подставим это
выражение в формулу для Е: Е=8(3V1/4)2/3(22/3-1).
После вычислений по этой формуле получим Е=1,06.10-4Дж.
Рассмотреть решение задач (Сборник задач по курсу общей физики под ред.
М.С.Цедрика вып.1989г.) № 15-34,36,37,39,42,45,
Тема: Твердые тела
Цель занятия: Разъяснить подробнее элементы кристаллографии, характеристики
кристаллических решеток. Рассмотреть методику решения задач на расчет
механических и тепловых свойств твердых тел.
В твердых телах при всяком изменении их формы возникают силы
упругости, стремящиеся восстановить первоначальную форму тел, т е. твердые
тела обладают упругостью формы. Это свойство и отличает твердые тела от
жидкостей и газов. По характеру физических свойств все твердые тела разделяют
на кристаллические и аморфные. Основной особенностью кристаллов является
регулярность расположения в них частиц (атомов, молекул или ионов).
Характерное для равновесного состояния кристалла расположение частиц,
обладающее периодической повторяемостью в трех измерениях, называют
кристаллической решеткой. Внутренняя упорядоченность в расположении частиц
в кристаллах часто проявляется и в правильности их внешней формы. Например,
кристаллы каменной соли имеют форму прямоугольных параллелепипедов с
одинаковыми гранями. Обычно грани располагаются симметрично относительно
друг друга. Существенно, что для каждого данного рода кристаллов углы между
соответствующими гранями, а также между соответствующими ребрами
кристалла являются строго постоянными. Например, кварц образует кристаллы,
представляющие собой шестигранные призмы, заканчивающиеся шестигранными
пирамидами (рис.1), причем угол между гранями призмы и пирамиды у всех
кристаллов кварца всегда равен З8о33’.
90
Рис. 1
Упорядоченность
расположения
частиц в кристалле (дальний порядок)
неизбежно приводит к тому, что для
любого направления в нем расстояния
между центрами двух соседних частиц,
хотя и остаются постоянными, но
отличаются для разных направлений. Это ясно видно из рис2, на котором в
направлениях А, В, С соответствующие расстояния а, b, с между центрами
соседних атомов будут постоянны вдоль всей прямой, но для разных прямых они
не одинаковы.
Рис. 2
Некоторые из таких прямых называют кристаллографическими осями. Иначе
говоря, в кристалле вдоль различных направлений частицы размещаются с
различной плотностью. Важнейшим следствием этого является анизотропия
физических свойств кристаллов. В частности, поэтому упругие, механические,
тепловые, электрические, магнитные, оптические и другие свойства кристаллов не
одинаковы по различным направлениям.
У аморфных тел отсутствует характерная для кристаллов строгая
упорядоченность в расположении частиц, периодически повторяющаяся во всех
направлениях, т. е. у них отсутствует дальний порядок. В то же время у аморфных
тел, так же как и у жидкостей, существует известная согласованность
расположения в пространстве смежных атомов, т. е. имеет место ближний
порядок. С увеличением расстояния от данного атома эта согласованность
уменьшается и уже на расстоянии трех-четырех диаметров атома (5-10Å)
исчезает. Поэтому в аморфном теле вдоль различных направлений атомы в
среднем размещаются с одинаковой плотностью. Это и обусловливает
характерную для аморфных тел изотропию их физических свойств. Примером
аморфных тел могут служить стекла, смолы, всевозможные пластмассы,
полимеры и др. Одно и то же в химическом отношении вещество может быть
91
получено как в кристаллическом, так и в аморфном состоянии (кварц, сера,
глицерин, сахар и пр.).
Аморфные тела часто рассматривают как переохлажденные жидкости, вязкость у
которых возросла настолько, что вещество перестает быть жидким в обычном
смысле этого слова. Аморфные тела, обладая меньшей упорядоченностью
внутреннего строения, характеризуются при тех же температурах и давлениях
соответственно большим удельным объемом, большей внутренней энергией и
большей энтропией, чем кристаллы. достижение устойчивого состояния при
заданных давлении и температуре, соответствующего минимуму свободной
энергии тела, связано с установлением определенных расстояний между атомами,
а также с определенной конфигурацией их взаимного расположения. Поэтому
аморфные тела находятся в некотором неравновесном (метастабильном)
состоянии и с течением времени должны самопроизвольно закристаллизоваться.
Однако в обычных условиях время перехода в равновесное состояние может быть
столь велико, что неравновесный характер аморфного тела не проявляется, и оно
практически неограниченно долго ведет себя как устойчивое твердое тело. Вместе
с тем в физике принято считать твердыми телами только кристаллические тела.
Одиночные кристаллы имеют единую кристаллическую решетку по всему своему
объему и называются монокристаллами. В природе нередко встречаются крупные
монокристаллы некоторых минералов, отличающиеся правильной огранкой, как,
кристаллы горного хрусталя и др. Отдельные монокристаллы различных веществ
удается получать и искусственно, выращивая их из расплавов или растворов.
Однако большинство кристаллических тел представляют собой поликристаллы.
Повторите теоретический материал по теме занятия и ответьте на следующие
вопросы:
- каков физический смысл понятия «твердое тело»?
- как можно доказать, что свинец – кристаллическое, а не аморфное тело?
- какие эксперименты подтвердили предположение о существовании
кристаллических решеток твердых тел?
- какие специфические свойства кристаллов связаны с их симметрией и
анизотропией?
- железо, медь, алюминий и другие металлы являются твердыми телами. почему
практически не наблюдаются явления, объясняемые анизотропией этих тел?
- как принято классифицировать кристаллы по типам сил связи частиц в
кристалле?
- как зависит энергия связи частиц в кристалле от типа сил связи?
- какие физические свойства монокристалла зависят от числа дислокаций в
единице объема, какие – не зависят?
- чем отличаются свойства «электронного газа» в металле от свойств
классического идеального газа?
- каков физический смысл значения энергии ферми?
- каков физический смысл характеристической температуры Дебая?
- что такое фонон? каким закономерностям квантовой механики подчиняется
фонон?
92
Рассмотрете решение задач (Сборник задач по курсу общей физики под ред.
М.С.Цедрика вып.1989г) № 16-1,2,5,9
Тема: Фазовые превращения
Цель занятия: Добиться усвоения понятия фазового перехода I и II рода.
Разъяснить методику применения уравнения Клапейрона-Клаузиуса к фазовому
переходу I и II рода. Пояснить на примере суть диаграммы состояний.
Повторить теоретический материал по теме занятия и ответьте на следующие
вопросы:
- что называют фазовым переходом I рода? II рода?
- что выражает уравнение клапейрона-клаузиуса?
- на кусок льда, лежащий концами на неподвижных опорах, накинули
проволочную петлю с тяжелым грузом. через некоторое время проволока прошла
через лед, но кусок льда остался целым. как можно объяснить результат такого
опыта?
- ведется наблюдение за испарением маленьких и больших капель жидкости,
находящихся рядом. Почему маленькие капли уменьшаются в размере, а большие
увеличиваются?
Рассмотрите примеры решения задач:
Задача 1. Пользуясь уравнением Клапейрона-Клаузиуса, определить: наклон
кривых фазового равновесия вода-лед и вода-пар на диаграмме (Р,Т) близ тройной
точки; изменение давления насыщенного пара воды близ нормального
атмосферного давления при нагревании на 1 К.
РЕШЕНИЕ
Р
3
2
Р0
1
0
Т0
Т
Кривые испарения, плавления и возгонки делят плоскость (Р,Т) на три области: 1,
2, 3. Точкам области 1 соответствует газообразное состояние, области 2 – жидкое,
области 3- твердое состояние вещества. Наклоны кривых испарения 2,1 (вода-пар)
и кривых плавления 3-2 лед-вода) определяются уравнением КлапейронаКлаузиуса:
dP1.2
q1.2

;
dT
T (V1  V2 )
(1)
dP2.3
q 2.3

dT
T (V2  V3 )
93
(2)
где q1.2, q2.3 – соответственно удельная теплота плавления и парообразования;
Т – температур, при которой рассматривается процесс;
V1, V2, V3 – соответственно удельные объемы пара, воды, льда. Для воды тройная
точка лежит примерно на 0,008К выше точки плавления при нормальном
атмосферном давлении. Т.к. температура тройной точки очень мало отличается
от 00С, то все величины, входящие в уравнения (1), (2), можно определить для
температуры 00С (273К).
Удельный объем пара V1= 206 м3/кг (табл.), удельный объем воды V2= 10-3 м3/кг
(табл.), удельный объем льда V3 = 1,1·10-3 м3/кг (табл.); удельная теплота
плавления льда q2.3=334 кДж/кг, удельная теплота парообразования воды q1.2=2498
кДж/кг (табл.).
Подставив в (1), находим наклон кривой фазового равновесия вода-пар:
dP1.2
2498

 44  10 3 , Па
К
dT
273  206
Аналогично находим наклон кривой фазового равновесия лед-вода:
dP2.3
334

 12  10 3 , Па
К
dT
273  0.1  10 3
Т.е. кривые фазового равновесия для воды на диаграмме (Р,Т) имеют наклоны в
противоположные стороны: кривая 3,2 – влево, кривая 2,1 – вправо. Причем
кривая (3,2) составляет с осью Т угол, в 106 раз меньший, чем кривая (2,1), на рис.
Кривая 3,2 – пунктирная. Для большинства других веществ, у которых удельный
объем в твердом состоянии меньше удельного объема в жидком состоянии
(V2>V3), обе кривые фазового равновесия наклонены вправо, но кривая фазового
равновесия твердое состояние – жидкое состояние (кривая 3,2) идет гораздо
круче.
Найдем изменение давления насыщенного пара воды при нагревании на 1 К близ
нормального атмосферного давления.
Для воды при нормальном атмосферном давлении температура кипения ≈ 373 К,
удельная теплота парообразования равна q1.2=2257,4 кДж/кг (табл.). Температура
кипения в этом случае далека от критической. Но можно допустить, что V2>> V1 и
к пару применимо уравнение Клапейрона-Менделеева. При этих допущениях
dP1.2
q
  q1.2
 1.2 
 P;
dT
T  V1 R  T 2
dP1.2 1
  q1.2


P dT R  T 2
уравнение (1) можно переписать:
или
где μ=0,018кг/моль
(3)
здесь в правую часть (3) входят постоянные величины, относящиеся к
рассматриваемому веществу (здесь – вода).
Подставив эти постоянные,
получим:
  q1.2
R T
2
 0.035K 1
Отсюда следует, что при нагревании на один градус давление насыщенного пара
воды возрастает на величину, составляющую 0,035 от исходного давления, т.е.
P
 0.035 (или 3,5%)
P
Рассмотреть решение задач (Сборник задач по курсу общей физики под ред.
М.С.Цедрика вып.1989г) № 16-19,20,23
94
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ
ЗАНЯТИЙ
1. «Определение постоянной Больцмана»
Цель работы: изучение экспериментального метода определения постоянной
Больцмана, основанного на использовании основного уравнения молекулярнокинетической теории газа
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- что такое идеальный газ?
- сформулируйте закон Дальтона для смеси газов. Что называется парциальным
давлением?
- почему после проведенного опыта резервуар необходимо проветривать?
- объясните устройство и принцип действия наклонного манометра
2. «Определение отношения теплоемкостей воздуха методом КлеманаДезорма»
Цель работы: экспериментальное определение отношения теплоемкостей Ср/Cv
для воздуха и сравнение полученных результатов с выводами молекулярнокинетической теории газов
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- считая воздух двухатомным газом, сравните полученные результаты с
табличными. Объясните расхождение результатов;
- какова связь между удельной и молярной теплоемкостью какого-либо вещества;
- в каком случае совершается большая работа для увеличения давления
идеального газа в n раз: при адиабатическом или при изотермическом сжатии?
- какой вклад в теплоемкость дают колебательные степени свободы?
- как объясняется зависимость теплоемкостей газов от температуры?
3. «Определение коэффициента внутреннего трения методом Стокса»
Цель работы: опытное определение вязкости жидкости, изучение движения тел в
среде, оказывающей сопротивление
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- что такое вязкость? Назовите единицы измерения коэффициента динамической
и кинематической вязкости
- какие силы действуют на шарик, движущийся (падающий) в жидкости?
- как зависит скорость движения шарика от его геометрического размера?
- как связаны коэффициенты динамической и кинематической вязкости?
- необходимо ли вводить поправочный коэффициент в расчетную формулу в
ваших измерениях?
4. «Определение коэффициента вязкости газа»
Цель работы: экспериментальное определение коэффициента динамической
вязкости воздуха
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
95
- выведите формулу Пуазейля для стационарного движения вязкой жидкости в
цилиндрической трубе;
- объясните условия течения жидкости в трубе, при которых расчеты по формуле
Пуазейля справедливы
- объясните принцип действия лабораторной установки, устройство
микроманометра и принцип его работы
5. «Определение влажности воздуха психрометром Августа»
Цель работы: определить влажность воздуха в аудитории, проверить изменение
показаний прибора при условии работы вентилятора, находящегося рядом.
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- каким является водяной пар, находящийся в воздухе, при температуре выше
точки росы? при температуре ниже точки росы?
-объясните устройство и принцип действия гигрометра, психрометра
- как пользоваться психрометрическими таблицами?
- чему равна относительная влажность воздуха, если оба термометра психрометра
показывают одинаковую температуру?
- как изменится разность показаний термометров психрометра при понижении
температуры воздуха, если абсолютная влажность (парциальное давление
водяных паров) не изменяется?
6. «Определение коэффициента объемного расширения жидкостей»
Цель работы: экспериментальное определение коэффициента объемного
расширения воды
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- каков физический смысл коэффициента объемного расширения?
- в чем заключаются особенности расширения воды?
- в каких единицах измеряется коэффициент объемного расширения?
- как зависит температура кипения воды от внешнего давления?
7. «Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкостей
методом капель»
Цель работы: экспериментальное определение коэффициента поверхностного
натяжения для разных жидкостей
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- каков физический смысл коэффициента поверхностного натяжения?
- каково значение коэффициента поверхностного натяжения при критической
температуре? Ответ поясните.
- какое значение имеют явления смачивания и несмачивания в природе и технике?
- одинаковы ли значения R в формуле P 
2
, определяющей лапласово
R
давление, для смачивающей и несмачивающей жидкости в одном и том же
капилляре в момент выдувания из него пузырька воздуха?
- изменится ли коэффициент поверхностного натяжения воды, если добавить в
воду спирт?
96
- какую форму принимает капля масла на поверхности воды? Почему?
8.«Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкостей
методом капиллярных трубок»
Цель работы: ознакомление с методом экспериментального определения
коэффициента поверхностного натяжения
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- в чем состоит явление смачиваемости и несмачиваемости?
- объясните суть капиллярных явлений в жидкостях; какие сосуды можно считать
капиллярными? Чем определяется высота поднятия жидкости в капиллярах?
- каковы причины возникновения добавочного давления при условии
искривленной поверхности жидкости?
9. «Определение коэффициента линейного расширения твердых тел»
Цель работы: экспериментальное определение коэффициента линейного
расширения металлов, исследование зависимости его от природы материала
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- каков физический смысл коэффициента линейного расширения?
- в каких единицах измеряется коэффициент линейного расширения?
- как объяснить с точки зрения молекулярно-кинетической теории тепловое
расширение тел?
10. «Определение теплопроводности песка»
Цель работы: изучение процесса теплопроводности, распределения температуры
в веществе при разности температур на границах материала
Выполнив измерения в соответствии с методическими указаниями к
лабораторной работе, ответьте на следующие вопросы:
- объясните процесс теплопроводности с точки зрения молекулярно-кинетической
теории;
- назовите способы передачи теплоты, объясните их механизм;
- что называется градиентом температура, либо другой физической величины?
- каков физический смысл коэффициента теплопроводности?
- в каких единицах измеряется коэффициент теплопроводности?
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СРСП
При подготовке к СРСП рекомендуется изучить предварительно вопрос,
используя учебную литературу по дисциплине. Составить краткий конспект
прочитанного, отметив вопросы, вызывающие сомнение, либо не до конца
понятые при изучении теоретического материала.
Тема: Молекулярно-кинетическая теория газов
Рассмотреть статистический и термодинамический методы описания явлений,
объяснение поведения вещества и его свойств с точки зрения молекулярнокинетической теории
Тема: Распределение Максвелла и Больцмана
Обратить внимание на условия, при которых справедливо распределение молекул
по скоростям (по Максвеллу), по уровням кинетической энергии, зависимость
97
распределения от природы газа, его температуры. Рассмотреть особенности
распределения Больцмана, распределение молекул воздуха в силовом поле Земли
и др.
Тема: Основные законы термодинамики
Рассмотреть три основных закона термодинамики, их математическую запись для
различных процессов в газе. Обратить внимание на границы применимости
законов термодинамики
Тема: Процессы переноса
Подробно рассмотреть особенности процессов переноса, физические явления,
объясняемые на основе процессов переноса физической величины
Тема: Реальные газы. Сжижение газов
Определить особенности поведения молекул реального газа, проанализировать
уравнения, описывающие поведение реального газа. Подробнее изучить условия и
методы сжижения газа
Тема: Жидкости. Структура и свойства жидкостей
Обратить внимание на особенности жидкого состояния, особенности структуры
жидкости. Провести сравнение и предложить вывод о том, к какой модели –
твердого тела или газообразного вещества ближе поведение частичек жидкости
Тема: Растворы. Закон Рауля. Закон Генри
Подготовить краткий конспект с ответами на вопросы: что такое раствор? Каковы
его основные характеристики? Обратить внимание на поведение растворителя и
растворяемого вещества. Проследить связь с соответствующим материалом в
химии.
Тема: Твердые тела. Кристаллическое строение твердых тел. Жидкие кристаллы
Отметить основные механические и тепловые свойства твердых тел,
разновидности кристаллических решеток, их основные характеристики. Описать
физические
особенности жидких
кристаллов, привести примеры их
практического применения
Тема: Диаграмма состояний трехфазной системы.
Проанализировать диаграмму состояний трехфазной системы, обратить внимание
на ход кривых графика изменения состояния вещества.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СРС
Приступая к выполнению заданий СРС необходимо:
- изучить теоретический материал по теме;
- начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только
физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения,
которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи,
рекомендуется сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи.
- условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в
единицах СИ;
- недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц;
- решение задачи сопровождать пояснительным текстом;
- решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности
отдельных членов формулы;
98
-выполнить числовые расчеты;
- получив числовой ответ, оценить его правдоподобность.
В соответствии с графиком отчета о выполнении заданий СРС решить и
представить на проверку следующие задания:
В соответствии с графиком отчета о выполнении заданий СРС решить и
представить на проверку следующие задания:
Основное
уравнение кинетической
теории
газов.
Газовые законы
№11-3, 7, 10,15, 17, 21,26, 28,30, 33, 38,42,44,46,48
Распределения
Максвелла
и
Больцмана.
Барометрическая
формула
№11-50,54,55,58,62, 63,65,67,69
Первое начало термодинамики. Теплоемкость
№ 13-2,4,5,7,8, 10,12,14, 18, 20,23, 27,31,39, 45,49,53,56
Второе начало термодинамики. Энтропия
№ 14-4,6,8,10,16,20, 28,29,30,33,35, 38,40,44,47,49
Явления переноса № 12-2,3, 8, 13,16,20,25,29,31,33
Реальные газы и жидкости № 15-2,3,4,5,7,10,13,19,23
Жидкости №15-28,31,34,36, 37,39 42,45,49,54,61,64,71
Тепловые свойства твердых тел № 16-1,2,5,9
Фазовые переходы
№ 16-19,20,23
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА
Тестовые задания по молекулярной физике
1. Какое из условий должно обязательно выполняется для того, чтобы газ можно
было считать идеальным:
A) Малое расстояние между молекулами по сравнению с их размерами.
B) Ничтожно малые силы взаимодействия между молекулами газа.
C) Преобладание сил отталкивание между молекулами газа.
D) Преобладание сил притяжения между молекулами газа.
E) Правильного ответа нет.
2. Какую температуру имеют 2г азота занимающего объем 820см 3 при давлении
0,2 МПа ? М=28 г/моль:
A) 270К . B) 300К . C) 280К . D) 2 * 105 К . E) 3,1*104 К .
3.
P
1
2
3
4
T
99
Которая из изохор, изображенных на рисунке, соответствует наименьшему
объему длиной массы газа:
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) Правильного ответа нет.
4. Какой энергией обладают молекулы идеального газа:
A) Кинетической.
B) Потенциальной.
C) Кинетической и потенциальной.
D) Механической.
E) Правильного ответа нет.
5. Баллон емкостью 12 л наполнен азотом при давлении 8,1МПа и температуре
17 0 С. Какое количество азота находится в баллоне:
A) 2,5кг . B) 1,78кг . C) 1,13кг .
D) 1,24кг . E) 2 *105 кг .
6. Найти массу сернистого газа (SO2 ) занимающего объем 25л при температуре
27 0 С и давление 760 мм. рт.ст. :
A) 0,85кг .
B) 0,065кг . C) 0,081кг . D) 0,091кг . E) 0,3кг .
7. Сколько необходимо независимых координат для определения положения в
пространстве двухатомной молекул:
A) Одна. B) Три.
C) Пять. D) Шесть. E) Семь.
8. Какое из соотношений выражает энергию поступательного движения одной
молекулы водорода:
1
2
A) кТ .
3
2
5
2
B) кТ .
C) кТ .
D) 3кТ .
E) кТ .
9. Найти плотность водорода при температуре 150 С и давлении 730 мм. рт.ст. :
A) 0,07кг / м3 .
B) 0,061кг / м3 .
C) 0,081кг / м3 .
D) 0,15кг / м3 .
E) 0,7кг / м3 .
10. Молекулы, какого из ниже перечисленных газов имеет самое большое число
степеней свободы:
A) Не2 .
B) Ar .
C) N 2O5 .
D) H 2 .
E) O2 .
3 3
11. 12 г газа занимают объем 4 *10 м при температуре 7 0 С . После нагревания
газа при постоянном давлении его плотность стала равна 6 *104 г / см3 . До какой
температуры нагрели газ:
A) 1800К . B) 1400К . C) 1500К . D) 1600К . E) 2000К .
12. На рисунке изображено несколько изотерм. Какая из них соответствует самой
высокой температуре идеального газа:
P
2
3
4
1
А) 3. B) 2. C) 4. D) 1. E) Правильного ответа
V нет.
13. Какое из соотношений следует применить для вычисления энергий
вращательного движение одной молекулы кислорода:
1
2
A) кТ .
B)
3
кТ .
2
C) кТ .
D)
5
кТ .
2
100
E) 2кТ .
14. Какова зависимость средней длины свободного пробега молекул газа от его
давления:
A) Обратно пропорциональная.
B) Линейная.
C) Экспоненциальная.
D) Квадратичная.
E) Правильного ответа нет.
15. Сколько степеней свободы для поступательного движение имеют молекулы
многоатомного газа:
A) Два.
B) Три.
C) Пять. D) Шесть. E) Одна.
16. Найти массу атома гелия:
A) 5,57 *1027 кг . B) 6,65 *1027 кг . C) 8,85 *1027 кг . D) 500кг . E) 2,1*1027 кг .
17. Каков механизм теплопроводности:
A) Перенос энергии вследствие хаотического движения молекул.
B) Перенос тепла движущейся средой. C) Излучение электромагнитных волн.
D) Излучения. E) Правильного ответа нет.
18. Какое из соотношений выражает полную кинетическую энергию одного моля
двухатомного кислорода:
1
2
A) RT .
B)
3
RT .
2
C)
3
kT .
2
D)
5
RT .
2
E) RT .
19. Какая из изобар, изображенных на рисунке, соответствует наименьшему
давлению данной массы газа:
V
4
3
2
1
T
A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) Правильного ответа нет.
20. Как меняется эффективный диаметр молекул газа при увеличении его
температуры:
A) Увеличивается.
B) Уменьшается. C) Остается неизменным.
D) Увеличивается в 2 раза. E) Уменьшается в 2 раза.
21. Какой из факторов не влияет на силу внутреннего трения в газах при
давлениях, мало отличных от атмосферного:
A) Градиент скорости. B) Вязкость скоростей соприкасающихся слоев.
C) Площадь соприкасающихся слоев.
D) Давление газов.
Е) Правильного ответа нет.
22. Найти внутреннюю энергию U массы газа m  1г воздуха при температуре
t  150 C . Молярная масса воздуха   0,029кг / моль :
A) 300 Дж . B) 210 Дж . C) 220 Дж . D) 310 Дж . E) 410 Дж .
23. Каков механизм диффузии:
A) Перенос энергии хаотически движущимися молекулами.
B) Перенос количества движения хаотически движущимися молекулами.
101
C) Перенос массы хаотически движущимися молекулами.
D) Перенос силы хаотически движущимися молекулами.
E) Правильного ответа нет.
24. Какое число молекул N находится в комнате объемом 80м3 при температуре
t  17 0 C и давление P  100кПа. :
A) 3 *1027 . B) 2 *1027 . C) 1,2 *1027 . D) 3,3 *1027 . E) 4 *1027 .
25. Какой способ передача тепла от одного тела к другому объясняется
хаотическим движением:
A) Теплопроводность. B) Конвекция. C) Излучение. D) Диффузия.
E) Правильного ответа нет.
26. Для каких из перечисленных молекул газа полная кинетическая энергия
определяется соотношением
5
кТ :
2
A) CO2 .
B) H 2.
C) Ne .
D) N 2O5 .
E) Правильного ответа нет.
27. Какой объем V занимает масса m  10г кислорода при давлении P  100кПа и
температура 20 0 С :
A) 7,6 л .
B) 5,2 л .
C) 3,4 л .
D) 8,1л .
E) 103 л .
28. В сосуде объемом 20л находится 4г водорода при температуре 27 0 С . Найти
давление водорода. Молярная масса водорода   0,002кг / м :
A) 0,25 *106 Па .
B) 0,25 *108 Па .
C) 800Па . D) 400Па . E) 500Па .
29. Найти среднюю квадратичную скорость  2 молекул воздуха при температуре
t  17 0 . Молярная масса воздуха   0,029кг / моль :
A) 500 м/ с . B) 400м/ с . C) 8,5 м / с . D) 800 м/ с . E) 300 м/ с .
30.
P
4
3
2
1
T
Линии на графике изображают зависимость давления от температуры для
нескольких газовых процессов. Укажите изохору:
A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) Правильного ответа нет.
31. Найти вязкость азота при нормальных условиях, если коэффициент диффузии
для него Д  1,42 *105 м2 / с , плотность азота   1,250кг / м3 :
A) 17,8 *106 Па * с . B) 15,3 *106 Па * с . C) 4 *107 Па * с . D) 8,1*106 Па * с .E) 9,1*105 Па * с .
32. Как изменяется эффективный диаметр молекул газа увеличений их скорости:
A) Остается неизменным.
B) Увеличивается.
C) Уменьшается.
D) Увеличивается в 3 раза. Е) Правильного ответа нет.
33. Вычислить среднюю квадратичную скорость молекул кислорода (О2 ) , при 20 0 С :
102
A) 600 м/ с . B) 440м/ с . C) 520 м/ с . D) 340 м/ с . E) 500 м/ с .
34. Сколько степеней свободы приходится на вращательное движение молекулы
кислорода:
A) Одна.
B) Две.
C) Три.
D) Пять.
E) Четыре.
35. Какое из соотношений выражает средняя длина свободного пробега молекул
газа:
1
1
e  . C) z  n . D) z  nd 2 .
A) e 
.
B)
E) e   z .
z
2d 2 n
36. Энергия поступательного движения молекул азота находящегося в баллоне
объемом V  20 л, К  5кДж , а средняя квадратичная скорость его молекул
 2  2 *103 м / с . Найти массу m азота в баллоне, под которым он находится:
A) 2,5 *103 кг .
B) 3,1*103 кг .
C) 3,3 *103 кг .
D) 4,1 *103 кг .
E) 500кг .
37. Какое из соотношений выражает внутреннее трение между двумя слоями газа
(жидкость):
A) F  D
d
S.
dx
B) F  
d
S.
dx
C) F  k
d
S.
dx
D) F  kx . E) F 
kx2
.
2
38. При изохорном процессе газу сообщено 4 *1010 Дж теплоты. Рассчитать
изменение внутренней энергии и работу по расширению газа:
A) 2,2 *1010 Дж . B) 4 *1010 Дж .
C) 1010 Дж . D) 2 *1010 Дж .
E) 5 *1010 Дж .
39. На сколько кельвин понизилась температура 10 моль идеального газа при
постоянном объеме, если его внутренняя энергия уменьшилась на 623 Дж?
Молярная теплоемкость С  12,46 Дж / мольК :
A) 5К .
B) 10К .
C) 12 К .
D) 3К .
E) 4 К .
3
40. В баллоне вместимостью 0,1м находится воздух при температуре 250К и
давлении 5 * 105 Па . Определить объем этого воздуха при нормальных условиях:
A) 546м3 . B) 0,42 м3 . C) 0,875 м3 . D) 546м3 . E) 800м3 .
41. Укажите процесс, при котором внутренняя энергия газа остается неизменной:
A) Изохорической.
B) Изотермический. C) Изобарический.
D) Адиабитический. E) Политропический.
42. Какое из соотношений противоречить первому началу термодинамики, если
Q1 -теплота, взятая от нагревателя, Q2 -теплота, переданная холодильнику, Аработа, совершенная системой:
A) A  Q1  Q2 .
B) Q1  Q2 ; A  0 . C) A  Q1; Q2  0 . D) A  Q2 ; Q1  0 . E) A  0 .
43. На рисунке изображен цикл Карно. Площадь, какой фигуры равна энергии,
отданной холодильнику:
P
В
С
А
Д
Е
V
Ж
З
103
К
A) АВСД.
B) ЕВСЗ.
C) ЖАДК.
D) ЕВАЖ.
E) Правильного ответа нет.
44. Какие из данных физических величин являются функциями состояния:
A) Энтропия.
B) Теплота. C) Работа. D) Энергия. Е) Правильного ответа нет.
45. Определить внутреннюю энергию 5кг аммиака NH3 при температуре 340K :
A) 2,5 *107 Дж . B) 24,93 *105 Дж . C) 28,51*105 Дж . D) 4 *105 Дж .
E) 5 *105 Дж .
46. Молекулы аргона при нормальных условиях испытывают 6 * 109 столкновений
в секунду при средней длине свободного пробега 6,35 *108 м . Определить
среднюю скорость поступательного движения молекул аргона:
A) 381м / с . B) 400м/ с . C) 4 *105 м / с .
D) 2 *103 м / с .
E) 41 *103 м / с .
47. Тепловая машина имеет максимальный КПД 35%. Определить температуру
нагревателя, если температура холодильника 585 К:
A) 1000К . B) 900К .
C) 800К .
D) 700К .
E) 500К .
48. Как изменяется внутренняя энергия идеального газа при его расширении без
совершения внешней работы:
A) Увеличивается.
B) Уменьшается. C) Остается неизменной.
D) Уменьшается в 2 раза.
E) Увеличивается в 4 раза.
49. Какое из соотношений выполняется для тепловой машины? Q1 -теплота,
полученная от нагревателя, Q2 - теплота, переданная холодильнику; Асовершенная работа:
A) А  Q1 . B) А  Q1  Q2 .
C) А  Q2 . D) А  Q1  Q2 .
E) А  Q1  Q2 .
50. Укажите процесс, при котором все количество тепла, сообщенное газу, идет на
приращение его внутренней энергии:
A) Изотермический. B) Изохорический.
C) Изобарический.
D) Адиабатический. E) Правильного ответа нет.
51. Как изменяется энтропия замкнутой системы, в которой совершается
необратимый процесс:
A) Увеличивается.
B) Не изменяется.
C) Уменьшается.
D) Изменение может быть любым.
E) Правильного ответа нет.
52. На рисунке изображен круговой процесс (цикл). Площадь, какой фигуры
определяет работу цикла:
Б
Б
С
А
Д
Е
Ж
К
C) ЖБСК .
З
D) ЕАБЖ .
V
E) Правильного ответа нет.
53. Какой из видов энергии является внутренней энергией идеального газа:
А) Потенциальная энергия взаимодействия молекул.
A) АВСД .
B) ЕАДА .
104
B) Кинетическая энергия движения газа вместе с сосудом.
C) Кинетическая энергия хаотического движения молекулы газа.
D) Внутренняя энергия.
E) Правильного ответа нет.
54. При изобарном расширении Р  6 *105 Па , газ совершил работу и увеличился в
объеме на 2 м3. В процессе расширения газу сообщено 4 *107 Дж теплоты.
Расчитать изменение внутренней энергии этого газа:
A) 3,8 *10 7 Дж . B) 2,24 *10 7 Дж . C) 1,14 *10 7 Дж . D) 800 Дж . E) 500 Дж .
55. Найти удельную теплоемкость кислорода при постоянном объеме:
A) 720 Дж /( кгК ) . B) 650 Дж /( кгК ) C) 500 Дж /( кгК ) D) 400 Дж /( кгК ) E) 450 Дж /( кгК ) .
56. Какие из перечисленных задач можно решать, если задана начальное и
конечное состояния системы:
A) Определения работы, совершенной системой.
B) Вычисления изменения энтропии.
C) Вычисление количества теплоты, переданной системе.
D) Изменение может быть любым. E) Правильного ответа нет.
57. Какое количество теплоты надо сообщить 12 г кислорода, чтобы нагреть его
на 500С при постоянном давлении:
A) 545 Дж . B) 500 Дж . C) 650 Дж . D) 400 Дж . E) 850 Дж .
58. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при температуре
170 С и давлении 10кПа :
A) 1 *106 м . B) 1 *108 м . C) 2,1*107 м .
D) 3,1 *106 м .
E) 1,5 *108 м .
59. Как изменяется энтропия замкнутой системы, совершающей обратимый цикл
Карно:
A) Увеличивается.
B) Уменьшается. C) Не изменяется.
D) Изменение может быть любым. E) Правильного ответа нет.
60. Найти коэффициент диффузии Д водорода при нормальных условиях, если
средняя длина свободного пробега l  0,16 *106 м :
A) 9,8 *104 м2 / с . B) 9,7 *104 м2 / с . C) 9,1 *105 м2 / с . D) 8 *103 м 2 / с . E) 500 м 2 / с .
61. При изобарном нагревании некоторой массы кислорода Q2 на 200K совершена
работа 25кДж по увелечению его объема. Определить массу кислорода молярная
масса кислорода   32 *103 кг / моль, R  8,31 Дж / мольК :
A) 0,520кг . B) 0,481кг . C) 0,491кг . D) 0,90кг . E) 8,1кг .
62. Газ изобарно увеличился в объеме в три раза при давлении 3 *105 Па .
Определить первоначальный объем газа, если на увеличение его объема
потребовалось совершить работу в 12,9кДж :
A) 2,15 *102 м3 .
B) 3,14 *102 м3 .
C) 400м3 . D) 2,56 *102 м3 . E) 0,85 м3 .
63. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения
молекулы идеального газа при нормальных условиях. Если постоянная
к  1,38 *1023 Дж / к :
A) 8,21*1021 Дж . B) 9,1*1021 Дж C) 8,1*1021 Дж D) 5,65 *1021 Дж . E) 8,5 *1021 Дж .
64. Какое из перечисленных явлений свидетельствует о существовании
взаимодействия между молекулами реального газа:
105
A) Теплопроводность. B) Диффузия.
C) Конвекция.
D) Изменение температуры при адиабатическом расширении без совершения
работы против внешних сил.
E) Правильного ответа нет.
65. Найти единицы СИ постоянных а и в входящих в уравнение Ван-дер-Ваальса:
A) а  Па * м6 / моль2 , в  м3 / моль . B) а  м * моль , в  м / моль .
C) а  м3 / моль2 , в  м / моль .
D) а  Па * м / моль2 , в  м / моль .
E) а  Па * м3 / моль , в  м2 / моль1 .
66. По какой из формул можно вычислить величину добавочного лапласовского
давления Р внутри мыльного пузыря:
A) Р 

R
. B) Р 
2
.
R
C) Р 
4
.
R
D) Р  P0 
2
.
R
E) Р 
1
.
R
67. Как изменяется удельная теплота парообразования жидкости при повышении
ее температуры:
A) Увеличивается.
B) Уменьшается. C) Остается неизменной.
D) Проходит экстремальное значение. E) Правильного ответа нет.
68. Какая из указанных точек на изотерме Ван-дер-Ваальса соответствует
жидкому состоянию вещества:
Р
3
1
2
4
V
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
69. Как изменяется температура газа при расширении без действия внешних сил:
A) Увеличивается.
B) Уменьшается. C) Остается неизменной.
D) Уменьшается в 2 раза.
E) На вопрос ответить нельзя.
70. При какой из указанных температур давление насыщенных паров наибольшее:
A) При температуре плавления.
B) При температуре кипения.
C) При температуре кристаллизации.
D) При критической температуре.
E) Правильного ответа нет.
71. Как изменяется коэффициент поверхностного натяжения при повышении
температуры жидкости:
A) Увеличивается.
B) Уменьшается. C) Остается неизменным.
D) Проходит экстремальное значение. E) Правильного ответа нет.
72. На рисунке график зависимости потенциальной энергии взаимодействия
молекул от расстояния между ними. Какая из отмеченных точек соответствует
состоянию устойчивого равновесия:
106
Е
1
0
2
r
4
3
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) Правильного ответа нет.
73. При какой температуре коэффициент поверхностного натяжения равен нулю:
A) При температуре кипения.
B) При температуре плавления.
C) При температуре кристаллизации.
D) При критической температуре.
E) Правильного ответа нет.
74. Какое из указанных формул определяют силу сопротивления F , действующая
со стороны потока жидкости на медленно движущейся в ней шарик:
A) F  6r .
B) F  ma . C) F  3r .
D) F  m
d
.
dt
E) F  kx .
75. Какая из формул определяет внутреннюю энергию реального газа:
a
a
) . B) U   (C VT  ) .
Vm
Vm
a
E) U  (C V T  ) .
в
A) U  (C VT 
C) U  (1 
107
a
).
Vm
D) U   (1 
a
).
Vm
108
109
110
111